Dr inż. Tomasz Bartłomowicz Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Katedra Ekonometrii i Informatyki SYMULACJA MONTE CARLO JAKO NARZĘDZIE PROGNOZOWANIA WYBRANYCH ASPEKTÓW RYNKU NIERUCHOMOŚCI. Wprowadzenie Losowa natura zjawisk przyczynowo-skutkowych, a co za tym idzie losowość zmiennych występujących w modelach formalnych, opisujących te zjawiska jest jedną z głównych trudności napotykanych w praktycznym zastosowaniu metod ilościowych. W tej sytuacji, rozwiązaniem może być symulacja komputerowa rozumiana jako badanie rzeczywistego systemu za pomocą eksperymentów na modelu, mających dać odpowiedź na pytanie, jak zachowałby się w pewnych warunkach obiekt odwzorowany danym modelem. Ponieważ obecnie w symulacji komputerowej podstawową rolę odgrywają metody Monte Carlo, a zastosowanie symulacji ma miejsce praktycznie we wszystkich dziedzinach nauki, w opracowaniu podjęto próbę zaprezentowania uniwersalności tych metod w symulacjach komputerowych różnych modeli, w tym modeli opisujących nieruchomości. W tym celu omówiono praktyczny przykład statycznej symulacji wybranych aspektów rynku nieruchomości, co umożliwiło prognozowanie ceny m 2 działki budowlanej. 2. Symulacja Monte Carlo i jej zastosowania W największym skrócie, metoda Monte Carlo opiera się na numerycznych obliczeniach z wykorzystaniem zmiennych losowych w celu zastąpienia problemu numerycznego zadaniem z dziedziny prawdopodobieństwa o takim samym rozwiązaniu. Oznacza to, iż jest to metoda, która dla rozwiązania postawionego problemu wykorzystuje liczby losowe o określonym rozkładzie w charakterze próbek opisujących analizowany proces. Z matematycznego punktu widzenia, w sensie formalnym, rachunki metody Monte Carlo równoważne są całkowaniu, przy czym głównym zadaniem jest estymacja wartości oczekiwanej E(X) pewnej zmiennej losowej X (por. [Mielczarek 26], [Patrykiejew 998]):
gdzie: E ( X ) wartość oczekiwana, f ( x) funkcja liniowa, a, b granice przedziału. E b a ( X ) = f ( x) Należy w tym miejscu zauważyć, iż zgodnie z prawem wielkich liczb (PWL), przy odpowiednio dużym n z prawdopodobieństwem dostatecznie bliskim jedności, szukana wartość gdzie: ( X ) E jest w przybliżeniu równa średniej arytmetycznej X : E b a ( X ) n n liczba symulacji, pozostałe oznaczenia jak we wzorze (). Oznacza to, iż metoda Monte Carlo opiera się na n-krotnym wybieraniu wartości zmiennej X podczas serii niezależnych prób, co przy odpowiednio dużej liczbie symulacji uprawnia do uzyskania wyniku w postaci średniej arytmetycznej symulowanych wartości. Zasadniczo, metoda Monte Carlo może być stosowana wszędzie, gdziekolwiek możliwe jest określenie równoważności pomiędzy żądanym rezultatem, a oczekiwanym zachowaniem. Wśród najczęstszych zastosowań wymienia się takie dziedziny jak (por. [Babicz 29]): fizyka, chemia, medycyna i pokrewne, ekonomia i finanse, zarządzanie, a także telekomunikacja oraz informatyka. Należy podkreślić, iż to czy metoda Monte Carlo może mieć zastosowanie do danego problemu nie zależy od stochastycznej natury układu, który jest badany, a jedynie od zdolności sformułowania problemu w taki sposób, aby liczby losowe mogły być użyte do jego rozwiązania. n n i= x i dx () (2) 3. Generatory liczb pseudolosowych Jednym ze sposobów badania zjawisk występujących w świecie fizycznym jest modelowanie symulacyjne, czyli próba określenia optymalnych warunków stosowania poszczególnych metod drogą eksperymentów symulacyjnych, w tym metod Monte Carlo, realizowanych z wykorzystaniem sprzętu komputerowego i odpowiedniego oprogramowania. Realizacja eksperymentu wymaga jednak dysponowania odpowiednimi da- 2
nymi, a w sytuacji gdy nie są one dostępne, narzędziami umożliwiającymi ich otrzymanie, którymi w przypadku komputerów są tzw. generatory liczb pseudolosowych. Według najpowszechniejszej definicji, generator liczb losowych to program lub podprogram, który na podstawie niewielkiej ilości informacji (tzw. ziarna, zarodka) generuje ciąg bitów (liczb losowych), który pod pewnymi względami jest nieodróżnialny od ciągu uzyskanego z prawdziwie losowego źródła. Nie oznacza to jednak liczb prawdziwie losowych, a jedynie pseudolosowe. Wynika to m.in. z faktu, iż generator, który może przyjąć k różnych wartości początkowych umożliwia wygenerowanie co najwyżej k różnych ciągów liczb. Co więcej, rozmiar zmiennych, reprezentujących wewnętrzny stan generatora jest ograniczony i w związku z tym może znajdować się tylko w ograniczonej liczbie stanów. W praktyce oznacza to generowanie po pewnym czasie tych samych wartości. Zasadniczo, generatory liczb losowych można podzielić na dwie grupy (por. [Bąk 999, s. 66] [Dagpunar 988], [Fishman 98], [Koleśnik i in. 976]) generatory liczb losowych o rozkładzie jednostajnym (równomiernym) oraz generatory liczb losowych o rozkładzie dowolnym (nierównomiernym). Przykładem generatora z pierwszej grupy jest excelowski generator wykorzystywany do otrzymywania liczb z przedziału [, ). Warto w tym miejscu zauważyć, iż liczby losowe o rozkładzie jednostajnym mogą być wykorzystywane do generowania ciągów losowych o innych, dowolnych rozkładach. Jak podaje A. Bąk w celu otrzymania zadanego rozkładu należy najpierw generować liczby losowe o rozkładzie równomiernym, a następnie przekształcać je do postaci żądanego rozkładu za pomocą odpowiednich metod. Do najczęściej stosowanych [ ] należą: metoda odwracania dystrybuanty, metoda eliminacji oraz metoda superpozycji rozkładów (por. [Bąk 999, s. 66-67]). W przypadku generatorów liczb losowych o rozkładzie innym niż równomierny, do najczęściej wykorzystywanych należą generatory rozkładu: normalnego, dwumianowego, beta, wykładniczego, potęgowego, gamma, Poissona (por. [Bąk 999, s. 69]). Więcej na temat generatorów liczb losowych o rozkładzie nierównomiernym, a także szersze omówienie tego zagadnienia można odnaleźć w pracach: [Brandt 999], [Bąk 999], [Gajek 2], [Tyszer 99], [Zieliński 97], [Zieliński i Wieczorkowski 997]. 3
4. Przykład prognozowania wybranych aspektów rynku nieruchomości z wykorzystaniem symulacji Monte Carlo Z uwagi, iż w prognozowaniu wykorzystuje się wyniki symulacji, warto zauważyć, iż przez metodę symulacji K. Koleśnik, Z. Huzar i Z. Fryźlewicz rozumieją technikę wykonywania badań eksperymentalnych na modelu rzeczywistego systemu, realizowanych w określonym celu z wykorzystaniem komputerów (por. [Koleśnik i in. 976, s. 45]). Tym samym, na co wskazuje także Z. Czerwiński, symulacja prowadzi do udzielenia odpowiedzi na następujące pytania (por. [Czerwiński 982]): ) jakie byłyby wartości zmiennych endogenicznych, gdyby zmienne egzogeniczne przyjęły określone wartości? 2) jak należałoby dobrać wartości zmiennych egzogenicznych, by uzyskać określone wartości zmiennych endogenicznych? W przykładzie, zmienną endogeniczną (prognozowaną) Y jest cena m 2 działki budowlanej, natomiast zmiennymi egzogenicznymi (predykcyjnymi) są: X powierzchnia działki w m 2, X 2 położenie (jako odległość od centrum w setkach metrów), X 3 uzbrojenie terenu ( dla każdego elementu: woda, elektryczność, kanalizacja, gaz), X 4 forma władania ( użytkowanie wieczyste, 2 własność). Należy w tym miejscu podkreślić, iż model liniowy w postaci: Y = 6,437 +,3X,554X 2 + 9,99X 3 + 4, 55X 4 + ξ, (3) będący formalnym uzupełnieniem powyższego zbioru zmiennych nie jest zależnością hipotetyczną lecz rzeczywistym przykładem oszacowania ceny m 2 gruntu działki budowlanej i podobnie jak nazwy zmiennych został zaczerpnięty z pracy [Cellmer 999, s. 69-7]. Dysponowanie odpowiednim modelem jest w metodzie Monte Carlo warunkiem koniecznym do przeprowadzenia analizy symulacyjnej, a docelowo prognozowania. Na potrzeby przykładu przyjmuje się, iż inwestora interesuje przyszła cena m 2 działki zakładając, iż zmienią się preferowana powierzchnia działek budowlanych (z dotychczasowej średniej wielkości 2 m 2 do poziomu 5 m 2 z odchyleniem standardowym 8 m 2 ), a także stosunek liczby użytkowników wieczystych do liczby posiadaczy aktu własności (na korzyść tych drugich z 5% obecnie, do 7% w prognozo- Por. także przykład K. Gogolewskiej (W: [Dziechciarz 22]). 4
wanym okresie). Ponadto, zakłada się, iż zmienna X ma rozkład normalny, natomiast pozostałe zmienne charakteryzują się rozkładem równomiernym. W celu określenia prognozowanej ceny m 2 działki, w przykładzie wykorzystano generator liczb pseudolosowych programu Excel, za pomocą którego generowano wartości zmiennych zgodnie z przyjętymi rozkładami prawdopodobieństwa. W przypadku zmiennej X symulowano powierzchnię gruntu, dokonując zamiany liczb z rozkładu jednostajnego na rozkład normalny. Umożliwia to prosta zależność oparta na centralnym twierdzeniu granicznym (CTG), według którego suma liczb o rozkładzie jednostajnym ma rozkład normalny, przy czym suma 2 liczb o rozkładzie jednostajnym ma rozkład normalny ze średnią 6 i odchyleniem standardowym (por. [Smith]), co oznacza możliwość bezproblemowego przejścia na zakładane w przykładzie wartości średniej i odchylenia standardowego. W przypadku zmiennej X 2 generowano liczby losowe z przedziału [, 22] co w przypadku wartości z lewej strony przedziału odpowiada lokalizacji w ścisłym centrum. Pozostałe wartości oznaczają odległość od centrum mierzoną w setkach metrów, zakładając położenie nieruchomości najdalej w promieniu 2 2 m. W odniesieniu do zmiennej X 3 należy zauważyć, iż możliwa jest dowolna kombinacja elementów uzbrojenia terenu. Z tego powodu, symulując wartość określającą uzbrojenie przyjęto w uproszczeniu rozkład równomierny, generując z równym prawdopodobieństwem wartości:,, 2, 3 oraz 4, gdzie wartość zerowa określa całkowity brak mediów, a wartość 4 ich komplet tj. uzbrojenie działki w wodę, elektryczność, kanalizację i gaz. W przypadku zmiennej X 4, korzystając z generatora symulowano formę władania nieruchomością przyporządkowując (użytkowanie wieczyste) w 3 przypadkach na oraz wartość 2 (własność) we wszystkich pozostałych. Z uwagi na występowanie podwójnego kompletu danych symulacje przeprowadzono dwukrotnie. W pierwszym kroku wyznaczono średnią wartość m 2 działki budowlanej dla danych zmodyfikowanych (zakładających większą powierzchnię oraz większy udział własności w relacji do użytkowania wieczystego), wykonując na początek symulacji. Wyniki pierwszych symulacji prezentuje tablica. Warto zauważyć, iż histogram wyników symulacji Monte Carlo (por. rys. ) nie zachęca do formułowania wniosków na podstawie tak małej próbki, sugerując zastosowanie większej liczby symulacji. Ostatecznie, wykonano symulacji (por. rys. 3), 5
Tab.. Wyniki pierwszych symulacji ceny m 2 działki budowlanej Nr Wartości symulacji dla poszczególnych zmiennych symulacji X X 2 X 3 X 4 Y 243,42 4,83 3,58 2 2827,4 5,39 2 2 48,95 3 29,23 2,46 3,2 4 773,42 2,36 2 37,58 5 277,22 6,2 2,46 6 64,53,8 2 5,89 7 758,52,8 2 2 53,99 8 242,52 6,66 3 2 7,22 9 44,8 7,65 4 2 6,3 52,54 5,26 2 2 43,83 z czego wariant pośredni obejmował symulacji (por. rys. 2). Pozwoliło to na obliczenie do możliwych cen m 2 działki budowlanej dla obu wariantów danych wejściowych tj. przed i po zmianie preferencji nabywców (por. tablica 2 i 3). Liczebność 8 6 4 2 Histogram wyników symulacji Monte Carlo 4 45 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95,9,8,7,6,5,4,3,2, Prawdopodobieństwo skumulowane -5 5 5 2 25 3 35 Przedziały Rys.. Histogram wyników metody Monte Carlo na podstawie symulacji Liczebność 8 6 4 2 Histogram wyników symulacji Monte Carlo 4 45 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95,9,8,7,6,5,4,3,2, Prawdopodobieństwo skumulowane -5 5 5 2 25 3 35 Przedziały Rys. 2. Histogram wyników metody Monte Carlo na podstawie symulacji 6
Liczebność 5 85 65 45 25 5-5 -5 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Przedziały 55 6 65 7 75 8 85 9 95,9,8,7,6,5,4,3,2, Prawdopodobieństwo skumulowane Rys. 3. Histogram wyników metody Monte Carlo na podstawie symulacji Tab. 2. Częstość oraz prawdopodobieństwo ceny m 2 działki budowlanej (pierwotne dane wejściowe) Granica Prawdopo- Częstość przedziału dobieństwo Tab. 3. Częstość oraz prawdopodobieństwo ceny m 2 działki budowlanej (zmodyfikowane dane wejściowe) Granica Prawdopo- Częstość przedziału dobieństwo -5, -5, 32,2, 5 34,4 5 66,7 75,8 9,9 5 328,3 5 9,9 2 465,45 2 354,35 25 657,59 25 493,49 3 7,74 3 66,66 35 843,9 35 738,74 4 99,88 4 868,87 45,2 45 972,97 5 952,99 5 39,4 55 876,87 55 926,93 6 794,84 6 9,9 65 669,7 65 76,76 7 562,52 7 627,63 75 423,38 75 58,52 8 262,24 8 386,39 85 36,6 85 237,24 9 7,8 9 39,4 95, 95 5,2,, Szczegółowa analiza obu tabel pozwala zauważyć, iż w przypadku pierwotnych danych wejściowych tj. nie zmodyfikowanych wartości zmiennych, dominuje (por. tablica 2) przedział ceny pomiędzy 4 i 45 (j). Potwierdza to uśredniona wartość symu- 7
lacji w postaci średniej ceny m 2 działki na poziomie 43,9 (j). Powtórna 2 symulacja uwzględniająca zakładane zmiany w preferencjach nabywców działek oznacza zmianę (por. tab. 3) przedziału średniej ceny pomiędzy 45 i 5 (j), co potwierdza wynik uśrednienia ceny m 2 działki na poziomie 47,73 (j). Podsumowując, w przykładzie zmiana wartości zmiennych egzogenicznych X oraz X 4 oznacza wzrost wartości zmiennej endogenicznej o 3,85 (j), co w praktyce rynku nieruchomości oznacza prognozę wzrostu ceny m 2 działki o niespełna %. Należy w tym miejscu przypomnieć, iż prognozowana nie jest wartość całej nieruchomości, lecz cena jej m 2. W tej sytuacji, argumentując przewidywany wzrost wartości zmiennej prognozowanej należy domniemywać, iż duże znaczenie dla nabywców ma obok powierzchni działki własność nieruchomości. 5. Uwagi końcowe Zaprezentowany przykład potwierdza możliwość zastosowania metod Monte Carlo na gruncie nieruchomości. Jest to zgodne z wcześniejszymi przypuszczeniami oraz oczekiwaniami co do potrzeby właściwego sformułowania problemu, koniecznie z wykorzystaniem liczb losowych. Wydaje się przy tym, iż zjawiska zachodzące na rynku nieruchomości, z probabilistycznego punktu widzenia, nie odbiegają od tych zjawisk gdzie metody Monte Carlo stosowane są na porządku dziennym. Oznacza to, choćby z teoretycznego punktu widzenia możliwość połączenia metod Monte Carlo z rynkiem nieruchomości. Co więcej, istnieje uzasadniona potrzeba przełożenia wygenerowanych symulacji na postać prognoz. W tej sytuacji oznacza to możliwość nie tylko modelowania lecz także prognozowania tych i innych aspektów rynku nieruchomości za pomocą symulacji Monte Carlo. Podsumowując, należy zauważyć, iż artykuł raczej rozpoczyna dyskusję na temat symulacji i stosowanych przy tej okazji metodach, niż ją kończy. Należy jednak pamiętać, iż celem artykułu nie była wyczerpująca analiza prezentowanej metodologii, a jedynie zwrócenie uwagi na możliwość wykorzystania metod Monte Carlo na kolejnym rynku rynku nieruchomości. 2 Z uwagi na brak możliwości zaprezentowania wyników, autor ogranicza się do zaprezentowania najważniejszych wartości. 8
Bibliografia: [] Babicz W., Metoda Monte Carlo, 29, dokument dostępny pod adresem: http://www.math.uni.wroc.pl/~s75463/mnum2/montecarlo.pdf [2] Brandt S., Analiza danych. Metody statystyczne i obliczeniowe, PWN, Warszawa 999. [3] Bąk A., Modelowanie symulacyjne wybranych algorytmów wielowymiarowej analizy porównawczej w języku C++, Wyd. AE we Wrocławiu, Wrocław 999. [4] Cellmer R., Zasady i metody analizy elementów składowych rynku nieruchomości, Wyd. Educaterra, Olsztyn 999. [5] Czerwiński Z., Matematyczne modelowanie procesów ekonomicznych, PWE, Warszawa 982. [6] Dagpunar J., Principles of Random Variate Generation, Wyd. Clarendon Press, Oxford 988. [7] Fishman G. S., Symulacja komputerowa. Pojęcia i metody, PWE, Warszawa 98. [8] Gajek L., Kałuszka M., Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody, WNT, Warszawa 2. [9] Gogolewska K., Przykłady zastosowań symulacji Monte Carlo do prognozowania w przedsiębiorstwie, W: Dziechciarz (red.), Ekonometria, Wyd. AE we Wrocławiu, Wrocław 22. [] Koleśnik K., Huzar Z., Fryźlewicz Z., Symulacja komputerowa, Politechnika Wrocławska, Wrocław 976. [] Mielczarek B., Metoda Monte Carlo w nauczaniu symulacji niesłusznie pomijane podejście?, W: Modelowanie symulacyjne systemów gospodarczych i społecznych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 26. [2] Patrykiejew A., Wprowadzenie do metody Monte Carlo, wyd. 2 pop., UMCS, Lublin 998. [3] Smith S. W., The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, 997, dokument dostępny pod adresem: http://www.dspguide.com/ [4] Tyszer J., Symulacja cyfrowa, WNT, Warszawa 99. [5] Zieliński R., Metody Monte Carlo, WNT, Warszawa 97. [6] Zieliński R. Wieczorkowski R., Komputerowe generatory liczb losowych, WNT, Warszawa 997. 9
Dr inż. Tomasz Bartłomowicz Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Katedra Ekonometrii i Informatyki SYMULACJA MONTE CARLO JAKO NARZĘDZIE PROGNOZOWANIA WYBRANYCH ASPEKTÓW RYNKU NIERUCHOMOŚCI Streszczenie W artykule podjęto próbę zaprezentowania uniwersalności metod Monte Carlo w symulacjach komputerowych różnych modeli, w tym modeli opisujących nieruchomości. Ponadto przedstawione zostało zastosowanie symulacji komputerowych w ich prognostycznym charakterze. W tym celu omówiono praktyczny przykład statycznej symulacji wybranych aspektów rynku nieruchomości, co z wykorzystaniem liczb losowych z programu Excel, umożliwiło prognozowanie ceny m 2 działki budowlanej oraz terminu sprzedaży mieszkań przez dewelopera. FORECASTING SOME ASPECTS OF REAL ETATE MARKET USING MONTE CARLO SIMULATIONS Summary The Monte Carlo Method is one of quantitative methods, which is used to value derivatives. It provides approximate solutions to a variety of mathematical problems by performing statistical sampling experiments on a computer. The article presents the using of Monte Carlo simulations as a tool of forecasting. Experiments are made for some aspects of real estate market, like price of property, using random numbers generator build in Excel calculating sheet.