Kernelizacja ćwiczenia 1

Kernelizacja ćwiczenia 1 kernelizacja na palcach, lemat o słoneczniku Zadanie 1. W problemie Max-SAT, mając daną formułę CNF-SAT i liczbę k pytamy, czy istnieje wartościowanie tej formuły spełniające co najmniej k klauzul. Pokaż, że ten problem ma jądro: 1. o co najwyżej 2k klauzulach; 2. o O(k 2 ) zmiennych. Zadanie 2. Pokaż jądro dla problemu pokrycia wierzchołkowego o co najwyżej 2k 2 /3 wierzchołkach. Zadanie 3. W problemie Feedback Arc Set in Tournaments mamy dany turniej (skierowaną klikę) i liczbę k, a pytamy, czy można odwrócić co najwyżej k krawędzi by dostać graf acykliczny. Pokaż, że problem ten ma jądro z O(k 2 ) wierzchołkami. Zadanie 4. W problemie zbioru dominującego mamy dany graf G i liczbę k i pytamy, czy istnieje zbiór k wierzchołków który dominuje całe V (G), tj. każdy wierzchołek G jest w wybranym zbiorze lub ma sąsiada w wybranym zbiorze. W problemie Big-Girth Dominating Set dodatkowo zakładamy, że długość najkrótszego cyklu w G jest co najmniej 5. Pokaż, że ten problem ma jądro z O(k 3 ) wierzchołkami. Zadanie 5. W problemie Cluster Editing, mając dany graf G i liczbę k, pytamy, czy w G można zmienić (dodać lub usunąć) co najwyżej k krawędzi by dostać graf, którego każda spójna składowa jest kliką. Pokaż, że ten problem ma jądro o O(k 2 ) wierzchołkach. Zadanie 6. W problemie Max-SAT-Above-Average, mając daną formułę CNF-SAT o m zmiennych i liczbę k pytamy, czy istnieje wartościowanie tej formuły spełniające co najmniej m/2 + k klauzul. Pokaż, że ten problem ma jądro o O(k) klauzulach. Wskazówka do zadania 2: Jeśli graf ma m krawędzi i każdy wierzchołek ma stopień co najmniej 3, to ma co najwyżej 2m/3 wierzchołków. Wskazówka do zadania 4: Rozważ wersje problemu, gdzie niektóre wierzchołki muszą być w wybranym zbiorze dominującym, a ich sąsiedzi są już zdominowani. Wskazówka do zadania 5: Wprowadź tymczasowe anotacje te wierzchołki muszą być razem w spójnej składowej, te wierzchołki muszą być osobno. Wskazówka do zadania 6: Jedyną redukcją, jakiej potrzebujesz, to jeśli jest klazula x i klauzula x, usuń obie. 1

Kernelizacja ćwiczenia 2 liniowe jądra dla pokrycia wierzchołkowego Zadanie 7. Pokaż, że C = V 0, H = V 1, R = V 1/2 jest dekompozycją koronną. Zadanie 8. W problemie Max-SAT, mając daną formułę CNF-SAT i liczbę k pytamy, czy istnieje wartościowanie tej formuły spełniające co najmniej k klauzul. Pokaż, że ten problem ma jądro o co najwyżej 2k klauzulach oraz co najwyżej k zmiennych. Zadanie 9. Pokaż, jak znaleźć optymalne rozwiązanie programu liniowego dla pokrycia wierzchołkowego kombinatorycznie (bez rozwiązywania programu liniowego). Zadanie 10. Pokaż, że istnieje rozwiązanie programu liniowego, w którym wszystkie wartości należą do zbioru {0, 1/2, 1}. Zadanie 11. Przeanalizuj, w jakim czasie możemy znaleźć jądro wielkości 2k dla pokrycia wierzchołkowego. Zadanie 12 ( ). Pokaż, że w grafie dwudzielnym rozmiar maksymalnego skojarzenia jest równy rozmiarowi minimalnego pokrycia wierzchołkowego. Zadanie 13 ( ). W problemie Min-Ones-2-SAT mamy daną formułę φ w postacie 2-CNF oraz liczbę k i chcemy sprawdzić, czy istnieje wartościowanie spełniające φ, nadające true co najwyżej k zmiennym. Pokaż, że ten problem ma jądro z co najwyżej 2k literałami. Wskazówka do zadania 9: Dla grafu G = (V, E) stwórz graf dwudzielny gdzie po obu stronach są kopie V i wykorzystaj minimalne pokrycie wierzchołkowe w tym grafie. Wskazówka do zadania 13: Znajdź wszystkie klauzule z oboma literałami prawdziwymi, których dodanie nie zmienia spełnialności φ. Użyć jądra dla pokrycia wierzchołkowego. 2

Kernelizacja ćwiczenia 3 narzędzia ze skojarzeń Zadanie 14. Udowodnij, że jak warunek Halla zachodzi ze stałą 0 < α < 1, tj. w grafie dwudzielnym G = (V, W, E) dla każdego A V zachodzi N G (A) α A, to da się zrobić skojarzenie kojarzące α V wierzchołków z V. Zadanie 15. Rozważmy ważoną wersję sytuacji z twierdzenia Gallai. Mamy dany graf G z nieujemnymi wagami na krawędziach i zbiór terminali S V (G). Chcemy znaleźć, spośród rodzin rozłącznych wierzchołkowo ścieżek o końcach w S o największej możliwej mocy, rodzinę o najmniejszej możliwej sumarycznej wadze użytych krawędzi. Czy ten problem można rozwiązać w czasie wielomianowym? Zadanie 16. Podaj przykład grafu spójnego, dowolnie dużego, że warunek Tutte nie zachodzi tylko dla zbioru pustego. Zadanie 17. Graf nazwiemy krytycznym, jeśli ma on co najmniej trzy wierzchołki i po usunięciu dowolnego wierzchołka ma on doskonałe skojarzenie. W grafie spójnym G każda dwuspójna składowa jest trójkątem, a żaden wierzchołek nie ma stopnia większego niż 4. Pokaż, że G jest krytyczny. Zadanie 18. Pokaż, że nie ma grafów krytycznych dwudzielnych. Zadanie 19. Pokaż, że jeśli graf jest krytyczny wtedy i tylko wtedy gdy ma nieparzyście wiele wierzchołków i warunek Tutte nie zachodzi tylko dla zbioru pustego. Zadanie 20. Niech M będzie macierzą n n, gdzie każdy wiersz i każda kolumna sumuje się do jedynki. Udowodnij, że M jest kombinacją wypukłą macierzy permutacji. Zadanie 21. Udowodnij, że rodzina podzbiorów zbioru n elementowego da się ustawić w ( n ) n/2 rozłącznych łańcuchów. Zadanie 22. Kraj o powierzchni n został podzielony na n województw o powierzchni 1 każde. Dodatkowo, dowódcy wojskowi w tym kraju podzielili kraj na n rejonów strategicznych o powierzchnio 1 każdy. Pokaż, że w kraju można zbudować n lotnisk tak, by każde województwo i każdy rejon miał lotnisko. Zadanie 23. nk pracowników wydziału jest podzielonych na n komitetów po k osób i na n kół naukowych po k osób każde. Wykaż, że da się wysłać delegację n osób tak, by każdy komitet i każde koło naukowe było reprezentowane. Zadanie 24. Magik i jego pomocnik robią sztuczkę. Z talii 52 kart widz losuje pięć, po czym daje je pomocnikowi. Pomocnik wybiera jedną kartę i daje ją magikowi. Następnie wybiera kolejną z pozostałych czterech i daje ją magikowi. Powtarza tę czynność jeszcze dwa razy, aż zostanie z jedną kartą. W tym momencie magik zgaduje, jaka karta pozostała pomocnikowi. Pokaż, że tę sztuczkę można zrobić bez użycia magii. Zadanie 25. Graf nazwiemy kubicznym jeśli każdy wierzchołek ma stopień dokładnie trzy. Pokaż, korzystając z twierdzenia Tutte, że w grafach kubicznych bez mostów istnieje doskonałe skojarzenie. Zadanie 26. W grafie G jest 2n wierzchołków i minimalny stopień wynosi n. Pokaż, że jest doskonałe skojarzenie. 3

Kernelizacja ćwiczenia 4 drzewa w hipergrafach Zadanie 27. Pokaż, że w danym hipergrafie H = (V, E) istnieje drzewo rozpinające, wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego podziału V = V 1 V 2... V p istnieje co najmniej p 1 krawędzi mających końce w co najmniej dwóch różnych zbiorach z podziału. Powyższe twierdzenie można również pokazać w wersji konstruktywnej, gdzie w czasie wielomianowym znajdujemy drzewo rozpinające, lub podział będący świadkiem, że takie drzewo nie istnieje. W problemie Set Splitting mamy dany hipergraf H = (V, E) oraz liczbę k i chcemy znaleźć pomalowanie wierzchołków f : V {0, 1}, w którym co najmniej k krawędzi z E zawiera wierzchołki obu kolorów. Zadanie 28. Pokaż, jak mając instancję problemu Set Splitting (H = (V, E), k), otrzymać równoważną instancję o 2k krawędziach. Zadanie 29. Pokaż, że dla instancji problemu Set Splitting I = (H = (V, E), k), w której istnieje S E, S k, instancja I = (H = (V, E \ {S}), k 1) jest równoważna I. Zadanie 30. Pokaż, że dla problemu Set Splitting istnieje jądro o 2k krawędziach oraz O(k 2 ) wierzchołkach. Zadanie 31. Pokaż, że dla problemu Set Splitting istnieje jądro o 2k krawędziach oraz O(k) wierzchołkach. Zadanie 32. Pokaż, że jeśli H jest drzewem, to istnieje pomalowanie f : V {0, 1}, w którym wszystkie krawędzie będą miały po co najmniej jednym wierzchołku obu kolorów. Hipergraf jest spójny, jeśli odpowiadającu mu graf dwudzielny jest spójny. Zadanie 33 ( ). Pokaż, że jeśli w instancji I = (H, k) problemu Set Splitting hipergraf H nie jest spójny, to możemy uzyskać równoważną instancję I = (H, k), w której graf H jest spójny, a liczba jego krawędzi i wierzchołków jest nie większa niż w grafie H. Zadanie 34 ( ). Pokaż, że jeśli dla instancji I = (H = (V, E), k) problemu Set Splitting w spójnym grafie H nie istnieje drzewo rozpinające, to w czasie wielomianowym możemy znaleźć niepusty zbiór X E, taki że I = ((V, E \ X), k X ) jest instancją równoważną I. Zadanie 35 ( ). Pokaż, że dla problemu Set Splitting istnieje jądro o 2k krawędziach i k wierzchołkach. Wskazówka do zadania 31: Użyj lematu o ekspansji. 4

Kernelizacja ćwiczenia 5 dolne ograniczenia Na tych ćwiczeniach zakładamy NP conp/poly. Zadanie 36. W problemie Max-Leaf Outbranching mamy dany graf skierowany G i liczbę k; pytamy, czy w grafie G można znaleźć takie drzewo jako podgraf, gdzie wszystkie krawędzie są skierowane w dół drzewa i ma ono co najmniej k liści. Pokaż, że ten problem nie ma wielomianowego jądra przy parametryzacji przez k. Zadanie 37. W problemie Steiner Tree mamy dany graf G, liczbę k i zbiór terminali T V (G); pytamy, czy istnieje X V (G) \ T mocy co najwyżej k taki, że G[T X] jest spójny. Pokaż, że problem ten nie ma wielomianowego jądra przy parametryzacji przez: 1. T ; 2. k + T. Zadanie 38. W problemie Connected Vertex Cover mamy dany graf G i liczbę k; pytamy, czy istnieje zbiór X V (G) mocy co najwyżej k taki, ze G[X] jest spójne, a G \ X nie ma żadnej krawędzi. Pokaż, że ten problem nie ma wielomianowego jądra przy parametryzacji przez k. Zadanie 39. W problemie Graph Motif mamy dany graf G, liczbę k i funkcję c : V (G) {1, 2,..., k}; pytamy, czy istnieje zbiór X V (G) taki, że G[X] jest spójne i dla każdego 1 i k, X c 1 (i) = 1. Wiedząc, że ten problem jest NP-trudny nawet, gdy G jest drzewem, pokaż, że nie ma wielomianowego jądra nawet przy założeniu, że G jest lasem. Zadanie 40. Graf nazwiemy d-zdegenerowany jeśli każdy jego podgraf ma wierzchołek o stopniu co najwyżej d. Pokaż, że następujące problemy nie mają wielomianowego jądra nawet jeśli ograniczymy się do przypadku, w którym wymagamy by wejściowy graf był 2-zdegenerowany: 1. Steiner Tree, parametryzowany przez k + T ; 2. Connected Feedback Vertex Set (mając dany graf G i liczbę k, pytamy o zbiór X V (G) mocy co najwyżęj k taki, by G[X] było spójne i G \ X było lasem), parametryzowany przez k; 3. Connected Dominating Set (mając dany graf G i liczbę k, pytamy o zbiór X V (G) mocy co najwyżej k taki, by G[X] było spójne i N[X] = V (G)), parametryzowany przez k. Zadanie 41. Pokaż, że problem sprawdzania, czy treewidth danego grafu wynosi co najwyżej k, nie ma wielomianowego jądra przy parametryzacji przez k. Zadanie 42. W problemie 2-Directed Multiway Cut mamy dany graf skierowany G, liczbę k i dwa wyróżnione terminale s, t V (G); pytamy, czy z G można usunąć k krawędzi tak, by nie dało się przejść ani z s do t ani z t do s. Wiedząc, że ten problem jest NP-trudny, pokaż, że nie ma on wielomianowego jądra przy parametryzacji przez k. 5

Zadanie 43. W problemie Edge Clique Cover, mając dany graf G i liczbę k, pytamy, czy istnieje zbiór C 1, C 2,..., C k podgrafów G takich, że każdy C i jest kliką i k i=1 E(C i ) = E(G). Pokaż, że ten problem nie ma wielomianowego jądra przy parametryzacji przez k. Zadanie 44. Rozważmy następujący wariant problemu kliki: mamy dany graf G, liczbę l i zbiór Z V (G) taki, że G \ Z nie ma krawędzi; pytamy, czy w grafie G jest klika wielkości l. Pokaż, że ten problem nie ma wielomianowego jądra przy parametryzacji przez Z. Zadanie 45. Rozważmy następujący wariant problemu kolorowania: mamy dany graf G, liczbę l i zbiór Z V (G) taki, że G\Z nie ma krawędzi; pytamy, czy wierzchołki grafu G można pokolorwać na l kolorów tak, by żadne dwa wierzchołki połączone krawędzią nie miały tego samego koloru. Pokaż, że ten problem nie ma wielomianowego jądra przy parametryzacji przez Z. Zadanie 46. W problemie s-way-cut mamy dany graf G i liczby k i s; pytamy, czy z grafu G możemy usunąć co najwyżej k krawędzi tak, by dostać co najmniej s spójnych składowych. Pokaż, że ten problem nie ma wielomianowego jądra przy parametryzacji przez k. Wskazówka do zadania 40: redukuj z Graph Motif. Wskazówka do zadania 43: AND-kompozycja. Zrób full-joina grafów na wejściu. Jak pokryć krawędzie joina? Wskazówka do zadania 46: Wyjdź z problemu kliki; załóż stałe V (G i ), E(G i ) i wielkość kliki l. Twoim idealnym rozwiązaniem jest wycięcie z jednego grafu każdego wierzchołka jako izolowanego wierzchołka, poza żądaną kliką (tj. s = 1 + n l). 6

Kernelizacja ćwiczenia 6 moduły, cluster editing moduły Zadanie 47. Pokaż dekompozycję modularną: 1. kliki K n ; 2. zbioru niezależnego K n ; 3. pełnego grafu dwudzielnego K a,b ; 4. cyklu C n ; 5. kostki {0, 1} n (sąsiednie są wierzchołki różniące się jednym bitem); 6. grafu przedstawionego na poniższym obrazku. Zadanie 48. Pokaż elementarnie, że wszystkie maksymalne (w sensie zawierania) moduły które są klikami są parami rozłączne i stanowią podział V (G). alternatywne jądro dla problemu Cluster Editing Mając daną instancję (G, k) problemu Cluster Editing rozważmy następujące (kluczowe) definicje dla wierzchołka v V (G): γ(v) to liczba krawędzi opuszczająca N[v]; δ(v) to liczba anty-krawędzi w N[v]; ρ(v) = 2δ(v) + γ(v). Ponadto zakładamy, że trywialna reguła redukcyjna usuń spójną składową która jest kliką jest w mocy. Zadanie 49. Pokaż, że jeśli 2k < V (G) oraz dla każdego wierzchołka v V (G) zachodzi ρ(v) N[v], to (G, k) jest NIE-instancją. Tak więc chcemy zredukować wierzchołki dla których ρ(v) < N[v]. Zadanie 50. Pokaż, że jeśli dla wierzchołka v V (G) zachodzi ρ(v) < N[v], to istnieje optymalne poklastrowanie grafu G, w którym całe N[v] siedzi w jednym klastrze. 7

Z zadania 50 wnioskujemy pierwszą regułę redukcyjną: jeśli ρ(v) < N[v] to dodaj wszystkie anty-krawędzie w N[v]. Zadanie 51. Niech v V (G) będzie wierzchołkiem takim, że ρ(v) < N[v], ale N[v] jest kliką. 1. Pokaż, że co najwyżej jeden wierzchołek w 0 N(N[v]) może mieć więcej niż N[v] /2 sąsiadów w N[v]. 2. Pokaż, że istnieje optymalne poklastrowanie G, w którym każdy wierzchołek N(N[v]) różny od w 0 (jeśli istnieje) ląduje w innym klastrze niż ten, który zawiera N[v]. 3. Wywnioskuj regułę redukcyjną, która redukuje N(N[v]) do co najwyżej jednego wierzchołka. Zadanie 52. Niech v V (G) będzie wierzchołkiem takim, że ρ(v) < N[v], ale N[v] jest kliką i N(N[v]) = {w 0 }. Pokaż regułę redukcyjną, która zmniejsza rozmiar N[v]. 8

Kernelizacja ćwiczenia 7 ciąg dalszy modułów, Feedback Arc Set in Tournaments moduły trochę formalniej Mając dane skończone uniwersum V, rozważamy rodziny podzbiorów F 2 V takie, że / F, V F i {v} F dla każdego v V. Mówimy, że A, B F nachodzą na siebie, jeśli A \ B, B \ A oraz A B są wszystkie niepuste. Definiujemy S(F) F jako zbiór tych A F, że żaden zbiór B F nie nachodzi na A. Zadanie 53. Pokaż, że S(F), z relacją inkluzji, tworzy drzewo z korzeniem V i liśćmi {{v} : v V }. Drzewo to będziemy oznaczać T (F). Zadanie 54. Pokaż, że dla każego A F istnieje węzeł wewnętrzny S S(F) z dziećmi S 1, S 2,..., S k w drzewie T (F) taki, że A = i I S i dla pewnego I {1, 2,..., k}. Powiemy, że rodzina F jest silnie podziałowa, jeśli dla każdych nachodzących się A, B F mamy A B, A B, A B F. Powiemy, że rodzina F jest słabo podziałowa, jeśli dla każdych nachodzących się A, B F mamy A B, A B, A \ B, B \ A F. Zadanie 55. Pokaż, że rodzina silnie podziałowa jest też słabo podziałowa. Zadanie 56. Pokaż, że rodzina modułów w grafie nieskierowanym jest silnie podziałowa. Zadanie 57. Pokaż, że rodzina modułów w grafie skierowanym jest słabo podziałowa. Zadanie 58. Niech F będzie silnie podziałowa. Pokaż, że każdy węzeł wewnętrzny S z dziećmi S 1, S 2,..., S k w drzewie T (F) jest jednego z dwóch typów: complete Dla każdego I {1, 2,..., k}, 1 < I < k zachodzi i I S i F. prime Dla każdego I {1, 2,..., k}, 1 < I < k zachodzi i I S i / F. Zadanie 59. Niech F będzie słabo podziałowa. Pokaż, że każdy węzeł wewnętrzny S z dziećmi S 1, S 2,..., S k w drzewie T (F) jest jednego z trzech typów: complete Dla każdego I {1, 2,..., k}, 1 < I < k zachodzi i I S i F. prime Dla każdego I {1, 2,..., k}, 1 < I < k zachodzi i I S i / F. linear Istnieje liniowy porządek zbioru {1, 2,..., k} taki, że dla każdego I {1, 2,..., k}, 1 < I < k mamy i I S i F wtedy i tylko wtedy gdy elementy I są kolejnymi elementami w wyżej wymienionym porządku. 9

alternatywne jądro dla Feedback Arc Set in Tournaments Celem pozostałych ćwiczeń jest uzyskanie alternatywnego jądra z co najwyżej 4k wierzchołkami dla FAST. Konfliktem nazwiemy dowolny skierowany 3-cykl w danym turnieju. Zadanie 60. Pokaż, że jeśli dana instancja ma rozwiązanie, to każdy maksymalny (w sensie zawierania) zbiór konfliktów, które są parami rozłączne krawędziowo, ma wielkość co najwyżej k. W dalszych zadaniach C jest ustalonym, maksymalnym w sensie zawierania, zbiorem konfliktów w G; C k. Oznaczamy R = V (G) \ V (C). Zadanie 61. Pokaż, że istnieje takie ustawienie σ wierzchołków z G, że każda krawędź idąca wstecz ma oba końce w V (C). Konstruujemy następujący graf dwudzielny H: z lewej strony mamy wszystkie krawędzie wsteczne w porządku σ z poprzedniego zadania, a z prawej strony wierzchołki R. Krawędź e = (u, v) zna w R, jeśli w span σ (e), tj. w leży pomiędzy u i v porządku σ. Zadanie 62. Pokaż, że w grafie H rozmiar najmniejszego pokrycia wierzchołkowego wynosi co najwyżej k. Zadanie 63. Niech Z będzie najmniejszym pokryciem wierzchołkowym w H. Pokaż, że jeśli V (G) > 4k, to R \ Z jest niepuste. Zadanie 64. Rozważmy najgrubszy możliwy podział w porządku σ, w którym każdy element R \ Z jest singletonem. Pokaż, że ten podział jest bezpieczny. Pokaż też, że przynajmniej jedna krawędź wsteczna w σ prowadzi między różnymi elementami podziału (i zostanie odwrócona przy zastosowaniu reguły redukcyjnej). 10

Kernelizacja ćwiczenia 8 Kernelizacja przez matroidy Dowodzenie pozostałych z wykładu lematów. 11

Kernelizacja ćwiczenia 9 Kernelizacja w grafach planarnych Connected Vertex Cover Zadanie 65. Pokaż, że jeśli wierzchołek v jest stopnia 2, N(v) = {u, w}, oraz v nie jest punktem artykulacji, to (G, k) ma rozwiązanie wtw gdy (G v, k) ma rozwiązanie które zawiera u i w. Zadanie 66. Zaproponuj regułę redukcyjną korzystając z zadania 65. Zadanie 67. Na podstawie zadań 65, 66 pokaż, że problem Connected Vertex Cover ma jądro o 4k wierzchołkach w grafach planarnych. Feedback Vertex Set Zadanie 68. Pokaż regułę, która redukuje graf w taki sposób, aby w grafie nie było wierzchołków stopnia mniejszego niż 3. Zadanie 69. Pokaż regułę, która redukuje graf w taki sposób, aby graf nie zawierał K 2,3 = (A B, E K2,3 ) jako podgrafu, gdzie wierzchołki z B są stopnia co najwyżej 3 w grafie G. Zadanie 70. Pokaż regułę, która redukuje graf w taki sposób, aby nie istniała ścieżka indukowana P długości 13, taka że wierzchołki wewnętrzne z P sąsiadują z co najwyżej dwoma wierzchołkami spoza P (tj N(V (P )) 4). Grafem zredukowanym nazywamy graf w instancji, dla której żadna z powyższych trzech reguł nie może być zastosowana. Niech X V będzie dowolnym zbiorem rozmiaru co najwyżej k, takim że G[F ] jest lasem, gdzie F = V \ X. Zadanie 71. Pokaż, że jeśli G jest zredukowany, to G[F ] zawiera O(k) liści (zakładając, żę G jest planarny). Zadanie 72. Pokaż, że jeśli G jest zredukowany, to G[F ] zawiera O(k) wierzchołków stopnia 2. Zadanie 73. Pokaż, że problem Feedback Vertex Set ma jądro o O(k) wierzchołkach w grafach planarnych. 12

Kernelizacja ćwiczenia 10 Meta-kernelizacja w grafach planarnych Zadanie 74. Pokaż, że problem Dominating Set jest r-pokrywalny dla pewnego r. Zadanie 75. Pokaż, że problem Feedback Vertex Set jest r-pokrywalny dla pewnego r. Zadanie 76. Pokaż, że problem Induced Matching jest r-pokrywalny dla pewnego r. Zadanie 77. Pokaż, że problem Dominating Set posiada FII. Zadanie 78. Pokaż, że problem Feedback Vertex Set posiada FII. Zadanie 79. Pokaż, że problem Induced Matching posiada FII. Zadanie 80. Pokaż, że problem Max Cut nie posiada FII. Zadanie 81. Pokaż, że problem Feedback Vertex Set, można wyrazić w min-mso za pomocą formuły stałego rozmiaru. 13