Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka w ekonomii i finansach Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 1/40

Wycena europejskiej opcji kupna Zakładać, że nasz rynek jest rynkiem idealnym. Rozważmy europejską opcję kupna o cenie wykonania K i terminie wykonania T. Zakładać będziemy, że instrumentem bazowym są akcje, przez S t oznaczymy cenę akcji w chwili t. Postaramy się odpowiedzieć na pytanie ile powinien kosztować instrument dający w chwili T wypłatę równą { f (S T ) = (S T K) + S T K, gdy S T > K = max{s T K, 0} = 0, gdy S T K Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 2/40

Model rynku jednookresowego, dwustanowego Rynek pracuje w dwóch chwilach czasu 0 i T. Możliwe są dwa scenariusze wypadków 1, który interpretujemy jako korzystny i -1, który interpretujemy jako niekorzystny. Zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = { 1, 1}. Ponadto, P(ω = 1) = p > 0, P(ω = 1) = 1 p > 0. Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny akcja i jeden pozbawiony ryzyka (obligacja lub wkład na rachunku bankowym). S t cena papieru ryzykownego (akcji) w chwili t (za jedną jednostkę), t {0, T }. B t cena papieru pozbawionego ryzyka w chwili t (za jedną jednostkę), t {0, T }. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 3/40

Model rynku jednookresowego, dwustanowego Zakładamy, że B 0 = 1, B T = B 0 (1 + r) = 1 + r, gdzie liczbę r 0 jest stopą procentową wolną od ryzyka, Natomiast S 0 = s > 0, S T (ω) = { S u gdy ω = 1 S d gdy ω = 1. Przyjmujemy, że S u > S d, dlatego 1 nazywamy scenariuszem korzystnym. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 4/40

Przykład Niech r = 0.05, S 0 = 100, S u = 120, S d = 70, p = 0.4. Wówczas B T = B 0 (1 + r) = 1(1 + 0.05) = 1.05 { 120 gdy ω = 1 S T (ω) = 70 gdy ω = 1. Możemy przedstawić to na następującym drzewku dwumianowym : 0.4 120 100 0.6 70 t = 0 t = T Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 5/40

Przykład Rozważmy europejską opcję kupna o terminie wykonania T i cenie wykonania K = 110. Wartość takiej opcji w chwili T jest równa { f (ω) = (S T (ω) 110) + (120 110) + = 10 gdy ω = 1 = (70 110) + = 0 gdy ω = 1. Ile wynosi wartość tej opcji w chwili 0? (Innymi słowy jaka jest cena sprawiedliwa tej opcji?) 0.4 10? 0.6 0 t = 0 t = T Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 6/40

Przykład Pomysł 1. Inwestor ocenia, że prawdopodobieństwo zajścia korzystnego scenariusza (tzn. wzrostu ceny akcji do 120) wynosi p = 0.4, a niekorzystnego (tzn. spadku ceny akcji do 70) wynosi 1 p = 0.6. W tym pierwszym przypadku nasza wypłata wyniesie 10, a w drugim 0. Wartość oczekiwana wypłaty opcji w chwili T wynosi więc E P f = 0.4 10 + 0.6 0 = 4. Aby otrzymać wartość opcji w chwili 0 (którą oznaczać będziemy przez C 0 ) dyskontujemy powyższy wynik C 0 = (1 + r) 1 E P f = 1.05 1 4 3.809. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 7/40

Przykład Widać, że tak obliczona cena zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, tzn. od oszacowania rynku przez inwestora. Jeżeli inny inwestor uważa, że prawdopodobieństwo zajścia korzystnego scenariusza wynosi p = 0.3, a niekorzystnego 1 p = 0.7, to zdyskontowana wartość oczekiwana wypłaty wynosić będzie C 0 = (1 + r) 1 E P f T = 1.05 1 (0.3 10 + 0.7 0) 2.857. Która cena jest więc prawdziwa? Jasne jest, że powyższy sposób obliczania ceny opcji nie jest dobry. Potrzebna jest taka definicja ceny, która nie zależy od subiektywnych oszacowań inwestorów. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 8/40

Przykład Pomysł 2. Inwestor wystawiający opcję powinien umieć ją zabezpieczyć. To znaczy zainwestować w chwili 0 pieniądze otrzymane ze sprzedaży opcji (w akcje i lokatę bankową), aby w chwili T wartość jego inwestycji była równa wartości opcji. Załóżmy więc, że inwestor w chwili 0 wpłacił kwotę β na lokatę bankową i kupił γ akcji (β, γ R). Wartość jego inwestycji w chwili T (którą oznaczamy X T ) wynosić będzie w zależności od tego, który scenariusz zajdzie X T (1) = β B T + γ S T (1) = β 1.05 + γ 120 X T ( 1) = β B T + γ S T ( 1) = β 1.05 + γ 70 Ponieważ inwestycja ma zabezpieczać opcję o funkcji wypłaty f, zatem powinno zachodzić: X T (1) = f (1) = 10, X T ( 1) = f ( 1) = 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 9/40

Przykład Otrzymaliśmy zatem układ równań { β 1.05 + γ 120 = 10 β 1.05 + γ 70 = 0. Jego rozwiązaniem jest para (β, γ) = ( 13 1 3, 1 5 ). Obliczmy teraz ile wynosi wartość tej inwestycji w chwili 0 (inaczej mówiąc jaki musimy mieć kapitał początkowy aby dokonać takiej inwestycji) X 0 = β B 0 + γ S 0 = 13 1 3 1 + 1 5 100 = 13 1 3 + 20 = 6 2 3. Wynika stąd, że jeżeli za sprzedaż opcji dostaniemy 6 2 3 to możemy zainwestować tą kwotę tak, że niezależnie od scenariusza będziemy w stanie w chwili T wypłacić należność nabywcy opcji. Czy C 0 = 6 2 3 jest sprawiedliwą (nie krzywdzącą żadnej ze stron) ceną opcji? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 10/40

Przykład W chwili 0 wystawca opcji: W chwili T natomiast: Sprzedaje jedną opcję 6 2 3 Bierze kredyt 13 1 3 Kupuje 1 5 akcji 100 = 20 1 5 6 2 3 + 13 1 3 20 = 0 ω = 1 ω = 1 Realizuje jedną opcję 10 0 Spłaca kredyt Sprzedaje 1 5 akcji 1.05 13 1 3 = 14 1 5 120 = 24 1.05 13 1 3 = 14 1 5 70 = 14 10 14 + 24 = 0 dla ω = 1, 0 14 + 14 = 0 dla ω = 1. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 11/40

Przykład W chwili 0 nabywca opcji: Kupuje jedną opcję 6 2 3 Wpłaca na rachunek bankowy 13 1 3 Sprzedaje 1 5 akcji (krótka sprzedaż) 1 5 100 = 20 W chwili T natomiast: 6 2 3 13 1 3 + 20 = 0 ω = 1 ω = 1 Odbiera wypłatę z opcji 10 0 Wypłaca pieniądze z rachunku Odkupuje 1 5 akcji 1.05 13 1 3 = 14 5 120 = 24 1.05 13 1 3 = 14 5 70 = 14 10 + 14 24 = 0 dla ω = 1, 0 + 14 14 = 0 dla ω = 1. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 12/40

Cena sprawiedliwa Widzimy więc, że cena C 0 nie krzywdzi żadnej ze stron. Nikt nie dokłada do transakcji. Dlatego jest to cena sprawiedliwa. Cena ta nie zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, tzn. od oszacowania rynku przez inwestora. Gdyby opcja była sprzedawana po cenie C > C 0 to sprzedający miałby pewny zysk C C 0 > 0, gdyż wydałby tylko C 0 aby zabezpieczyć opcję a resztę zachował dla siebie. Gdyby opcja była sprzedawana po cenie C < C 0 to kupujący miałby pewny zysk C 0 C > 0, gdyż aby otrzymać wypłatę f musiałby wydać C 0 a tak wydałby tylko C. W obu przypadkach gdy C C 0 można osiągnąć zysk bez żadnego ryzyka. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 13/40

Sposób wyceny w modelu jednookresowym Cena akcji Wartość opcji S u f u S 0? S d f d t = 0 t = T t = 0 t = T Wówczas cena sprawiedliwa opcji jest określona wzorem C 0 = β + γ S 0, gdzie β = f d S u f u S d (1 + r)(s u S d ), γ = f u f d S u S d Aby zabezpieczyć opcję należy wpłacić β na lokatę i kupić γ akcji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 14/40

Przykład Niech r = 0, B 0 = 1, K = 11, Cena akcji Wartość opcji 12 1 10? 11 0 t = 0 t = T t = 0 t = T Wówczas β = 0 12 1 11 (1 + 0)(12 11) = 11 γ = 1 0 12 11 = 1 C 0 = 11 + 1 10 = 1??? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 15/40

Arbitraż Dlaczego cena C 0 jest ujemna? Jak należy interpretować taką sytuację? Zauważmy, że w opisanym przykładzie, kupno akcji zawsze się opłaca, możemy osiągnąć zysk nic nie ryzykując, tzn. że na rynku istnieje możliwość arbitrażu. Istnienie arbitrażu świadczy o istnieniu poważnych błędów w wycenie instrumentów na rynku. Opisany model rynku (jednookresowy, dwustanowy) jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy S d < (1 + r)s 0 < S u. Warunek ten oznacza, że w scenariuszu niekorzystnym akcja musi przynosić mniejszy zysk niż rachunek bankowy, a w scenariuszu korzystnym większy. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 16/40

Model dwumianowy Rynek pracuje w chwilach t = 0, 1, 2,..., T, gdzie T < +, Zakładamy, że liczba możliwych scenariuszy jest skończona Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }, P(ω i ) > 0, i = 1,..., n. Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny (którego cena zmienia się w sposób losowy) akcje, drugi pozbawiony ryzyka (którego cena zmienia się w sposób deterministyczny) np. obligacje lub wkład na rachunek bankowy. B t oznacza cenę papieru bez ryzyka (za jedną jednostkę) w okresie czasu [t, t + 1). S t oznacza cenę papieru ryzykownego (za jedną jednostkę) w okresie czasu [t, t + 1). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 17/40

Model dwumianowy Będziemy zakładać, że w okresie [0, T ] stopa procentowa wolna od ryzyka jest stała i równa r 0 oraz, że dla t = 1, 2,..., T. B 0 = 1, B t = B t 1 (1 + r) W każdym momencie t = 1, 2,..., T może zajść jeden z dwóch scenariuszy: 1 (korzystny) i -1, (niekorzystny). To, który ze scenariuszy zajdzie, nie zależy od tego, które scenariusze zachodziły w poprzednich momentach. Cenę akcji opisuje zatem wzór { S t 1 (1 + b), gdy ω = 1 S 0 = s > 0, S t (ω) = S t 1 (1 + a), gdy ω = 1, gdzie 1 < a < b. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 18/40

Model dwumianowy W języku teorii prawdopodobieństwa możemy napisać, że S t = S t 1 U t dla t = 1, 2,..., T, gdzie U t są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie P(U t = 1 + b) = p, P(U t = 1 + a) = 1 p, p (0, 1). Można pokazać, że na rynku nie ma możliwości arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy a < r < b. Wówczas oczywiście 1 + a < 1 + r < 1 + b i w scenariuszu korzystnym akcja przynosi większy zysk niż lokata bankowa, a w scenariuszu niekorzystnym mniejszy. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 19/40

Model dwumianowy β t stan lokaty bankowej w okresie czasu (t 1, t], t = 1,..., T. γ t liczba posiadanych akcji w okresie czasu (t 1, t], t = 1,..., T, Jeżeli β t < 0 to interpretujemy to jako zaciągnięcie kredytu w banku. Jeżeli γ t < 0 to mówimy, że inwestor dokonał tzw. krótkiej sprzedaży, tzn. sprzedał pożyczone akcje, π = {π t = (β t, γ t ) ; t = 1,..., T } strategia inwestycyjna (portfel inwestora), β t, γ t nie muszą być takie same dla każdego scenariusza. Inwestor podejmuje decyzje o tym, ile jednostek danego instrumentu chce posiadać w chwili t, na podstawie dostępnej mu informacji o zmianach cen instrumentów w okresie 0 do t 1. Inwestor nie potrafi natomiast przewidywać przyszłości, dlatego jego decyzje nie mogą zależeć od cen instrumentów w chwilach t, t + 1,..., T. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 20/40

Model dwumianowy X π 0 = x 0 kapitał początkowy. X π = {Xt π = β t B t + γ t S t ; t = 1,..., T } kapitał inwestora przy strategii inwestycyjnej π, (wartość portfela). Mówimy, że strategia π jest samofinansująca się jeżeli X π t 1 = β t B t 1 + γ t S t 1, t = 1,..., T. Powyższy warunek oznacza, że nie ma dopływu kapitału z zewnątrz, ani wypływu na zewnątrz. Cały kapitał jaki inwestor posiada w chwili t 1 przeznacza on zakup portfela π t. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 21/40

Model dwumianowy Mówimy, że π jest strategią o wartości początkowej x 0 zabezpieczającą (replikującą) kontrakt f T, jeżeli X π 0 = x 0, π samofinansująca się, X π t 0, t = 0,..., T, X π T = f T. ceną sprawiedliwą (racjonalną) kontraktu f T nazywamy liczbę C 0 = inf{x 0 ; takie, że istnieje strategia π o wartości początkowej x zabezpieczająca kontrakt f T } Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 22/40

Zadanie Podać cenę sprawiedliwą oraz skonstruować strategie zabezpieczającą europejską opcję kupna, jeżeli T = 3, K = 100, B 0 = 1, r = 0, a ceny akcji S = {S 0, S 1, S 2, S 3 } opisuje następujące drzewko 0.25 160 100 0.25 0.75 120 80 0.25 0.75 0.25 0.75 140 100 60 0.75 0.25 0.75 0.25 120 80 0.75 40 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 23/40

Rozwiązanie Zbiór możliwych scenariuszy to {(ω 1, ω 2, ω 3 ) ; ω i { 1, 1}}. Ponieważ r = 0, więc B i (ω 1, ω 2, ω 3 ) = 1 dla i = 0, 1, 2, 3, ω 1, ω 2, ω 3 { 1, 1}. Proces cen akcji wygląda następująco S 0 (ω 1, ω 2, ω 3 ) = 100 dla ω 1, ω 2, ω 3 { 1, 1}, S 1 (1, ω 2, ω 3 ) = 120 dla ω 2, ω 3 { 1, 1}, S 1 ( 1, ω 2, ω 3 ) = 80 dla ω 2, ω 3 { 1, 1}, S 2 (1, 1, ω 3 ) = 140 dla ω 3 { 1, 1}, S 2 (1, 1, ω 3 ) =... Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 24/40

Rozwiązanie Rozważamy opcję o funkcji wypłaty f (ω 1, ω 2, ω 3 ) = (S 3 (ω 1, ω 2, ω 3 ) 100) +. Stąd f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = (160 100) + = 60 f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = (120 100) + = 20 f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = (120 100) + = 20 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (120 100) + = 20 f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = (80 100) + = 0 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (80 100) + = 0 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (80 100) + = 0 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (40 100) + = 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 25/40

Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 26/40 Zatem wartość opcji w chwili t = 3 wynosi: 60 20 0 0

Rozwiązanie Skonstruujemy strategię π zabezpieczającą f, tzn. taką, że X π 3 (ω 1, ω 2, ω 3 ) = f (ω 1, ω 2, ω 3 ) dla dowolnych ω 1, ω 2, ω 3 { 1, 1}. Zrobimy w kilku krokach. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 27/40

Rozwiązanie Możemy potraktować fragment drzewka jako model jednookresowy i skorzystać z uzyskanych wcześniej wzorów. Cena akcji Wartość portfela X π t 160 60 140? 120 t = 2 t = 3 20 t = 2 t = 3 20 160 60 120 β 3 (1, 1, ω 3 )= = 100, γ 3 (1, 1, ω 3 ) = 160 120 X2 π (1, 1, ω 3 ) = 100 + 140 = 40 60 20 160 120 = 1 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 28/40

Rozwiązanie Podobnie pokazujemy, że Cena akcji Wartość portfela X π t 120 20 100? 80 t = 2 t = 3 t = 2 t = 3 0 0 120 20 80 β 3 (1, 1, ω 3 )= 120 80 = 40, γ 3 (1, 1, ω 3 ) = 20 0 120 80 = 0.5 X π 2 (1, 1, ω 3 ) = 40 + 0.5 100 = 10 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 29/40

Rozwiązanie Analogicznie Cena akcji Wartość portfela X π t 80 0 60? 40 t = 2 t = 3 t = 2 t = 3 0 0 80 0 40 β 3 ( 1, 1, ω 3 )= 80 40 = 0, γ 3 ( 1, 1, ω 3 ) = 0 0 80 40 = 0 X π 2 ( 1, 1, ω 3 ) = 0 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 30/40

Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 31/40 Wyznaczyliśmy zatem minimalne wartości portfela π w chwili t = 2 60 40 20 10 0 0 0

Rozwiązanie Krok 2. Wyznaczamy minimalne wartości portfela w chwili t = 1 Cena akcji Wartość portfela X π t 140 40 120? 100 t = 1 t = 2 10 t = 1 t = 2 β 2 (1, ω 2, ω 3 )= 10 140 40 100 = 65, γ 2 (1, ω 2, ω 3 )= 40 10 140 100 140 100 =0.75 X1 π (1, ω 2, ω 3 ) = 65 + 0.75 120 = 25 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 32/40

Rozwiązanie Dalej mamy Cena akcji Wartość portfela X π t 100 10 80? 60 t = 1 t = 2 t = 1 t = 2 0 β 2 ( 1, ω 2, ω 3 )= 0 100 10 60 = 15, γ 2 ( 1, ω 2, ω 3 )= 10 0 100 60 100 60 =0.25 X1 π ( 1, ω 2, ω 3 ) = 15 + 0.25 80 = 5 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 33/40

Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 34/40 Wyznaczyliśmy zatem minimalne wartości portfela π w chwili t = 1 40 60 25 20 10 5 0 0 0

Rozwiązanie Pozostaje wyznaczyć minimalną początkową wartość portfela Cena akcji Wartość portfela X π t 120 25 100? 80 t = 0 t = 1 t = 0 t = 1 5 β 1 (ω 1, ω 2, ω 3 )= 5 120 25 80 = 35, γ 1 (ω 1, ω 2, ω 3 )= 25 5 120 80 120 80 =0.5 X0 π (ω 1, ω 2, ω 3 ) = 35 + 0.5 100 = 15 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 35/40

Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 36/40 Oto kompletne drzewko wartości portfela π. 60 40 25 20 15 10 5 0 0 0

Rozwiązanie Zatem minimalna wartość początkowa strategii zabezpieczającej opcję f wynosi X0 π = 15. Ostatecznie więc cena sprawiedliwa opcji wynosi C 0 = 15. Poniższa tabelka przedstawia strategię inwestora wystawiającego opcję w przypadku zajścia scenariusza (1, 1, 1). Czas Zmiana Cena akcji Strategia Kapitał n S n β n+1 γ n+1 X n 0 100 35 0.5 15 1 1 120 65 0.75 25 2 1 140 100 1 40 3-1 120 20 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 37/40

Rozwiązanie Innymi słowy: 1 Pożyczamy z banku 35 zł dokładamy do tego 15 zł uzyskane ze sprzedaży opcji i wydajemy 50 zł na zakup 0.5 akcji. 2 Pożyczamy jeszcze 30 zł (razem 65) i dokupujemy za to 0.25 akcji (po cenie 120 zł za akcję). 3 Pożyczamy jeszcze 35 zł (razem 100) i dokupujemy za to 0.25 akcji (po cenie 140 zł za akcję). W tej chwili mamy 1 akcje i 100 zł długu. 4 Sprzedajemy 1 akcję za 120 zł, wypłacamy posiadaczowi opcji 20 zł i oddajemy 100 zł długu do banku. Podobnie możemy rozpisać pozostałe scenariusze. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 38/40

Parytet kupna sprzedaży W podobny sposób możemy wycenić europejską opcję sprzedaży. Jedyna różnica polega na tym, że przy wypełnianiu ostatniego poziomu drzewka (t = 3) używamy innej funkcji wypłaty: (K S T ) + zamiast (S T K) +. Okazuje się jednak, że jeżeli mamy wyznaczoną cenę C 0 europejskiej opcji kupna, to wyznacza nam już ona cenę P 0 europejskiej opcji sprzedaży (z tą samą ceną wykonania K i terminem wykonania T ). C 0 P 0 = S 0 K(1 + r) T (1) Wzór ten nazywamy parytetem kupna-sprzedaży (ang. put-call parity). W przypadku, gdy stosujemy ciągły model kapitalizacji, czynnik dyskontujący (1 + r) T zastępujemy przez e rt. Dla danych z naszego przykładu (K = 100, S 0 = 100, r = 0, T = 3, C 0 = 15) cena europejskiej opcji sprzedaży wynosi P 0 = C 0 S 0 + K = 15. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 39/40

Model Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR) Dotychczas zakładaliśmy że w każdym z momentów t = 0, 1,..., T cena akcji może się zmienić na dwa sposoby, tzn. S t = S t 1 (1 + a) lub S t = S t 1 (1 + b), gdzie 1 < a < b. Powstaje problem jak dobierać parametry a i b, tak aby model dwumianowy jak najlepiej przybliżał prawdziwy proces cen akcji. Zazwyczaj wykorzystuje się współczynnik σ określający zmienność ceny akcji (ang. volatility). Jest to pewnego rodzaju miara niepewności co do przyszłych zmian tej ceny. Możemy ją wyznaczyć empirycznie jako odchylenie standardowe stopy zwrotu tego instrumentu. Przyjmujemy, że 1 + a = e σ δt, 1 + b = e σ δt, gdzie δt jest krokiem czasowym, tzn. odstępem między kolejnymi momentami, w których można dokonywać transakcji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 40/40