Paweł Walczak Uniwersytet Łódzki 7 października 2009
Ogólny problem Problem Dla danej wielkości (funkcji, pola wektorowego, pola tensorowego) i danego niezmiennika geometrycznego (krzywizny pewnego typu, skręcenia itd.) znaleźć obiekt geometryczny (krzywą, powierzchnię, foliację itd.), dla którego niezmiennik ten pokrywa się z tą wielkością.
Krzywe płaskie Krzywe płaskie (1) Ciągły obraz odcinka lub okręgu na płaszczyźnie to krzywa płaska. Obraz okręgu to krzywa zamknięta.
Krzywe płaskie Krzywe płaskie (2) Krzywa zamknięta bez samoprzecięć to krzywa zwyczajna (lub krzywa Jordana).
Krzywe płaskie Okrąg ściśle styczny, krzywizna Pośród okręgów stycznych do krzywej w danym punkcie jest jeden (tu: czerwony), którego styczność z krzywą jest najlepsza. Nazywa się go ściśle stycznym, a odwrotność jego promienia R (czasem opatrzoną znakiem) nazywa się krzywizną krzywej w tym punkcie: κ = 1/R.
Funkcje i ich punkty krytyczne Punkty lokalnego maksimum, lokalnego minimum i punkty przegięcia funkcji f : (a, b) R nazywamy punktami krytycznymi. Takie punkty x 0 można scharakteryzować równością f (x 0 ) = 0 (patrz: Analiza matematyczna 1). Twierdzenie Każda funkcja ciągła na okręgu ma conajmniej dwa punkty krytyczne.
Twierdzenie o czterech wierzchołkach Definicja Punkty krytyczne funkcji krzywizny κ nazywamy wierzchołkami krzywej płaskiej. Twierdzenie (S. Mukhopadhyaya, Bull. Calcutta Math. Soc., 1909) Każda płaska krzywa zwyczajna posiada conajmniej cztery (sic!) wierzchołki.
Koło minimalne (1) Lemat Każdy ograniczony zbiór płaski A zawiera się w jedynym kole o najmniejszym promieniu. Dowód. (1) Istnienie. Niech R oznacza kres dolny zbioru promieni wszystkich kół zawierających A. Istnieje ciąg kół K(p n, r n ) o środkach p n p i promieniach r n R zawierających A. Koło K(p, R) zawiera A. (2) Jednoznaczność. Przecięcie dwóch kół K 1 i K 2 o jednakowych promieniach R jest zawarte w kole K o promieniu r < R. (rysunek poniżej).
Koło minimalne (2)
Dowód twierdzenia (1) Dowód twierdzenia. Jeśli krzywa Γ jest zawarta w kole minimalnym K o promieniu R, to ma z brzegiem C tego koła przynajmniej dwa punkty wspólne (rysunek).
Dowód twierdzenia (2) W punktach tych krzywizna κ 1/R. Punkty te dzielą krzywa Γ na dwa łuki Γ 1 i Γ 2. Na każdym z nich krzywizna κ osiąga minimum 1/R (w przeciwnym razie Γ nie byłaby krzywą Jordana (!)). Punkty minimum dzielą krzywą Γ na dwa nowe łuki Γ 1 i Γ 2. Na każdym z nich funkcja κ osiaga maksimum: te dwa maksima oraz znalezione poprzednio minima dostarczają czterech wierzchołków.
Twierdzenie odwrotne W roku 2005 opublikowano (Proc. Amer. Mat. Soc., tom 133, str. 2131-2135) następuja ce twierdzenie Björna Dahlberga ( 1998): Twierdzenie Każda funkcja f : C R na okręgu C posiadająca cztery punkty krytyczne (dwa minima i dwa maksima lokalne położone na przemian) jest funkcją krzywizny pewnej płaskiej krzywej Jordana.
Foliacje Definicja Foliacją k-wymiarową n-wymiarowej rozmaitości M nazywamy rodzinę F k-wymiarowych podrozmaitości L (zwanych liśćmi) ułożonych lokalnie jak na poniższym rysunku.
Foliacje - c.d Definicja Jeżeli n k = 1 (foliacja F ma tzw. kowymiar równy 1) i D jest obszarem na M nasyconym, tj. będącym sumą (mnogościową) pewnej rodziny liści, to D nazywamy dodatnim, odp. ujemnym, gdy istnieje pole wektorowe X na D prostopadłe do F skierowane do wewnątrz (odp., na zewnątrz) D we wszystkich punktach brzegu D obszaru D. Końcowym efektem kilkunastu lat (1984-97) badań zainicjowanych przez P.W. jest twierdzenie następujące (G. Oshikiri, A characterization of mean curvature functions of codimension-one foliations, Tohoku Math. J., 49 (1997), 557 563):
Twierdzenie Niech F będzie foliacją kowymiaru 1 na zwartej rozmaitości M, f : M R. Równoważne są następujące warunki (1) i (2): (1) istnieje na M struktura riemannowska g, dla której funkcja f pokrywa się ze średnią krzywizną liści foliacji F, (2.1) f 0 lub istnieją na M takie punkty x i y, że f (x)f (y) < 0 oraz (2.2) dla dowolnego obszaru dodatniego D istnieje punkt z D taki, że f (z) > 0. Podstawowymi narzędziami w dowodzie są: twierdzenie Stokesa i twierdzenie Hahna-Banacha!!! Podobny wynik dla foliacji kowymiaru > 1 można znaleźć w pracy P. Schweitzer, P.W., Prescribing mean curvature vectors for foliations, Illinois J. Math., 48 (2004), 21 35.
Otwarty problem Przypomnijmy, że (Kneser, 1923) jednowymiarowe foliacje płaskiego pierścienia kołowego A składają się z elementów następujących trzech rodzajów:
Otwarty problem - c.d. Problem Dla każdego z powyższych typów foliacji pierścienia A, scharakteryzować te funkcje f : A R, które są funkcjmi krzywizny liści pewnej foliacji tego typu.
Zakończenie Powodzenia! Viel Glück! Good luck! Bonne chance!