Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 59 Politechniki Wrocławskiej Nr 59 Studia i Materiały Nr 26 2006 Piotr LIGOCKI *, Bogusław KAROLEWSKI F * przenośnik taśmowy, zwis taśmy, modelowanie, dynamika, symulacja komputerowa MODELOWANIE DRGAŃ TAŚMY PRZENOŚNIKA W PŁASZCZYŹNIE PIONOWEJ Zaprezentowano sposób modelowania zwisów taśmy pomiędzy sąsiednimi zestawami krążnikowymi w przenośniku taśmowym. Uwzględniono wpływ zjawisk falowych w taśmie w stanach dynamicznych na wielkość zwisów. Przedstawiono mechanizm umożliwiający symulacyjne badanie unoszenia taśmy ponad podpierające ją krążniki w obrębie łuków wklęsłych w płaszczyźnie pionowej. 1. WSTĘP Nowe konstrukcje długich przenośników taśmowych realizowane są często jako krzywoliniowe, tzn. na ich trasie występują załamania zarówno w płaszczyźnie poziomej jak i pionowej. Główną przyczyną wyboru takiego kształtu trasy jest minimalizacja kosztów związanych z robotami ziemnymi. Naziemne przenośniki często bywają lokowane w trudnych warunkach terenowych np. przy transporcie z kopalń w górach gdzie minimalizacja kosztów transportu nie wymagającego prostowania trasy jest szczególnie duża. Z kolei trasy przenośników kopalnianych, które transportują urobek na powierzchnię pochylniami są w zasadzie wymuszone przebiegiem tych pochylni. Wprowadzenie załamań na trasie długiego przenośnika taśmowego powoduje niebezpieczeństwo wystąpienia dodatkowych problemów w jego pracy, zwłaszcza w stanach dynamicznych. Wykorzystywanie wzorów przeznaczonych do obliczeń statycznych nie daje zadowalających rezultatów w stanach nieustalonych. W przenośnikach krzywoliniowych może wystąpić boczne zsuwanie się taśmy z zestawów krążnikowych na łukach poziomych czy unoszenie taśmy ponad krążniki na łukach w * Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 50-372 Wrocław, ul Smoluchowskiego 19, piotr.ligocki@pwr.wroc.pl, boguslaw.karolewski@pwr.wroc.pl
płaszczyźnie pionowej. Zjawiska te są niepożądane, prowadzą do zsypywania się urobku, powstawania dodatkowych naprężeń i niestabilnej pracy przenośnika i należy tak zaprojektować urządzenie, aby nie wystąpiły one w żadnych warunkach eksploatacji. 2. MATEMATYCZNY MODEL TAŚMY PRZENOŚNIKA Do przeprowadzenia symulacji, których wyniki zaprezentowano w artykule, zastosowano rozbudowany model przenośnika taśmowego. Taśmę podzielono na skończoną liczbę odcinków o parametrach skupionych. Każdy z wydzielonych odcinków opisano dwoma równaniami różniczkowymi zwyczajnymi wynikającymi z warunku równowagi sił w taśmie oraz z zależności naprężeń od wydłużeń reologicznego modelu taśmy [2]. Model ten uwzględnia procesy falowe stopniowe wchodzenie taśmy w ruch w miarę rozchodzenia się fali naprężeń oraz drgania sił w gałęziach taśmy. Zastosowano lepkosprężysty model taśmy oraz dwumasową dyskretyzację parametrów ciągłych (rys. 1). Rys. 1. Dyskretyzacja dwumasowa parametrów ciągłych taśmy: M - masa taśmy i urobku, W - opory ruchu na danym odcinku, V - prędkość taśmy, P zewnętrzna siła wprawiająca taśmę w ruch, F 1,F 2 siły w taśmie na danym odcinku na początku i na końcu tego odcinka, E - moduł sprężystości, η l - współczynnik lepkości Fig.1. Two-mass discretization of continuous parameters: M belt and load mass of a given segment, W motion resistances on a given segment, V belt velocity, P external driving force, F 1,F 2 belt forces on a given segment at the beginning and at the end of the segment, E modulus of elasticity, η l viscosity factor Z każdym z odcinków związana jest masa taśmy i krążników oraz ewentualnie urobku i bębnów nienapędowych wynikająca z ich momentów bezwładności (M z rys.1). Ruchowi każdego z odcinków taśmy przeciwstawiają się siły W nazywane oporami ruchu, najczęściej związane z różnymi rodzajami tarcia. Model ten szerzej opisano w [4, 6].
Przestawiony model umożliwia symulowanie przemieszczania się i drgań taśmy w kierunku równoległym do kierunku jej ruchu w trakcie pracy przenośnika. Aby umożliwić również uwzględnienie zwisów taśmy między podporami krążnikowymi i na łukach w płaszczyźnie pionowej, czyli przemieszczenia taśmy w kierunku poprzecznym do kierunku ruchu, do matematycznego opisu dołączono zależności opisane w dalszej części artykułu. 3. MODEL ZWISU TAŚMY MIĘDZY SĄSIEDNIMI ZESTAWAMI KRĄŻNIKOWYMI Zwis taśmy pomiędzy sąsiednimi zestawami krążnikowymi może być modelowany przy zastosowaniu krzywej łańcuchowej [2, 3]. Krzywa taka stosowana jest do obliczeń mechanicznych przewodów elektrycznych linii napowietrznych [5]. Według definicji krzywa łańcuchowa przyjmuje kształt długiego, jednorodnego łańcucha bądź liny zwisającej pod wpływem działania grawitacji (rys. 2). Rys.2. Zwis taśmy między sąsiednimi podporami krążnikowymi modelowany za pomocą krzywej łańcuchowej: f strzałka ugięcia taśmy, lz odległość pomiędzy sąsiednimi zestawami krążnikowymi, F składowa pozioma siły działającej na odcinek taśmy miedzy zestawami krążnikowymi, G ciężar jednostkowy taśmy i urobku Fig. 2. Belt sag between idlers sets modeling with using catenary curve: f belt sag, l z distance between adjacent idlers sets, F horizontal component of the force that affects on segment between idlers sets, G elementary weight of the belt and load Krzywa łańcuchowa opisana jest następującym równaniem: x h = p cosh (1) p
przy czym F p = G Po uwzględnieniu dwóch pierwszych wyrazów rozwinięcia funkcji (1) w szereg Maclaurina uzyskuje się wyrażenie: 2 x h = p 1 + 2 (2) 2 p Pominięcie dalszych wyrazów szeregu oznacza przyjęcie parabolicznego kształtu krzywej zwisu. Z warunków pracy taśmy przenośnika wynika, że strzałka ugięcia pomiędzy sąsiednimi zestawami krążnikowymi nie może przekraczać 1,5 2,5 % odległości podpór [1]. W związku z tym przy założeniu jednorodnego załadowania taśmy urobkiem, zastosowanie krzywej parabolicznej stanowi dostatecznie przybliżenie kształtu zwisu. Wartość strzałki ugięcia taśmy wpływa zarówno na opory ruchu powstające przy przechodzeniu cięgła przez podpory krążnikowe, jak i na naprężenia w taśmie. Wykorzystując zależność (2), strzałkę ugięcia, czyli maksymalną wartość zwisu taśmy można wyrazić wzorem: f 2 l z = (3) 8 p Rys. 3. Model zwisu taśmy przy niezerowej różnicy wysokości sąsiednich podpór krążnikowych Fig. 3. Model of belt sag in the case of non-zero difference between heights of adjacent idlers sets Dla łuków trasy przenośnika w płaszczyźnie pionowej należy przyjąć, że wysokość usytuowania dwóch sąsiednich podpór krążnikowych jest różna (rys. 3). Jednak także w tym przypadku obowiązują zależności (1), (2) i (3).
4. UWZGLĘDNIENIE ZWISU W MODELU TAŚMY PRZENOŚNIKA Przedstawiony model zwisu taśmy między krążnikami wykorzystano do przewidywania unoszenia taśmy ponad zestawy krążnikowe w stanach dynamicznych pracy przenośnika na projektowanym łuku wklęsłym taśmy w płaszczyźnie pionowej. Rys. 4. Sposób detekcji unoszenia taśmy ponad zestaw krążnikowy w obrębie załamania trasy przenośnika w płaszczyźnie pionowej Fig. 4. Way of detection of lifting the belt above idlers set within the curve of belt conveyor route in vertical plane Wysokości trzech kolejnych zestawów krążnikowych w obrębie łuku taśmy oznaczono h(i), h(i+1) i h(i+2). Traktując pierwszy i trzeci z tych zestawów jako punkty podparcia, wyznaczono strzałkę ugięcia taśmy f. Uzyskana wartość byłaby zwisem taśmy w punkcie x(i+1) w przypadku usunięcia z tego miejsca środkowego zestawu krążników. Jeśli zwis byłby na tyle duży, że taśma przesunęłaby się poniżej punktu o współrzędnych (x(i+1), h(i+1)), to znaczy, że taśma oparłaby się na środkowym zestawie i unoszenie by nie wystąpiło. W sytuacji odwrotnej jeśli suma wysokości h(i+1) oraz f wypadałaby poniżej prostej łączącej pierwszy i trzeci zestaw, oznaczało by to uniesienie taśmy ponad środkowym zestawem. Obliczenia powtarzane są dla każdej trójki zestawów w obrębie modelowanego łuku. 5. UNOSZENIE TAŚMY W STANACH DYNAMICZNYCH W celu wyeliminowania niebezpieczeństwa wystąpienia unoszenia taśmy ponad krążniki w trakcie pracy urządzenia, w fazie projektowania przenośnika wyznacza się minimalne dopuszczalne wartości promieni łuków wklęsłych taśmy w poszczególnych
miejscach trasy. Zastosowanie przy projektowaniu zależności statycznych nie daje jednak pewności, że zjawisko nie wystąpi w stanach dynamicznych. Rys. 5. Układ przenośnika taśmowego z pionowym załamaniem trasy taśmy Fig. 5. Belt conveyor system with vertical curve of belt route Modelowano przenośnik taśmowy z pojedynczym łukiem wklęsłym taśmy w płaszczyźnie pionowej (rys. 5). Promień łuku taśmy wyznaczono ze znanego wzoru konstrukcyjnego na minimalny promień łuku wklęsłego łączącego dwa prostoliniowe odcinki taśmy przenośnika [7]: R w S A (4) m g gdzie: S A maksymalne napięcie w taśmie na początku łuku, m jt jednostkowa masa taśmy, g przyśpieszenie ziemskie. Przy założonej maksymalnej wartości siły w taśmie na poziomie 270 kn, wykorzystując (4) wyliczono minimalny promień łuku wklęsłego, którego wartość wyniosła 280m. Wartość ta dotyczy siły w taśmie w stanie ustalonym. Wykonano symulację rozruchu przenośnika o kształcie z rys. 5 o długości 3620 m, szerokości taśmy 1,8 m, napędzanego przez 5 silników napędowych sprzężonych z trzema bębnami napędowymi, dla wyznaczonej wartości promienia łuku przy wartości napięcia wstępnego taśmy 250 kn. Zastosowano podział taśmy na 53 odcinki, z czego 10 odcinków wydzielono w obrębie modelowanego łuku. Na podstawie wyników symulacji (rys. 6) widać, że graniczna wartość siły w taśmie, powyżej której miało miejsce unoszenie ponad podpierające zestawy krążnikowe, rzeczywiście ustaliła się na poziomie ok. 270kN, choć występują pewne odchylenia od tej wartości. Jednakże w trakcie rozruchu zjawiska falowe w taśmie powodowały wzrost sił w obrębie łuku do poziomu przekraczającego założoną war- jt
tość maksymalną a w związku z tym występowało unoszenie taśmy. Okresy, gdy taśma unosiła się ponad zestawy przedstawiono na przebiegu linią pogrubioną. Zastosowany czas symulacji był na tyle krótki, że przebieg siły nie zdążył się ustalić. Rys. 6. Przebieg siły na początku łuku taśmy w trakcie 60s rozruchu przenośnika taśmowego linią pogrubioną zaznaczono okresy, w których występowało unoszenie taśmy ponad podpierające zestawy krążnikowe Fig. 6. Course of force in the beginning of belt curve during belt conveyor start-up heavy line marks periods of lifting the belt above supporting idlers sets W powyższym przykładzie założona wartość promienia łuku wklęsłego 280m okazała się zbyt mała by nie dopuścić do odrywania taśmy od podpierających ją krążników. W celu wyeliminowania tego zjawiska należałoby przyjąć maksymalną wartość siły w taśmie na poziomie powyżej 400kN bądź umiejscowić napęd pośredni przed załamaniem trasy taśmy w celu zmniejszenia chwilowych wartości sił w taśmie w obrębie łuku. 6. WNIOSKI Model wykorzystujący krzywą łańcuchową stanowi wystarczające przybliżenie zwisu taśmy między sąsiednimi zestawami krążnikowymi a jego zastosowanie pozwala przewidzieć unoszenie taśmy nad zestawy krążnikowe na łukach wklęsłych. Wyniki uzyskane z symulacji są zbliżone do rezultatów obliczeń dokonanych za pomocą wzorów statycznych, dając dodatkowo możliwość śledzenia występowania unoszenia ta-
śmy ponad krążniki w trakcie pracy w stanach dynamicznych a przez to usprawnienia procesu projektowania przenośników taśmowych prowadzonych po pionowych łukach wklęsłych. Model wykorzystujący krzywą łańcuchową można zastosować dla przenośników z kilkoma załamaniami na trasie taśmy. Ponadto kształt załamań może odbiegać od łuku koła. Zastosowanie wzoru statycznego (4) może w tych warunkach być utrudnione lub nawet niemożliwe. Dodatkową zaletą proponowanej metody jest brak konieczności zakładania wartości napięcia w taśmie. Wartość ta jest trudna do określenia bez wykonania obliczeń dynamicznych. LITERATURA [1]GŁADYSIEWICZ L., Metoda wyznaczania oporów głównych przenośnika taśmowego ze szczególnym uwzględnieniem właściwości taśmy, Pr.Nauk.Centr.Progr.Badań Nauk. 02.05. Wydawnictwo PW, Warszawa, 1990. [2]KAROLEWSKI B., Modell der Durchhaenge zwischen den Foerderbandtragrollensaetzen und des Schlupfles auf der Antriebstromel. Modelowanie zwisów taśmy przenośnikowej między zestawami krążników oraz poślizgu na bębnie napędowym. Deutsche Hebe- und Fordertechnik 1992, H. 5, s.46-50. [3]KAROLEWSKI B., Modelowanie zjawisk dynamicznych w przenośnikach taśmowych, Pr. Nauk. Inst. Energoelektr. PWr. Nr 63, Monografia nr 14, Wrocław, 1985. [4]KAROLEWSKI B., LIGOCKI P., Modelowanie przenośnika taśmowego, Górnictwo Odkrywkowe, nr 1/2004, s.41-45, [5]KINSNER K. i inni, Sieci elektroenergetyczne, Wyd. PWr, Wrocław, 1993, [6]LIGOCKI P., KAROLEWSKI B., Badanie wpływu parametrów taśmy na przebiegi rozruchowe przenośnika, Pr. Nauk. Inst. Maszyn, Nap. i Pom. El. PWr, Nr 56, Studia i Materiały nr 24, Wrocław 2004, s.349-358. [7]ŚCIĘGOSZ W., Obliczenia podstawowe przenośników taśmowych, Zeszyty Problemowe COBPGO POLTEGOR nr 43, Wrocław, 1972. MODELLING OF VIBRATIONS OF CONVEYOR BELT IN VERTICAL PLANE Way of modeling of belt sags between adjacent idlers sets in the belt conveyor was presented. Influence of wave phenomenon in conveyor belt during dynamical states on size of belt sags was taken into consideration. Functioning of examination of appearance of lifting the belt above supporting idlers sets within concave curves in a belt conveyor route in vertical plane method was presented.