Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej skrypt Wydziału Elektroniki i Informatyki Politechniki Koszalińskiej Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej Koszalin 2007
1 Spis treści Literatura...3 Wstęp...4 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu...6 1.1. Rodzaje i własności ciągów liczbowych...6 1.2. Definicja i własności granicy ciągu...20 1.3. Wyznaczanie granicy ciągu...33 1.4. Przykładowe zastosowania ciągów...37 1.5. Zadania i odpowiedzi...43 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej...48 2.1. Rodzaje funkcji elementarnych...48 2.2. Funkcja złożona...65 2.3. Funkcja odwrotna...69 2.4. Przykładowe obliczenia...82 2.5. Inżynierskie zastosowania funkcji...88 2.6. Zadania i odpowiedzi...92 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej...96 3.1. Definicja i własności granicy funkcji...96 3.2. Wyznaczanie granicy funkcji...112 3.3. Pojęcie ciągłości funkcji...120 3.4. Zadania i odpowiedzi...125 4. Pochodna funkcji jednej zmiennej...128 4.1. Pojęcie ilorazu różnicowego...128 4.2. Definicja i własności pochodnej funkcji...133
2 4.3. Wyznaczanie pochodnej z definicji...141 4.4. Obliczanie pochodnej funkcji elementarnych...151 4.5. Zastosowanie pierwszej i drugiej pochodnej...157 4.6. Badanie przebiegu zmienności funkcji...166 4.7. Inżynierskie zastosowania pochodnej...183 4.8. Zadania i odpowiedzi...190
3 Literatura: 1. Kuratowski K.: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. PWN, Warszawa 1979. 2. Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach (cz.1). PWN, Warszawa 1980. 3. Sidorowicz J.: Matematyka. Wykłady dla studentów wydziałów technicznych (t.1). Wydawnictwo WSI, Koszalin 1996. 4. Poradnik matematyczny pod red. Dziubińskiego i Świątkowskiego. PWN, Warszawa 1985. 5. Decewicz G., Żakowski W.: Matematyka cz.i. WNT, Warszawa 1994. 6. Maurin K.: Analiza- cz.i. Elementy. PWN, Warszawa 1977. 7. Leitner R.: Zarys matematyki wyższej dla studentów. WNT, Warszawa 1995. 8. Minorski W.P.: Zbiór zadań z matematyki wyższej. WNT, Warszawa 1974. 9. Leja F.: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 1972. 10. Fichtenholz G.M.: Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN, Warszawa 1994. 11. Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej. WNT, Warszawa 1976. 12. WWW.WIKIPEDIA.PL, 05.02.2008. 13. WWW.ANALIZA.MATEMATYKA.ORG, 05.02.2008. 14. WWW.PORTALWIEDZY.ONET.PL, 05.02.2008. 15. WWW.MATH.EDU.PL, 05.02.2008. 16. Gdowski B., Pluciński E.:Zbiór zadań z matematyki. WNT, Warszawa 1974. 17. Haggarty R.: Fundamentals of mathematical analysis. Addison-Wesley, Oxford Brookes University 1993.
4 Wstęp Skrypt Podstawy analizy matematycznej ma w swoich założeniach przybliżyć studentom kursów wyrównawczych najważniejsze pojęcia, definicje i twierdzenia dotyczące ciągów liczbowych, granicy ciągów, funkcji elementarnych i działań wykonywanych na funkcjach, granicy funkcji i zastosowania pochodnej funkcji. Oprócz podstawowej wiedzy matematycznej, opisującej dany temat w sposób przystępny i przemawiający do intuicji, w każdym rozdziale znajdują się przykłady inżynierskiego i technicznego wykorzystania omawianych zagadnień. Do każdej partii materiału podane są przykładowe zadania z rozwiązaniami oraz zestaw zadań do samodzielnego wykonania z podaną odpowiedzią (trudniejsze zadania oznaczone są symbolem *). W rozdziale 1 zawarto materiał o rodzajach i własnościach ciągów liczbowych, o granicy ciągu i sposobach wyznaczania granicy ciągu. Umieszczono podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące ciągów liczbowych. Podano także kilka przykładów praktycznego zastosowania ciągu i jego granicy. W rozdziale 2 opisano funkcje jednej zmiennej rzeczywistej, podstawowe definicje i własności funkcji, rodzaje i cechy funkcji elementarnych. Omówiono operację złożenia funkcji elementarnych oraz poszukiwanie funkcji odwrotnej do funkcji elementarnej. Zdefiniowano najważniejsze cechy złożenia funkcji i funkcji odwrotnej, podano kilka przykładów inżynierskiego zastosowania funkcji. W rozdziale 3 znajduje się materiał odnośnie granicy i ciągłości funkcji jednej zmiennej. Opisano definicje i własności granicy funkcji, podano definicje Cauchy ego i Heinego granicy funkcji (obustronnej i jednostronnej). Omówiono podstawowe twierdzenia o granicach funkcji w punkcie właściwym (będącym liczbą) i niewłaściwym (czyli w nieskończoności), podano przykłady wyznaczania granicy funkcji i jej wykorzystanie np. do badania asymptot funkcji. Opracowano pojęcie ciągłości funkcji oraz definicje i własności dotyczące funkcji ciągłych. Podano przykłady sprawdzania ciągłości funkcji w punkcie oraz rozwiązane zadania dotyczące granicy funkcji oraz ciągłości funkcji.
5 W rozdziale 4 wyjaśniono i zdefiniowano pojęcie ilorazu różnicowego oraz podano definicję i własności pochodnej funkcji w punkcie. Pokazano, dla wybranych funkcji elementarnych, wyznaczanie funkcji pochodnej na podstawie definicji. Udowodniono wzory na pochodną sumy, różnicy, ilorazu oraz iloczynu funkcji, podano wzór na pochodną funkcji złożonej. Umieszczono przykładowe obliczenia dotyczące pochodnej funkcji oraz pochodnych wyższych rzędów. Wyjaśniono zastosowanie pierwszej i drugiej pochodnej do badania takich własności funkcji jak: przedziały monotoniczności, ekstremum lokalne (maksimum, minimum), wypukłość funkcji, punkty przegięcia. Omówiono sposoby wyznaczania asymptot funkcji. Podano przykłady badania przebiegu zmienności funkcji z wykorzystaniem całej wiedzy na temat sprawdzania własności funkcji wraz z wykonaniem wykresu funkcji. Opisano kilka przykładów inżynierskiego zastosowania pochodnej i wykorzystania twierdzenia Taylora i wzoru Maclaurina. Podejmując się napisania tego skryptu autor miał na uwadze umieszczenie jak największej liczby przykładów, mających na celu jak najprostsze wyjaśnienie studentom kursów wyrównawczych omawianego materiału i zastosowanie opisanej teorii w obliczeniach inżynierskich.