Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej Wojciech Młocek wojciech.mlocek@ur.krakow.pl Kamila Piwowarczyk kamila.piwowarczyk@ur.krakow.pl Agnieszka Rutkowska rmrutkow@cyf-kr.edu.pl Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Katedra Zastosowań Matematyki kzm.ur.krakow.pl Kraków 2007-20

Spis treści Wstęp.................................................... 3. Rachunek prawdopodobieństwa.................................... 4.. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa............................ 4.2. Prawdopodobieństwo geometryczne............................... 4.3. Schemat Bernoulliego...................................... 6.4. Prawdopodobieństwo warunkowe. Zdarzenia niezależne.................... 6.5. Prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa......................... 7 2. Zmienne losowe............................................. 9 2.. Zmienne losowe dyskretne.................................... 9 2.2. Zmienne losowe ciągłe...................................... 2.3. Nierówność Czebyszewa. Twierdzenia graniczne........................ 6 2.4. Estymatory............................................ 9 3. Charakterystyki próby......................................... 20 4. Przedziały ufności........................................... 23 4.. Przedziały ufności dla średniej................................. 23 4.2. Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia standardowego................. 24 4.3. Przedziały ufności dla wskaźnika struktury.......................... 25 4.4. Minimalna liczebność próby................................... 25 5. Parametryczne testy istotności.................................... 27 5.. Testy istotności dla średniej................................... 27 5.2. Testy istotności dla dwóch średnich............................... 29 5.3. Testy istotności dla wariancji.................................. 32 5.4. Testy istotności dla dwóch wariancji.............................. 33 5.5. Testy istotności dla wskaźnika struktury............................ 34 5.6. Testy istotności dla dwóch wskaźników struktury....................... 35 6. Nieparametryczne testy istotności................................... 36 7. Korelacja i regresja liniowa...................................... 43 8. Analiza wariancji z klasyfikacją pojedynczą............................. 46 Dodatek................................................... 48 Wzory statystyczne........................................... 48 Tablice statystyczne.......................................... 49 Katalog wybranych rozkładów prawdopodobieństwa........................ 55 Zasady tworzenia szeregów rozdzielczych............................... 56 Charakterystyki liczbowe próby.................................... 57 Spis oznaczeń.............................................. 58 Odpowiedzi do zadań........................................... 59 Literatura.................................................. 75

Wstęp Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej jest przeznaczony dla studentów kierunków przyrodniczych i technicznych. Podlega on aktualizacji, bieżąca wersja znajduje się na stronie kzm.ur.krakow.pl/dydaktyka.html. Zbiór składa się z 8 rozdziałów poświęconych m.in. rachunkowi prawdopodobieństwa, zmiennym losowym, charakterystykom próby, przedziałom ufności, parametrycznym i nieparametrycznym testom istotności, korelacji i regresji liniowej, analizie wariancji. Na końcu zbioru zamieszczony został dodatek, który zawiera wzory i tablice statystyczne, charakterystykę niektórych rozkładów prawdopodobieństwa, zasady tworzenia szeregów rozdzielczych oraz charakterystyki liczbowe próby. Większość zadań posiada odpowiedzi. Ostateczny wynik w odpowiedziach podawany z przybliżeniem świadczy o dokonywaniu ich z dokładnością do 2-go lub 3-go miejsca po przecinku na każdym etapie obliczeń. Jedynie w rozdziale Charakterystyki próby zaokrąglano je z dokładnością o jeden rząd wyższą niż wartości próby. Autorzy będą wdzięczni za wszelkie uwagi i sugestie dotyczące zadań lub odpowiedzi. Uwagi można przesyłać na adres wojciech.mlocek@ur.krakow.pl. Autorzy

. Rachunek prawdopodobieństwa.. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Egzaminator przygotował 20 pytań, z których zdający losuje 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń dobrze odpowie na 3 pytania, jeżeli umie odpowiedzieć na połowę pytań. 2. Z urny, w której jest 3 kul białych i 7 czarnych losujemy 2 kule a) ze zwrotem, b) bez zwrotu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie kule będą białe. 3. Z grupy studenckiej liczącej 30 osób w tym 20 chłopców wybrano delegację złożoną z 5 osób, przy czym rozważano różne możliwości liczby chłopców i dziewcząt w delegacji, w każdym razie liczby różne od zera. Obliczyć prawdopodobieństwo, że do delegacji będą wybrane najwyżej 3 dziewczyny. 4. Z talii złożonej z 52 kart losujemy jedną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest damą lub królem. 5. Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie uzyskano liczbę oczek podzielną przez trzy lub pięć? 6. Spośród liczb 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno dwie bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest nie większa od 3? 7. W przetargu bierze udział 5 firm. Prawdopodobieństwo tego, że wygra firma A jest równe 0,25, natomiast, że wygra firma B - 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przetarg wygra firma A lub B? 8. Wykonujemy jeden rzut kostką sześcienną do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia polegającego na tym, że otrzymaliśmy jedno lub trzy oczka? 9. Z cyfr, 2,..., 9 losujemy bez zwracania trzy cyfry x, y, z i tworzymy liczbę trzycyfrową xyz. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę mniejszą od 555. 0. Na dziesięciu klockach wyrzeźbiono litery: a, a, k, s, s, t, t, t, y, y. Bawiąc się nimi dziecko układa je w rząd. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przypadkowo złoży ono słowo statystyka..2. Prawdopodobieństwo geometryczne. Na koło o promieniu R losowo rzucono punkt. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że punkt trafi do wnętrza a) kwadratu wpisanego w koło, b) trójkąta równobocznego wpisanego w koło. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu w daną część koła jest proporcjonalne do pola tej części i nie zależy od jej położenia w kole. 2. Wybieramy losowo punkt (x, y) z kwadratu [0, ] [0, ]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jego współrzędne będą spełniały nierówność y < x 2? 3. Na odcinku OA o długości L na osi liczbowej OX, losowo wybrano punkt B. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że mniejszy z odcinków OB i BA będzie miał długość większą niż 3L. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu na odcinek jest proporcjonalne do długości odcinka i nie zależy od jego położenia na osi liczbowej OX.

. Rachunek prawdopodobieństwa 5 4. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy losowo 2 punkty: jeden na lewo, a drugi na prawo od środka odcinka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między wybranymi punktami jest mniejsza niż 3 a? 5. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy na chybił trafił dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między punktami jest mniejsza niż 3 a? 6. Na płaszczyźnie poprowadzono proste równoległe. Odległość między nimi jest stała i równa d. Na płaszczyznę rzucamy igłę (tak cienką, że może być interpretowana jako odcinek) o długości l, przy czym l < d. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jedną z wykreślonych prostych? (Jest to tzw. zadanie Buffona) 7. Parę liczb (b, c) wybrano losowo z prostokąta [0, 2] [0, 4]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x 2 + 2bx + c = 0 są rzeczywiste? 8. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x 2 + 2bx + c = 0 są rzeczywiste, jeśli liczby b i c zostały wybrane losowo z przedziału [0, ]? 9. Parę liczb (a, b) wybrano losowo z prostokąta [, ] 2. Oblicz prawdopodobieństwo, że równanie ax 2 + bx + = 0 ma a) pierwiastki rzeczywiste, b) pierwiastki równe, c) pierwiastki rzeczywiste dodatnie. 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt kwadratu { x <, y < } jest punktem leżącym wewnątrz okręgu x 2 + y 2 =? 2. Dwoje znajomych umawia się w pewnym miejscu. Każdy ma przyjść w dowolnej chwili między godz. 5.00, a 6.00 i czekać na drugiego przez 20 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? 22. Drewniane pale mają losową długość L, przy czym największa długość wynosi 2 m. Pale są przeznaczone do wbijania w ziemię, której skalna warstwa stanowiąca opór znajduje się na losowej głębokości H, której maksimum wynosi 0 m. Zaproponować przestrzeń zdarzeń elementarnych i podać jej interpretację geometryczną. Zilustrować następujące zdarzenia i obliczyć ich prawdopodobieństwa: a) długość losowo wziętego pala jest większa od głębokości, na której znajduje się skalna warstwa, b) głębokość skalnej warstwy przekroczy 8 m, c) długość losowo wziętego pala przekroczy 8 m. 23. Przy projektowaniu przepustu odprowadzającego wodę z 2 oddzielnych obszarów A i B założono, że ilość wody pochodząca z A może wahać się w granicach 0 900 dm 3 /s, natomiast z B: 0 500 dm 3 /s. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ilość wody łącznie z obu obszarów przekroczy 2000 dm 3 /s. 24. Z przedziału (0, π) wybrano losowo punkty x i y. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że sin x 2y. 25. Dwa punkty A i B zostały wybrane losowo z I ćwiartki układu współrzędnych, a następnie każdy z nich połączono z początkiem O układu współrzędnych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie proste będą nachylone do siebie pod kątem mniejszym niż π 4.

6 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.3. Schemat Bernoulliego 26. Dziesięciu wyborowych strzelców celuje do lecącego samolotu. Prawdopodobieństwo trafienia samolotu dla każdego z nich jest stałe i wynosi p. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że samolot zostanie trafiony. 27. Rzucamy 5 razy monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo trzykrotnego wyrzucenia orła? 28. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A w każdym doświadczeniu jest równe 0,2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 9 niezależnych doświadczeń zdarzenie A zajdzie 6 razy w dowolnej kolejności. 29. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy w pojedynczym strzale wynosi 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 6 strzałów 2 będą trafione? 30. Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Niech zdarzenie A polega na tym, że wypadła co najmniej jedna reszka, a zdarzenie B, że wypadły same reszki. Znaleźć P (A B) oraz P (A B). 3. Zmienna losowa X ma rozkład B(50, 0, ). Obliczyć P (X = 5). Wynik dokładny porównać z wartością przybliżoną uzyskaną z prawa małych liczb Poissona..4. Prawdopodobieństwo warunkowe. Zdarzenia niezależne 32. W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 4 białe. Wyciągamy losowo dwa razy po jednej kuli a) ze zwrotem kuli do urny po pierwszym wyjęciu, b) bez zwrotu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula będzie biała, jeśli wiadomo, że pierwsza wylosowana była biała. 33. Z liczb 2, 3, 5, 30 losujemy jedną liczbę. Sprawdzić, czy zdarzenia A - wylosowana liczba jest podzielna przez 2, B - wylosowana liczba jest podzielna przez 3 są niezależne. 34. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie suma wyrzuconych oczek równa się 8, zaś B zdarzenie w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek. Ustalić, czy zdarzenia A i B są niezależne. 35. Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną. Czy zdarzenia A - wyciągnięcie asa, B - wyciągnięcie karty koloru czerwonego są niezależne? 36. Prawdopodobieństwo, że cena pewnego towaru pójdzie jutro w górę wynosi 0,3, a prawdopodobieństwo, że cena srebra pójdzie w górę wynosi 0,2. Wiadomo ponadto, że w 6% przypadków obie ceny - towaru i srebra idą w górę. Czy cena towaru i cena srebra są niezależne?

. Rachunek prawdopodobieństwa 7.5. Prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa 37. Przed konkursem ogłoszono listę 200 pytań z dziedziny D, 00 pytań z dziedziny D 2 oraz 00 pytań z dziedziny D 3. Umiemy odpowiedzieć na 50 pytań z dziedziny D, na wszystkie pytania z dziedziny D 2 oraz na 80 pytań z dziedziny D 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że podczas konkursu odpowiemy na losowo zadane pytanie? 38. W magazynie znajdują się żarówki pochodzące z dwóch fabryk. 6% pochodzi z fabryki I. Wśród żarówek z fabryki I jest % wadliwych, a spośród żarówek z fabryki II 2% wadliwych. Z magazynu pobrano losowo jedną żarówkę, która okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ta żarówka została wyprodukowana przez fabrykę II? 39. Fabryka chemiczna jest wyposażona w system alarmowy. W razie zagrożenia system alarmowy działa w 95% przypadków. Prawdopodobieństwo, że system włączy się, gdy nie ma żadnego zagrożenia jest równe 0,02. Rzeczywiste zagrożenie zdarza się rzadko jego prawdopodobieństwo wynosi 0,004. Gdy odzywa się system alarmowy, jakie jest prawdopodobieństwo, że naprawdę istnieje zagrożenie? 40. Około 0% studentów i 5% studentek pali papierosy. Z populacji liczącej 50 studentów i 00 studentek wylosowano osobę palącą papierosy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że nie jest to mężczyzna. 4. Wiadomo, że 55% mężczyzn i 70% kobiet nie zdaje egzaminu praktycznego na prawo jazdy za pierwszym razem. Wybrana losowo osoba nie zdała egzaminu. Zakładając, że liczba zdających egzamin kobiet i mężczyzn była taka sama, obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybraną osobą jest kobieta. 42. Dane są trzy urny. W pierwszej urnie są 3 kule białe i czarna, w drugiej 4 białe i 2 czarne, w trzeciej 2 białe i 2 czarne. Zakładając, że wylosowanie kuli z każdej urny jest jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana kula, która okazała się koloru białego pochodzi z urny pierwszej. 43. Na egzaminie z matematyki 40% stanowią zadania z algebry, 30% zadania z geometrii, natomiast pozostałe to zadania z rachunku prawdopodobieństwa. Wśród tych zadań łatwe stanowią odpowiednio: %, 2%, i 3%. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jeśli losowo wybrane zadanie jest trudne, to jest zadaniem z rachunku prawdopodobieństwa. 44. Długoletnie doświadczenia wskazują na to, że część pisemna pewnego egzaminu jest istotnie trudniejsza 60% zdających, od części ustnej 95% zdających. Aby zdać egzamin, trzeba pozytywnie zaliczyć obie części, obowiązuje przy tym zasada, że student, który nie zaliczył części pisemnej, nie jest dopuszczony do części ustnej. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoba, która nie zdała egzaminu, nie zaliczyła części pisemnej. 45. Firma poszukująca złóż ropy naftowej zamówiła test sejsmiczny w celu ustalenia, czy jest prawdopodobne, że w pewnym rejonie wierceń znajdują się złoża. Znana jest wiarygodność testu: jeżeli w miejscu wiercenia ropa występuje, test wskazuje to w 85% przypadków, jeżeli ropy nie ma, test omyłkowo wykazuje jej występowanie w 0% przypadków. Firma poszukująca złóż jest przekonana, że prawdopodobieństwo wystąpienia ropy w badanym terenie wynosi 0,4. Jeżeli test wykazał występowanie ropy, jakie jest prawdopodobieństwo, że w badanym terenie ropa rzeczywiście występuje? 46. Do eliminacji sportowych na uczelni wybrano z I roku 4 studentów, z II 6, a z III 5 studentów. Prawdopodobieństwo, że student I roku dostanie się do drużyny uczelnianej wynosi 0,9, dla II i III roku jest one równe 0,7 i 0,8. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student z lat I III dostanie się do drużyny uczelnianej? b) Pewien student dostał się do drużyny uczelnianej. Z którego był najprawdopodobniej roku?

8 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej 47. W zakładzie znajdują się maszyny typu A, B, C produkujące odpowiednio 5%, 3% i % braków. Z całej masy towarowej wybieramy losowo jedną sztukę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a) jest ona brakiem, b) pochodzi od B, jeśli nie okazała się brakiem? 48. Mamy trzy kostki do gry, które zostały sfałszowane tak, że częstość wyrzucenia szóstki pierwszą kostką wynosi 20%, drugą kostką 25% i trzecią 30%. Wybieramy losowo jedną kostkę i wyrzucamy 6. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybraliśmy trzecią kostkę. 49. Wybranej grupie studentów zadano pytanie, czy ściągają na egzaminach ze statystyki. Ponieważ wielu studentów nie chciało udzielić odpowiedzi, zastosowano metodę odpowiedzi losowej polegającej na tym, że każdy ze studentów rzuca monetą. Jeżeli wypadnie orzeł i student nie ściąga, powinien odpowiedzieć nie, w pozostałych przypadkach mówi tak. Załóżmy, że 30% studentów ściąga na egzaminie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba odpowie nie na zadane pytanie? 50. Pewna drużyna futbolowa rozgrywa 70% meczów po południu, a 30% późnym wieczorem. Wiadomo ponadto, że wygrywa 50% meczów popołudniowych i 90% wieczornych. Drużyna wygrała mecz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mecz grany późnym wieczorem? 5. Trzech dostawców dostarcza do punktu skupu grzyby. Dostawca I dostarczył 20% wszystkich łubianek, a w tej partii było 80% z borowikami, dostawca II dostarczył 30% łubianek wśród nich było 50% z borowikami, a wśród łubianek ostatniego było 40% z borowikami. a) Wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania łubianki z borowikami spośród wszystkich dostarczonych do punktu skupu. b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana przez nas łubianka z borowikami pochodzi od I dostawcy? 52. Prawdopodobiestwo tego, że w czasie pracy komputera nastąpi awaria: procesora, pamięci, urządzeń WE-WY mają się do siebie tak, jak 3 : 2 : 5. Prawdopodobieństwa wykrycia awarii w tych urządzeniach są odpowiednio równe 0, 8, 0, 9, 0, 9. Znaleźć prawdopodobieństwo, że awaria w komputerze zostanie wykryta. 53. Na 00 mężczyzn pięciu, a na 000 kobiet dwie nie rozróżniają kolorów. Z grupy, w której jest 3 razy więcej mężczyzn niż kobiet wylosowano jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba a) jest daltonistą, b) jest kobietą, jeśli jest daltonistą, c) jest mężczyzną, jeśli nie jest daltonistą? 54. Do pudełka włożono trzy normalne monety i jedną fałszywą, w której awers i rewers są reszkami. Losowo wyciągamy jedną monetę i rzucamy ją. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnęliśmy fałszywą, jeśli wypadła reszka? 55. Zaobserwowano, że w pewnym drzewostanie występuje 30% buka, 60% brzozy i reszta grabu. Na hubiaka pospolitego zapadło 0% buków, 5% brzóz i % grabów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane drzewo a) jest zdrowe, b) jest bukiem, jeśli jest chore. 56. Szansa zapadnięcia na pewną chorobę wynosi 0,00. Test medyczny wykrywa chorobę u osoby chorej z prawdopodobieństwem 0,99, a w przypadku osoby zdrowej prawdopodobieństwo uzyskania wyniku dodatniego wynosi 0,02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) test dał wynik ujemny u losowo wybranej osoby, b) osoba, w przypadku której test dał wynik dodatni, jest chora?

2. Zmienne losowe 2.. Zmienne losowe dyskretne 57. Z urny zawierającej 3 kule białe i 6 czarnych losowo wyjęto dwie. Niech wartością zmiennej losowej X będzie liczba wyjętych kul białych. Znaleźć funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej X oraz obliczyć jej wariancję. 58. Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela: x i a 3 4 p i 0, 0,4 0,3 b Wiadomo, że EX = 3 5. Wyznaczyć a i b oraz obliczyć DX. 59. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X: x (, 0] (0, ] (, 2] (2, 3] (3, 4] (4, + ) F (x) 0 0,2 0,44 0,62 0,78 a) Wyznaczyć jej funkcję rozkładu prawdopodobieństwa. b) Obliczyć EX oraz DX. c) Obliczyć P ( < X 3), P (X = 2 ), P (X > 5). 60. Rzucamy 5 razy monetą. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych reszek. Znaleźć rozkład X oraz obliczyć D 2 X. 6. W partii składającej się z 6 detali znajdują się 4 detale standardowe. Losowo wybrano 3 detale. Znaleźć rozkład dyskretnej zmiennej losowej X liczby standardowych detali wśród wybranych. Obliczyć EX i D 2 X. 62. W urnie znajduje się 8 kul, 3 białe i 5 czarnych. Wyciągamy losowo 3 kule. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wylosowanych kul czarnych. Znaleźć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X. 63. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 3. Obliczyć P (X 3). 64. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z wartością oczekiwaną 40 i wariancją 30. Znaleźć n i p. 65. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Znaleźć wariancję zmiennej losowej Z = 2X 3. 66. Zmienna losowa Z ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 0, p = 3. Obliczyć P (Z > 2). 67. Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela: x i 0 a 30 40 50 p i 0, 0,2 0,3 0,3 b Wiadomo, że EX = 3. Wyznaczyć a i b oraz obliczyć D 2 X. 68. Zmienna losowa Y ma rozkład Bernoulliego z parametrami n = 900, p = 0,. Znaleźć odchylenie standardowe zmiennej losowej X = 3Y + 2. 69. Dwie rozróżnialne sześcienne kostki do gry rzucamy jednocześnie. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe wartości bezwzględnej różnicy oczek. Znaleźć a) rozkład zmiennej X, b) medianę oraz dominantę zmiennej X.

0 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej 70. Na drodze ruchu pociągów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z których każdy (wobec znacznej odległości niezależnie od innych) zezwala na przejazd z prawdopodobieństwem p = 0, 8. Niech X oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Znaleźć a) funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, b) momenty centralne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego zmiennej X, c) P (X > 2), P (X = 3), P (0 < X 4). 7. Zmienna losowa X przyjmuje trzy wartości: 0, i 2. Wiadomo, że EX= oraz EX 2 =,5. Wyznaczyć rozkład zmiennej X. 72. Z grupy 3 mężczyzn i 5-ciu kobiet losowo wybrano 2-osobowy zarząd. Niech wartością zmiennej losowej X będzie liczba kobiet w zarządzie. Znaleźć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X oraz wyznaczyć medianę i dominantę. 73. W pewnym drzewostanie zebrano informacje o liczbie nabiegów korzeniowych: x i 0 2 3 4 p i 0, 0,3 0,3 0,2 0, Niech X oznacza liczbę nabiegów korzeniowych w losowo wybranym drzewie. a) Znaleźć dystrybuantę zmiennej X i naszkicować jej wykres. b) Obliczyć EX oraz D 2 X. c) Obliczyć P (X > 2), P ( X 4). 74. W partii złożonej z 0 produktów znajdują się 3 produkty wadliwe. Wybrano losowo 2 produkty. Znaleźć rozkład liczby produktów wadliwych (wśród wybranych), dystrybuantę i wartość oczekiwaną. 75. Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia w pojedynczej próbie jest równe p. Próby przeprowadzane są dopóty, dopóki zdarzenie zajdzie. Znaleźć rozkład liczby przeprowadzonych prób oraz EX. 76. Rzucamy monetą aż do pierwszego wypadnięcia orła. Niech X oznacza liczbę rzutów. Znaleźć rozkład X, dystrybuantę oraz EX. 77. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa pewnej zmiennej X: x i -5-2 0 3 8 p i 0, 0,2 0, 0,2 c 0, Wyznaczyć a) stałą c, b) dystrybuantę i jej wykres, c) EX, D 2 X, DX, d) P (X < 0), P (X 0), P (X < 4), P (X 4), P ( 2 X < 4), P (X = 2), P (X = 3), P ( 6 < X 0), P ( < X 8). 78. Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X: 0 dla x 2, 0, 3 dla 2 < x 4, F (x) = 0, 7 dla 4 < x 6, 0, 9 dla 6 < x 7, dla x > 7. Narysować jej wykres, wyznaczyć rozkład, obliczyć EX, D 2 X, DX, P (X > ), P (X 0, 5), P ( < X < 2), P (X 7).

2. Zmienne losowe 79. Gramy z drugą osobą, na przykład z bankierem w następującą grę: jeśli w rzucie kostką wypadnie parzysta liczba oczek, bankier płaci nam tyle złotych, ile wypadło na kostce, a jeśli nieparzysta - my płacimy bankierowi tyle, ile wypadło na kostce. Znaleźć rozkład kwoty uzyskanej przez nas w pojedynczym rzucie. Obliczając jej wartość oczekiwaną rozstrzygnąć, czy można przypuszczać, że gra będzie dla nas opłacalna. 80. Wśród wszystkich dzieci szkolnych z pewnego województwa przeprowadzono ankietę: ile razy byłeś na wakacjach w ciągu ostatnich 4 lat. 20% odpowiedziało 0 razy, 4% raz, 43% 2 razy, 9 % 3, a reszta 4. Zmienna X jest określona jako: liczba wyjazdów na wakacje w ciągu ostatnich 4 lat. Znaleźć jej rozkład, narysować wykres dystrybuanty, obliczyć EX, D 2 X, P (X > 3), P (X ), P (0 X 4). 8. Prawdopodobieństwo urodzenia się dziewczynki w pewnej populacji wynosi 0,5. W zbiorze rodzin posiadających troje dzieci określamy zmienną X liczba dziewczynek w rodzinie. Znaleźć rozkład X, obliczyć średnią i wariancję liczby dziewczynek oraz prawdopodobieństwo, że w rodzinie z trójką dzieci jest co najmniej jeden chłopiec. 82. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Wyznaczyć kwartyle zmiennej X. 83. Korzystając z własności wartości oczekiwanej zmiennej losowej X wykazać, że D 2 X = EX 2 E 2 X. 2.2. Zmienne losowe ciągłe 84. Zmienna losowa Z ma rozkład N(0, ). Obliczyć P (Z > 0), P ( Z < 2), P ( Z > ) oraz kwantyle x 0,, x 0,7, x 0,97. 85. Zmienna losowa X podlega rozkładowi N(3, 5). Obliczyć P ( X > ). 86. W populacji studentów w Krakowie wzrost ma rozkład N(70, 8). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wzrost przypadkowo napotkanego studenta a) będzie większy od 66, b) będzie należał do przedziału (68, 74), c) będzie równy co najwyżej 54. Każde z prawdopodobieństw zinterpretować na dwóch wykresach funkcji gęstości rozkładu normalnego. 87. Stwierdzono, że błąd podczas wykonywania pomiaru ma rozkład N(, 0, 25) (mm). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wykonując ten pomiar pomylimy się o a) więcej niż 0,5 mm, b) mniej niż 0,75 mm, c) co najwyżej 0,25 mm? 88. Rozkład długości liścia rośliny pewnego gatunku jest N(4, 2). Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany liść ma długość a) większą niż 7, b) równą co najmniej 2 i co najwyżej 9, c) równą co najwyżej 3. Prawdopodobieństwa zinterpretować na 2 wykresach. 89. Pierśnica buka w pewnym drzewostanie ma rozkład N(30, 4). Jaki procent buków ma pierśnicę większą niż 40? 90. Zmienna losowa X podlega rozkładowi N(m, σ). a) Obliczyć P { X m < 3σ}. b) Dobrać stałą k tak, aby P { X m < kσ} = 0, 99. 9. Zmienna losowa X ma rozkład N(2, ). Znaleźć dla tej zmiennej kwantyl rzędu 0,2.

2 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej 92. Niech X i N(0, σ), i N. Ile należy zsumować niezależnych zmiennych X i, aby odchylenie standardowe sumy było równe 0σ? 93. Niech zmienne X i (i N) mają rozkład jednostajny na przedziale [ σ, σ]. Ile należy zsumować niezależnych zmiennych X i, aby odchylenie standardowe sumy było równe 0σ? 94. Funkcja gęstości zmiennej losowej X ma postać f(x) = { 3x 2 dla x [0, ], 0 dla x R \ [0, ]. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X. 95. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa 0 dla x <, 2 f(x) = 5 x dla x [, 2], 0 dla x > 2. a) Znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres. b) Obliczyć EX oraz D 2 X. c) Obliczyć P (X > 3), P ( 2 X < ), P (X = 0). 96. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o funkcji gęstości f(x) = { 0 dla x < 0, λe λx dla x 0, gdzie λ > 0. Znaleźć EX oraz DX. 97. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [a, b] o funkcji gęstości 0 dla x < a, f(x) = b a dla a x b, 0 dla x > b. Znaleźć EX oraz D 2 X. 98. Gęstość zmiennej losowej X ma postać: f(x) = a e x +e, x R. Znaleźć stałą a oraz obliczyć x P (X > 0). 99. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa f(x) = { x 2 dla 0 x 2, 0 dla pozostałych x. a) Obliczyć EX oraz D 2 X. b) Wyznaczyć momenty centralne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego oraz kwartyle zmiennej X. 00. Dobrać tak stałą a, by funkcja 0 dla x, F (x) = 2( x ) dla < x a, dla x > a była dystrybuantą zmiennej losowej X typu ciągłego. Wyznaczyć jej gęstość. Obliczyć P ( X, 5) i zinterpretować je za pomocą wykresu gęstości.

2. Zmienne losowe 3 0. Zmienna losowa X ma dystrybuantę daną równaniem: F (x) = 2 + π arc tg x 2, x R. Znaleźć możliwą wartość a, dla której zmienna losowa X w wyniku próby przyjmie wartość większą niż a z prawdopodobieństwem 6. 02. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać { sin(2x) dla x [0, π 2 f(x) = ], 0 dla x R \ [0, π 2 ]. a) Znaleźć dystrybuantę X. b) Obliczyć EX oraz D 2 X. c) Obliczyć P (X > π 4 ). d) Obliczyć x oraz x 3. 4 4 03. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać f(x) = { a 4 x 2 dla x (, 2), 0 dla x R \ (, 2). Znaleźć a) stałą a, b) dystrybuantę X, c) D 2 X, d) P ( < X < ), P (X > 0), P (X = 2 ). 04. Gęstość zmiennej losowej X ma postać 0 dla x < 0, f(x) = be x dla x [0, ln 3], 0 dla x > ln 3. a) Wyznaczyć stałą b. b) Znaleźć dystrybuantę X. c) Obliczyć EX oraz D 2 X. d) Obliczyć P (X > ). e) Na wykresie gęstości zaznaczyć P (0 < X ln 2). 05. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest postaci F (x) = 0 dla x 0, 27 x3 dla 0 < x 3, dla x > 3. Znaleźć funkcję gęstości zmiennej X, obliczyć jej wartość oczekiwaną oraz kwantyle x 0,25, x 25. i x 8 27 06. Zmienne losowe X i Y są niezależne oraz wiadomo, że EX > 0, EX 2 = 6, DX = 2 3, EY > 0, EY 2 = 2, DY = 3. Obliczyć E(3XY 2). 07. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f(x) = { x dla x, 0 poza tym. Narysować wykres f, znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D 2 X, P (X < 0), P (X ). Prawdopodobieństwa zaznaczyć na wykresie f i F.

4 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej 08. Niech f(x) = { 3 4 ( x2 ) dla x <, 0 poza tym. Narysować wykres f, znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D 2 X, P (X < 2 ), P ( X > 3 ). 09. Dobrać tak stałą a, by funkcja { a cos x dla π f(x) = 2 x < π 2, 0 poza tym była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Narysować wykres f, znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D 2 X, P ( X > π 6 ), P (X π 3 ), P ( π 6 < X π 2 ) oraz medianę i modę X. 0. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest postaci: { 0 dla x 0 f(x) = 2 e 2x dla x > 0. Narysować wykres f, znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D 2 X, P (X > ), P (0 < X ln 3) oraz medianę X.. Niech gęstość pewnej zmiennej X będzie postaci { 0 dla x, f(x) = 2 x 3 dla x >. Narysować wykres f, znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D 2 X, P ( X > ) oraz medianę X. 2. Niech f(x) = π +x dla x R. Narysować wykres f, znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, zbadać istnienie EX. Obliczyć P (0 < X ), P (3X > 3 ), 2 P (0 < X < 3). Znaleźć medianę oraz modę. 3. Zmienna X ma gęstość postaci 0 dla x < 0, f(x) = x e x2 2 dla x 0. Znaleźć dystrybuantę, medianę, modę, wartość oczekiwaną, P (X > ln 4), P (X ln 9). 4. Zmienna X ma gęstość postaci π f(x) = 4 x dla x < 2, 2 0 poza tym. Zbadać istnienie EX. Wyznaczyć dystrybuantę X oraz obliczyć P ( < X 2). 5. Zmienna X ma gęstość postaci { e 2x dla x (0, ln 3), f(x) = 0 poza tym. Znaleźć P (ln 2 < X ), P (X < ln 2 ).

2. Zmienne losowe 5 6. Dobrać k tak, by funkcja 0 dla x 0, F (x) = k arc sin x dla x (0, ], dla x > była dystrybuantą pewnej zmiennej X, następnie wyznaczyć jej funkcję gęstości oraz obliczyć P ( 2 X), P (X ), P ( 2 < X ). 7. Dobrać A i B tak, by funkcja 0 dla x, F (x) = A + B arc cos x dla x (, ], dla x > była dystrybuantą pewnej ciągłej zmiennej losowej X. Narysować wykres F, znaleźć funkcję gęstości, obliczyć P (0 < X ), P (X > 2 ). 8. Bok prostokąta jest zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 0]. Obliczyć a) EX 2, b) wartość oczekiwaną pola prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 20. 9. Zmienna X ma gęstość postaci f(x) = { 0 dla x < 0, xe x dla x 0. Wyznaczyć dystrybuantę oraz P (0 < X < ln 2). 20. Dobrać tak stałą k, by funkcja f(x) = { k arc sin x dla x [0, ], 0 poza tym była gęstością pewnej zmiennej losowej X. 2. Zmienna losowa X ma dystrybuantę postaci 0 dla x 0, F (x) = 3x 2 2x 3 x (0, ], dla x >. Znaleźć funkcję gęstości i narysować jej wykres. Obliczyć EX, D 2 X, P (0 < X < 2 ), P (X > 3 ) oraz podać interpretację geometryczną tych prawdopodobieństw. 22. Dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X jest postaci 0 dla x 0, F (x) = x 3 dla x (0, ], dla x >. Narysować wykres F, znaleźć funkcję gęstości, obliczyć EX, D 2 X, P (0 < X < 2 ), medianę oraz x 0,2 i x 0,729.

6 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej 2.3. Nierówność Czebyszewa. Twierdzenia graniczne Wskazówka: W poniższych zadaniach należy skorzystać z prawa małych liczb Poissona, twierdzenia Lindeberga Levy ego, twierdzenia Moivre a Laplace a lub z nierówności Czebyszewa. 23. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,0. Korzystając z prawa małych liczb Poissona obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 losujących a) żaden nie wygra, b) wygra co najmniej jeden. 24. Tkaczka obsługuje 00 wrzecion. Prawdopodobieństwo zerwania się nici na jednym wrzecionie w czasie jednej minuty, jest równe 0,03. Korzystając z prawa małych liczb Poissona znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w czasie jednej minuty zerwą się dokładnie 2 nici. 25. Załóżmy, że nowa szczepionka będzie testowana na 00 osobach. Producent ocenia jej skuteczność na 80%. Znaleźć przybliżone prawdopodobieństwo, że co najmniej 74 osoby i co najwyżej 85 osób uzyska odporność po zastosowaniu szczepionki. 26. Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,5. Jaką liczbę strzałów musi oddać, aby prawdopodobieństwo tego, że częstość trafienia do celu różni się od 0,5 co najwyżej o 0, było równe 0,95? 27. Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest równe 0,55. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród 900 noworodków będzie co najwyżej 470 dziewczynek? 28. Wśród ilu krasnoludków należy przeprowadzić ankietę, aby mieć 95% pewności, że wyznaczona na jej podstawie frakcja zwolenników ujawnienia się (tzn. stosunek liczby radykałów do liczby wszystkich krasnoludków) jest obarczona błędem nie przekraczającym 0,03, jeśli średnio co dziesiąty krasnoludek jest radykałem? 29. (Trudniejsza wersja zadania 28.) Wśród ilu krasnoludków należy przeprowadzić ankietę, aby mieć 95% pewności, że wyznaczona na jej podstawie frakcja zwolenników ujawnienia się (tzn. stosunek liczby radykałów do liczby wszystkich krasnoludków) jest obarczona błędem nie przekraczającym 0,03? 30. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 losujących a) żaden nie wygra, b) wygra co najmniej jeden. Podać wynik dokładny i przybliżony. 3. Podręcznik wydano w nakładzie 00000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że podręcznik zostanie źle oprawiony jest równe 0,000. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w nakładzie pojawi się 5 źle oprawionych książek. 32. Automat produkuje detale. Prawdopodobieństwo tego, że wyprodukowany detal jest wybrakowany jest równe 0,0. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wśród 250 detali a) dokładnie 4 będą wybrakowane, b) co najwyżej 2 będą wybrakowane. 33. Rzucamy 720 razy kostką symetryczną. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo tego, że liczba wyrzuconych czwórek będzie należeć do przedziału (00, 40). 34. Wykonano 200 rzutów symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych orłów będzie a) większa od 90, b) z przedziału (88, 05]? Zapisać wartość dokładną i obliczyć przybliżoną.

2. Zmienne losowe 7 35. W populacji dorosłych Polaków 39% ma kłopoty ze snem. Oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 00 losowo wybranych dorosłych Polaków częstość osób mających kłopoty ze snem nie przekroczy 33%. 36. Wykonujemy 00 rzutów kostką symetryczną. Znaleźć przedział symetryczny wokół wartości średniej, w jakim z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się liczba wyrzuconych szóstek. Wykorzystać twierdzenie Moivre a Laplace a. 37. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 osób znajdzie się co najmniej trzech mańkutów, jeśli przeciętnie co setna osoba jest mańkutem. 38. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne: a) spośród 4 klientów przynajmniej zgłosi reklamację, b) spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób? 39. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przy dokonywaniu pomiaru przez geodetę wynosi p = 0, 05. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 200 pomiarach liczba pomyłek będzie a) większa niż 2, b) od 5 do 5? Określić zmienną losową, opisać jej rozkład oraz oszacować (wszystkimi znanymi sposobami) powyższe prawdopodobieństwa. 40. O pewnej porze dnia prawdopodobieństwo, że nie uzyskamy połączenia z serwerem wynosi 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 400 osób próbujących się połączyć z serwerem a) co najmniej 70 nie uzyska połączenia, b) nie połączy się od 72 do 88 osób? Określić zmienną losową i jej rozkład, a następnie oszacować wszystkimi znanymi sposobami powyższe prawdopodobieństwa. 4. Prawdopodobieństwo awarii nowego samochodu w pierwszym miesiącu użytkowania wynosi p = 300. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 900 nowo kupionych aut a) dokładnie 5 przytrafi się awaria, b) awaria wystąpi w co najwyżej 2 samochodach, c) liczba samochodów z awarią będzie od do 3? Zapisać prawdopodobieństwa dokładne i obliczyć przybliżone (wszystkie możliwe). 42. Prawdopodobieństwo, że młode drzewko nie przyjmie się w szkółce wynosi p = 0, 05. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w szkółce liczącej 000 drzew nie przyjmie się a) od 40 do 50 drzew, b) więcej niż 30 drzew, c) od 40 do 60 drzew? Wykorzystać wszystkie znane oszacowania. 43. Prawdopodobieństwo wystąpienia pewnej cechy genetycznej wśród osobników pewnego gatunku wynosi p = 0, 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grupie liczącej 300 osobników liczba osób o tej cesze będzie a) od 40 do 50, b) większa niż 55, c) od 50 do 70? Wykorzystać wszystkie znane oszacowania. 44. Rzucono 000 razy symetryczną kostką do gry. Oszacować prawdopodobieństwo, że 6 wypadła więcej niż 50 razy. 45. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 00 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 0], przyjmie wartość z przedziału [5, 5 2 ]?

8 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej 46. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 00 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie N(0, 2) przyjmie wartość większą niż 9,8 i mniejszą niż 0,? 47. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 500 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie danym gęstością f(x) = { 3 8 x2 dla 0 x 2, 0 poza tym przyjmie wartość z przedziału (,49,,5)? 48. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma 00 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 2 przyjmie wartość z przedziału (200, 250)? 49. Pojedynczy pomiar pewnej wielkości ma rozkład jednostajny na przedziale [0, ]. Ile należy wykonać pomiarów, aby przy obliczaniu średniej arytmetyczej z tych pomiarów uzyskać a) odchylenie standardowe nie większe niż σ, b) odchylenie standardowe nie większe niż 0,0, c) pewność 95%, że średnia arytmetyczna będzie leżeć w przedziale (0, 4, 0, 6)? 50. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 00 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym z p = 0, 75 przyjmuje wartości z przedziału (, 2]? 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 300 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona z λ = 3 przyjmie wartość większą niż 2,8 i równą co najwyżej 3,? 52. Pewna firma zatrudnia 00 pracowników. Każdy z nich z prawdopodobieństwem 0, 8 korzysta codziennie z komputera (zakładamy, że jeśli zaczyna z niego korzystać, to używa przez cały dzień). Ile należy kupić komputerów, aby prawdopodobieństwo tego, że jakiś komputer jest w danym dniu do dyspozycji wynosiło 0, 95? 53. Zmienna losowa X opisuje względny wzrost ceny nieruchomości w pewnym regionie i ma dystrybuantę postaci 0 dla x < 0, F (x) = x 3 dla x [0, ], dla x >. Ile elementów powinna liczyć próba prosta pobrana z tej populacji, aby odchylenie standardowe średniej arytmetycznej było mniejsze niż 0,0? 54. Zmienna losowa X i (i =,..., n) ma rozkład normalny o średniej 5 i odchyleniu standardowym 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna zmiennych X i przyjmie wartość większą niż 4,9 i równą co najwyżej 5,3, jeśli a) n = 00, b) n = 500? W każdym z powyższych przypadków zinterpretować to prawdopodobieństwo na odpowiednim wykresie.

2. Zmienne losowe 9 2.4. Estymatory 55. Niech X,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie z wartością oczekiwaną równą m i odchyleniem standardowym σ. Wykazać, że estymatory postaci T = a X +...+a nx n a +...+a n, gdzie a i R (i =,..., n) oraz n a i 0 są nieobciążonymi estymatorami parametru m. 56. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową próbę prostą wyznaczyć estymator parametru λ rozkładu Poissona. 57. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową próbę prostą wyznaczyć estymator parametru λ rozkładu wykładniczego. 58. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową próbę prostą wyznaczyć estymator parametru λ (λ > 0) rozkładu Rayleigha określonego funkcją gęstości f(x) = { 2λxe λx2 dla x > 0 0 dla x 0. 59. T i T 2 są nieobciążonymi i niezależnymi estymatorami parametru θ oraz D 2 (T i ) = σ 2 i dla i =, 2. a) Sprawdzić, czy statystyka T = at + ( a)t 2 jest nieobciążonym estymatorem parametru θ dla każdego a R. b) Wyznaczyć tę wartość a, przy której wariancja estymatora T jest najmniejsza. 60. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową próbę prostą wyznaczyć estymator parametru θ (θ > 0) rozkładu określonego funkcją gęstości f(x) = { θx θ dla x (0, ) 0 dla pozostałych x. 6. Niech X i Y będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi, że E(X) =, E(Y ) = 3, D 2 (X) = D 2 (Y ) = σ 2. Dla jakiej stałej c statystyka cx 2 + ( c)y 2 jest nieobciążonym estymatorem parametru σ 2. 62. Wyznaczyć metodą największej wiarygodności estymator parametru p rozkładu geometrycznego, którego funkcja rozkładu prawdopodobieństwa jest postaci: P (X = k) = p( p) k, k N. 63. Rozkład zmiennej losowej X opisany jest następującą funkcją gęstości prawdopodobieństwa: 0 dla x < 0, f(x) = (2a + ) x 2a dla x [0, ], 0 dla x >. Wyznaczyć estymator parametru a metodą największej wiarygodności. Wyrazić go za pomocą średniej geometrycznej powyższej próby.

3. Charakterystyki próby 64. Dokonano pomiaru zawartości witaminy C w owocach agrestu. Uzyskano następujące wyniki w miligramach na 00 gramów świeżych owoców: 35, 38, 29, 34, 4, 28, 36, 3, 28, 30, 34, 37, 35, 39, 30, 33. Obliczyć średnią, medianę, wariancję, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności badanej cechy. 65. W pewnym zakładzie badano czas dojazdu pracowników do pracy. Otrzymane wyniki zestawiono w szeregu rozdzielczym: czas dojazdu (w min) (0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] (80, 00] liczba pracowników 9 26 30 2 4 a) Narysować histogram liczebności. b) Wyznaczyć dystrybuantę empiryczną. c) Obliczyć średnią, wariancję oraz odchylenie standardowe. 66. Sprawdzono 40 stron maszynopisu znajdując na nich następujące liczby błędów: 0, 0, 2, 0, 2, 4, 2, 0, 2, 0,,, 3,, 0, 3,, 0, 2, 2, 3, 2, 3,, 0, 0,, 0, 0,,, 3, 0,, 0,,, 2, 2,. Zbudować punktowy szereg rozdzielczy, a następnie wyznaczyć średnią, odchylenie standardowe oraz kwartyle liczby błędów. 67. Strukturę wiekową zbiorowości w pewnym ośrodku wczasowym w sierpniu 2007 roku przedstawia szereg: wiek w latach 0 20 20 30 30 40 40 50 50 60 liczba osób 2 6 24 30 8 a) Narysować histogram liczebności. b) Wyznaczyć dystrybuantę empiryczną i sporządzić jej wykres. c) Obliczyć odchylenie przeciętne. 68. W pewnej centrali handlu zagranicznego przeprowadzono sondaż wśród 50 pracowników, pytając ich o liczbę wyjazdów w ciągu roku do krajów Europy Zachodniej. Wyniki były następujące: 0, 0, 0,,,,,,,,,,,,,, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4. Zbudować punktowy szereg rozdzielczy a następnie a) wyznaczyć średnią i odchylenie standardowe, b) wyznaczyć i zinterpretować modę oraz medianę, c) wyznaczyć współczynnik skośności. 69. Badano czas reakcji organizmu osób cierpiących na pewne schorzenie. Otrzymano następujące wyniki (w s): 45, 40, 39, 50, 37, 38. Wyznaczyć i zinterpretować wartości następujących współczynników: asymetrii, koncentracji. 70. W pewnym drzewostanie dokonano pomiaru wysokości drzew. Otrzymane wyniki zestawiono w szeregu rozdzielczym: wysokość (w metrach) (4, 43] (43, 45] (45, 47] (47, 49] (49, 5] liczba drzew 29 33 20 7 Wykreślić histogram liczebności oraz wyznaczyć odchylenie standardowe, modę i kwartyle badanej cechy. 7. W drzewostanie zmierzono pierśnice (d) i wysokości (h) 2 drzew uzyskując wyniki: d i [cm] 28,4 44, 36,8 25,0 3,2 9,9 24,3 48,0 32,2 22,7 42,5 30,6 h i [m] 24,7 27,3 26, 9,4 27,8 2,8 24,0 28,2 25,8 22, 26,9 25,4 Obliczyć średnią ważoną wysokość drzew, stosując jako wagę kwadrat pierśnicy.