SYSTEMY ELEKTROMECHANICZNE kier. Elektrotechnika, studia 2 stopnia stacjonarne, sem. 1, 1, 2012/2013 SZKIC DO WYKŁADÓW Cz. 3 ZASADY ROZWIĄZANIA MODELU DYNAMICZNEGO Mieczysław RONKOWSK Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Energoelektroniki i Maszyn Elektrycznych 1
ZASADA ROZWIĄZANIA MODELU DYNAMICZNEGO Rozwiązanie modelu dynamicznego (układu równań róŝniczkowych zwyczajnych składa się zawsze z dwóch części: składowej ustalonej, zwanej teŝ składową wymuszoną, będącej całką szczególną równania róŝniczkowego niejednorodnego, zaleŝnej od charakteru wymuszenia (np. napięcia zasilania, momentu obciąŝenia od elementów i struktury obwodu, i reprezentującej końcowe rozwiązanie stanu ustalonego. składowej przejściowej, zwanej teŝ składową swobodną, będącej całką ogólną równania róŝniczkowego jednorodnego, niezaleŝnej od charakteru wymuszenia lecz zaleŝnej od rodzaju i struktury obwodu oraz stanu początkowego obwodu - warunków początkowych (ładunków, prądów, strumieni sprzęŝonych, prędkości kątowych, i reprezentującej stan przejściowy związany z przejściem od warunków początkowych do końcowych. { Rozwiązanie całkowite } = { Warunki końcowe dla t } { Stan przejściowy } Skoro dla t = 0 rozwiązanie całkowite musi być takie same jak warunki początkowe, mamy zatem: { Warunki początkowe dla t = 0 } = { Warunki końcowe t } { Składowe przejściowe dla t = 0 } Zatem wartość składowej przejściowej moŝe być określona jako róŝnica między stanem początkowym i stanem końcowym. PrzybliŜone rozwiązanie zapewnia zasada stałej liczby sprzęŝeń magnetycznych (ang. theorem of constant flux linkages oraz ogólna znajomość wykładniczego zanikania składowej przejściowej. Zasada stałych sprzęŝeń magnetycznych po raz pierwszy, została sformułowana i wykorzystana przez R.E. Doherty ego w 1923 r. (patrz L.V. Bewley: FLux linkages and electromagnetic induction. Dover Publication, New York 1964, p.93 2
ZASADA STAŁEJ LICZBY SPRZĘśEŃ MAGNETYCZNYCH λ L λ O N Ruch magnesu S TEZA: JeŜeli R = 0 to λ O λ L = const 3
JeŜeli magnes zostanie odsunięty, to zgodnie z prawem Faraday a w obwodzie z nim sprzęŝonym indukuje się SEM (pole elektryczne e o dλo = wymuszająca w obwodzie przepływ prąd i. Gdy prąd ten wzrasta, to w obwodzie indukuje się SEM samoindukcji (zwrot SEM zgodny z prawem Lentz a e s dλl = = d ( L i Suma tych dwu SEM równa jest spadkowi napięcia, tu równemu 0 (bo załoŝono R =0 e o e = i R s = 0 stąd dλ o ( Li d = 0 4
po scałkowaniu λ o L i = λo λl = const C.b.d.o. Oznacza to, Ŝe CAŁKOWITY STRUMIEŃ SPRZĘśONY Z OBWODEM O REZYSTANCJI RÓWNEJ ZERU JEST STAŁY I NIEZALEśNY OD DZIAŁAŃ ZEWNĘTRZNYCH. To stwierdzenie określa się jako: zasadę stałej liczby sprzęŝeń magnetycznych. 5
PRAWA KOMUTACJI Z istnieniem elementów zachowawczych w obwodzie, a więc z istnieniem elementów L i C są związane tzw. prawa komutacji wynikające z zasady zachowania energii. Energia w polu magnetycznym elementu L oraz energia w polu elektrycznym elementu C nie moŝe zmieniać się skokowo. Energia w polu magnetycznym cewki zaleŝy od strumienia magnetycznego skojarzonego z tą cewką. Z tym jest związana zasada ciągłości w chwili komutacji strumienia skojarzonego λ = Li (lub ψ = Li z cewką o indukcyjności L λ(0 ψ (0 = λ(0 = ψ (0 Wobec tego, Ŝe strumień skojarzony z cewką λ = Li lub ψ = Li zatem zasada ciągłości strumienia magnetycznego jest równoznaczna z zasadą ciągłości prądu elektrycznego płynącego przez cewkę i L (0 i = L (0 6
Energia w polu elektrycznym kondensatora zaleŝy od ładunku elektrycznego występującego na kondensatorze. Wynika z tego zasada ciągłości ładunku elektrycznego w chwili komutacji w gałęzi z pojemnością. q(0 = q(0 Wobec tego, Ŝe ładunek kondensatora q = Cu, a więc zasada ciągłości ładunku jest równoznaczna z zasadą ciągłości napięcia na zaciskach kondensatora. u c (0 = u c (0 Sformułowane zasady ciągłości strumienia i prądu w cewce oraz ładunku i napięcia kondensatora w chwili komutacji nazywane są prawami komutacji. W przypadku idealnego elementu rezystancyjnego, zgodnie z prawem Ohma u = Ri lub i = Gu, odpowiedź jest proporcjonalna do wymuszenia. Wobec tego zmienne wymuszenie powoduje natychmiastową zmianę odpowiedzi i przejście od jednego stanu ustalonego do drugiego stanu ustalonego jest natychmiastowe. NaleŜy jednak zaznaczyć, Ŝe napięcie na elementach indukcyjnych oraz prąd ładowania kondensatora mogą zmieniać się skokowo. 7
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ! PYTANIA? 8