Repetytorium z matematyki, kierunek informatyka, I rok, studia niestacjonarne I stopnia Semestr zimowy 01/016 KOMBINATORYKA. Zasada mnożenia, dodawania. 1. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli (a mamy wybrać mieszkanie i samochód, (b mamy wybrać mieszkanie lub samochód? [, [. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych? Ile jest liczb czterocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych? [9 10, 9 9 8 7. Zakładamy, że numer rejestracyjny samochodu składa się z trzech dowolnych dużych liter alfabetu łacińskiego, po których następują cztery dowolne cyfry. Ile jest takich numerów, przyjmując że alfabet łaciński składa się z 6 liter? [6 10 Permutacje. Wypisać wszystkie permutacje liczb 1, i. (1,,, (1,,, (, 1,, (,, 1, (, 1,, (,, 1.!=6.. Na ile sposobów drużyna piłkarska (11 graczy może wyjść z szatni pojedynczo na boisko. N = 11! = 9916800. 6. Obliczyć liczbę różnych słów (sensownych lub nie, które można uzyskać w wyniku przestawiania liter w słowie SASANKA. 7!!! = 0 7. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w szeregu chłopców i dziewczynki tak, aby: (a najpierw stały dziewczynki, a następnie chłopcy, (b pierwszy stał chłopiec, (c pierwszy i ostatni stał chłopiec, (d żadnych dwóch chłopców nie stało obok siebie. a N =!! = 1., b N = 6! =.880, c N =! = 1.0, d N =!! = 1. 8. Obliczyć liczbę takich permutacji liter a, b, c, d, e i f, których pierwszym wyrazem permutacji jest c. 10 =! 9. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w szeregu siedem kobiet i siedmiu mężczyzn tak, aby żadne dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie? N = 7! 7! = 0.80.00. 10. Wśród 6 osób są Adam i Ewa. Na ile sposobów można posadzić te osoby na podłużnej ławce tak, aby (a Adam siedział obok Ewy, (b Adam nie siedział obok Ewy? [!!, [6!!! 11. Na ile różnych sposobów można posadzić przy okrągłym stole (a osoby, (b osób, (c 10 osób, 1
(d n osób? Jeśli każde dwa sposoby rozsadzenia uważamy za jednakowe wtedy i tylko wtedy, A gdy każda osoba ma tego samego sżsiada z prawej strony i tego samego z lewej strony, B gdy każda osoba ma jednakowych sąsiadów (nie ważne czy z prawej czy z lewej strony. [A(n 1!, B (n 1! 1. Ile wszystkich różnych liczb pięciocyfrowych (a dowolnych, (b podzielnych przez (c parzystych (d podzielnych przez. można utworzyc z cyfr 0, 1,,,, jeżeli każda może wystąpić dokładnie raz. [N =! = 96., [N =!! =.,[N =!! =.,[! = 1 1. Do przedziału kolejowego drugiej klasy (dwa rzędy po cztery miejsca wchodzi osiem osób. Na ile wszystkich różnych sposobów mogą one zająć miejsca tak, aby ustalone dwie osoby A oraz B siedziały: (a obok siebie, (b naprzeciwko? N = 6 6! = 8.60, N = 6! =.760. Kombinacje 1. Obliczyć liczbę możliwych rozdań przy grze w brydża. ( 9 1 1 1.. W klasie jest 1 dziewcząt i 1 chłopców. Obliczyć, na ile sposobów można skompletowć liczącą dwie dziewczynki i jednego chłopca delegację tej klasy. ( 1 ( 1 1 tj. 10 1 = 16.. Obliczyć, na ile sposobów można z dziesięciu pań i dziesięciu panów utworzyć 10 nienumerowanych par tanecznych. 10! (= 68 800.. Obliczyć, na ile sposobów można z dziesięciu pań i dziesięciu panów utworzyć 10 ponumerowanych par tanecznych. (10! (= 1 168 189 0 000.. Obliczyć, na ile sposobów można z dziesięciu pań i trzynastu panów utworzyć 10 nienumerowanych par tanecznych. ( 1 10! (= 1 1... = 1 07 86 800. 6. Ile nastąpi wszystkich uścisków dłoni, gdy (n osób wita się uściskiem dłoni, każdy z każdym. [, ( n 7. W turnieju startuje 7 zawodników. Każdy zawodnik rozgrywa jeden mecz z każdym ze swoich przeciwników. Ile meczy zostanie rozegranych? [ ( 7 8. Z klasy, w której jest 17 dziewcząt i 1 chłopców wybieramy dwuosobową delegację. Na ile różnych sposobów możemy to zrobić, aby skład delegacji był następujący: (a chłopców, [ ( 1, (b dziewczyny, [ ( 17, ( 17 (c chłopiec i dziewczyna, [ ( 1 1 1, (d co najmniej 1 dziewczyna? [ ( ( 1 1.
9. Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego, jego zastępcę i skarbnika z grupy osób? Zakładamy, że funkcji nie można łączyć. [! 10. Na ile sposobów można podzielić 10 różnych znaczków pomiędzy Adama i Bartka, tak aby każdy z nich dostał po. [ ( 10 11. Na ile sposobów z grupy 6 dziewcząt i 6 chłopców można wybrać delegację (a złożoną z dziewcząt i chłopców, [ (b złożoną z dziewcząt albo chłopców? [ 1. Na ile sposobów można rozdać karty pomiędzy czterech graczy tak, aby każdy z nich dostał 1 kart? [ ( ( 1 9 ( 1 6 1 1. Na ile sposobów z talii kart można wybrać 1 kart tak, aby były wśród nich (a dokładnie asy, (b dokładnie asy, (c dokładnie asy i dokładnie króle? [ ( ( 8 9,[ ( 8 ( 11, [ ( ( 9 1. Ile wszystkich różnych przekątnych ma n-kąt wypukły? [ n(n 1. Na ile sposobów można podzielić 9 różnych przedmiotów pomiędzy osoby tak, aby każda z nich dostała przedmioty. [ ( 9 16. Na ile sposobów można rozmieścić 9 studentów w trzech istotnie różnych pokojach, z których dwa są -osobowe a jeden 1-osobowy? [ ( 9 17. Tysiąc osób uczestniczących w festiwalu teatralnym, odpowiedziało na pytania: 1 Którą z dziesięciu sztuk uważasz za najlepszą, którą stawiasz na drugim miejscu, którą na trzecim? Czy może się zdarzyć, że wszyscy odpowiedzieli różnie? [ ( 10! < 1000, zatem NIE 18. Jeden bar oferuje zup i 10 drugich dań, drugi natomiast 6 zup i 8 drugich dań. Ile różnych obiadów dwudaniowych masz do wyboru, jeśli się zdecydujesz zjeść obiad w jednym z tych barów? [ ( ( 10 ( 1 1 6 8 1( 1 19. W jednym pojemniku znajdują się kule białe i czarnych. Na ile różnych sposobów można wyjąć z pojemnika kule (wyciągamy jednocześnie tak, aby otrzymać (a kule białe, (b kule czerwone, (c kule białe i 1 czerwoną, (d co najmniej jedną kulę białą? [ (, [, [ ( 1, [ ( 9. 0. Na ile sposobów można ułożyć harmonogram klasówek na 1 tygodni, przy założeniu, że w tygodniu mogą ( (0 ( być co najwyżej klasówki, a tydzień składa się z 0 godzin lekcyjnych? [ 0 1 1 1 1. Na ile sposobów można zestawić pociąg z wagonów I klasy, 6 wagonów II klasy, 1 wagonu restauracyjnego? Zakładamy, że wagony ustalonej klasy nie sż rozróżnialne. Na ile sposobów można zestawić wagony, gdy wszystkie różnią się między sobą? [ ( 11 ( 7 6, 11!. Deseń składa się z 1 kafelków, ułożonych obok siebie gęsiego. Ile takich deseni można ułożyć mając kafelki białe, błękitne i granatowe. [ ( 1 ( 8
. Na okręgu zaznaczono 6 różnych punktów. Ile wszystkich różnych wielokoątów o wszystkich wierzchołkach w tych punktach, można narysować? [ 1 Wariacje (bez powtórzeń, z powtórzeniami 1. Obliczyć liczbę różnych flag utworzonych przez trzy poziome różnokolorowe pasy, których kolory można wybrać spośród 6-ciu kolorów. V 6 = 6 = 10. Obliczyć liczbę sposobów takiego posadzenia pięciu pań i trzech panów na ośmiu ponumerowanych miejscach przy okrągłym stole, by żadnych dwóch panów nie siedziało obok siebie. Ponumerujmy oddzielnie panie i panów. Każdy ze sposobów posadzenia pięciu pań i trzech panów tak, aby były spełnione warunki zadania, można osiągnąć postępując wg następującej procedury: 1 o. Wybieramy miejsce dla pani nr 1 (8 sposobów; o. Wybieramy kolejność, w jakiej na prawo od pani nr 1 będą siedziały pozostałe cztery panie, czyli tworzymy permutację liczb,, i (! sposobów; o. Tworzymy ciąg (p 1, p, p numerów pań, które bezpośrednio na prawo od siebie bedą miały panów nr 1, nr i nr odpowiednio ( sposobów. 8! = 11 0 sposobów.. Obliczyć, ile jest liczb pięciocyfrowych o wszyskich cyfrach różnych. [9 9 8 7 6. Obliczyć liczbę sposobów rozdzielenia trzech medali (złotego, srebrnego i brązowego pomiędzy sześciu zawodników. [V6 = 6 = 10, C6!. Na ile sposobów można rozmieścić 9 kul ponumerowanych od 1 do 9, w trzech komórkach ponumerowanych od I do III? [ 9 6. Na ile sposobów można rozmieścić 9 kul ponumerowanych od 1 do 9, w trzech komórkach ponumerowanych od I do III tak, aby (a w komórce o numerze I była kula o numerze 1 (mogą w tej komórce być jeszcze inne kule, (b w komórce o numerze I była dokładnie jedna kula, (c w komórce o numerze I była co najmniej jedna kula, (d w komórce o numerze I była co najwyżej jedna kula. [ 8,[9 8,[ 9 9,[9 8 9. 7. Na ile sposobów można rozmieścić 7 kul ponumerowanych od 1 do 7, w pięciu komórkach ponumerowanych od I do V? [ 7 8. Na ile sposobów można rozmieścić 7 kul ponumerowanych od 1 do 7, w pięciu komórkach ponumerowanych od I do V tak, aby (a dokładnie jedna komórka była zajęta, (b dokładnie dwie komórki były zajęte, (c dokładnie trzy komórki były zajęte? [, [ ( 7, [ ( 7 7 9. Test składa się z 8 pytań. Na każde pytanie można udzielić jednej z odpowiedzi a, b, c, d. Ile jest różnych sposobów wypełnienia testu, takich, aby odpowiedzi na każde dwa kolejne pytania były różne? [ 7 10. Ile wszystkich różnych wyników można otrzymać, gdy rzucamy razy kostką i trzy razy monetą?[6 11. Na parterze dziesięciopiętrowego domu do windy wsiadło 8 osób. Obliczyć liczbę sposobów, na jakie osoby te mogą wysiąść z windy (pod uwagę bierzemy tu jedynie numery pięter, na których wysiadają poszczególne osoby. Ponumerujmy te osoby liczbami od 1 do 8. Szukana liczba sposobów jest równa liczbie 8-elementowych ciągów (p 1,..., p 8, gdzie dla każdego k {1,..., 8} wyraz p k jest numerem piętra, na którym wysiada k-ta osoba. Ciągów takich jest 10 8
1. Obliczyć liczbę takich numerów tablic rejestracyjnych, które na początku mają dowolne trzy duże litery alfabetu łacińskiego (alfabet ten ma 6 liter a następnie dowolne cztery cyfry. [17 760 000. 1. Obliczyć liczbę sposobób takiego rozmieszczenia dziewięciu kul ponumerowanych liczbami od 1 do 9 w trzech pudełkach ponumerowanych liczbami od 1 do, by spełniony był warunek: (a pudełko nr 1 jest puste; (b kula nr 1 jest w pudełku nr 1; (c w pudełku nr 1 jest dokładnie jedna kula; (d w pudełku nr 1 jest przynajmniej jedna kula; (e w pudełku nr 1 jest co najwyżej jedna kula. Każde z rozważanych rozmieszczeń można utożsamiać z 9-cio wyrazowym ciągiem numerów pudełek, w których znajdują się kolejne kule. a 9 (= 1; b 1 8 (= 661; c 9 8 (= 0; d 9 9 (= 19 171; e 9 8 9 (= 816. 1. Obliczyć liczbę sposobów takiego rozmieszczenia ośmiu ponumerowanych kul w pięciu ponumerowanych pudełkach, by liczba pustych pudełek była równa: a ; b ; c ; a ( ( 1 (= ; b ( 8 (= 0; c [ 8 ( 8 (= 7 960.