Teoretyczna i rzeczywista wartość walutowych instrumentów pochodnych rynek polski

Krzyszto Piontek Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Teoretyczna i rzeczywista wartość walutowych instrumentów pochodnych rynek polski 1. Wprowadzenie W ostatnim okresie obserwuje się w Polsce wzrost znaczenia instrumentów pochodnych. Związane jest to niewątpliwie z szybkim rozwojem rynku instrumentów pochodnych, a także ze wzrostem wiedzy inwestorów. Jednym z najlepiej rozwiniętych rynków wydaje się być rynek instrumentów pochodnych na walutę. Terminowe transakcje walutowe stanowią jedną z wielu możliwości zabezpieczenia się przed ryzykiem kursu walutowego. Wiele podmiotów gospodarczych wykorzystuje terminowe transakcje walutowe w operacjach hedgingowych, a nie w celach spekulacyjnaych. Operacje hedgingowe wykorzystują więc głownie eksporterzy i importerzy dóbr i usług, którzy zabezpieczają złotówkową wartość swoich należności i zobowiązań w walucie obcej płatnych w przyszłości. Istnieje jednak również niemała grupa inwestorów, dla których walutowe instrumenty pochodne stają się bazą do inwestycji spekulacyjnych. Dla obydwu tych grup inwestorów, istotnego znaczenia nabiera zagadnienie prawidłowego określenia wartości analizowanych instrumentów. W warunkach rynku eektywnego wartość instrumentu inansowego jest jego ceną. Poszukiwana więc będzie odpowiedź na pytanie, jaka jest sprawiedliwa cena instrumentu. Wyznaczenie takiej ceny pozwala na zidentyikowanie instrumentów niedowartościowanych i przewartościowanych, a to z kolei wpływa na wybór odpowiedniej strategii inwestycyjnej. W dalszej części pracy przedstawione zostaną podstawowe metody wyceny walutowych kontraktów terminowych i opcji oraz dokonana zostanie przykładowa wycena takich instrumentów dla rynku polskiego.. Metody wyceny walutowych instrumentów pochodnych. Niezależnie od instrumentu podstawowego, na który zostały wystawione instrumenty pochodne, metody wyceny tych instrumentów wykorzystywane są do rozwiązywania następujących problemów: określenia właściwej ceny instrumentu pochodnego w momencie jego wystawienia,

wyceny takiego instrumentu w dowolnym momencie przed datą wygaśnięcia. 1 Do podstawowych metod wyceny instrumentów pochodnych należą: metoda wyceny przez portel wolny od ryzyka. metody numeryczne..1. Metoda wyceny przez portel wolny od ryzyka. Metoda ta opiera się na takiej konstrukcji portela składającego się z instrumentu bazowego oraz wystawionego na niego instrumentu pochodnego, aby niezależnie od zmiany ceny instrumentu podstawowego portel przyniósł stały zysk. Jest to więc portel wolny od ryzyka zmiany kursu instrumentu bazowego. Idea tej metody opiera się na stwierdzeniu, że jeżeli jest to portel wolny od ryzyka, to powinien przynosić dochód równy stopie wolnej od ryzyka. Wynika z tego, że wartość portela musi być równa zdyskontowanej (sprowadzonej do wartości bieżącej) wartości końcowej portela, przy czym dyskontowanie odbywa się z zastosowaniem stopy wolnej od ryzyka. Dodatkowym założeniem, które należy uwzględnić jest brak możliwości arbitrażu. Konsekwencją tego jest akt, że cena powinna być ustalona na takim poziomie, aby nie był możliwy czysty arbitraż, czyli inwestowanie bez angażowania środków własnych lub realizowanie dochodów wolnych od ryzyka. Gdyby powyższy warunek nie został spełniony, na rynku pojawili by się arbitrażyści, którzy kupowaliby dobro po niższej cenie na jednym rynku, a sprzedawali po cenie wyższej na innym rynku lub konstruowali określone strategie inwestycyjne umożliwiające uzyskanie dochodu bez ryzyka. Działalność taka powinna doprowadzić do takich ruchów cen, by zanikła możliwość arbitrażu, czyli do ustalenia się prawidłowej (sprawiedliwej) ceny instrumentu. W klasycznej wycenie poczynione są następujące założenia: wszyscy inwestorzy mają dostęp do jednakowej inormacji, podejmują decyzje kierując się ogólnie rozumianą racjonalnością, brak kosztów transakcji, podatków, depozytów zabezpieczających i kosztów manipulacyjnych, istnieje możliwość inwestowania w instrumenty wolne od ryzyka o terminie wykupu odpowiadającym terminowi wygaśnięcia rozpatrywanego instrumentu pochodnego, 1 Rynek Terminowy, październik 1998, Podstawy modelowania inansowego, M. Rutkowski K. Jajuga, K. Kuziak, P. Markowski, Inwestycje inansowe, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 1997

istnieje możliwość zajmowania bez żadnych ograniczeń pozycji krótkich i długich we wszystkich instrumentach dostępnych na rynku, uczestnicy rynku mogą pożyczać i inwestować środki według tej samej wolnej od ryzyka stopy procentowej. W najbardziej klasycznym przykładzie zastosowania wyceny poprzez portel wolny od ryzyka rozpatruje się portel złożony z zakupionego instrumentu podstawowego (długa pozycja) i wystawionej opcji kupna (krótka pozycja). Pomysł na wycenę derywatów za pomocą tworzenia pozbawionej ryzyka pozycji zabezpieczonej można zastosować do wyceny kontraktów terminowych, opcji prostych, opcji egzotycznych, a także w modelach uwzględniających różne ruchu kursów akcji.. Metody numeryczne. Metody numeryczne służą do przybliżonego wyznaczania ceny opcji. Ich idea polega na numerycznym rozwiązywaniu równania różniczkowego Blacka-Scholesa. Stosowanie metod numerycznych staje się niezbędne również, przy wycenie instrumentów pochodnych zależnych od trajektorii. Są to instrumenty, dla których unkcja wypłaty zależy od przebiegu procesu ceny instrumentu podstawowego. Przykładowymi takimi opcjami są opcje typu barierowego, azjatyckie i lookback. Najpopularniejszymi metodami numerycznymi, wykorzystywanymi przy wycenie opcji, są: 3 metoda dwumianowa, metoda różnic skończonych, metoda Monte Carlo, metoda rekurencyjna, metoda odbić lustrzanych. Metody ta pozwalają obejść złożoność obliczeniową wyznaczania cen opcji. Ceną za to jest jedna jak zwykle dokładność. 3.1. Wycena walutowych kontraktów terminowych. Przez walutowy kontrakt terminowy rozumie się umowę między dwiema stronami, w której jedna ze stron (sprzedawca kontraktu) zobowiązuje się do sprzedaży (dostawy) 3 A. Weron, Metody numeryczne w modelowaniu inansowym, Rynek Terminowy, luty 1999 A. Weron, R. Weron, Inżynieria inansowa, WNT, Warszawa 1998

określonej ilości waluty obcej w określonym czasie w przyszłości, natomiast druga ze stron (nabywca kontraktu) zobowiązuje się do przyjęcia dostawy 4. Wyróżnia się kontrakty terminowe orward i utures. Można udowodnić, że ceny kontraktów utures i orward są równe, jeśli stopy procentowe pozostają na niezmienionym poziomie oraz jeśli pominięta zostanie, w przypadku kontraktów utures, tzw. premia reinwestycyjna. Premia ta wynika z oczekiwanego zysku (lub straty) z reinwestycji pieniędzy otrzymanych w skutek procesu marking to market. W dalszej części pracy zakłada się stałość stóp procentowych oraz brak premii reinwestycyjnej. Przyjmując następujące oznaczenia: S kurs spot (wyrażona w złotówkach cena waluty obcej), r roczna stopa wolna od ryzyka w Polsce w okresie T, r roczna stopa wolna od ryzyka w USA w okresie T, T czas do terminu wykonania kontraktu, kontrakt orward można wycenić na podstawie następującej strategii inwestycyjnej 5. 1) kupno r T e jednostek waluty obcej, ) sprzedaż kontraktu orward opiewającego na jednostkę danej waluty obcej. Po prostych obliczeniach uwzględniających akt, że wartość bieżąca przychodów musi być równa wartości poniesionych kosztów, otrzymuje się wartość kontraktu terminowego. T 1+ r F = S 365 T 1+ r 365 = Se ( rˆ ) T Stopy procentowe rˆ i rˆ podane są odpowiednio dla przypadku kapitalizacji ciągłej. Nietrudno wykazać, że powyższa wartość kontraktu terminowego jest ceną uniemożliwiającą arbitraż. Jeśli ( rˆ ) T F > Se, to możliwe jest osiągnięcie wolnego od ryzyka dochodu poprzez jednoczesne zajęcie krótkiej pozycji w kontrakcie terminowym i zakup waluty. W sytuacji, gdy ( rˆ ) T F < Se, zysk przynosi strategia odwrotna, czyli sprzedaż bądź krótka sprzedaż waluty oraz jednoczesna zajęcie pozycji długiej w kontrakcie terminowym. 3.. Wycena opcji walutowych Opcja walutowa to umowa między dwiema stronami: nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą). Nabywca opcji walutowej ma prawo do kupna (opcja typu ) / 4 J. Dzieża, O zabezpieczeniu przed ryzykiem walutowym, Rynek Terminowy nr, październik 1998 5 J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie., WIGPRESS, Warszawa 1997

sprzedaży (opcja typu put) waluty, natomiast wystawca tej opcji ma obowiązek sprzdaży/kupna tej waluty w przyszłości po określonej w momencie zawierania transakcji cenie 6. Poniżej przedstawione zostaną modele wyceny europejskiej opcji kupna wystawionej na walutę obcą. Cenę analogicznej europejskiej opcji sprzedaży można wyznaczyć korzystając z zależności zwanej parytetem sprzedaży i kupna. Relacja ta dana jest następującym wzorem: T T c + Xe = p + Se, gdzie: c cena europejskiej opcji kupna, p cena europejskiej opcji sprzedaży, X cena wykonania opcji. Pozostałe oznaczenia jak wyżej. Dalsza część pracy dotyczyć będzie europejskiej opcji kupna. Różnice we współczesnych modelach wyceny opcji spowodowane są odmiennymi założeniami o zmianach kursów akcji w czasie. Poniżej zaprezentowane zostaną dwa podstawowe modele wyceny opcji walutowych. W obydwu modelach podstawą wyprowadzenia odpowiednich wzorów jest tworzenie pozbawionej ryzyka pozycji zabezpieczonej. 3..1. Model drzew dwumianowych. Model ten (dla opcji na akcje nie przynoszącą dywidendy) został opracowany w 1979 przez J. Coxa, S. Rossa i M. Rubinsteina. Zakłada się w nim, że zmiany cen zachodzą w sposób skokowy. Podstawą tego modelu jest założenie, że procentowe zmiany kursu instrumentu podstawowego mają rozkład dwumianowy. Rozpatrując model jednookresowy, możliwe są następujące scenariusze zdarzeń: kurs waluty spadnie z poziomu S do poziomu ds, a cena opcji zmaleje odpowiednio z poziomu c do wartości c d, (d<0), kurs waluty wzrośnie z poziomu S do wartości us, a cena opcji wzrośnie do wartości c u, (u>0). us, c u S,c ds, c d 6 W. Tarczyński, M. Zwolankowski, Inżynieria inansowa, Placet, Warszawa 1999

Możliwe jest skonstruowanie portela wolnego od ryzyka (zawierającego h opcji kupna w pozycji krótkiej i jednostki waluty obcej w pozycji długiej), jeżeli spełniony jest warunek: us ds h =. u d c c Stopa zwrotu tak skonstruowanego portela musi być stopą wolną od ryzyka, co prowadzi (poprzez porównanie wartości bieżącej portela z kosztem jego utworzenia) do wyznaczenia ceny walutowej opcji sprzedaży. t Se hc = ( us hc u d [ pc + (1 p c ] rt ˆ c e ) u ) e rt ˆ =, gdzie: e p = ( rˆ rˆ ) t d u d t okres pomiędzy kolejnymi zmianami cen wyrażony w ułamku roku. Wartości u i d wyznacza się z następujących wzorów: u e σ t = oraz d e σ t =, gdzie σ jest zmiennością kursów. Model jednookresowy jest bardzo prostym modelem dającym jedynie przybliżoną wartość opcji. Do wyznaczenia dokładniejszy wartości należy użyć modelu n-okresowego. W ogólnym modelu dwumianowym, liczącym n okresów, wartość opcji jest określona następującym wzorem: c = e rnt ˆ n k = 0 n! p k!( n k)! k (1 p) n k max k n k { 0; u d S X } 3... Model Garmana-Kohlhagena Model ten został wyprowadzony przez Garmana i Kohlhagena w 1983, którzy zastosowali podejście analogiczne do tego, jakie 10 lat wcześniej zastosował Merton do wyceny opcji na akcje o stałej stopie dywidendy. Model ten jest jedną z wielu modyikacji modelu Blacka-Scholesa. Również w tym przypadku rozpatruje się portel wolny od ryzyka, którego wartość zależy od składnika odzwierciedlającego wpływ zmian kursu walutowego oraz składnika odzwierciedlającego upływ czasu. Podstawowym założeniem tego modelu (odmiennym od modelu dwumianowego) jest to, że kurs instrumentu podstawowego zmienia się w sposób ciągły zgodnie z geometrycznym ruchem Browna, danym następującym wzorem: ds = µ dt + σdz S dz = ε dt

ε N(0,1) Z założenia tego wynika, że kursy zachowują się zgodnie z rozkładem logarytmicznonormalnym. W modelu Garmana-Kohlhagena utworzony portel jest portelem wolnym od ryzyka przez nieskończenie krótki okres, co stanowi podstawową różnicę w stosunku do metody wyceny opcji przy pomocy drzew dwumianowych. Zastosowanie założeń modelu Blacka-Scholesa do wyceny opcji walutowej prowadzi do równania różniczkowego, którego rozwiązanie znane jest właśnie jako wzór Garmana- Kohlhagena: c = Se T rt ˆ N( d1 ) Xe N( d ) d 1 ln = S X + rˆ rˆ σ T σ + T d ln = S X + rˆ rˆ σ T σ gdzie: σ- volatility (zmienność) miara niepewności co do stopy zwrotu z danego instrumentu 7, T długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji, wyrażona w latach, N(d) wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu równego d. T Warto zaznaczyć również, że w granicy (tzn. przy zwiększaniu liczby okresów w modelu dwumianowym, co odpowiada skracaniu okresów pomiędzy zmianami cen do nieskończoności, czyli przechodzeniu do ciągłych zmian kursów waluty obcej) model dwumianowy jest równoważny modelowi Garmana-Kohlhagena. 4. Problemy związane z wyceną instrumentów pochodnych Przy stosowaniu obu powyższych modeli wyceny, należy mieć na uwadze, że przedstawione modele cechuje szereg obciążeń. Podstawowe wynikają z aktu, że przyjęta w modelach dynamika zmian kursów jedynie przybliża rzeczywiste zmiany. Nie spełnione są również założenia o stałości wariancji zmian kursów, o doskonałej podzielności 7 Zmienność instrumentu jest odchyleniem standardowym stopy zwrotu z danego instrumentu dla okresu jednego roku, przy czym stopa zwrotu jest kapitalizowana w sposób ciągły.

aktywów, o zerowych podatkach i kosztach transakcji. Nawet, gdyby spełnione były wszystkie teoretyczne założenia modeli, odmienne wyceny opcji wynikałyby z różnej oceny danych wejściowych do modeli. Problemy sprawiają: zmienność kursów (volatility), ocena odpowiedniej stopy wolnej od ryzyka. Szacowanie zmienności jest najtrudniejszym zagadnieniem w wycenie opcji. Jeśli nie możliwe jest zastosowanie metody negocjacyjnej 8 lub zmienności implikowanej, to należy wyznaczyć ją na podstawie danych historycznych, korzystając z następujących wzorów: x i S = ln S i i 1 σ = 1 n 1 n i= 1 ( x x) N i * S i kurs waluty w i-tym dniu, (i=1,...,n), x - średnia wartość x i, N liczba sesyjnych dni roboczych. Dużą subiektywnością cechuje się tutaj długość okresu, dla którego wyznaczać się powinno wartość odchylenia standardowego zmian kursów. Przyjmuje się, że zmienność powinno wyznaczać się z jak najdłuższego szeregu zapewniającego stałość wariancji. 9 W praktyce nie jest to jednak takie proste. W celu wyznaczenia wariancji zmian kursów w skali roku, należy wariancję dzienną pomnożyć przez liczbę roboczych dni w roku. Niektóre prace podają, że takich dni w roku jest 50 (liczba dni transakcyjnych). Inni autorzy sugerują, że w czasie dni nietransakcyjnych ceny instrumentów zmieniają się również (co objawia się zwiększoną wariancją zmian po dniach nietransakcyjnych). Po oszacowaniu wariancji z próby wyrażonym w stosunku rocznym należy zastanowić się jeszcze, czy przyszły okres, obejmujący pozostały czas do wygaśnięcia opcji, jest porównywalny do okresu próby. We wszystkich przedstawionych modelach zakłada się, że możliwe jest zaciąganie i udzielanie pożyczek po tej samej stopie procentowej, co oczywiście nie jest spełnione, gdyż inwestor (bank) płaci inne oprocentowanie za środki przyjęte w depozyt od innych banków (średnio jest to stopa WIBID) oraz po innej stopie procentowej jest skłonny udzielić pożyczki 8 D. Gątarek, R. Maksymiuk, Wycena i zabezpieczenie pochodnych instrumentów inansowych, Liber 1998 9 R. A. Haugen, Teoria nowoczesnego inwestowania, WIGPRESS, Warszawa 1996

innym bankom (średnio - stopa WIBOR). Stopę wolną od ryzyka można przybliżać również odmiennymi instrumentami (np. 5-tygodniowe bony skarbowe). Powoduje to, że te same instrumenty pochodne mogą zostać odmiennie wycenione przez różne banki. Na wycenę wpływa również sytuacja w banku, czy posiada on np. wolne środki walutowe, czy musi je pozyskać na rynku w celu zabezpieczenia pozycji terminowej. Odmiennym problemem jest akt, że żaden bank nie sprzedaje kontraktów po teoretycznej cenie sprawiedliwej, lecz pobiera jeszcze narzut, którego wielkość uzależniona jest od polityki banku. 5. Przykładowa wycena polskich instrumentów walutowych W dalszych rozważaniach, jako przybliżenia stóp zwrotu z instrumentów wolnych od ryzyka, wykorzystane zostały stopy LIBOR i WIBID dla odpowiednio depozytów jedno-, trzy- i sześciomiesięcznych. Wyceny dokonane zostały dla dni 16.0.1999 i 15.03.1999. 16.0.1999 15.03.1999 1M 3M 6M 1M M 6M LIBOR r 4,94% 5,00% 5,06% LIBOR r 4,94% 5,00% 5,06% WIBID r 13,09% 1,71% 1,18% WIBID r 13,18% 1,85% 1,58% LIBOR rˆ 4,8% 4,88% 4,94% LIBOR rˆ 4,8% 4,88% 4,94% WIBID rˆ 1,30% 11,96% 11,49% WIBID rˆ 1,38% 1,09% 11,85% 5.1. Wycena walutowych kontraktów orward. Poniżej przedstawione zostały przykładowe wyceny sprzedaży kontraktów walutowych. Jako cena spot przyjęta została cena dolara, po której banki średnio sprzedawały dolary na rynku międzybankowym. 16.0.1999 15.03.1999 spot 3,819 spot 3,885 1M 3M 6M 1M 3M 6M cena teoret. 3,8448 3,8917 4,0009 cena teoret. 3,9116 3,9603 4,07 BACP 3,8467 3,8944 - BACP 3,937 3,9918 - BRE 3,8474 3,8917 3,9517 BRE 3,9385 3,984 3,0470 ING 3,816 3,868 3,998 ING 3,9689 4,0163 4,088 B. Zachodni 3,8491 3,8960 - B. Zachodni 3,9614 4,0408-5.. Wycena opcji walutowych

Poniżej przedstawione zostały przykładowe wyceny opcji typu na dolara. Jako cena spot przyjęta została średnia cena dolara na rynku międzybankowym odpowiednio w dniach 16.0.1999 i 15.03.1999. Historyczna zmienność kursu dolara wyznaczona została na podstawie danych z rocznego okresu poprzedzającego dzień wyceny opcji. Wariancja dziennych logarytmicznych stóp zwrotu dla kolejnych dni tygodnia przedstawiona została poniżej. poniedziałek wtorek środa czwartek piątek 4,50e-5 4,6e-5 5,56e-5 4,0e-5 4,5e-5 Uzasadnione jest więc przyjęcie założenia, że eektywnych dni sesyjnych w roku jest około 50. W dalszych obliczeniach przyjęta została liczba 5 dni sesyjnych w roku. Zmienność kursu dolara oszacowana została odpowiednio na poziomie 11,83% dla 16.0.1999 i 1,10% dla dnia 15.03.1999. Kurs spot przyjęto odpowiednio jako 3,81 i 3,935. BACP 16.0.1999 15.03.1999 1M 3M 6M 1M 3M 6M X 3,880 3,9040 3,9680 X 3,9580 4,010 4,0810 G-K 358 833 1185 G-K 558 94 1308 359 65/753 835 1099/136 1189 157/184 556 61/665 95 1089/106 1309 1513/1675 BRE 1M 16.0.1999 3M 6M 15.03.1999 1M 3M 6M X G-K 3,8503 494 3,8997 853 3,9647 100 X G-K 3,9418 64 3,9895 1034 4,0590 1411 49 593/678 853 1034/1184 10 1477/1688 647 539/586 1037 968/1046 1408 140/1511 ING 1M 16.0.1999 3M 6M 15.03.1999 1M 3M 6M X 3,850 3,9080 3,9850 X 3,9710 4,0300 4,1060 G-K 486 815 1111 G-K 496 84 1196 484 590/637 813 1005/1106 1111 1439/1616 493 499/593 839 864/106 1196 156/1541 Kr. Bank 16.0.1999 15.03.1999 1M 3M 6M 1M 3M 6M X 3,8490 3,8984 3,9630 X 3,9378 3,9887 4,0605 G-K 501 859 107 G-K 663 1038 1404 498 859 108 670 1041 1401 518/568 915/100 1368/1538 461/518 907/1013 1316/1471 X kurs realizacji, G-K cena na podstawie modelu Garmana-Kohlhagena, cena na podstawie modelu Coxa-Rossa-Rubinsteina, rzeczywista cena, po której banki kwotowały odpowiednio skup i sprzedaż danej opcji Ceny podane są jako ceny opcji zakupu 10.000 USD. Rozbieżności pomiędzy cenami teoretycznymi i rzeczywistymi analizowanych instrumentów wynikają bezpośrednio z opisanych w punkcie 4. obciążeń modeli. Odmienna

może być ocena zmienności instrumentu podstawowego, cena spot, po której bank ma możliwość kupna i sprzedaży waluty. Każdy z banków charakteryzuje się odmienna sytuacją w zakresie wolnych środków złotówkowych i walutowych. Różna jest również marża pobierana przez banki, która zawyża ceny instrumentów itd. Przedstawione modele zakładają również normalność rozkładu logarytmicznych dziennych stóp zwrotu. Założenie to nie jest spełnione w przypadku kursów USD/zł, co łatwo sprawdzić przy pomocy testu χ.