Z czterech wierzchołków w głąb geometrii

Podobne dokumenty
GEOMETRIA ELEMENTARNA

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

Podstawowe pojęcia geometryczne

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Zbiory wypukłe i stożki

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Całki krzywoliniowe skierowane

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Geometria Różniczkowa II wykład piąty

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner

Projekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny)

Tematy: zadania tematyczne

Układy równań i nierówności

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Ekstrema globalne funkcji

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka. dla. Egzamin. Czas pracy będzie

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2 poziom podstawowy

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

Wymagania edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017

Pochodna funkcji odwrotnej

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego ETAP WOJEWÓDZKI rok szkolny 2018/2019

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

Skrypt 33. Powtórzenie do matury:

W. Guzicki Zadanie 21 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

KRZYŻÓWKA Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

1. Potęga o wykładniku naturalnym Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach Potęgowanie potęgi 1 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM. Powtórzenie i utrwalenie wiadomości dotyczących geometrii figur płaskich.

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Skrypt 20. Planimetria: Opracowanie L6

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów i oddziałów gimnazjalnych województwa pomorskiego w roku szkolnym 2017/2018

Geometria analityczna

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów i oddziałów gimnazjalnych województwa pomorskiego w roku szkolnym 2018/2019 etap wojewódzki

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania z matematyki kl.ii

Linie sił pola elektrycznego

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)

TYCZENIE OSI TRASY W 2 R 2 SŁ KŁ W 1 W 3

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

WYMAGANIA EDUKACYJNE W KLASIE DRUGIEJ Z MATEMATYKI GIMNAZJUM NR 19 W KRAKOWIE

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Okręgi i proste na płaszczyźnie

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 2. Czas pracy 150 minut

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 2. Czas pracy 150 minut

KONSTRUKCJE ZA POMOCĄ CYRKLA. Ćwiczenia Czas: 90

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Rysunek 1. Udowodnij, że AB CD = BC DA. Rysunek 2. Po inwersji o środku w punkcie E. Rysunek 3. Po inwersji o środku w punkcie A

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Transkrypt:

Paweł Walczak Uniwersytet Łódzki 7 października 2009

Ogólny problem Problem Dla danej wielkości (funkcji, pola wektorowego, pola tensorowego) i danego niezmiennika geometrycznego (krzywizny pewnego typu, skręcenia itd.) znaleźć obiekt geometryczny (krzywą, powierzchnię, foliację itd.), dla którego niezmiennik ten pokrywa się z tą wielkością.

Krzywe płaskie Krzywe płaskie (1) Ciągły obraz odcinka lub okręgu na płaszczyźnie to krzywa płaska. Obraz okręgu to krzywa zamknięta.

Krzywe płaskie Krzywe płaskie (2) Krzywa zamknięta bez samoprzecięć to krzywa zwyczajna (lub krzywa Jordana).

Krzywe płaskie Okrąg ściśle styczny, krzywizna Pośród okręgów stycznych do krzywej w danym punkcie jest jeden (tu: czerwony), którego styczność z krzywą jest najlepsza. Nazywa się go ściśle stycznym, a odwrotność jego promienia R (czasem opatrzoną znakiem) nazywa się krzywizną krzywej w tym punkcie: κ = 1/R.

Funkcje i ich punkty krytyczne Punkty lokalnego maksimum, lokalnego minimum i punkty przegięcia funkcji f : (a, b) R nazywamy punktami krytycznymi. Takie punkty x 0 można scharakteryzować równością f (x 0 ) = 0 (patrz: Analiza matematyczna 1). Twierdzenie Każda funkcja ciągła na okręgu ma conajmniej dwa punkty krytyczne.

Twierdzenie o czterech wierzchołkach Definicja Punkty krytyczne funkcji krzywizny κ nazywamy wierzchołkami krzywej płaskiej. Twierdzenie (S. Mukhopadhyaya, Bull. Calcutta Math. Soc., 1909) Każda płaska krzywa zwyczajna posiada conajmniej cztery (sic!) wierzchołki.

Koło minimalne (1) Lemat Każdy ograniczony zbiór płaski A zawiera się w jedynym kole o najmniejszym promieniu. Dowód. (1) Istnienie. Niech R oznacza kres dolny zbioru promieni wszystkich kół zawierających A. Istnieje ciąg kół K(p n, r n ) o środkach p n p i promieniach r n R zawierających A. Koło K(p, R) zawiera A. (2) Jednoznaczność. Przecięcie dwóch kół K 1 i K 2 o jednakowych promieniach R jest zawarte w kole K o promieniu r < R. (rysunek poniżej).

Koło minimalne (2)

Dowód twierdzenia (1) Dowód twierdzenia. Jeśli krzywa Γ jest zawarta w kole minimalnym K o promieniu R, to ma z brzegiem C tego koła przynajmniej dwa punkty wspólne (rysunek).

Dowód twierdzenia (2) W punktach tych krzywizna κ 1/R. Punkty te dzielą krzywa Γ na dwa łuki Γ 1 i Γ 2. Na każdym z nich krzywizna κ osiąga minimum 1/R (w przeciwnym razie Γ nie byłaby krzywą Jordana (!)). Punkty minimum dzielą krzywą Γ na dwa nowe łuki Γ 1 i Γ 2. Na każdym z nich funkcja κ osiaga maksimum: te dwa maksima oraz znalezione poprzednio minima dostarczają czterech wierzchołków.

Twierdzenie odwrotne W roku 2005 opublikowano (Proc. Amer. Mat. Soc., tom 133, str. 2131-2135) następuja ce twierdzenie Björna Dahlberga ( 1998): Twierdzenie Każda funkcja f : C R na okręgu C posiadająca cztery punkty krytyczne (dwa minima i dwa maksima lokalne położone na przemian) jest funkcją krzywizny pewnej płaskiej krzywej Jordana.

Foliacje Definicja Foliacją k-wymiarową n-wymiarowej rozmaitości M nazywamy rodzinę F k-wymiarowych podrozmaitości L (zwanych liśćmi) ułożonych lokalnie jak na poniższym rysunku.

Foliacje - c.d Definicja Jeżeli n k = 1 (foliacja F ma tzw. kowymiar równy 1) i D jest obszarem na M nasyconym, tj. będącym sumą (mnogościową) pewnej rodziny liści, to D nazywamy dodatnim, odp. ujemnym, gdy istnieje pole wektorowe X na D prostopadłe do F skierowane do wewnątrz (odp., na zewnątrz) D we wszystkich punktach brzegu D obszaru D. Końcowym efektem kilkunastu lat (1984-97) badań zainicjowanych przez P.W. jest twierdzenie następujące (G. Oshikiri, A characterization of mean curvature functions of codimension-one foliations, Tohoku Math. J., 49 (1997), 557 563):

Twierdzenie Niech F będzie foliacją kowymiaru 1 na zwartej rozmaitości M, f : M R. Równoważne są następujące warunki (1) i (2): (1) istnieje na M struktura riemannowska g, dla której funkcja f pokrywa się ze średnią krzywizną liści foliacji F, (2.1) f 0 lub istnieją na M takie punkty x i y, że f (x)f (y) < 0 oraz (2.2) dla dowolnego obszaru dodatniego D istnieje punkt z D taki, że f (z) > 0. Podstawowymi narzędziami w dowodzie są: twierdzenie Stokesa i twierdzenie Hahna-Banacha!!! Podobny wynik dla foliacji kowymiaru > 1 można znaleźć w pracy P. Schweitzer, P.W., Prescribing mean curvature vectors for foliations, Illinois J. Math., 48 (2004), 21 35.

Otwarty problem Przypomnijmy, że (Kneser, 1923) jednowymiarowe foliacje płaskiego pierścienia kołowego A składają się z elementów następujących trzech rodzajów:

Otwarty problem - c.d. Problem Dla każdego z powyższych typów foliacji pierścienia A, scharakteryzować te funkcje f : A R, które są funkcjmi krzywizny liści pewnej foliacji tego typu.

Zakończenie Powodzenia! Viel Glück! Good luck! Bonne chance!