Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem: ( x µ ) 2 f ( x) σ 1 σ = e 2π 2 2, dla x. To, że zmienna losowa X ma rozkład normalny zapisujemy jako X N(m,σ). Funkcja gęstości Dystrybuanta Funkcje Excela (stary i nowy) ROZKŁAD.NORMALNY(X; Średnia; Odchylenie_std; Skumulowany) Zwraca dystrybuantę (gdy Skumulowany=1) lub funkcję gęstości (gdy Skumulowany=0) zmiennej losowej N(Średnia, Odchylenie_std) ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(; Średnia; Odchylenie_std) Zwraca wartość x zmiennej losowej N(Średnia, Odchylenie_std), takie że P(X<x)= Funkcje Excela (nowy) ROZKŁ.NORMALNY(X; Średnia; Odchylenie_std; Skumulowany) Zwraca dystrybuantę (gdy Skumulowany=1) lub funkcję gęstości (gdy Skumulowany=0) zmiennej losowej N(Średnia, Odchylenie_std) ROZKŁ.NORMALNY.ODW(; Średnia; Odchylenie_std) Zwraca wartość x zmiennej losowej N(Średnia, Odchylenie_std), takie że P(X<x)=
Opracowała: Joanna Kisielińska 2 Zadania 1. Miesięczne obroty sklepów spożywczych pewnego miasta mają rozkład normalny ze średnią 150 tys. zł i odchyleniem standardowym 20 tys. zł. Obliczyć procent sklepów o miesięcznych obrotach: a) wyższych niż 130 tys. zł, ale nie przekraczających 170 tys. zł, b) wyższych niż 130 tys. zł, c) niższych niż 110 tys. zł, Odp.: a) ok. 68,3%, b) ok. 84,1%, c) ok. 2,3%. 2. Średni stan konta klienta w pewnym banku ma rozkład normalny ze średnią 5000 i odchyleniem standardowym 4000. jaki jest maksymalny stan konta 1/6 klientów o najniższych oszczędnościach, jaki jest minimalny stan konta 1/6 klientów o najwyższych oszczędnościach. Odp.: a) 1130, b) 8870. Rozkład t-studenta Wzór na funkcje gęstości i dystrybuantę rozkładu t -Studenta jest bardzo skomplikowany (wykres funkcji gęstości jest podobny do rozkładu normalnego). Rozkład t ma jeden parametr n (oznaczający stopnie swobody). Jeżeli n jest bardzo duże, dobrym przybliżeniem rozkładu t-studenta jest rozkład normalny. Do szacowania prawdopodobieństw dla zmiennych losowych o rozkładzie t wykorzystuje się tablice, albo gotowe funkcje. Funkcja gęstości Dystrybuanta T(n=2), T(n=10) T(n=2), T(n=10) Funkcje Excela (stary i nowy) ROZKŁAD.T(X; Stopnie_swobody; Ślady) Ślady = 2 - ROZKŁAD.T zwraca wartość prawdopodobieństwa P( T >x) Ślady = 1 - ROZKŁAD.T zwraca P(T>x) UWAGA: Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie T: F(x)=1- ROZKŁAD.T(X; Stopnie_swobody; 1) Uwaga: Funkcja ROZKŁAD.T jest określona jedynie dla x dodatnich.
Opracowała: Joanna Kisielińska 3 ROZKŁAD.T.ODW(; Stopnie_swobody) Zwraca wartość x zmiennej losowej T(Stopnie_swobody), takie że P( T >x)= Jeżeli chcemy wyznaczyć wartość x, takie że P(T>x)= należy użyć funkcji ROZKŁAD.T.ODW(2 ; Stopnie_ swobody) Funkcje Excela (nowy) ROZKŁ.T(X; Stopnie_swobody; Skumulowany) Funkcja zwraca wartość funkcji gęstości lub dystrybuanty zmiennej losowej T ss o rozkładzie t-studenta o liczbie stopni swobody określonej przez parametr stopnie_swobody w punkcie X. Uwaga: ROZKŁ.T(X;ss;1) =1- ROZKŁAD.T(X;ss;1) ROZKŁ.T(X;ss;1) =1-0,5 ROZKŁAD.T(X;ss;2) ROZKŁ.T.DS(X; Stopnie_swobody) Funkcja zwraca prawdopodobieństwo dla dwustronnego rozkładu t-studenta o liczbie stopni swobody określonej przez parametr stop-nie_swobody w punkcie X. Jest to prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna zmiennej losowej T ss o rozkładzie t- Studenta, jest większą niż wartość określona przez parametr X (czyli P( T ss >X). Uwaga: ROZKŁ.T.DS(X;ss) = ROZKŁAD.T(X;ss;2) ROZKŁ.T.PS(X; Stopnie_swobody) Funkcja zwraca prawdopodobieństwo dla jednostronnego rozkładu t-studenta o liczbie stopni swobody określonej przez parametr stopnie_swobody w punkcie X. Jest to prawdopodobieństwo, że zmienna losowaj T ss o rozkładzie t-studenta, jest większą niż wartość określona przez parametr X (czyli P(T ss >X). Uwaga: ROZKŁ.T.PS(X;ss) = ROZKŁAD.T(X;ss;1) ROZKŁ.T.ODWR(; Stopnie_swobody) Funkcja zwraca wartość X zmiennej losowej T ss o rozkładzie t-studenta o liczbie stopni swobody określonej przez parametr stopnie_swobody, dla której spełniony jest warunek P(T ss <X)=. Mówiąc inaczej, funkcja zwraca wartość X zmiennej losowej T ss, dla której dystrybuanta jest równa wartości parametru. Uwaga: ROZKŁ.T.ODWR (α;ss) = ROZKŁAD.T.ODW (2 (1-α); ss) ROZKŁ.T.ODWR.DS(; Stopnie_swobody) Zwraca wartość x zmiennej losowej T(Stopnie_swobody), takie że P( T >x)= Uwaga: ROZKŁ.T.ODWR.DS (α;ss) = ROZKŁAD.T.ODW (α;ss)
Opracowała: Joanna Kisielińska 4 Zadania 1. Zmienna losowa X ma rozkład t-studenta z n=10 stopniami swobody. Wyznacz: a) P( X >0,7) b) P( X <0,4) c) P(X>0,7) d) P(X<0,4) e) P(0,3<X<0,6) f) P(-0,8<X<-0,7) Odp.: a) 0,5 b) 0,30 c) 0,25 d) 0,65 e) 0,1 f) 0,279 2. Zmienna losowa X ma rozkład t-studenta z n=8 stopniami swobody. Dla jakiej wartości x zachodzi: a) P( X x)=0,4 b) P( X <x)=0,7 c) P(X>x)=0,25 d) P(X<x)=0,9 Odp.: a) 0,89 b) 1,11 c) 0,71 d) 1,40 Rozkład F Fishera Wzór na funkcje gęstości i dystrybuantę rozkładu F jest bardzo skomplikowany. Rozkład F ma dwa parametry n1, n2 (oznaczające stopnie swobody licznika i stopnie swobody mianownika). Do szacowania prawdopodobieństw dla zmiennych losowych o rozkładzie F wykorzystuje się tablice, albo gotowe funkcje. Funkcja gęstości Dystrybuanta F(10,6) F(6,10) F(10,6), F(6,10) F(10,6) F(6,10) F(10,6), F(6,10) Funkcje Excela (stary i nowy) ROZKŁAD.F(x;Stopnie_swobody1;Stopnie_swobody2) Zwraca wartość prawdopodobieństwa P(F>x)
Opracowała: Joanna Kisielińska 5 ROZKŁAD.F.ODW(;Stopnie_swobody1;Stopnie_swobody 2) Zwraca wartość x zmiennej losowej F(Stopnie_swobody1;Stopnie_swobody2), takie że P(F>x)= Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie F: F(x)=1- ROZKŁAD.F(x;Stopnie_swobody1;Stopnie_swobody2) Funkcje Excela (nowy) ROZKŁ.F(X; Stopnie_swobody1;Stopnie_swobody 2; Skumulowany) Funkcja zwraca wartość funkcji gęstości lub dystrybuanty zmiennej losowej o rozkładzie F o liczbie stopni swobody licznika i mianownika określonych przez parametry stopnie_swobody1 i stopnie_swobody2 w punkcie X. Uwaga: ROZKŁ.F(X;ss1;ss2;1) =1- ROZKŁAD.F(X;ss1;ss2) ROZKŁ.F.PS(X; Stopnie_swobody1;Stopnie_swobody 2) Funkcja zwraca wartość prawdopodobieństwa, że zmienna losowa o roz-kładzie F o liczbie stopni swobody licznika i mianownika określonych przez parametry stopnie_swobody1 i stopnie_swobody2 (którą oznaczymy jako F ss1,ss2 ), jest większą niż wartość określona przez parametr X (czyli P(F ss1,ss2 >X)). Uwaga: ROZKŁ.F.PS(X;ss1;ss2) =ROZKŁAD.F(X;ss1;ss2) ROZKŁ. F.ODWR (;Stopnie_swobody1;Stopnie_swobody 2) Funkcja zwraca wartość X zmiennej losowej F ss1,ss2 o rozkładzie F o liczbie stopni swobody licznika i mianownika określonych przez parametry stopnie_swobody1 i stopnie_swobody2, dla której spełniony jest warunek: P(F ss1,ss2 <X)=. Funkcja zwraca więc wartość, dla której dystrybuanta jest równa wartości parametru. Uwaga: ROZKŁ.F.ODWR (α;ss1;ss2) = ROZKŁAD.F.ODW (1-α;ss1;ss2) ROZKŁ. F.ODWR.PS (;Stopnie_swobody1;Stopnie_swobody 2) Funkcja zwraca wartość X zmiennej losowej F ss1,ss2 o rozkładzie F o liczbie stopni swobody licznika i mianownika określonych przez parametry stopnie_swobody1 i stopnie_swobody2, dla której spełniony jest warunek: P(F ss1,ss2 >X)=. Uwaga: ROZKŁ.F.ODWR.PS (α;ss1;ss2) = ROZKŁAD.F.ODW (α;ss1;ss2) Zadania 1. Zmienna losowa X ma rozkład F z parametrami n1=10 i n2=15. Wyznacz: a) P(X 0,7) b) P(X<0,4) c) P(0,2<X<0,6) Odp.: a) 0,71 b) 0,074 c) 0,067
Opracowała: Joanna Kisielińska 6 2. Zmienna losowa X ma rozkład F z parametrami n1=10 i n2=15. Dla jakiej wartości x zachodzi: a) P(X x)=0,06 b) P(X<x)=0,7 c) P(X>x)=0,8 d) P(X<x)=0,9 Odp.: a) 2,41 b) 1,33 c) 0,59 d) 2,06 Testy dwustronne: H0: θ=g 0, H1: θ g 0 Testy jednostronne: Prawostronny H0: θ=g 0, H1: θ>g 0 Lewostronny H0: θ=g 0, H1: θ<g 0