WPŁYW ISTNIENIA ROZWIĄZAŃ WIELOKROTNYCH NA DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA WARTOŚCI PRĘDKOŚCI KRYTYCZNEJ MODELU POJAZDU SZYNOWEGO

PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 73 Transport 2010 Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński Politechnika Warszawska, Wydział Transportu WPŁYW ISTNIENIA ROZWIĄZAŃ WIELOKROTNYCH NA DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA WARTOŚCI PRĘDKOŚCI KRYTYCZNEJ MODELU POJAZDU SZYNOWEGO Rękopis dostarczono, grudzień 2010 Streszczenie: Stateczność (modelu) pojazdu szynowego w ruchu po torze zakrzywionym stanowi zagadnienie badawcze, które jest przedmiotem wieloletnich badań autorów [1, 8 16]. Fragment tego typu badań zawiera również niniejszy artykuł. Podstawowym parametrem używanym w analizie stateczności ruchu pojazdów szynowych jest prędkość krytyczna. W dotychczas wykonanych badaniach autorzy wyznaczali prędkość krytyczną w sposób przybliżony. Pozwalało to na znaczne ograniczenie badań symulacyjnych i skrócenie czasu ich realizacji. Istotą badań, których wyniki zamieszczono w artykule, jest zidentyfikowanie ewentualnego występowania rozwiązań wielokrotnych i precyzyjne wyznaczenie wartości prędkości krytycznej, bez względu na występowanie bądź nie takich rozwiązań. Porównanie nowych wartości prędkości z wcześniej wyznaczonymi w sposób przybliżony może stanowić miarę dokładności stosowanych metod wyznaczania wartości prędkości krytycznej. Parametrem poddanym obserwacji i analizie w badaniach są przemieszczenia poprzeczne atakującego zestawu kołowego. Stanowią one źródło informacji niezbędnych do utworzenia wykresów bifurkacyjnych obejmujących pełny zakres promieni łuku, nazywanych,,mapami stateczności ruchu. Słowa kluczowe: dynamika pojazdów szynowych, stateczność ruchu, prędkość krytyczna 1. WSTĘP Zjawiska występujące podczas ruchu pojazdu szynowego są przedmiotem badań teoretycznych i doświadczalnych od początku istnienia tego rodzaju środka transportu. Dziesięciolecia badań i rozwoju doprowadziły do wyodrębnienia się pewnych dziedzin jak np.: bezpieczeństwo ruchu, komfort, stateczność, zagadnienia związane z trwałością i niezawodnością oraz inne. Autorzy niniejszej publikacji prowadzą badania teoretyczne zaliczane do analizy stateczności ruchu. W sposób pośredni odnoszą się one również do bezpieczeństwa ruchu. Obiektem badań jest model numeryczny układu mechanicznego pojazd szynowy tor. Pozwala on na obliczenie wybranych parametrów kinematycznych i dynamicznych dla dowolnych zadanych warunków ruchu. Przedmiotem

20 Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński dotychczasowych analiz było określenie wpływu na stateczność ruchu czynników takich jak: parametry układu zawieszenia pojazdu, rodzaj zarysów kół i szyn, zużycie zarysów, przechyłka toru, pochylenie szyn i inne [10-16]. W większości badanych przypadków obserwacji i analizie poddane zostałrzemieszczenia poprzeczne atakującego zestawu kołowego y. W zależności od przyjętych układów współrzędnych i rodzaju trasarametr ten (rozwiązania układu), może przyjmować wartości ujemne lub dodatnie. Ponieważ z punktu widzenia stateczności istotna jest wartość (znak informuje o kierunku przemieszczeń), przyjmowano więc do analizy wartość bezwzględną przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego. Przykładowe przebiegi zmian przemieszczeń poprzecznych w funkcji drogi pokonywanej przez model przedstawia Rys. 4 c i d. Jak można zauważyć parametr ten może dążyć do przyjęcia wartości stałej (c) lub zmiennej (d). W pierwszym przypadku charakter rozwiązań nazywany jest stacjonarnym (quasistatycznym). Początkowe zmiany wynikają z nałożenia na oba zestawy kołowe. W drugim przypadku zmiany mają charakter okresowy o stałej częstotliwości i amplitudzie. Nazywane są rozwiązaniami okresowymi i mają charakter cyklu granicznego. Oba typy rozwiązań należą do rozwiązań statecznych. Oznacza to niezmienność ruchu (i rozwiązania) na dowolnie długim odcinku toru. Widoczna asymetria przemieszczeń względem linii zerowej wynika z ruchu po łuku z prędkością, dla której występuje niezrównoważenie sił poprzecznych w płaszczyźnie toru na skutek niedoboru przechyłki. Prędkość ruchu modelu jest jednym z parametrów decydujących o charakterze rozwiązań ( lub ) przy założeniu, że wszystkie inne parametry układu pozostają stałe. występują przy mniejszych prędkościach. Z uwagi na fakt, że badany model umożliwia zadanie jednej stałej wartości prędkości w danej symulacji ruchu, chcąc wykonać obliczenia dla innej należrzeprowadzić nową symulację zmieniając wartość prędkości z określonym krokiem. Najmniejsza zadana prędkość ruchu, dla której pojawią się rozwiązania o charakterze cyklu granicznego nazywana jest prędkością krytyczną układu nieliniowego. W przypadku układu o cechach podkrytycznych jej wartość definiuje punkt bifurkacji siodłowowęzłowej (S-W; patrz Rys. 4 a i b). W przypadku układu o cechach nadkrytycznych wartość równa jest prędkości krytycznej układu liniowego v c. Wystąpienie w układzie prędkości krytycznej nie musi oznaczać wykolejenia, ponieważ zakres okresowych przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego mieści się w przedziale stosowanego luzu poprzecznego zestaw kołowy tor. Z punktu widzenia stateczności ruchu najistotniejsze jest wyznaczenie wartości prędkości krytycznej oraz maksymalnej prędkości, dla której rozwiązania mają jeszcze charakter cyklu granicznego lub stacjonarny (największej możliwej prędkości ruchu). W dotychczasowych badaniach autorzy wyznaczali prędkość krytyczną w symulacjach ruchu na torze prostym, traktując ją jako punkt wyjścia. Następnie wyznaczali prędkości krytyczne w łukach, przyjmując na podstawie ograniczonej liczby symulacji domniemanie, że prędkości w łukach będą takie same i równe prędkości krytycznej wyznaczonej na torze prostym. W zdecydowanej większości przypadków domniemanie to potwierdziło się. Stąd przyjmowano jedną wartość oddzielającą zakres rozwiązań stacjonarnych od rozwiązań okresowych na wszystkich badanych trasach (łukowych o promieniach, Rys. 5 i 6). Ze względu na powyższe domniemanie oraz na znaczny interwał prędkości i wartości warunków należy uznać, że wyznaczanie prędkości miało charakter uproszczony. W niniejszej pracodjęto próbę zweryfikowania

Wpływ istnienia rozwiązań wielokrotnych na dokładność wyznaczania wartości prędkości 21 dokładności wartości wyznaczonych w poprzednich badaniach. Badany układ mechaniczny należy do grupy tzw. układów o sztywnym charakterze pobudzenia. Oznacza to, że dla parametrów ruchu spełniających warunki wystąpienia rozwiązań okresowych (drgań samowzbudnych w układzie rzeczywistym), układ wymaga wymuszenia go o określonej wartości aby rozwiązania zmieniły charakter na okresowy. Rysunek 1 przedstawia charakter rozwiązań (przemieszczeń poprzecznych atakującego zestawu kołowego) w funkcji drogi pokonywanej przez model na torze prostym, przy stałej prędkości ruchu 43m/s i różnych wymuszeniach (przemieszczeniach poprzecznych zestawów względem toru). y(0)=m y(0)=m v=43 m/s y(0)=22m y; [m] 0 y(0)=21m - - - 0 100 200 300 400 500 droga; [m] Rys. 1. Wpływ wartości y(0) na charakter rozwiązań badanego układu Jak można zauważyć dla mniejszych od 0,00021m amplitudrzemieszczeń mają charakter malejący, rozwiązania przyjmują charakter stacjonarny (quasistatyczny). Wartością graniczną (minimalną), dla której następuje zmiana charakteru rozwiązań na okresowy jest 0,00022m. Można więc zauważyć, że bardzo małe zmiany wartości (0,01mm) mają istotny wpływ na charakter rozwiązań a zatem i na stwierdzenie wystąpienia krytycznej wartości prędkości ruchu. Większe od 0,00022m wymuszenia nie mają wpływu na charakter rozwiązań a jedynie na skrócenie drogi, na której następuje stabilizacja wartości amplitudy przemieszczeń. Przedstawione na Rys. 1 wyniki uzyskano z modelu wyposażonego w tablice parametrów kontaktowych utworzoną dla kół o zarysach S1002 i szyn UIC60. Dla innych konfiguracji zarysów graniczna wartość ma inną wartość. Na przykład dla zarysów kół typu BR-P10 i szyn UIC60 jest to 0,0045m, np. [15, 16], a więc dla konkretnych konfiguracji modelu wymuszenia decydujące o charakterze rozwiązań mogą różnić się w sposób znaczący. Wykonując wielokrotne symulacje ruchu dla poszczególnych konfiguracji modelu stwierdzono, że wymuszenia o wartości 0,0045m są w każdym przypadku dostatecznie dużą wartością do zainicjowania rozwiązań okresowych (drgań samowzbudnych), jeżeli spełnione są warunki sprzyjające transformacji energii ruchu roboczego modelu pojazdu do układu drgającego (przemieszczenia poprzeczne zestawów kołowych). Dlatego w dotychczasowych badaniach zadawano wymuszenia o wartości 0,0045m w każdej symulacji. Decyzji takiej towarzyszyła świadomość przybliżonego wyznaczania wartości prędkości krytycznej i potencjalnej możliwości pomijania rozwiązań wielokrotnych. Podyktowana była przede wszystkim potrzebą skrócenia czasu obliczeń. Zwiększenie dokładności wyznaczania wartości prędkości krytycznej w niniejszym artykule osiągnięto poprzez zmniejszenie

22 Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński interwału prędkości pomiędzoszczególnymi symulacjami i wariantowanie (skrupulatne przeszukiwanie) zakresu warunków przy stałych prędkościach ruchu. 2. BADANY MODEL Badany układ mechaniczny to model pojazdu szynowego dwuosiowego z jednym stopniem usprężynowania (Rys. 2). Odpowiada on strukturze wagonu towarowego HSFV1 kolei brytyjskich [9]. Model wagonu uzupełniono o poprzecznie i pionowo podatny model toru (Rys. 3). Model wagonu i toru są badane łącznie, stanowiąc dyskretny układ pojazd szynowy tor. Model matematyczny układu zbudowano zgodnie z metodyką a) m ty k ty t c ty b) y 2b z x r t m t m t m t k t c t k t c t k t c t Rys. 2. Struktura modelu pojazdu Rys. 3. Struktura modelu toru podatnego: a) poprzecznie, b) pionowo uogólnionego modelowania dynamiki pojazdów szynowych przedstawioną w [9]. Dynamika pojazdu jest w tej metodzie dynamiką ruchu względnego. Oznacza to, że jej opis jest wykonany względem ruchomych układów odniesienia związanych z linią środkową toru. Do opisu zastosowano formalizm Lagrange a II rodzaju adaptowany do opisu w układach ruchomych o postaci: d E w E w = Q Z + Q B, ρ = 1...,,k dt q & q ρ ρ ρ ρ (1) gdzie q ρ, Q Zρ, Q Bρ, k oraz E w oznaczają odpowiednio: współrzędne uogólnione ruchu względnego, uogólnione siły zewnętrzne, uogólnione siłozorne, liczbę stopni swobody układu oraz energię kinetyczną ruchu względnego. Równania (1) i sposób wyznaczania sił Q Bρ omówiono w [8, 9]. Na nieliniowość równań składają się nieliniowości kinematyczne, siłozorne, nieliniowa geometria kontaktu koło szyna oraz nieliniowe siły styczne w tym kontakcie, obliczane za pomocą procedury FASTSIM. Przyjęto natomiast liniowość sił sprężystości i tłumienia w elementach podatnych. W modelu zastosowano nominalne

Wpływ istnienia rozwiązań wielokrotnych na dokładność wyznaczania wartości prędkości 23 profile kół typu S1002 i BR-P10 oraz szyn UIC60 i S49 o pochyleniu 1:40 i rzeczywistym zarysie, co jest jedną z przyczyn nieliniowej geometrii kontaktu. Informacje o geometrii wprowadzane są do modelu poprzez tablice parametrów kontaktowych. Są one tworzone za pomocą programu RSGEO ArgeCare. Program ten wymaga danych wejściowych w postaci zarysów (teoretycznych lub zmierzonych) kół i szyn i na tej podstawie rozwiązuje dwuwymiarowe zagadnienie geometryczne, polegające na poszukiwaniu punktów kontaktu pomiędzy zarysami w funkcji ich względnego przemieszczenia poprzecznego. Ponadto uwzględniono zmianę wartości parametrów kontaktowych związaną ze zmiennością kąta nabieganiaψ (obrót wokół osi pionowej). Zrealizowano to przez wygenerowanie serii tablic parametrów kontaktowych dla różnych wartości ψ i odpowiednią interpolację tych parametrów w trakcie symulacji. 3. METODA BADAŃ Źródłem informacji są symulacje ruchu modelu przy stałych prędkościach. Obserwacji i analizie poddano przemieszczenia poprzeczne atakującego zestawu kołowego. Z uwagi na podatność toru są to przemieszczenia względne zestaw tor. Dla każdej symulacji tworzony jest wykres zmian przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego w funkcji drogi, który może mieć postać jak na Rys. 4 c lub d. Następnie z każdego takiego wykresu odczytywana jest wartość maksymalna przemieszczeń, która stanowi jeden punkt na wykresie maksymalnych przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego w funkcji prędkości. Jak wspomniano we wstępie, znak przemieszczeń zależy od kierunku przyjętych układów współrzędnych i kierunku skrętu badanego łuku trasy. Ponieważ nie ma on znaczenia z punktu widzenia stateczności ruchu, przyjęto podawać wartość bezwzględną maksymalnych przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego ( y max). Jeżeli rozwiązania mają charakter okresowy, istotny jest jeszcze co najmniej jeden parametr przemieszczeń. Przyjęto podawać, wartość międzyszczytową (WMS). Informuje on o zakresie zmian przemieszczeń w jednym cyklu. Odczytana wartość stanowi jeden punkt na wykresie WMS w funkcji prędkości ruchu modelu. Na podstawie wykonanych kolejno symulacji z prędkościami zmienianymi w określonym kroku na danej trasie, tworzona jest para wykresów o postaci z Rys. 4 a i b. Jest to przykład wyników uzyskanych na trasie kołowo-łukowej o stałej wartości promienia łuku R i przechyłki toru h. Równowaga składowych poprzecznych w płaszczyźnie toru sił ciężkości i odśrodkowej występuje tylko dla jednej wartości prędkości ruchu. Z faktu tego oraz różnych co do zasadoślizgów względnych kół na toku zewnętrznym i wewnętrznym wynika asymetria przemieszczeń poprzecznych zestawu względem linii środkowej toru (wartości zerowej na osi rzędnych). Wartości użytych przechyłek podano w tablicy 1. Wykonując kolejne symulacje na trasach łukowych o różnych stałych wartościach promienia, można uzyskać analogiczne pary wykresów. W pracy wyniki uzyskane z różnych wartości promieni łuków przyjęto prezentować na jednej parze wykresów, co daje pełny obraz wpływu promienia łuku i prędkości ruchu na

24 Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński badane parametry modelu. Przykłady uzyskanych wcześniej wyników przedstawiono na Rys. 5 i 6. Tablica. 1 Badane promienie łuków i zastosowane przechyłki toru Promień łuku R [m] 600 750 900 1200 2000 3000 4000 6000 10000 Przechyłka h [m] 0,16 0,16 0,16 0,16 0,155 0,110 0,077 0,051 0,031 a) y max; [m] Rozwiazania Rozwiazania Rozwiazania nie 20 40 v c 60 v s 80 predkosc; [m/s] v=40m/s < v n - - - - - 0 100 200 300 400 500 droga; [m] c) y; [m] S-W b) WMS; [m] y; [m] 20 40 v c 60 v s 80 predkosc; [m/s] v=45m/s > v n - - - - - - 0 100 200 300 400 500 droga; [m] d) S-W Rozwiazania Rozwiazania Rozwiazania nie Rys. 4. Schemat metody tworzenia wykresów bifurkacyjnych

1/40 1:40 Wpływ istnienia rozwiązań wielokrotnych na dokładność wyznaczania wartości prędkości 25 y max; [m] 5 5 5 5 5 5 R=1200m R=2000m v; [m/s] R=2000m R=3000m R=4000m R=6000m R=1200m R=10000m 5 0-5 5 15 25 35 45 55 65 WMS; [m] 0.009 R=3000m R=4000m R=6000m R=1200m R=10000m R=2000m... 5 15 25 35 45 55 65 v; [m/s] Rys. 5. Wykresy stateczności ruchu modelu z konfiguracją zarysów kół S1002 i szyn UIC60 y max; [m] - R=450m R=3000m R=4000m R=6000m R=10000m R=1200m R=2000m R=1200m R=2000m T. pr. R=3000, 4000, 6000, 10000m 5 15 25 35 45 55 65 v; [m/s] WMS; [m] 0.009 R=10000m R=6000m R=4000m R=3000m R=2000m R=450m... R=1200m R=450m 5 15 25 35 45 55 65 v; [m/s] Rys. 6. Wykresy stateczności ruchu modelu z konfiguracją zarysów kół S1002 i szyn S49 4. WYNIKI BADAŃ W pracrzedstawiono wyniki uzyskane z badań modelu wykorzystującego tablice parametrów kontaktowych utworzone dla par zarysów kół i szyn kolejno: S1002/UIC60, BR-P10/UIC60, S1002/S49. Zamieszczone na Rys. 5 i 6 wyniki wcześniejszych badań stanowią bazę porównawczą dla wyników bieżących.

26 Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński 4.1. MODEL Z ZARYSAMI KÓŁ I SZYN S1002/UIC60 Trasa o promieniu łuku R = 600m, posiada najmniejszą wartość promienia, dla którego możliwe jest zidentyfikowanie prędkości krytycznej oraz rozwiązań statecznych okresowych w obszarze prędkości większych od krytycznej, dla tej konfiguracji zarysów kół i szyn. Na trasach o mniejszych promieniach łuków występowały rozwiązania przy mniejszych prędkościach, po czym następowało przejście do rozwiązań niestatecznych objawiających się nieograniczonym wzrostem (tzw. wykolejeniem numerycznym) przy większych prędkościach. Jak można zauważyć na Rys. 7, pierwotnie określona wartość prędkości krytycznej (na torze prostym) 43m/s, nieznacznie różni się od precyzyjnie wyznaczonej wartości =42,7m/s. Przy tej prędkości graniczna wartość (0) wynosi 0,0039m. Dla wartości (0) mniejszych od 0,0039m występowały rozwiązania, dla (0) większych od 0,0039m rozwiązania o charakterze cyklu granicznego. Należy również zauważyć, że w całym zakresie badanych prędkości nie udało się na tej trasie zidentyfikować istnienia statecznych rozwiązań wielokrotnych. Na Rys. 7 oraz rysunkach kolejnych dla odróżnienia wartości prędkości wyznaczonych metodą przybliżoną i precyzyjnie te pierwsze przekreślono. (0)>9m (przy 42.7 m/s) dla dowolnych (cykl graniczny) (0)<9m =42.7m/s ( =43 m/s) 5 15 25 35 45 Stateczne rozwiązania dla dowolnych (0)>9m (0)<9m Stateczne rozwiązania =42.7 m/s =43m/s 5 15 25 35 45 UIC60/S1002 Rys. 7. Wykresy stateczności ruchu dla zarysów S1002/UIC60 na trasie o promieniu R = 600m Na trasie o większym promieniu łuku, różnica pomiędzy wartością prędkości określonej pierwotnie i dokładnie wzrosła (Rys. 8). W tym przypadku =39,8m/s, co jest wartością mniejszą od wartości określonej pierwotnie o 3,2m/s. Graniczna wartość wynosi (0)=0,0013m. Również w tym przypadku nie udało się zidentyfikować zakresu prędkości, w którym występowałyby rozwiązania wielokrotne.

Wpływ istnienia rozwiązań wielokrotnych na dokładność wyznaczania wartości prędkości 27 (cykl graniczny) (0)>3m (przy 39.8 m/s) (0)<3m dla dowolnych =39.8 m/s =43 m/s 5 15 25 35 45 55 =39.8m/s =43m/s UIC60/S1002 5 15 25 35 45 55 Rys. 8. Wykresy stateczności ruchu dla zarysów S1002/UIC60 na trasie o promieniu Zwiększenie promienia łuku do 1200m powoduje zmniejszenie wartości prędkości krytycznej do 39,4m/s (Rys. 9). Jest to najmniejsza prędkość, przy której pojawiają się rozwiązania a graniczna wartość wynosi 0,0014m. Występuje tutaj również w zakresie prędkości ruchu 39,4 40,1m/s, obszar rozwiązań wielokrotnych zależnych od. Oznacza to, że przrędkości 39,4m/s zadając wymuszenia mniejsze od 0,0014m wystąpią rozwiązania. Natomiast dla większych od 0,0014m przy tej samej prędkości pojawią się rozwiązania. Następnie wraz ze wzrostem prędkości zmniejsza się wartość decydująca o charakterze rozwiązań. Przy prędkości 40,1m/s wynosi ona 0,0002m. Dla większych prędkości ruchu występują już wyłącznie rozwiązania. R=1200m dla dowolnych (cykl graniczny) (0)>4m (0)<4m dla dowolnych (do v=39.4m/s) 39.4m/s =43 m/s UIC60/S1002 (0)>2m (przy 40.1m/s) (0)<2m 5 15 25 35 45 55 R=1200m dla dowolnych (od 40.1m/s) i (zależne od ) (do 39.4m/s) 39.4m/s 40.1m/s UIC60/S1002 =43 m/s 5 15 25 35 45 55 Rys. 9. Wykresy stateczności ruchu dla zarysów S1002/UIC60 na trasie o promieniu R=1200m Na trasie o dużym promieniu łuku R=10000m prędkość krytyczna ma jeszcze mniejszą wartość 37,7m/s (Rys. 10). Graniczna wartość decydująca o charakterze rozwiązań wynosi (0)=0,00037m. Następnie w miarę zwiększania prędkości ruchu zmniejsza się wartość decydująca o charakterze rozwiązań

28 Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński (linia przerywana gruba) i przrędkości 43m/s wynosi 0,00002m. Dla większych prędkości ruchu istnieją już wyłącznie jednokrotne rozwiązania. Tak więc na tej trasie w zakresie prędkości 37,7 43m/s występują rozwiązania wielokrotne:, i nie. Linię przerywaną rozwiązań niestatecznych okresowych definiują wartości decydujące o statecznym okresowym lub statecznym stacjonarnym charakterze rozwiązań (tu zawarte pomiędzy 0,00037 a 0,00002m). 5 5 5 5 5 0-5 R=10000m dla dowolnych (cykl graniczny) (0)=37m (przy =37.7m/s) Stateczne rozwiązania Nie rozwiązania. (0)=02m (przy v=43m/s) =43 m/s 5 15 25 35 45 55 65 R=10000m dla (0)>37m (przy v=37.7m/s) =37.7m/s dla (0)<02m (przy 43m/s) 5 15 25 35 45 55 65 Rys. 10. Wykresy stateczności ruchu dla zarysów S1002/UIC60 na trasie o promieniu R=10000m W porównaniu do poprzednio zbadanych tras kołowo-łukowych, zakres prędkości, w którym występują rozwiązania wielokrotne jest tutaj najszerszy. Na torze prostym różnica pomiędzrędkością krytyczną wyznaczoną,,zgrubnie w poprzednich badaniach a tą wyznaczoną precyzyjnie osiągnęła największą wartość (Rys. 11). Dla (0) 0,0004m, rozwiązania pojawiają się przrędkości 37m/s. Dla mniejszych istnieją rozwiązania 0 UIC60/S1002 UIC60/S1002 0 0 0 0 0 (cykl graniczny) współistniejące z rozwiązaniami stacjonarnymi (0)=4m przy =37m/s =43 m/s v c =51m/s. Dowolne wymuszenia. (0)=0m 5 15 25 35 45 55 65 Współistniejące rozwiązania i =37m/s ( =43m/s) v c =51m/s nie 5 15 25 35 45 55 65 Rys. 11. Wykresy stateczności ruchu modelu z zarysami kół i szyn S1002/UIC60 na torze prostym

Wpływ istnienia rozwiązań wielokrotnych na dokładność wyznaczania wartości prędkości 29. Wraz ze wzrostem prędkości zmniejszają się wartości decydujące o charakterze rozwiązań (linia przerywana gruba) i przy prędkości 51m/s dla (0)=0,0 występują rozwiązania natomiast dla każdych większych od zera,. Dla większych prędkości istnieją wyłącznie rozwiązania. A więc tutaj występuje najszerszy zakres prędkości (37 51m/s), w którym występują rozwiązania wielokrotne zależne od wartości :, i nie. 4.2. MODEL Z ZARYSAMI KÓŁ I SZYN BR-P10/UIC60 W poprzednio wykonanych badaniach [9, 11] prędkość krytyczną modelu z zarysami kół BR-P10 i szyn UIC60, na torze prostym, zidentyfikowano przy 45,3m/s (patrz Rys. 12). Zwiększając wymuszenia od 0 do 0,0054m, rozwiązania pojawiły się przrędkości 41,6m/s. Wartości (0)>0,0054m, nie miały już żadnego wpływu na charakter rozwiązań dla prędkości ruchu mniejszych od 41,6m/s. Dla większych prędkości graniczna wartość decydująca o charakterze rozwiązań, zmniejsza się (linia przerywana gruba) i przrędkości 45,3m/s wynosi zaledwie 0,00001m. Otrzymano w ten sposób nową wartość prędkości krytycznej na torze prostym =41,6m/s. Należy zaznaczyć, że w tym przypadku na trasach łukowych wymuszenia nie miały żadnego wpływu na charakter rozwiązań dla prędkości ruchu mniejszych od 45,3m/s. A więc pierwotnie określona wartość prędkości krytycznej na trasach będących łukami pozostała słuszna. Ilustrację wyników tych badań tu pominięto ale można ją odszukać w [11]. (cykl graniczny) Nie rozwiązania dla dowolnych v c =45.3m/s ( =45.3m/s) =41.6m/s 4m 9m 6m 3m m (0) mniejsze niż 9m 1E-005m UIC60/BR-P10 (0) większe niż 0.014 0.012 (zależne od ) (zależne od ) dla dowolnych =41.6m/s UIC60/BR-P10 dla niezerowych (powyżej v c =45m/s) v c =45.3m/s =45.3m/s nie Rys. 12. Wykresy stateczności ruchu modelu z zarysami kół i szyn BR-P10/UIC60 na torze prostym

30 Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński 4.3. MODEL Z ZARYSAMI KÓŁ I SZYN S1002/S49 Dla modelu z zarysami kół S1002 i szyn S49 w poprzednich badaniach prędkość krytyczna została zidentyfikowana na torze prostym przy 33,2m/s (Rys. 6). Wartość ta nie uległa zmianie mimo uszczegółowienia badań (Rys. 16). Model z rozważanymi zarysami charakteryzował się rozwiązaniami statecznymi stacjonarnymi na trasach o małych promieniach łuków (600 i 900m), w pewnych zakresach prędkości ruchu większych od wartości krytycznej (Rys. 6). Szczegółowe badania na trasie o promieniu łuku 600m, przy zmienianych w szerokim zakresie wymuszeniach wykazały, że najmniejsza prędkość ruchu, przy której pojawiają się rozwiązania wynosi 38,5m/s (Rys. 13). Graniczna wartość (0)=0,0016m. Dla mniejszych istniały rozwiązania, dla większych. Następnie w miarę zwiększania prędkości ruchu wartości decydujące o charakterze rozwiązań zmniejszają się i przrędkości 42,5m/s wynoszą 0,0009m. Dla większych prędkości ruchu i dowolnych istnieją już wyłącznie rozwiązania. A więc na tej trasie prędkość krytyczna =38,5m/s. Oraz w zakresie prędkości 38,5 42,5m/s występuje obszar rozwiązań wielokrotnych statecznych stacjonarnych i statecznych okresowych. (0)>(6...9)m (0)>6m (0)<6m =38.5m/s (0)<(6...9)m =33,2m/s 42.5m/s S49/S1002 (0)>9m (0)<9m dla dowolnych 0.009 (0)>6...9m dla dowolnych =33.2ms =38.5m/s v=42.5m/s S49/S1002 Współistniejące rozwiązania dla <6...9m dla dowolnych Rys. 13. Wykresy stateczności ruchu modelu dla zarysów S1002/S49 na trasie o promieniu Podobna sytuacja występuje na trasie o promieniu łuku (Rys. 14). występują do prędkości 34,2m/s. Przy tej prędkości dla (0) 0,0039m, pojawiają się rozwiązania współistniejące z rozwiązaniami stacjonarnymi do prędkości 35,5m/s. Przy tej prędkości dla (0)=0,0 otrzymuje się rozwiązanie, natomiast dla każdego większego od zera wymuszenia go, rozwiązanie. Wyłączne rozwiązania występują do prędkości 59,8m/s. Następnie przy tej prędkości dla (0) 0,0033m pojawiają się rozwiązania, natomiast dla (0)<0,0033m istnieją w dalszym ciągu rozwiązania aż do prędkości 64m/s. Przy tej prędkości graniczna wartość

Wpływ istnienia rozwiązań wielokrotnych na dokładność wyznaczania wartości prędkości 31 decydująca o charakterze rozwiązań wynosi (0)=0,0006m. Dla mniejszych wartości występują rozwiązania dla większych. Powyżej prędkości 64m/s istnieją wyłącznie rozwiązania. A więc na tej trasie istnieją dwa zakresrędkości, w których występują rozwiązania wielokrotne zależne od wartości : 34,2 35,5m/s i 59,8 64m/s. (0)>9m (0)<9m dla dowolnych =33,2 m/s =34.2m/s (0)<3m (0)>3m (0)>0 (0)=0 59.8m/s 35.5m/s (0)>6m (0)<6m 64m/s Dowolne wym. początk. 0.009 dla dowolnych dla dowolnych =34.2m/s (0)<3...6m Współistniejące rozwiązania i S49/S1002 >3...6m Dowolne wymuszenia Rys. 14. Wykresy stateczności ruchu modelu dla zarysów S1002/S49 na trasie o promieniu Na trasie o dużym promieniu łuku R=10000m, rozwiązania pojawiły się przrędkości 33,2m/s dla (0) 0,0024m. Potwierdza to słuszność wyznaczonej w badaniach poprzednich wartości prędkości krytycznej (Rys. 6). Charakterystycznym zjawiskiem występującym na tej trasie jest pojawienie się rozwiązań wielokrotnych, statecznych okresowych w zakresie prędkości 33,2 33,9m/s. Są to rozwiązania o większych wartościach dla (0) 0,0024m oraz rozwiązania o mniejszych wartościach dla R=10000m dla dowolnych (0)>4m =33.2m/s (0)<4m dla dowolnych v=33.9m/s S49/S1002 (0)=0 Możliwe rozwiązania nie (33.2<v<33.9m/s) 0.009 R=10000m dla dowolnych (0)>4m =33.2m/s (0)<4m S49/S1002 dla dowolnych Współistniejące dwa różne rozwiązania (33.2<v<33.9m/s) Możliwe rozwiązania nie (33.2<v<33.9m/s) Rys. 15. Wykresy stateczności ruchu dla zarysów S1002/S49 na trasie o promieniu łuku R=10000m

32 Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński zerowych ( (0)=0,0m). Obserwując wyniki uzyskane na trasach o mniejszych promieniach łuków, można domniemywać, że w tym zakresie prędkości mogą współistnieć również rozwiązania nie, będące przedłużeniem linii rozwiązań stacjonarnych statecznych. Na torze prostym rozwiązania pojawiły się przrędkości 33,2m/s dla (0) 0,003m (Rys. 16). dla dowolnych (0)>m (0)<m =33.2 m/s S49/S1002 (dla v>34.1m/s) v c =34.1m/s Współistniejące rozwiązania i (33.2<v<34.1m/s) Nie rozwiązania (0)=0 dla dowolnych Współistniejące rozwiązania i =33.2m/s (dla v>34.1m/s) Możliwe rozwiązania nie (dla v>v c ) Nie rozwiązania v c =34.1m/s Rys. 16. Wykresy stateczności ruchu modelu z zarysami kół i szyn S1002/S49 na torze prostym To, podobnie jak dla łuku o promieniu R=10000m, potwierdza prawidłowość wyznaczenia wartości prędkości krytycznej w badaniach poprzednich (Rys. 6). Zwiększanie prędkości ruchu powoduje zmniejszanie wartości decydujących o charakterze rozwiązań (linia przerywana gruba). Przrędkości 34,1m/s dla zerowych występują jeszcze rozwiązania. Natomiast dla większych od zera rozwiązania. A więc w zakresie prędkości 33,2 34,1m/s współistnieją rozwiązania:, i nie. Na zakończenie należy jeszcze dodać, że na trasach o promieniach łuków z zakresu 1200 6000m, nie zidentyfikowano zakresów prędkości, w których istniałyby rozwiązania wielokrotne. Również wartość prędkości krytycznej wyznaczonej w badaniach poprzednich,,zgrubnych, potwierdziła się w badaniach szczegółowych na tych trasach. 5. WNIOSKI Zastosowana metoda wyznaczania prędkości krytycznej z wariantowaniem w całym zakresie badanych prędkości ruchu, niewątpliwie zwiększa pracochłonność badań. Pozwala jednak na zwiększenie dokładności wyznaczenia wartości prędkości krytycznej oraz zidentyfikowanie istnienia ewentualnych rozwiązań wielokrotnych. Metoda ta oprócz dokładnego wyznaczenia wartości prędkości krytycznej

Wpływ istnienia rozwiązań wielokrotnych na dokładność wyznaczania wartości prędkości 33 układu nieliniowego, pozwala na określenie wartości prędkości krytycznej układu liniowego v c. Prędkość v c rozdziela zakres prędkości, w którym istnieją rozwiązania od zakresu, w którym istnieją rozwiązania nie (patrz Rys. 4 a i b). Jej wartości definiuje koniec linii (przerywanej grubej) rozwiązań niestatecznych okresowych. Na trasach o małych promieniach łuków, wymuszenia nie mają dużego wpływu na dokładność określenia wartości prędkości krytycznej. Jest to najprawdopodobniej podyktowane faktem, iż sam ruch po łuku w warunkach niezrównoważenia sił poprzecznych w płaszczyźnie toru, jest dostatecznie dużym pobudzeniem do zainicjowania rozwiązań okresowych w warunkach sprzyjających ich zaistnieniu. Dla modelu z zarysami S1002/UIC60 największa różnica pomiędzy wartością prędkości krytycznej określonej poprzednio,,zgrubnie i obecnie dokładnie, występuje na torze prostym i wynosi 6m/s. W miarę zmniejszania promienia łuku trasy różnica maleje osiągając najmniejszą wartość 0,3m/s na torze o promieniu łuku 600m. Dla modelu z zarysami BR-P10/UIC60 dokładnie wyznaczona prędkość krytyczna =41,6m/s i jest o 3,7m/s mniejsza od wartości określonej,,zgrubnie. Różnica występuje tylko na torze prostym. Na trasach łukowych nie stwierdzono żadnych różnic pomiędzy wartościami wyznaczonymi poprzednio i w bieżących badaniach. Nie zidentyfikowano również zakresu prędkości, w którym istniałyby rozwiązania wielokrotne. W modelu z zarysami S1002/S49 określona,,zgrubnie wartość prędkości krytycznej na torze prostym okazała się w badaniach szczegółowych wyznaczona prawidłowo. Również na trasie o promieniu łuku R=10000m szczegółowe badania potwierdziły wcześniej przyjętą wartość. Na trasach o najmniejszych promieniach łuków (600 i 900m) można w tym przypadku przyjmować większe wartości prędkości krytycznej od tej wyznaczonej na torze prostym. Podziękowanie Praca naukowa finansowana ze środków MNiSW na naukę w latach 2009-2011 jako projekt badawczy nr N N509 403136. Bibliografia 1. Dusza M., Zboiński K.: Badania stateczności ruchu pojazdu szynowego w torze zakrzywionym metodą symulacji komputerowej. Kwartalnik naukowo techniczny Pojazdy Szynowe nr 2/2004, str. 28-34. 2. Gasch R., Moelle D., Knothe K.: The effect of non-linearities on the limit-cycles of railway vehicles, Proceedings of the 8 th IAVSD-Symposium, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, USA, Swets & Zeitlinger, Lisse, 1984, pp. 207-224. 3. Hoffmann M., True H.: The dynamics of European two-axle railway freight wagons with UIC standard suspension, Vehicle System Dynamics, Berkeley 2007, Vol. 46, Supplement, Taylor & Francis, UK, 2008, pp. 225-236. 4. Moelle D., Gasch R.: Nonlinear bogie hunting, in ed.: A. Wickens, Proc. 7th IAVSD Symposium, Cambridge, UK. Swets & Zeitlinger, Lisse, 1982, pp. 455-467. 5. Polach O., Berg M., Iwnicki S.: Simulation. In Iwnicki, S. ed. Handbook of railway vehicle dynamics, CRC Press, Taylor and Francis Group, Boca Raton, London, New York, 2006. 6. True H., Jensen Ch.: Parameter study of hunting and chaos in railway vehicle dynamics, Proceedings of 13 th IAVSD Symposium, supplement to Vehicle System Dynamics, vol. 23, 1993, pp. 508-521.

34 Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński 7. True H.: Railway vehicle chaos and asymmetric hunting, Proc. of 12 th IAVSD Symposium, supplement to Vehicle System Dynamics, vol. 20, 1991, pp. 625-637. 8. Zboiński K.: Dynamical investigation of railway vehicles on a curved track, European Journal of Mechanics, Part A Solids, vol. 17, no. 6, 1998, pp. 1001-1020. 9. Zboiński K.: Metodyka modelowania dynamiki pojazdów szynowych z uwzględnieniem zadanego ruchu unoszenia i jej zastosowania, Prace Naukowe Transport, z. 43, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2000. 10. Zboiński K., Dusza M.: Komputerowe badania wpływu przechyłki toru na stateczność pojazdu szynowego w łuku, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Transport, Zeszyt 49, Gliwice 2003, str. 295-304. 11. Zboiński K., Dusza M.: Analysis and method of the analysis of non-linear lateral stability of railway vehicles in curved track, Proceedings of 18 th IAVSD Symposium, Kanagawa 2003, supplement to Vehicle System Dynamics vol. 41, 2004, pp. 222-231. 12. Zboiński K., Dusza M.: Development of the method and analysis for non-linear lateral stability of railway vehicles in a curved track, Proceedings of 19 th IAVSD Symposium, Milan 2005, supplement to Vehicle System Dynamics vol. 44, 2006, pp. 147-157. 13. Zboiński K., Dusza M.: Analysis of lateral stability of a railway vehicle model in the context of different values of rail inclination, Proceedings of 10 th VSDIA Conference, Budapest 2006, pp. 153-160. 14. Zboiński K., Dusza M.: Bifurcation approach to the influence of rolling radius modelling and rail inclination on the stability of railway vehicle in a curved track, Proceedings of 20 th IAVSD Symposium, Berkeley 2007, supplement to Vehicle System Dynamics, vol. 46, 2008, pp. 1023-1037. 15. Zboiński K., Dusza M.: Self-exciting vibrations and Hopf s bifurcation in non-linear stability analysis of rail vehicles in curved track, European Journal of Mechanics, Part A/Solids, vol. 29, no. 2, 2010, pp. 190-203. 16. Zboinski K., Dusza M.: Extended study of railway vehicle lateral stability in a curved track. Vehicle System Dynamics. First published on 14 th October 2010 (ifirst), doi: 10.1080/00423111003770447. INFLUENCE OF MULTIPLE SOLUTIONS' EXISTENCE ON ACCURACY OF DETERMINING VALUE OF CRITICAL VELOCITY OF RAIL VEHICLE MODEL Summary: Stability analysis of railway vehicle in a curved track is the problem the authors deal with [1, 10-16] for several years. Results presented in the article are continuation of such studies. The kearameter used in the stability analysis of rail vehicles is the critical velocity. In the research done by the authors till now, critical velocity was determined in an approximate way. The advantage of this was reduction of simulations number and time of the research. Variation of initial conditions (wheelset s lateral displacements) was the major idea used in the current studies. It enables detecting multiple solutions. Improvement of accuracy of non-linear critical velocity determination is also possible. Comparison of newly obtained values of critical velocity to the previously assumed was done. It makes the measure of the accuracy of applied methods for determination of value of the critical velocity. Leading wheelsets lateral displacement was the system's parameter of interest in the studies presented. Couples of bifurcation plots that represent results for full range of curve radii, called the stability maps, are the way of results presentation. Keywords: rail vehicle dynamics, stability of motion, critical velocity Recenzent: Andrzej Chudzikiewicz