GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB

U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I Ń S K I GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB SZCZECIN 1999

SPIS TREŚCI Przedmowa...................................................5 Cze ść I Zadania........................................... 7 Cze ść II Rozwia zania....................................51 1. Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych....... 7 51 1.1. Podzielność liczb ca lkowitych......................7 51 1.2. Zasada indukcji matematycznej................... 8 53 1.3. Dzielenie z reszta................................ 10 55 1.4. Cze ść ca lkowita.................................. 11 56 1.5. Dzielenie z reszta dalsze w lasności..............12 59 1.6. Najwie kszy wspólny dzielnik..................... 13 61 1.7. Najmniejsza wspólna wielokrotność.............. 15 62 1.8. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki............... 16 64 2. Liczby pierwsze.................................. 17 66 2.1. Poje cie liczby pierwszej.......................... 17 66 2.2. Ile jest liczb pierwszych?......................... 17 67 2.3. Wnioski z zasadniczego twierdzenia arytmetyki... 18 68

4 2.4. Uwagi o funkcji π(x)............................ 21 70 2.5. Twierdzenie Dirichleta........................... 22 71 2.6. Liczba dzielników oraz funkcja Eulera............ 23 73 2.7. Rozk lad na czynniki dużych liczb naturalnych.... 24 75 3. Liczby w różnych systemach pozycyjnych.... 26 77 3.1. Poje cie pozycyjnego systemu zapisu liczb.........26 77 3.2. Wykonywanie obliczeń w różnych systemach pozycyjnych..................................... 28 82 3.3. U lamki w różnych systemach pozycyjnych........ 30 85 4. Algorytm Euklidesa............................. 34 89 4.1. Szukanie NWD.................................. 34 89 4.2. Równania liniowe................................ 36 93 4.3. Rozwia zywanie równań liniowych................ 37 94 5. Kongruencje...................................... 39 98 5.1. Podstawowe w lasności kongruencji............... 39 98 5.2. Kongruencje a wielomiany....................... 40 100 5.3. Kongruencje a równania......................... 41 102 5.4. Ma le Twierdzenie Fermata....................... 42 103 5.5. Pewne zastosowania twierdzenia Eulera.......... 44 105 5.6. Rozwinie cie okresowe a kongruencje.............. 46 108 5.7. Zastosowania twierdzenia Wilsona............... 48 109 5.8. Jeszcze jedno twierdzenie o kongruencjach........49 110 Bibliografia................................................ 112

PRZEDMOWA Jeden z wybitnych matematyków naszego stulecia, G.H. Hardy powiedzia l: Elementarna teoria liczb powinna być uważana za jeden z najw laściwszych przedmiotów w pocza tkach wykszta lcenia matematycznego. Wymaga ona bardzo ma lo uprzedniej wiedzy, a przedmiot jej jest uchwytny i znajomy. Metody, które stosuje, sa proste, ogólne i nieliczne, i nie ma sobie równej wśród nauk matematycznych w odwo laniu sie do naturalnej ludzkiej ciekawości 1. Mamy nadzieje, że umieszczenie w programie zawodowych studiów matematycznych takich przedmiotów jak arytmetyka szkolna i arytmetyka be dzie okazja do zilustrowania s lów G.H. Hardy ego. Zadania z arytmetyki szkolnej i teorii liczb to skrypt adresowany w pierwszym rze dzie do studentów studiów zawodowych, którzy zetkna sie z teoria liczb w ramach przedmiotów arytmetyka szkolna i arytmetyka. Ponieważ w skrypcie umieściliśmy wiele zadań z olimpiad matematycznych, wie c może on być przydatny także uczniom o zainteresowaniach matematycznych. Polecamy nasz skrypt również studentom starszych lat studiów matematycznych, zainteresowanym wyk ladem z kryptografii, ponieważ nie da sie studiować tego przedmiotu bez znajomości elementarnej teorii liczb. Aby na wyk ladzie z kryptografii szybciej przejść do realizacji zasadniczych hase l, pewne zagadnienia z teorii liczb be dzie można po- 1 G.H. Hardy: A Mathematician s Apology, 1940

6 Przedmowa zostawić s luchaczom do samodzielnego przeczytania w niniejszym skrypcie. Skrypt sk lada sie z dwóch cze ści. W pierwszej cze ści znajduja sie najważniejsze twierdzenia przypadaja ce na dany rozdzia l oraz zadania do rozwia zania. Natomiast w drugiej cze ści umieściliśmy szczegó lowe rozwia zania. Ponieważ w nauce matematyki istotna rzecza jest umieje tność rozwia zywania różnych problemów, przeto rozwia zania zadań (ze skryptu) należy czytać dopiero po wielu samodzielnych próbach wykonania zadania. Cze ść zadań zamieszczonych w skrypcie jest pomys lu autorów, ale znaczna cze ść zosta la zaczerpnie ta z literatury, której spis znajduje sie na końcu skryptu. Zadania u lożone sa w kolejności od latwiejszych do trudniejszych, ale najtrudniejsze zadania niekoniecznie znajduja sie na końcu paragrafu. Pomine liśmy też stosowane cze sto w literaturze oznaczenie * dla zadań trudniejszych, ponieważ wydaje sie nam, że istnieje spora grupa Czytelników, którzy znieche caja sie do pracy nad problemem z,,gwiazdka. W skrypcie obowia zuje powszechnie stosowana symbolika. Jest ona wyjaśniana w pocza tkowych fragmentach odpowiednich paragrafów oraz w tekstach niektórych zadań.

CZE ŚĆ I ZADANIA 1. Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 1.1. Podzielność liczb ca lkowitych. Mówimy, że liczba ca lkowita m 0 dzieli liczbe ca lkowita a, jeżeli istnieje taka liczba ca lkowita n, że m n = a. Fakt ten zapisujemy m a. Na przyk lad 3 276, bo 276 = 3 92. Jeśli liczba m nie dzieli a, co oznacza, że nie istnieje żadna liczba ca lkowita n, dla której mn = a, to piszemy m a. Jeżeli m a, to mówimy też, że m jest dzielnikiem liczby a, natomiast liczbe a nazywamy wielokrotnościa liczby m. 1.1.1. Rozstrzygnij, czy 5 12354, czy 5 12345. 1.1.2. Pokaż, że jeśli m a, to m ( a). 1.1.3. Uzasadnij, że jeśli m a oraz b jest dowolna liczba ca lkowita, to m ab. 1.1.4. Wiadomo, że 15 225. Rozstrzygnij, czy 15 675 oraz czy 15 5775. 1.1.5. Za lóżmy, że m ab dla pewnych liczb ca lkowitych m, a i b. Czy m musi wtedy dzielić a lub b? 1.1.6. Pokaż, że jeżeli m a oraz m b, to m a + b i m a b. 1.1.7. Wiadomo, że 14 784. Pokaż, że 14 770 oraz że 14 812.

8 Cze ść I Zadania 1.1.8. Wiadomo, że 14 784. Czy 7 784? A czy 7 817? 1.1.9. Zgadnij, czy 14 790, a naste pnie sprawdź swoja odpowiedź biora c pod uwage poprzednie zadanie. 1.1.10. Wiadomo, że 56 2576. Jaka jest naste pna (po 2576) liczba podzielna przez 56? 1.1.11. Wiemy, że 7 315. Wypisz wszystkie liczby wie ksze od 290 i mniejsze od 340, które sa podzielne przez 7. 1.1.12. Za lóżmy, że m a + b. Czy oznacza to, że m a i m b? A może oznacza to, że m a lub m b? 1.1.13. Za lóżmy, że m a + b oraz m a b. Czy wtedy m a i m b? Jeżeli nie, to czy potrafisz sformu lować dodatkowe za lożenia o m tak, by naste puja ce zdanie by lo prawdziwe. Jeśli m a + b i m a b, to m a i m b. 1.1.14. Pokaż, że jeśli m a oraz n m, to n a. 1.1.15. Pokaż, że jeżeli m a i a 0, to m a. 1.1.16. Pokaż, że jeżeli m a i a m, to m = a lub m = a. 1.2. Zasada indukcji matematycznej. Podczas nauki matematyki w szkole średniej cze sto korzystaliśmy z tak zwanej zasady indukcji matematycznej (ZIM). Przypomnijmy sformu lowanie tej zasady: Niech T (n) be dzie zdaniem dotycza cym liczby naturalnej n. Jeżeli 1 0 T (m 0 ) jest zdaniem prawdziwym, gdzie m 0 jest pewna liczba należa ca do N 0 ; 2 0 z prawdziwości zdania T (k) (gdzie k N 0, k m 0 ) wynika prawdziwość zdania T (k + 1) ; to zdanie T (n) jest prawdziwe dla każdego n m 0. Przez N 0 oznaczyliśmy tu zbiór liczb ca lkowitych nieujemnych, czyli zbiór {0,1,2,...}. Podobnie, przez N m oznaczymy zbiór wszystkich liczb ca lkowitych wie kszych lub równych m, tj. zbiór

Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 9 {m,m + 1,m + 2,...}. Stosuja c powyższe oznaczenia możemy nadać zasadzie indukcji matematycznej naste puja ca postać: Niech M N 0 be dzie zbiorem takim, że 1 0 m 0 M ; 2 0 dla dowolnego k N m0, jeśli k M, to k + 1 M. Wówczas N m0 M. Zasada indukcji matematycznej jest równoważna zasadzie minimum (ZM), która orzeka, że w każdym niepustym zbiorze A liczb ca lkowitych nieujemnnych istnieje liczba najmniejsza. Wykażemy teraz, że z ZIM wynika ZM 1. Przypuśćmy, że A jest niepustym zbiorem liczb ca lkowitych nieujemnych, w którym nie ma liczby najmniejszej. Niech B be dzie zbiorem liczb ca lkowitych nieujemnych zdefiniowanym w naste puja cy sposób: n B dla każdej liczby ca lkowitej nieujemnej m, jeżeli m n, to m / A. Zauważmy, że 0 / A, bo w przeciwnym wypadku w zbiorze A istnia laby liczba najmniejsza, która by loby 0. Zatem 0 B. Za lóżmy, że n B. Wtedy n + 1 / A, gdyż w przeciwnym razie n + 1 by loby najmniejsza liczba zbioru A. Wynika to sta d, że skoro n B, wie c z definicji zbioru B mamy n / A, n 1 / A,..., 0 / A. Zatem w konsekwencji n + 1 B. Wykazaliśmy, że zbiór B spe lnia za lożenia ZIM (w drugim sformu lowaniu), wie c B = N 0. Biora c pod uwage definicje zbioru B, wnioskujemy, że A jest zbiorem pustym, co przeczy naszemu za lożeniu. 1.2.1. Udowodnij, że z zasady minimum wynika zasada indukcji matematycznej. 1.2.2. Korzystaja c z zasady indukcji uzasadnij, że 3 n 3 + 5n dla dowolnego n N 0. 1 Przy pierwszym czytaniu Czytelnik może pomina ć to uzasadnienie.

10 Cze ść I Zadania 1.2.3. Wykaż, że 7 jest ostatnia cyfra liczby 2 2n + 1, gdy n N 2 (liczby 2 2n + 1, gdzie n N 0 nazywamy liczbami Fermata). 1.2.4. Uzasadnij, że 10 2 2n 6 dla n N 2. 1.2.5. Wykaż, że 1 jest ostatnia cyfra liczby 2 4n 5 dla n N ( = N 1 ). 1.3. Dzielenie z reszta. Jak wiadomo, jeśli mamy ustalona liczbe ca lkowita m, to nie każda liczba ca lkowita dzieli sie przez m. Na przyk lad 34 nie dzieli sie przez 5, ponieważ nie ma takiej liczby ca lkowitej, która pomnożona przez 5 da iloczyn równy 34. Oznacza to, że gdybyśmy chcieli rozdzielić 34 zeszyty mie dzy pie ciu uczniów, tak aby każdy otrzyma l jednakowa ilość, to nie potrafilibyśmy tego dokonać. Możemy jednakże dać każdemu uczniowi po 6 zeszytów i pozostana nam jeszcze 4. Dziela c 34 przez 5 otrzymujemy zatem 6 oraz reszte 4. Fakt ten zapisujemy 34 = 5 6 + 4. Przypuśćmy, że mamy dwie liczby ca lkowite n oraz d, przy czym d 0. Dzielenie (z reszta ) liczby n przez d polega na znalezieniu liczb ca lkowitych q oraz r takich, że n = qd + r oraz 0 r < d. Liczbe r nazywamy reszta z dzielenia n przez d, a liczbe q niepe lnym ilorazem lub ilorazem cze ściowym tego dzielenia. Oczywiste jest, że d n wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0. 1.3.1. Znajdź niepe lny iloraz i reszte z dzielenia (a) 23 przez 3; (b) 43 przez 4; (c) 36 przez 12. 1.3.2. Niech n i d be da liczbami ca lkowitymi, przy czym d 1. Korzystaja c z zasady minimum wykaż, że istnieje dok ladnie jedna para liczb ca lkowitych q i r taka, że n = dq + r, gdzie 0 r < d. 1.3.3. Pokaż, że kwadrat liczby ca lkowitej nieparzystej przy dzieleniu przez 8 daje reszte 1. 1.3.4. Pokaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 4 daje reszte 1.

Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 11 1.3.5. Udowodnij, że liczba naturalna postaci 3m + 2 ( m N ) nie jest kwadratem żadnej liczby ca lkowitej. 1.3.6. Uzasadnij, że suma kwadratów dwóch liczb nieparzystych nie jest kwadratem żadnej liczby ca lkowitej. 1.4. Cze ść ca lkowita. Jeżeli x jest dowolna liczba rzeczywista, to istnieje najwie ksza liczba ca lkowita n spe lniaja ca warunek n x. Liczbe n nazywamy cze ścia ca lkowita liczby x i oznaczamy symbolem [x] lub E(x). Z określenia liczby [x] wynika, że [x] x < [x] + 1. ( ) Istotnie, gdyby x [x]+1, to liczba [x]+1 by laby liczba ca lkowita wie ksza od [x] spe lniaja ca warunek [x] + 1 x. Jest to sprzeczne z definicja cze ści ca lkowitej liczby x. Z nierówności (*) wynika, że 0 x [x] < 1. Liczbe x [x] nazywamy cze ścia u lamkowa liczby x i oznaczamy symbolem {x}. Latwo zobaczyć, że x = [x] + {x}. Przyk lady: [ 1 2 ] = 1, [4,7] = 4, [ 7,3] = 8, { 2} 1 = 1 2, {4,7} = 0,7, { 7,3} = 0,7. 1.4.1. Wykaż, że jeżeli x, y R, oraz x y, to [x] [y]. 1.4.2. Uzasadnij, że jeżeli α (0,1) oraz n N, to [ n + α] = n. 1.4.3. Uzasadnij, że jeżeli (a) x jest liczba ca lkowita, to [ x] = [x] ; (b) x nie jest liczba ca lkowita, to [ x] = [x] 1 ; (c) x R, n Z, to [x + n] = [x] + n. 1.4.4. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x oraz y zachodzi nierówność [x + y] [x] + [y]. 1.4.5. Udowodnij, że jeżeli [x] = [y], to x y < 1.

12 Cze ść I Zadania 1.4.6. Wykaż, że jeśli n jest liczba naturalna, a x liczba rzeczywista, to [ ] [x] [ x =. n n] 1.4.7. Rozwia ż równanie 5x + 4 7 [ ] 2x + 3 =. 5 1.4.8. Uzasadnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x i dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość [x] + [ x + 1 ] [ + x + 2 ] [ + + x + n 1 ] = [nx]. n n n 1.4.9. Niech n i k be da liczbami naturalnymi. Wykaż, że [ n ] [ ] [ ] [ ] n + 1 n + 2 n + k 1 + + + + = n. k k k k 1.5. Dzielenie z reszta dalsze w lasności. Dziela c 34 przez 5 otrzymujemy 6 i reszte. Zauważmy, że 6 = [ ] 34 5. Wykorzystuja c w lasności cze ści ca lkowitej można podać algorytm dzielenia (z reszta ) liczby ca lkowitej m przez liczbe ca lkowita n > 0. K lada c [ m ] q = n oraz r = m nq mamy q m n < q + 1. Sta d qn m < qn + n. Zatem 0 r = m qn < n. 1.5.1. Podziel z reszta (pamie taja c, że reszta z dzielenia ma być liczba nieujemna ) (a) 83 przez 3 ; (b) 71 przez 4.

Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 13 1.5.2. Rozwia zuja c zadanie 1.5.1, można zauważyć, że algorytmu podanego we wste pie nie można zastosować, jeśli n < 0. Zmodyfikuj ten algorytm tak, aby można by lo go zastosować przy dzieleniu liczby ca lkowitej m przez liczbe ca lkowita n < 0. 1.5.3. Uzasadnij, [ że ] jeżeli p, n N, to wśród wyrazów cia gu 1, 2, 3,..., n jest wielokrotności liczby p. n p 1.5.4. Znajdź najmniejsza liczbe naturalna n spe lniaja ca wszystkie poniższe warunki: reszta z dzielenia n przez 2 jest równa 1, reszta z dzielenia n przez 3 jest równa 2, reszta z dzielenia n przez 4 jest równa 3, reszta z dzielenia n przez 5 jest równa 4. 1.6. Najwie kszy wspólny dzielnik. Niech m i n be da dwiema liczbami ca lkowitymi, przy czym m 0 lub n 0. Liczbe ca lkowita d 1 nazywamy najwie kszym wspólnym dzielnikiem liczb m i n (co oznaczamy NWD(m, n) ), jeśli (a) d dzieli m i d dzieli n; (b) jeżeli liczba ca lkowita c dzieli m oraz n, to c dzieli d. Bezpośrednio z powyższej definicji wynika, że jeżeli m 0, to wtedy NWD(m, 0) = m. Weźmy teraz dwie liczby ca lkowite m 0 oraz n 0. Uzasadnimy, że z zasady minimum wynika istnienie NWD(m, n). W tym celu rozważmy zbiór X = {xm + yn 1 : x,y Z}. Ponieważ m m+n n 1, wie c X. Z zasady minimum wynika, że w zbiorze X istnieje liczba najmniejsza. Niech d = am + bn be dzie ta liczba ( a, b Z ). Zauważmy, że d m oraz d n. Istotnie, jeśli zapiszemy m = dq + r, gdzie 0 r < d, wtedy mamy r = m dq = m (am + bn)q = m(1 aq) + n( bq). Gdyby r 1, to r X oraz r < d, co jest sprzeczne z wyborem d. Zatem r = 0, czyli d m. Analogicznie uzasadniamy, że d n. Tak wie c d spe lnia warunek (a) definicji NWD.

14 Cze ść I Zadania Aby pokazać, że warunek (b) także jest spe lniony, za lóżmy, że pewna liczba c dzieli zarówno m, jak i n. Sta d wynika, że istnieja takie liczby ca lkowite m 1 oraz n 1, że m = cm 1 i n = cn 1. Sta d d = am + bn = c(am 1 + bn 1 ), czyli c d. Wykazaliśmy, że d = NWD(m, n).

Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 15 Z powyższych rozważań otrzymujemy naste puja cy Wniosek. Jeżeli NWD(m, n) = d, to istnieja liczby ca lkowite x i y takie, że mx + ny = d. Uwaga. Zauważmy, że jeśli dla liczb m, n i d znajdziemy takie x i y, że mx + ny = d, to nie znaczy to jeszcze, że d = NWD(m, n). Na przyk lad, dla m = 1, n = 2 oraz d = 7 mamy 3m + 2n = d, ale 7 nie jest oczywiście najwie kszym wspólnym dzielnikiem liczb 1 i 2. Jeżeli NWD(m, n) = 1, to mówimy, że liczby m i n sa wzgle dnie pierwsze. 1.6.1. Pokaż, że jeżeli m n, to NWD(m, n) = m. 1.6.2. Pokaż, że jeżeli m = nq+r, to NWD(m, n) = NWD(n, r). 1.6.3. Znajdź NWD(98, 56). 1.6.4. Pokaż, że NWD(n, n + 1) = 1. 1.6.5. Pokaż, że dla dowolnego k N zachodzi NWD(2k + 1, 2k + 3) = 1. 1.6.6. Niech d = NWD(m, n) i niech m = dm 1 oraz n = dn 1. Pokaż, że NWD(m 1, n 1 ) = 1. 1.6.7. Za lóżmy, że u lamek a b jest nieskracalny. Sprawdź, czy u lamek jest nieskracalny. a a+b 1.6.8. Pokaż, że jeżeli liczby m i n sa wzgle dnie pierwsze oraz m nk, to m k. 1.6.9. Za lóżmy, że dane sa trzy liczby ca lkowite m, n, p, z których przynajmniej jedna jest różna od zera. Określ NWD dla tych liczb przez analogie do NWD dla dwóch liczb, a naste pnie oblicz NWD(24,36,120). 1.6.10. Uogólnij definicje najwie kszego wspólnego dzielnika na przypadek k liczb, tj. dla a 1, a 2,..., a k Z. Zdefiniuj NWD(a 1,a 2,...,a k ). Oblicz NWD(36,120,180,600).

16 Cze ść I Zadania 1.6.11. Za lóżmy, że dane sa trzy liczby ca lkowite m, n i p. Zdefiniujmy PNWD(m,n,p) = df NWD(m, NWD(n, p)). Pokaż, że tak zdefiniowany PNWD jest równy najwie kszemu wspólnemu dzielnikowi liczb m, n i p (zdefiniowanemu w zadaniu 1.6.9). 1.7. Najmniejsza wspólna wielokrotność. Za lóżmy, że n i m sa liczbami ca lkowitymi różnymi od zera. Liczbe ca lkowita s nazywamy najmniejsza wspólna wielokrotnościa liczb m i n (co zapisujemy NWW(m, n) = s ), jeśli 1) s 1, 2) m s oraz n s, 3) jeżeli liczba ca lkowita t spe lnia warunek n t i m t, to s t. Na przyk lad NWW(6, 9) = 18. Analogicznie określamy najmniejsza wspólna wielokrotność k różnych od zera liczb ca lkowitych a 1, a 2,..., a k i oznaczamy ja przez NWW(a 1, a 2,...,a k ). 1.7.1. (a) Znajdź najmniejsza liczbe naturalna, która po podzieleniu przez każda z liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daje zawsze reszte 1. (b) Znajdź najmniejsza liczbe naturalna, która po podzieleniu przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daje, odpowiednio, reszty 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 1.7.2. Za lóżmy, że NWD(a, b) = d i niech a = da 1, b = db 1. Uzasadnij, że NWW(a, b) = a 1 db 1. 1.7.3. Pokaż, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b zachodzi równość ab = NWD(a, b) NWW(a, b). 1.7.4. Wykaż, że jeżeli liczby a i b sa wzgle dnie pierwsze, to NWW(a, b) = ab. 1.7.5. Pokaż, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b zachodzi nierówność a + b NWD(a, b) + NWW(a, b).

Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 17 1.7.6. W podre cznikach szkolnych można znaleźć naste puja ce definicje NWW i NWD.,,Najmniejsza wspólna wielokrotnościa liczb m i n nazywamy najmniejsza nieujemna liczbe w zbiorze wspólnych wielokrotności m oraz n.,,najwie kszym wspólnym dzielnikiem liczb m i n nazywamy najwie ksza liczbe w zbiorze wspólnych dzielników m oraz n. Pos luguja c sie tylko tymi,,szkolnymi definicjami pokaż, że (a) wspólna wielokrotność liczb m i n jest podzielna przez najmniejsza wspólna wielokrotność liczb m i n ; (b) wspólny dzielnik liczb m i n jest dzielnikiem najwie kszego wspólnego dzielnika liczb m i n. 1.8. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. W literaturze zasadnicze twierdzenie arytmetyki przyjmuje różne (równoważne) sformu lowania. Jedno z nich jest naste puja ce Twierdzenie. Liczba naturalna be da ca dzielnikiem iloczynu dwóch liczb naturalnych i pierwsza wzgle dem jednego z czynników jest dzielnikiem drugiego, tzn. jeżeli n ab i NWD(n, a) = 1, to n b. Dowód. Ponieważ n ab i a ab, wie c ab jest wspólna wielokrotnościa liczb n oraz a. Z definicji NWW wynika, że NWW(n, a) ab. Istnieje wie c liczba ca lkowita t taka, że NWW(n, a) t = ab. Ponieważ NWD(n, a) = 1, wie c NWW(n, a) = na. Sta d nat = ab, a sta d ostatecznie nt = b, czyli n b. 1.8.1. Pokaż, że jeżeli NWD(a, b) = 1 i c a, to NWD(c, b) = 1. 1.8.2. Pokaż, że jeżeli NWD(a, c) = 1 oraz NWD(b, c) = 1, to NWD(ab, c) = 1. 1.8.3. Uzasadnij, że jeżeli NWD(a 1, a) = NWD(a 2, a) =... = NWD(a n, a) = 1, to NWD(a 1 a 2... a n, a) = 1. 1.8.4. Wykaż, że każda liczba wymierna dodatnia daje sie przedstawić jednoznacznie w postaci ilorazu dwóch liczb naturalnych wzgle dnie pierwszych (czyli w postaci u lamka nieskracalnego).

18 Cze ść I Zadania 2. Liczby pierwsze 2.1. Poje cie liczby pierwszej. Liczbe naturalna p > 1 nazywamy, jeśli ma ona dok ladnie dwa dzielniki naturalne, mianowicie 1 i p. Liczby, które nie sa pierwszymi, ale sa wie ksze od 1, nazywamy z lożonymi. 2.1.1. Wypisz wszystkie liczby pierwsze p < 20. 2.1.2. Wskaż jaka kolwiek liczbe wie ksza od (a) 26, (b) 56, (c) 100. 2.1.3. Uzasadnij, że reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 30 jest równa 1 lub pewnej liczbie pierwszej. 2.1.4. Uzasadnij, że kwadrat dowolnej liczby pierwszej wie kszej niż 3 daje przy dzieleniu przez 12 reszte 1. 2.1.5. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 2, liczby a n = 2 n + 1 oraz b n = 2 n 1 nie moga być jednocześnie liczbami pierwszymi. 2.1.6. Uzasadnij, że liczby naturalnej postaci 6k + 1 (k N) nie można przedstawić w postaci różnicy dwóch liczb pierwszych. 2.1.7. Pokaż, że jeżeli p jest liczba oraz 8p 2 + 1 jest liczba, to 8p 2 + 2p + 1 też jest liczba. 2.1.8. Pokaż, że każda liczba naturalna wie ksza od 1 ma przynajmniej jeden dzielnik pierwszy (tj. taki, który jest liczba pierwsza ). 2.2. Ile jest liczb pierwszych? Odpowiedź na pytanie o to, ile jest liczb pierwszych, zawiera naste puja ce Twierdzenie. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. W literaturze można znaleźć wiele dowodów tego twierdzenia. Niżej umieszczamy jeden z nich, maja c nadzieje, że Czytelnik znajdzie co najmniej kilka innych. W dowodach tego twierdzenia cze sto korzysta sie z faktu zawartego w zadaniu 2.1.8.

18 Cze ść I Zadania Dowód. Przypuśćmy, że istnieja tylko naste puja ce liczby pierwsze: p 1, p 2,..., p r. Niech M = p 1 p 2... p r i niech M = st, gdzie s = p 1 p 2, a t = p 3 p 4... p r. Zauważmy, że liczba naturalna s + t nie jest podzielna przez żadna z liczb p 1, p 2,..., p r. Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ s + t jest różne od 1 (zobacz zadanie 2.1.8). 2.2.1. Za lóżmy, że liczby p 1, p 2,..., p k sa liczbami pierwszymi. Pokaż, że liczba p 1 p 2... p k + 1 nie dzieli sie z liczb p 1, p 2,..., p k. przez żadna 2.2.2. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczba n! + 1 nie dzieli sie przez żadna liczbe 1 < q n. 2.2.3. Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n, istnieje liczba pierwsza wie ksza od n. 2.2.4. Niech F n oznacza liczbe Fermata, tzn. F n = 2 2n + 1. Pokaż, że F m oraz F n sa wzgle dnie pierwsze dla n m. 2.2.5. Wykaż, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, wykorzystuja c (a) zadanie 2.2.1; (b) zadanie 2.2.3; (c) zadanie 2.2.4. 2.3. Wnioski z zasadniczego twierdzenia arytmetyki. Z zasadniczego twierdzenia arytmetyki (zobacz 1.8) wynika naste - puja ce Twierdzenie. Każda liczbe naturalna przedstawić w postaci n > 1 można jednoznacznie n = p 1 p 2... p r, gdzie p 1, p 2,..., p r sa liczbami pierwszymi takimi, że p 1 p 2 p r. Dowód 1. Wykażemy najpierw, że każda liczba naturalna n > 1 da sie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Uczynimy

Liczby pierwsze 19 to stosuja c indukcje. Dla n = 2 fakt jest prawdziwy. Za lóżmy, że fakt jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych mniejszych od k. Jeżeli k jest liczba, to fakt jest prawdziwy. Jeśli k jest liczba z lożona, to k = bc, gdzie b oraz c sa liczbami mniejszymi od k. Z za lożenia indukcyjnego b = p 1 p 2... p s oraz c = p s+1 p s+2... p t. Sta d k = p 1 p 2... p s p s+1... p t. 2. Teraz wykażemy jednoznaczność przedstawienia. Uczynimy to znowu stosuja c indukcje. Dla n = 2 twierdzenie jest prawdziwe. Za lóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczb naturalnych mniejszych od k. Przypuśćmy, że k = p 1 p 2... p r = q 1 q 2... q s, (1) gdzie p 1, p 2,..., p r, q 1, q 2,..., q s sa liczbami pierwszymi, takimi że p 1 p 2 p r, q 1 q 2 q s. Ponieważ p 1 q 1 q 2... q s, wie c p 1 q 1 lub p 1 q 2, lub..., lub p 1 q s (wynika to z zasadniczego twierdzenia arytmetyki). Niech na przyk lad p 1 q 1. Ponieważ p 1 oraz q 1 sa liczbami pierwszymi, wie c p 1 = q 1. Dziela c (1) przez p 1 mamy k p 1 = p 2 p 3... p r = q 2 q 3... q s. Ponieważ k p 1 < k, wie c z za lożenia indukcyjnego wynika, że r = s oraz p 2 = q 2, p 3 = q 3,..., p r = q r. 2.3.1. Pokaż, że każda liczbe naturalna n 2 można przedstawić w postaci n = p α 1 1 pα 2 2... pα s s, (2) gdzie p 1, p 2,..., p s sa różnymi liczbami pierwszymi, takimi że p 1 < p 2 < < p s, natomiast α 1, α 2,..., α s sa liczbami ca lkowitymi dodatnimi. (Rozk lad (2) liczby naturalnej n nazywamy rozk ladem kanonicznym liczby n na czynniki pierwsze).

20 Cze ść I Zadania 2.3.2. Znajdź NWD(a, b) oraz NWW(a, b) znaja c rozk lady kanoniczne liczb a oraz b. 2.3.3. Korzystaja c z rozk ladu kanonicznego liczb naturalnych a oraz b uzasadnij, że ab = NWD(a, b)nww(a, b). 2.3.4. Pokaż, że jeżeli liczba n jest wymierna, gdzie n > 1 jest liczba naturalna, to rozk lad kanoniczny liczby n ma postać p 2α 1 1 p 2α 2 2... p 2α s s. 2.3.5. Za lóżmy, że liczba pierwsza p jest dzielnikiem pewnej liczby naturalnej n. Mówimy, że p α dzieli dok ladnie n, jeśli p α n oraz p α+1 n. Fakt ten oznaczamy p α n. (a) Udowodnij, że jeżeli p α m oraz p β n, to p α+β mn. (b) Udowodnij, że jeżeli p α m oraz p β n oraz α β, to p min(α, β) m + n. (c) Sprawdź, czy w (b) można pomina ć za lożenie α β. 2.3.6. Pokaż, że każda liczbe wymierna można zapisać jednoznacznie jako iloczyn εp α 1 1 pα 2 2... pα s s, gdzie ε jest równy 1 lub 1, natomiast p 1, p 2,..., p s sa różnymi liczbami pierwszymi, a α 1, α 2,..., α s sa liczbami ca lkowitymi różnymi od zera. 2.3.7. Pokaż, że wyk ladnik najwie kszej pote gi liczby pierwszej p, która dzieli n! wynosi α = [ n i=1. 2.3.8. Podaj najwie ksza pote ge liczby (a) 2, (b) 5 oraz (c) 97, która dzieli 100!. 2.3.9. Podaj najwie ksza pote ge liczby (a) 6, (b) 28, która dzieli 100!. 2.3.10. Oblicz, ile kolejnych zer, licza c od końca, ma liczba 100!. p i ]

Liczby pierwsze 21 2.4. Uwagi o funkcji π(x). Dla każdej liczby rzeczywistej x > 0, symbolem π(x) oznaczamy ilość liczb pierwszych p spe lniaja cych nierówność p x. pierwszym historycznie stwierdzeniem na temat funkcji π(x) by lo spostrzeżenie J. Bertranda (z 1845 roku), że mie dzy n i 2n, gdy n 2, znajduje sie liczba pierwsza. Spostrzeżenie J. Bertranda oznacza, że π(2n) π(n) 1 (dla n 2 ), czyli że p n+1 < 2p n, gdzie p n oznacza n-ta liczbe. Stwierdzenie to by lo znane jako,,postulat Bertranda i zosta lo udowodnione przez P.L. Czebyszewa w 1852 roku. Fakt ten be dziemy w dalszych rozważaniach nazywać twierdzeniem Czebyszewa (elementarny dowód tego twierdzenia Czytelnik może znaleźć w [9]). Czebyszew udowodni l znacznie wie cej, a mianowicie pokaza l, że istnieja sta le a oraz b, takie że a < π(x) : x lnx < b dla x > 2. Powyższa nierówność nazywamy nierównościa Czebyszewa. 2.4.1. Korzystaja c z nierówności Czebyszewa, pokaż, że π(x) lim x x = 0. 2.4.2. Korzystaja c z twierdzenia Czebyszewa, pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n istnieja co najmniej trzy liczby pierwsze maja ce w uk ladzie dziesie tnym n cyfr. 2.4.3. Dowiedź, że dla k > 1 mamy p k+1 p 1 +p 2 + +p k, gdzie p n oznacza n-ta z kolei liczbe. 2.4.4. Pokaż, że 5 jest jedyna liczba, która jest równa sumie wszystkich liczb pierwszych mniejszych od niej. 2.4.5. Pokaż, że 5 jest jedyna liczba naturalna, która jest równa sumie wszystkich liczb pierwszych mniejszych od niej. 2.4.6. Pokaż, że w rozmieszczeniu liczb pierwszych sa,,dziury dowolnej d lugości, tj. pokaż, że dla dowolnego m istnieje n takie, że p n+1 > p n + m, gdzie p n oznacza n-ta z kolei liczbe. Wskazówka. Pokaż, że wszystkie liczby w cia gu m liczb (m+1)!+2, (m + 1)! + 3,..., (m + 1)! + (m + 1) sa z lożone.

22 Cze ść I Zadania 2.4.7. (a) Pokaż, że jeżeli p jest liczba, to π(p 1) p 1 (b) Pokaż, że jeżeli m jest liczba z lożona, to π(m) m < π(p) p. < π(m 1) m 1. 2.5. Twierdzenie Dirichleta. Jak już wiadomo, w poste pie arytmetycznym 1, 2, 3, 4,... o różnicy 1 istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. A jak jest w innych poste pach arytmetycznych? W 1837 roku P.G.L. Dirichlet udowodni l twierdzenie, które orzeka: Jeśli liczby m, n sa wzgle dnie pierwsze, to w cia gu (mk + n) k istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód twierdzenia Dirichleta jest dosyć trudny i nie be dziemy go tu przytaczać. Jednakże pewne szczególne przypadki tego twierdzenia dowodzi sie latwo, o czym przekona sie Czytelnik, rozwia zuja c niżej umieszczone zadania. 2.5.1. Podaj przyk lad takich liczb m oraz n, że w cia gu (mk + n) k (a) jest tylko skończona ilość liczb pierwszych; (b) nie ma żadnej liczby pierwszej. 2.5.2. Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 2k + 1. 2.5.3. (a) Pokaż, że w każdym rozk ladzie na iloczyn liczby postaci 3k + 2 przynajmniej jeden czynnik jest postaci 3k + 2. (b) Udowodnij, że każda liczba naturalna postaci 3k + 2 ma przynajmniej jeden dzielnik pierwszy tej postaci. 2.5.4. Uzasadnij, że jeśli p 1, p 2..., p n sa nieparzystymi liczbami pierwszymi postaci 3k + 2, to liczba 3p 1 p 2... p n + 2 nie dzieli sie przez żadna z liczb 2, p 1, p 2,..., p n. 2.5.5. Wykaż, że w cia gu (3k + 2) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Wskazówka. Skorzystaj z dwóch poprzednich zadań. 2.5.6. Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 3.

Liczby pierwsze 23 2.5.7. Pokaż, że w cia gu (6k + 5) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. 2.6. Liczba dzielników oraz funkcja Eulera. Oznaczmy przez θ(n) liczbe naturalnych dzielników liczby n, a przez ϕ(n) ilość liczb naturalnych wzgle dnie pierwszych z n, które sa nie wie ksze od n. 2.6.1. Wyznacz θ(n) dla n 20. 2.6.2. Pokaż, że jeżeli n = p α 1 1 pα 2 2... pα s s, to każdy dzielnik naturalny liczby n jest postaci p β 1 1 pβ 2 2... pβ s s, gdzie 0 β i α i dla i {1,2,...,s}. 2.6.3. Wykaż, że θ(p α 1 1 pα 2 2... pα s s ) = (α 1 + 1)(α 2 + 1)... (α s + 1). 2.6.4. Oblicz θ(100) oraz θ(1024). 2.6.5. Znajdź wszystkie liczby naturalne n, takie że θ(n) = 3. 2.6.6. Wyznacz ϕ(n) dla n 20. 2.6.7. Pokaż, że liczba n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(n) = n 1. 2.6.8. Uzasadnij, że ϕ(pq) = (p 1)(q 1), gdzie p oraz q sa różnymi liczbami pierwszymi. 2.6.9. Pokaż, że dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnej liczby naturalnej n, mamy ϕ(p n ) = p n p n 1. 2.6.10. Niech m oraz n oznaczaja dwie liczby naturalne wzgle dnie pierwsze, a r liczbe ca lkowita. Pokaż, że wówczas reszty z dzielenia liczb r, n + r, 2n + r, 3n + r,..., (m 1)n + r przez m różnia sie od liczb 0, 1, 2, 3,..., m 1 co najwyżej porza dkiem.

24 Cze ść I Zadania 2.6.11. Udowodnij, że jeśli NWD(m, n) = 1, to ϕ(m)ϕ(n) = ϕ(mn). Wskazówka. Zauważmy najpierw, że jeśli jedna z liczb m, n jest równa 1, to wzór jest prawdziwy. Możemy zatem za lożyć, że m 1 i n 1. Wypiszmy wszystkie liczby nie wie ksze od mn w naste puja cy sposób: 1, 2,..., r,..., n, n + 1, n + 2,..., n + r,..., 2n, 2n + 1, 2n + 2,..., 2n + r,..., 3n,............,............,...,............,...,..., (m 1)n + 1, (m 1)n + 2,..., (m 1)n + r,..., mn. Dalej skorzystaj z zadania 2.6.10. 2.6.12. Udowodnij wzór ϕ (p α 1 1 pα 2 2... pα s s gdzie p 1, p 2,..., p s ) = n ) ) ) (1 (1 1p1 1p2 (1 1ps, sa różnymi liczbami pierwszymi. 2.6.13. Wiadomo, że NWD(m, n) > 1. Ustal, która z liczb ϕ(mn) oraz ϕ(m)ϕ(n) jest wie ksza. Wskazówka. Skorzystaj z zadania 2.6.12. 2.6.14. Pokaż, że (a) ϕ(4n + 2) = ϕ(2n + 1) ; { 2ϕ(n) gdy NWD(n, 2) = 1 (b) ϕ(4n) = 2ϕ(2n) gdy NWD(n, 2) = 2. 2.7. Rozk lad na czynniki dużych liczb naturalnych. Mnożenie dwóch liczb naturalnych jest zdecydowanie latwiejsze niż rozk ladanie danej liczby na czynniki. Jeśli jednak pewna liczba z lożona ma dwa dzielniki pierwsze, które sa,,blisko siebie, możemy zastosować tak zwana metode faktoryzacji Fermata. Metode te opiszemy w poniższych zadaniach. 2.7.1. Niech n be dzie dowolna liczba naturalna. Udowodnij, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mie dzy dzielnikami liczby n nie mniejszymi od n i nie wie kszymi od n.