Minimalizacja funkcji boolowskich

Podobne dokumenty
Minimalizacja funkcji boolowskich

Koszt literału (literal cost) jest określony liczbą wystąpień literału w wyrażeniu boolowskim realizowanym przez układ.

Minimalizacja form boolowskich

Lekcja na Pracowni Podstaw Techniki Komputerowej z wykorzystaniem komputera

dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia i ich zastosowań w przemyśle" POKL

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Minimalizacja funkcji boolowskich c.d.

dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów

Minimalizacja formuł Boolowskich

Wykład nr 1 Techniki Mikroprocesorowe. dr inż. Artur Cichowski

Rys. 2. Symbole dodatkowych bramek logicznych i ich tablice stanów.

Część 2. Funkcje logiczne układy kombinacyjne

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych (I)

Minimalizacja form boolowskich UC1, 2009

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych

Podstawy Automatyki. Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji.

Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych

Minimalizacja funkcji boolowskich - wykład 2

Metoda Karnaugh. B A BC A

Automatyka Treść wykładów: Literatura. Wstęp. Sygnał analogowy a cyfrowy. Bieżące wiadomości:

Układy logiczne. Wstęp doinformatyki. Funkcje boolowskie (1854) Funkcje boolowskie. Operacje logiczne. Funkcja boolowska (przykład)

Funkcja Boolowska. f:b n B, gdzieb={0,1} jest zbiorem wartości funkcji. Funkcja boolowska jest matematycznym modelem układu kombinacyjnego.

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki

Architektura komputerów Wykład 2

Bramki logiczne Podstawowe składniki wszystkich układów logicznych

Tranzystor JFET i MOSFET zas. działania

Architektura komputerów ćwiczenia Bramki logiczne. Układy kombinacyjne. Kanoniczna postać dysjunkcyjna i koniunkcyjna.

Elementy cyfrowe i układy logiczne

WOJSKOWA AKADEMIA T E CHNI CZNA im. Jarosława Dą brow ski ego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO

Zadania do wykładu 1, Zapisz liczby binarne w kodzie dziesiętnym: ( ) 2 =( ) 10, ( ) 2 =( ) 10, (101001, 10110) 2 =( ) 10

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

b) bc a Rys. 1. Tablice Karnaugha dla funkcji o: a) n=2, b) n=3 i c) n=4 zmiennych.

Układy Logiczne i Cyfrowe

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa

Podstawy układów logicznych

Problem kodowania w automatach

Elementy cyfrowe i układy logiczne

Cyfrowe bramki logiczne 2012

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Układy kombinacyjne

Synteza układów kombinacyjnych

Laboratorium podstaw elektroniki

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014

UKŁADY KOMBINACYJNE (BRAMKI: AND, OR, NAND, NOR, NOT)

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego

x x

Układy kombinacyjne Y X 4 X 5. Rys. 1 Kombinacyjna funkcja logiczna.

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego

Laboratorium podstaw elektroniki

Masowe zapotrzebowanie na te usługi tworzy atrakcyjny obszar działalnoci przemysłowogospodarczej.

W jakim celu to robimy? Tablica Karnaugh. Minimalizacja

Podstawowe układy cyfrowe

Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu

Laboratorium elektroniki i miernictwa

Automatyka Lab 1 Teoria mnogości i algebra logiki. Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Laboratorium z podstaw automatyki

Układy kombinacyjne i sekwencyjne. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:

Automatyka. Treść wykładów: Multiplekser. Układ kombinacyjny. Demultiplekser. Koder

Architektura systemów komputerowych Laboratorium 13 Symulator SMS32 Operacje na bitach

Minimalizacja funkcji logicznych w algebrze bramek prądowych

Automatyzacja i robotyzacja procesów produkcyjnych

Ćw. 1: Systemy zapisu liczb, minimalizacja funkcji logicznych, konwertery kodów, wyświetlacze.

1.2 Funktory z otwartym kolektorem (O.C)

Algebra Boole a i jej zastosowania

Układy kombinacyjne 1

OLIMPIADA MATEMATYCZNA

WSTĘP. Budowa bramki NAND TTL, ch-ka przełączania, schemat wewnętrzny, działanie 2

UKŁADY KOMBINACYJNE WPROWADZENIE. przerzutniki, bramki ze sprzężeniami zwrotnymi. Układ przełączający Y t. Q t stan wewnętrzny


Układy cyfrowe. Najczęściej układy cyfrowe służą do przetwarzania sygnałów o dwóch poziomach napięć:

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Ćwiczenie 26. Temat: Układ z bramkami NAND i bramki AOI..

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Układy logiczne. Instytut Automatyki

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa.

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Dr inż. Jan Chudzikiewicz Pokój 117/65 Tel Materiały:

Wielopoziomowa synteza układów logicznych

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Laboratorium elektroniki. Ćwiczenie E52IS. Realizacja logicznych układów kombinacyjnych z bramek NOR. Wersja 1.0 (24 marca 2016)

Krótkie przypomnienie

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV

Arytmetyka liczb binarnych

Funkcje logiczne X = A B AND. K.M.Gawrylczyk /55

Laboratorium elektroniki. Ćwiczenie E51IS. Realizacja logicznych układów kombinacyjnych z bramek NAND. Wersja 1.0 (24 marca 2016)

Ćwiczenie nr 1 Temat: Ćwiczenie wprowadzające w problematykę laboratorium.

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa.

Rok akademicki: 2030/2031 Kod: EEL s Punkty ECTS: 5. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Układy logiczne układy cyfrowe

Ćwiczenie 1 Program Electronics Workbench

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej

TUANSLATORY KODÓW I UKŁADY UZUPEŁNIAJĄCE

Systemy wbudowane. Wprowadzenie. Nazwa. Oznaczenia. Zygmunt Kubiak. Sterowniki PLC - Wprowadzenie do programowania (1)

Technika cyfrowa i mikroprocesorowa. Zaliczenie na ocenę. Zaliczenie na ocenę

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Transkrypt:

Minimalizacja funkcji boolowskich Zagadnienie intensywnych prac badawczych od początku lat pięćdziesiątych 2 wieku. Ogromny wzrost zainteresowania minimalizacją f.b. powstał ponownie w latach 8. rzyczyna: możliwość realizacji układów logicznych w strukturach scalonych o złożoności milionów bramek logicznych. Z

Metody minimalizacji funkcji boolowskich Graficzne Analityczne Komputerowe Absolutnie nieprzydatne do obliczeń komputerowych ablice Karnaugha Metoda Quine a McCluskey a Omówienie całego Espresso jest ierwsze skuteczne narzędzie do minimalizacji wieloargumentowych nierealne! i wielowyjściowych funkcji boolowskich (Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley) : Metoda i system Espresso (984) Z Ze względu na ograniczony zakres wykładu omówimy wyłącznie: Metodę tablic Karnaugha Metodę Ekspansji (przykładową procedurę Espresso) 2

Metoda tablic Karnaugha ablica K. jest prostokątem zło onym z 2 n kratek, z których ka da reprezentuje jeden pełny iloczyn (minterm) zmiennych binarnych. 2-7,9 5 8: 8,794. :3. 9,-. 7 3. 28 9 44 3,. 5 3 2 4. 342 57 547 / 4,38.4-4 8-54,9,-. 8 8 /3 7,9 47 89, 8, 9: /,/4 4 3 4 A + A = A Z + 2 3 2 3 2 = Dla uzyskania efektu sąsiedztwa współrzędne pól opisuje się kodem Gray a 3

Kod Gray a Z 4

rzykładzik 2 f ) pisanie funkcji do tablicy 2) Zakreślanie pętelek 2 3 Z pętelkami kojarzymy iloczyn zmiennych (prostych lub zanegowanych) 4 5 6 7 2 f = 2 + Z 5

pisywanie funkcji ułatwia opis kratek tablic Karnaugha wg NKB 2 2 6 4 3 7 5 2 4 5 3 7 2 6 ( ) ANKB = j= AD = L a j2 4 5 2 3 2 n j Z 4 2 4 2 8 5 3 9 3 7 5 2 6 4 4 2 8 24 28 2 6 5 3 9 25 29 2 7 7 5 27 3 23 9 6 4 26 3 22 8 6

rzykładzik 2 f pisanie funkcji do tablicy 2 3 4 5 6 7 2 2 2 6 4 3 7 5 Z Zakreślanie pętelek i kojarzenie z nimi odpowiednich iloczynów jest trudniejsze 7

rzykład 2 2 f = 2 3 + 2 + Z 2 2 2 2 2 2 8

Algorytm minimalizacji Z ) Zapisujemy funkcję do tablicy K. 2) Zakreślamy pętelki. a) ętelki zakreślamy wokół grup sąsiadujących kratek zawierających -ki albo -ki i (kreski). b) Liczba kratek objętych pętelka musi wynosić:, 2, 4,,2 k. c) Staramy się objąć pętelką jak największą liczbę kratek. 3) ętelki zakreślamy tak długo, aż każda -ka będzie objęta co najmniej jedną pętelką, pamiętając o tym aby pokryć wszystkie -ki możliwie minimalną liczbą pętelek. 4) Z każdą pętelką kojarzymy iloczyn zmiennych prostych lub zanegowanych. Suma tych iloczynów, to minimalne wyrażenie boolowskie danej funkcji. 9

rzykłady pętelek 2 2 4 5 2 Z 4 2

rzykład - minimalizacja dla KS f = Σ[, 5, 6, 7,, (2, 3,, 2)] 4 2 3 2 4 5 7 6 4 2 2 8 3 9 5 4 f = + + + 2 2 4 2 4 Z

rzykład - minimalizacja dla K Różnice wynikają ze sposobu interpretacji zmiennej w szystkie czynności są takie same Kanonicznej ostaci Sumy: Kanonicznej ostaci loczynu: e =,, gdy e gdy e = = e =,, gdy e = gdy e = Z c 9: 89 4239,7 9 4/,9..4 chodzą na wykłady) 2

rzykład f = Σ[, 5, 6, 7,, (2, 3,, 2)] 4 2 f = ( ) ) ( ) ( ) ( 2 2 4 2 3 4 Z 3

mplikant funkcji boolowskiej mplikant danej funkcji f jest to iloczyn literałów (zmiennych prostych i zanegowanych) o następującej własności: dla wszystkich kombinacji wartości zmiennych, dla których implikant jest równy jedności, również funkcja f jest równa jedności. rosty implikant jest to implikant, który zmniejszony o dowolny literał przestaje być implikantem. Z 4

mplikant funkcji boolowskiej interpretacji tablic Karnaugha implikant odpowiada prawidłowo zakreślonej grupie jedynek (i kresek). Natomiast implikant prosty odpowiada grupie jedynek (i kresek), której nie można powiększyć. 4 2 mplikant 3 4 rosty implikant o nie jest mplikant! Z 5

Realizacje bramkowe Realizacja AND-OR (wg sumy iloczynów) y = + 2 + 3 23 Realizacja OR-AND (wg iloczynu sum) y = ( + 2 )( + 3 )( 2 + 3 ) Z 6

Sum-of-products (SO) Realizacja AND-OR 2 y + = 2 + 3 2 3 2 3 2 3 y Z 7

roduct-of-sums (OS) Realizacja OR-AND 2 y = ( + 2 )( + 3 )( 2 + 3 ) 2 3 2 3 y Z 8

nne operatory (bramki) logiczne NAND y = a b NOR y = a + b EX-OR y = a b = ab + ab NAND (NO-AND) NOR (NO-OR) EXOR (Eclusive OR) Z 9

nne realizacje bramkowe Realizacja NAND Realizacja NOR y = + 2 + 3 23 Z 2

23 3 23 23 Realizacja NAND 2 y = 2 + 3 + 23 y = 2 3 23 Z 2 3 2 3 y 2

Realizacja NOR 2 y = ( + 2 )( + 3 )( 2 + 3 ) y = + + 2 + + 3 + 2 3 2 3 2 3 y Z 22

Minimalizacja funkcji wielowyjściowych rzykład sygnalizujący problem: Należy zaprojektować zespół trzech funkcji czterech argumentów: f = Σ(3,7,,4,5) f 2 = Σ(3,7,2,3,4,5) f 3 = Σ(3,7,,2,3,5) Z 23

rzykład sygnalizujący problem Jeśli każdą funkcję zminimalizujemy oddzielnie: ab cd cd ab ab cd f = abc + cd f 2 = ab+ acd f 3 = abc+ cd Z 24

to uzyskamy a b c c d a b a c d a b c c d f f 2 f 3 Do realizacji tych trzech funkcji potrzebujemy 9 bramek. Czy można zredukować ich liczbę? atrz następna plansza. Z 25

usuwamy niektóre bramki a b c c d a b a c d f f 2 Bramka AND dla f może być usunięta przez wykorzystanie bramki AND z f 3. a b c c d f 3 eraz potrzebujemy 8 bramek..cdn. Z 26

co dalej a b c c d a b a c d a b c c d f f 2 f 3 Bramkę AND zf 2 można usunąć przez wykorzystanie faktu ab = abc + abc eraz potrzebujemy zaledwie 7 bramek. Z 27

Komentarz rzykład sugeruje, że w realizacji zespołu funkcji stosowanie minimalnej sumy implikantów prostych nie zawsze prowadzi do rozwiązania z minimalnym kosztem. Z 28

rzykład 3.5 z książki SUL y = Σ(2,3,5,7,8,9,,,3,5) y 2 = Σ(2,3,5,6,7,,,4,5) cd ab 3 2 y 3 = Σ(6,7,8,9,3,4,5) 4 2 5 3 7 5 6 4 8 9 cd ab cd ab cd ab Z y = ab + bd + bc y 2 = c+ abd y 3 = bc+ acd+ abc 7 bramek AND 29

rzykład 3.5 z książki SUL cd ab cd ab cd ab Z 2 3 4 y = bc+ abd + abd +abc y 2 = bc 2 5 +abd +bc 3 4 5 +abc y = abd + bc 3 5 bramek AND a poprzednio było 7 bramek AND!!! 3