XXXIII Konferencja Statystyka Matematyczna

XXXIII Konferencja Statystyka Matematyczna MODEL AUTOPSJI KOHERENTNEGO SYSTEMU Karol J. ANDRZEJCZAK kandrzej@math.put.poznan.pl Politechnika Poznańska http://www.put.poznan.pl/

PROGRAM REFERATU. WPROWADZENIE A. Dychotomiczny system koherentny B. Model autopsji 2. KLUCZOWE PYTANIA 3. RYS HISTORYCZNY 4. CEL REFERATU 5. OZNACZENIA I DEFINICJE 6. WŁASNOŚCI 7. ZAKOŃCZENIE Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 2

. WPROWADZENIE A. Dychotomiczny system koherentny (dychotomic coherent system). <C, ϕ> gdzie C ={e, e 2,, e n } oznacza zbiór n elementów systemu, ϕ oznacza koherentną strukturę niezawodnościową. x j oznacza stan elementu e j. Dychotomiczność oznacza, że x j =,, gdy element gdy element e e j j jest zdatny, jest niezdatny, j =,,n System jest również dwu stanowy i jego stan x s zależy wyłącznie od stanów jego elementów i struktury niezawodnościowej ϕ. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 3

Stan systemu x s = ϕ(x,, x n ), Struktura niezawodnościowa ϕ jest funkcją boolowską postaci ϕ: {, } n {, } Koherentność oznacza, że struktura systemu jest monotoniczna i nieredukowalna. Rozważania dotyczą klasy systemów koherentnych, tj klasy wykluczającej systemy z elementami pasywnymi. Klasyczny problem niezawodności Wyznaczenie rozkładu czasu zdatności systemu, o danej struktury niezawodnościowej ϕ, na podstawie znanych rozkładów czasów zdatności jego elementów. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 4

B. Model autopsji (the autopsy model). T i oznacza czas zdatności elementu e i, i =,,n T oznacza czas zdatności systemu. Założenia modelu: czasy zdatności T,,T n są a) niezależnymi zm. l., b) absolutnie ciągłymi zm. l., c) nie obserwowanymi zm. l. Czas T zdatności systemu jest obserwowany. W chwili utraty zdatności systemu rejestrowany jest zbiór elementów niezdatnych. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 5

Problem autopsji Polega na rozpoznaniu rozkładów czasów zdatności elementów systemu na podstawie obserwacji czasu T zdatności systemu i zbioru A elementów niezdatnych. Rozwiązanie metodami statystycznymi Polega na estymacja nieznanych czasów zdatności poszczególnych elementów systemu na podstawie statystycznego modelu, w którym m replik systemu poddanych jest obserwacji, aż do ich utraty zdatności. Dane statystyczne Składają się z czasów zdatności badanego systemu oraz ze zbiorów niezdatnych elementów, tj. ciągu par (T, A ),,(T n, A n ) Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 6

Element e i nazywamy bezpośrednią przyczyną utraty zdatności systemu, jeżeli system traci zdatność w chwili utraty zdatności przez ten element. Model autopsji systemu koherentnego Każdy model służący do rozwiązania przedstawionego problemu autopsji przy podanych założeniach lub ich modyfikacjach. Zbiory A,,A n są niepustymi podzbiorami zbioru elementów C. Jeżeli zawierają one tylko po jednym elemencie, to znane są bezpośrednie przyczyny utraty zdatności systemu. W szczególnym przypadku, dla systemu o strukturze szeregowej, zbiory A,,A n będą wyłącznie jednoelementowe. Dla takich systemów są mocno rozwinięte modele zwane modelami rywalizujących przyczyn (competing risks models). Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 7

2. KLUCZOWE PYTANIA Czy w ogóle, bądź w jakich przypadkach, mogą być estymowane rozkłady czasów zdatności elementów? Pytanie to jest blisko związane z pytaniem: Czy rozkłady czasów zdatności elementów można odtworzyć z wiedzy o prawdziwych rozkładach statystyk autopsji systemu? Jeżeli dla systemu <C, ϕ> odpowiedź jest pozytywna, to mówimy, że rozkłady elementów są identyfikowalne (identifiable). System <C, ϕ> nazywamy wówczas systemem identyfikowalnym (the identifiable system). Pytanie o identyfikowalność nie jest banalne, gdyż okazuje się, że nie każdy system jest identyfikowalny. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 8

Przykład. (System nie identyfikowalny) Dwuelementowy system o strukturze równoległej. Niech F i F 2 oznaczają dystrybuanty czasów zdatności T i T 2 tych elementów. Gdy zaobserwujemy niezdatność systemu, to obydwa elementy będą zawsze niezdatne. Obserwowany czas T zdatności systemu jest związany z czasami T i T 2 zależnością T = max{t, T 2 }. Model autopsji pozwala estymować czas zdatności systemu, którego dystrybuanta F, w przypadku niezależnie pracujących elementów związana jest z dystrybuantami F i F 2 zależnością F = F F 2. Niestety nie możliwe jest wyznaczenie dystrybuant brzegowych F i F 2 na podstawie dystrybuanty F. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 9

3. RYS HISTORYCZNY 98 Meilijson podał warunek konieczny nałożony na strukturę systemu, aby rozkłady elementów systemu były identyfikowalne, przy założeniu ciągłości i niezależności czasów zdatności elementów i tym samym nośniku. 99 Nowik podał warunek konieczny i wystarczający identyfikowalności czasów zdatności elementów, przy bardziej restrykcyjnym założeniu, że rozkłady elementów są absolutnie ciągłe. 993 Antoine, Doss i Hollander podali warunek wystarczający dla struktury systemu, aby był identyfikowalny poprzez skupienie uwagi na klasie rzeczywistych funkcji analitycznych (gładkiej klasie funkcji rozkładów), tj. bez atomów. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl

Literatura:. Antoine, R., Doss, H., Hollander, M. (993) On identifiability in the autopsy model of reliability theory. J. Appl. Prob. 3, 93-93. 2. Doss, H., Freitag, S. and Proschan, F. (989) Estimating jointly system and component reliabilities using a mutual censorship approach. Ann. Statist. 7, 764-782. 3. Meilijson, I. (98) Estimation of the lifetime distribution of the parts from the autopsy statistics of the machine. J. Appl. Prob. 8, 829-838. 4. Nowik, S. (99) Identifiability problems in coherent systems, J. Appl. Prob. 28, 862-872. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl

4. CEL REFERATU Koherentny binarny system poddany jest obserwacji, aż do jego utraty zdatności. W chwili utraty zdatności przez system rejestrowany jest zbiór niezdatnych elementów oraz czas zdatności systemu. Czasy zdatności elementów nie są obserwowalne i są nieznane. Celem referatu jest przedstawienie możliwości wyznaczenia rozkładu czasów zdatności elementów na podstawie rozkładu obserwowanych danych. Cel ten jest osiągnięty poprzez podanie warunku koniecznego i wystarczającego identyfikowalności czasów zdatności elementów. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 2

5. OZNACZENIA I DEFINICJE Dany jest system <C, ϕ>. F i F j, j =,,n oznaczają dystrybuanty czasów zdatności systemu i elementów. I <C, ϕ> oznacza losowy zbiór tych elementów systemu <C, ϕ>, które są niezdatne w chwili utraty zdatności systemu. Definicja. Podzbiór A zbioru elementów C nazywamy cięciem, jeżeli spełniona jest formuła ( (e j A), (x j = )) ϕ(x,, x n ) = Podzbiór A nazywamy minimalnym cięciem, jeżeli jest on cięciem i żaden właściwy jego podzbiór nie jest cięciem. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 3

Przykład 2. Rozważamy system przedstawiony schematycznie na rys. 2 3 Zbiory {}, {, 2}, {, 3}, {2, 3} i oczywiście {, 2, 3} są wszystkimi cięciami. Minimalnymi cięciami są {} i {2, 3}. Przy założeniu, że nie możliwa jest utrata zdatności jednocześnie przez kilka elementów, cięcie {, 2, 3} nigdy nie będzie zaobserwowane, ponieważ system utraci zdatność, jak tylko cięcie {} lub {2, 3} utraci zdatność. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 4

Spostrzeżenie to prowadzi do wyróżnienia zbiorów elementów, których niezdatność można zaobserwować w momencie utraty zdatności przez system. Zbiory te nazywamy zbiorami fatalnymi (a fatal set). Niech (x,, x n ) oznacza zaobserwowany wektor stanów elementów w chwili utraty zdatności przez system. Definicja 2. Podzbiór B zbioru elementów C nazywamy fatalnym zbiorem elementów, jeżeli spełniona jest formuła (x,, x n ), (ϕ( B, C B ) = ) Zbiór fatalny nazywamy minimalnym zbiorem fatalnym, jeżeli nie zawiera on żadnego właściwego podzbioru fatalnego. W przykładzie 2 zbiór {, 2} jest fatalny, ale nie jest minimalnym zbiorem fatalnym. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 5

6. WŁASNOŚCI Założenie. Nie możliwa jest utrata zdatności jednocześnie przez kilka elementów systemu. Własność. Niech B C. Zbiór elementów B jest fatalny wtedy i tylko wtedy gdy Pr(I = B)>. Własność 2. Jeżeli B jest zbiorem fatalnym, to jest cięciem. Własność 3. Nie każde cięcie jest zbiorem fatalnym. Własność 4. Jeżeli zbiór B nie jest cięciem, to nie jest zbiorem fatalnym. Własność 5. Zbiór elementów B C jest minimalnym zbiorem fatalnym B jest minimalnym cięciem. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 6

W przykładowym systemie jeżeli (x, x 2, x 3 ) = (,, ), tj. jeżeli zaobserwowany jest zbiór fatalny {}, to jest on przyczyną utraty zdatności systemu. Podobnie, jeżeli zaobserwowany jest zbiór fatalny {, 2}, to też element pierwszy jest przyczyną niezdatności systemu. Niestety w przypadku zaobserwowania zbioru fatalnego {2, 3} nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć, który element uszkodził się jako drugi i stał się bezpośrednią przyczyną uszkodzenia systemu. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 7

Niech W oznacza rodzinę fatalnych zbiorów elementów systemu <C, ϕ>, tj. W = {B C: Pr(I = B) > } Definicja 3. Niech B będzie fatalnym zbiorem systemu <C, ϕ>. Podzbiór D zbioru B nazywamy jego krytycznym podzbiorem, jeżeli elementy podzbioru D mogą być niezdatne w chwili utraty zdatności systemu i stąd mogą być przyczyną utraty zdatności systemu. Definicja 4. Niech E będzie podzbiorem zbioru elementów systemu <C, ϕ>. Wektorem incydencji v zbioru E nazywamy wektor zerojedynkowy v(e), którego składowe są określone wzorem: v j =,, gdy gdy e e j j E E Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 8

Jeżeli struktura niezawodnościowa systemu <C, ϕ> jest znana, to można utworzyć kolekcje następujących zbiorów: minimalnych fatalnych zbiorów M = {M,, M q }, fatalnych zbiorów B = {B,, B l }, krytycznych zbiorów D = {D,, D l }. Definicja 5. Macierzą incydencji fatalnej systemu <C, ϕ> nazywamy l n macierz B, której elementy są określone wzorem: b ij =,, gdy gdy Analogicznie dla systemu <C, ϕ> definiujemy macierze incydencji: minimalną fatalną M, krytyczną D. e e j j B B Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 9 i i

Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 2 Przykład 2 c.d. Krytycznymi zbiorami odpowiadającymi zbiorom fatalnym {}, {, 2}, {, 3} i {2, 3} są odpowiednio zbiory {}, {}, {} i {2, 3}. Stąd macierze: minimalna fatalna = M, fatalna = B, krytyczna = D Minimalna macierz incydencji fatalnej jest wystarczająca do jednoznacznego odtworzenia struktury niezawodnościowej systemu.

Przykład 2 cd. Identyfikacja rozkładów elementów. Niech T będzie czasem zdatności systemu, a I <C, ϕ> losowym zbiorem fatalnym. Niech G i (t) = Pr(I <C, ϕ> = D i, T t) Przypuśćmy, że rozkłady zdatności elementów są absolutnie ciągłe. Niech g i oznacza gęstość dla dystrybuanty G i, f j gęstość czasu zdatności j-tego elementu. Zbiory fatalne {} i {, 2} mają ten sam zbiór krytyczny {}. Z fatalnego zbioru {} otrzymujemy a z fatalnego zbioru {, 2} g (t) = f (t) ( F 2 (t)) ( F 3 (t)), g 2 (t) = f (t) F 2 (t) ( F 3 (t)), Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 2

Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 22 Dzieląc g 2 (t) przez g (t) otrzymujemy ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 t F t F t g t g = Stąd można wyznaczyć dystrybuantę F 2. ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 t g t g t g t F + = Podobnie można wyznaczyć dystrybuantę F 3. ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 3 t g t g t g t F + = gdzie g 3 (t) = f (t) ( F 2 (t)) F 3 (t), Metoda jest skuteczna ponieważ zbiory fatalne {} i {, 2} mają ten sam krytyczny zbiór {} i różnią się tylko jednym elementem {2}.

7. ZAKOŃCZENIE Wracamy do pytania: Jaki warunek należy nałożyć na strukturę niezawodnościową, aby system był identyfikowalny, w klasie absolutnie ciągłych rozkładów czasów zdatności elementów? Odpowiedź wymaga zdefiniowania specyficznych zbiorów elementów i macierzy. Definicja 6. Element e nazywamy elementem specyficznym systemu, jeżeli istnieje zbiór fatalny B o własnościach: (i) e B i B = B \ {e} jest zbiorem fatalnym, (ii) B i B mają te same krytyczne zbiory. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 23

Niech E będzie zbiorem elementów specyficznych systemu <C, ϕ> oraz J = C \ E. Macierz B J definiujemy jako podmacierz macierzy krytycznej B utworzoną z kolumn odpowiadających elementom zbioru J. Rozkłady czasów zdatności elementów zbioru E można wyznaczyć stosując technikę użytą w przykładzie. Stąd system <C, ϕ> jest identyfikowalny, jeżeli rozkłady czasów zdatności elementów ze zbioru J mogą być wyznaczone. Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy B incydencji fatalnej jest równy liczbie elementów systemu. Jest to równoważne temu, że nie istnieją elementy e i i e j oraz rozłączny moduł M równolegle połączone. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 24

PYTANIA? Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 25