PROJEKTOWANIE OGÓLNEGO KSZTA TU MOSTU PRZY U YCIU METOD OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ

DROGI i MOSTY 87 Nr 1 2004 IZABELA MARCZEWSKA 1) W ODZIMIERZ SOSNOWSKI 2) PROJEKTOWANIE OGÓLNEGO KSZTA TU MOSTU PRZY U YCIU METOD OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ STRESZCZENIE. Ninijsza praca ma na clu przdstawini mtody projktowania wstêpngo kszta³tu konstrukcji mostowj drog¹ optymalizacji topologicznj. Mtoda ta jst obcni bardzo szroko wykorzystywana w wilu ga³êziach przmys³u, m. in. samochodowgo i lotniczgo. Przdstawiamy mo liwoœci wykorzystania tj mtody na tapi okrœlania koncpcji mostu. W proponowanym sformu³owaniu poszukiwany jst optymalny rozk³ad gêstoœci "sztuczngo" matria³u zastêpczgo nazywango Prostym Izotropowym Matria³m z Prawm Potêgowym (ang. Simpl Isotropic Matrial with Pnalization) [1] rozmiszczongo w obszarz projktowym, przy zdfiniowanym obci¹ niu i warunkach brzgowych. Wyjœciowy obszar projktowy stanowi¹ tarcz sprê yst pracuj¹c w p³askim stani naprê nia i wyp³nion matria³m zastêpczym. W wyniku optymalizacji topologicznj matria³ zastêpczy jst rozrzdzany w obszarach ma³o wytê onych i zagêszczany w obszarach wymagaj¹cych wzmocninia. Obszary zagêszcznia matria³u tworz¹ kszta³t optymalny. Algorytmy analizy i optymalizacji topologicznj s¹ ralizowan przy u yciu mtody lmntów skoñczonych i hurystycznych mtod optymalizacji topologicznj. Proponowan podjœci pozwala uzyskaæ kszta³t konstrukcji mostowj o dowolnych, wstêpni za³o onych wymiarach zwnêtrznych. 1} dr in. Instytut Podstawowych Problmów Tchniki PAN, Warszawa 2) doc. dr hab. in. Instytut Podstawowych Problmów Tchniki PAN, Warszawa

88 Izabla Marczwska, W³odzimirz Sosnowski 1. WPROWADZENIE Zazwyczaj wstêpny projkt mostu tworzony jst na podstawi okrœlonych wymogów dotycz¹cych wytrzyma³oœci, funkcjonalnoœci czy sttyki. Znaj¹c ogóln wymiary konstrukcji mostowj oraz rodzaj i wilkoœæ obci¹ nia opracowuj siê koncpcjê mostu korzystaj¹c z doœwiadcznia i intuicji projktanta. Dalsza optymalizacja konstrukcji polga na poprawianiu ju istnij¹cgo projktu. Mo na modyfikowaæ dowoln paramtry projktow, w tym paramtry kszta³tu, al trzba pogodziæ siê z faktm, podstawowa konfiguracja jst z góry zadana przz projktanta i ni mo byæ zasadniczo zminiana. Wady tj ni posiada optymalizacja topologiczna. Pozwala ona ³atwo okrœliæ wil pocz¹tkowych konfiguracji konstrukcji mostowych. Nal y jdyni podaæ ogóln wymiary mostu, schmat podparcia i obci¹ nia a procdura sama okrœla optymalny kszta³t konstrukcji. Zadani optymalizacji topologicznj polga na odpowidnim zaprojktowaniu gêstoœci lub sztywnoœci matria³u zastêpczgo znajduj¹cgo siê w obszarz projktowym. Matria³ zastêpczy nazywany jst Prostym Izotropowym Matria³m z Prawm Potêgowym [1] (ang. Simply Isotropic Matrial with Pnalization). W procsi optymalizacji topologicznj matria³ zastêpczy jst zagêszczany w obszarach wymagaj¹cych usztywninia. Matria³ przmiszcza siê tworz¹c czêsto zup³ni nowy uk³ad, np. wyniku optymalizacji topologicznj tarcz uzyskujmy uk³ady przypominaj¹c uk³ady kratow, których pasy górn lub doln, w zal noœci od projktu, stanowi¹ ³uki. Ostatczni, przy za³o onj iloœci matria³u, uzyskujmy najbardzij sztywn¹ konstrukcjê. Z bry³y o okrœlonych wymiarach kszta³towany jst nowy uk³ad mog¹cy stanowiæ podstawê opracowywanj koncpcji konstrukcji. W ninijszj pracy zajmimy siê mo liwoœci¹ wykorzystania optymalizacji topologicznj przy tworzniu ogólngo kszta³tu mostu. Proponujmy, aby powy sz¹ mtodê projktowania stosowaæ do okrœlania ogólngo kszta³tu nitypowych konstrukcji mostowych. Nal y podkrœliæ, otrzymany kszta³t konstrukcji ni jst gotowym projktm mostu a jdyni propozycj¹ jdnj z rozwa anych koncpcji. Oparta na œcis³ych mtodach analizy wra liwoœci, optymalizacja topologiczna jst nowoczsn¹, intrdyscyplinarn¹ dzidzin¹ badañ naukowych s³u ¹c¹ bzpoœrdnio zastosowaniom praktycznym. Analiza wra liwoœci rozwijana jst od oko³o 25 lat, historiê rozwoju tj grupy mtod numrycznych zawiraj¹ podrêczniki [2], [3]. Optymalizacja topologiczna liczy sobi zaldwi kilkanaœci lat, pirwsz prac ukaza³y siê w latach osimdzisi¹tych, przgl¹d litratury mo na znalÿæ w monografii [1]. Wiêkszoœæ prac przntowanych na tgorocznym, œwiatowym kongrsi poœwiêconym optymalizacji (5-th World Congrs on Structural and Multidisciplinary Optimization, Lido di Jsolo, Wncja, 2003) dotyczy³a tj w³aœni tmatyki [4], [5]. Efktywnoœæ omawianych mtod numrycznych wynika z mo liwoœci mtody lmntów skoñczonych stanowi¹cj podstawê omawianych algorytmów [6]. Przdstawiona mtoda optymalizacji ma charaktr bardzo ogólny. Mo byæ stosowana do rozwi¹zywania bardzo skomplikowanych zadañ. DROGI i MOSTY 1/2004

PROJEKTOWANIE KSZTA TU MOSTU METODAMI OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ 89 W artykul zosta³ zaprzntowany algorytm numryczny ralizuj¹cy procs optymalizacji topologicznj. Podstawow¹ zalt¹ przdstawiongo algorytmu jst jgo niski koszt numryczny. Dziêki tmu mo my w bardzo krótkim czasi (na przyk³ad kilkunastu minut) uzyskaæ wil rozwi¹zañ, któr mog¹ znaczni wzbogaciæ procs opracowywania koncpcji. Jdno rozwi¹zani wymaga zaldwi kilkunastu skund obliczñ na komputrz klasy PC. Algorytm optymalizacji topologicznj zaprzntowany w pracy ma charaktr hurystyczny. Taki algorytm jst zal ny od pwnych paramtrów, któr nal y okrœliæ drog¹ tstów numrycznych. Istnij wil opracowañ [8], w których podan s¹ wartoœci powy szych paramtrów. Uk³ady uzyskan drog¹ optymalizacji topologicznj cchuj¹ siê maksymaln¹ sztywnoœci¹, przy za³o onj iloœci matria³u. Fakt tn ma zasadniczy wp³yw na ca³kowity koszt ralizacji konstrukcji. Jst oczywist, z wzglêdów konomicznych, prfrowan s¹ konstrukcj wymagaj¹c mnijszgo zu ycia matria³u. Clm optymalizacji topologiczj mo byæ równi okrœlni optymalnj iloœci matria³u z jakigo zostani wykonany uk³ad. W takim przypadku nal y wprowadziæ dodatkow krytria typu przmiszczniowgo i naprê niowgo. To drugi podjœci ni jst jdnak tmatm ninijszj pracy i zosta³o w nij jdyni zasygnalizowan. Zamiszczon w pracy ogóln kszta³ty mostów, uzyskan na drodz optymalizacji topologicznj s¹ podobn do kszta³tów istnij¹cych mostów, co potwirdza przydatnoœæ mtody do wykorzystywania jako narzêdzi wspomagaj¹c twórczy procs tworznia koncpcji mostu. Na rysunku 1 przdstawiono przyk³ad koncpcji mostu uzyskanj mtod¹ optymalizacji topologicznj dostêpny pod adrsm: http://www.cmap.polytchniqu.fr/~optopo/homog_n.html. Rys.1. Ogólny kszta³t mostu uzyskany drog¹ optymalizacji topologicznj http://www.cmap.polytchniqu.fr/~optopo/homog_n.html Fig.1. Topology optimization of th bridg http://www.cmap.polytchniqu.fr/~optopo/homog_n.html

90 Izabla Marczwska, W³odzimirz Sosnowski 2. PROSTY IZOTROPOWY MATERIA Z PRAWEM POTÊGOWYM Zastosowany w pracy matria³ jst matria³m sztucznym o zminnj gêstoœci 0< ρ< ρ o, gdzi ρ o jst gêstoœci¹ rzczywistgo matria³u litgo. Na pocz¹tku procsu optymalizacji matria³ lity jst równomirni rozmiszczony w obszarz projktowym i posiada wyjœciow¹ sztuczn¹ gêstoœæ ρ< ρ o. W obszarach wymagaj¹cych usztywninia matria³ zagêszcza siê do postaci litj i wówczas jgo gêstoœæ jst równa ρ = ρ o. W pozosta³ych obszarach matria³ jst usuwany (ρ 0) lub pozostaj nadal rozrzdzony, (ρ< ρ o ). Obszar projktowy jst podzilony na lmnty skoñczon. Gêstoœæ matria³u zastêpczgo w lmnci obszaru projktowgo Ω wyra a siê wzorm ρ = ζ ρ o, (1) gdzi ζ jst zminn¹ dcyzyjn¹ w zadaniu optymalizacji topologicznj i oznacza miarê gêstoœci matria³u zastêpczgo. Dla p³askigo stanu naprê nia sztywnoœæ lmntu z matria³m zastêpczym dana jst wzorm, wg [1], D p =ζ D, (2) o gdzid o jst macirz¹ sta³ych matria³owych dla matria³u litgo i przyjmuj postaæ D o 1 ν 0 E = ν 1 0 2 1 ν 0 0 1 ν. (3) 2 E i ν s¹ odpowidnio modu³m Younga i wspó³czynnikim Poissona. Dla matria³u izotropowgo z prawm potêgowym wyk³adnik p musi sp³niaæ nirównoœæ, wg [8], 2 4 p max, 2D 1 ν 1+ ν, dla p max 15 1 ν 3 1 ν,, dla 3D. 7 5ν 2 1 2ν (4) Dla tak dobranych wartoœci p punkty krzywych wyra aj¹cych zal noœæ pomiêdzy sztywnoœci¹ a miar¹ gêstoœci matria³u dla matria³u sztuczngo pokrywaj¹ siê z punktami Hashina-Shtrikmana dla kompozytu zbudowango z dwóch matria³ów o DROGI i MOSTY 1/2004

PROJEKTOWANIE KSZTA TU MOSTU METODAMI OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ 91 ró nych w³asnoœciach matria³owych, [8]. W pracy rozwa an s¹ uk³ady tarczow 2D o wspó³czynniku Poissona ν=1/3. St¹d z wzoru (4) wynika i p 3. Wilkoœæ wyk³adnika p mo byæ dobirana tak na podstawi tstów z przdzia³u 1 < p <9, [7]. Im wy sz wartoœci p tym rozwi¹zani zawira mnij strf z matria³m o gêstoœciach poœrdnich, któr trzba by³oby wyliminowaæ. Sposoby liminacji takich strf s¹ opisan np. w pracy [7], [8]. Zgodni z wzorm (4) w pracy przyjêto p =3. W zadaniu optymalizacji topologicznj poszukiwany jst optymalny rozk³ad fikcyjngo matria³u zastêpczgo wyp³niaj¹cgo obszar projktowy. Na tym tapi projktowania, który jak ju mówiliœmy dotyczy koncpcji (architktury) mostu, ni jst istotn jaki to matria³: bton, stal czy kompozyt polimrowy. 3. SFORMU OWANIE ZADANIA OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ Zadani okrœlania optymalnj gêstoœci matria³u zastêpczgo w obszarz projktowym, z wzglêdu na minimaln¹ globaln¹ podatnoœæ c uk³adu mo na zapisaæ w nastêpuj¹cy sposób, wg [9]: znajdÿ min ζ N T T c= q B D B da, q = 1 A (5) przy ograniczniach: Kq = F, (6) N ζ ν N = 1 = 1 f ν = 0, (7) ζ min ζ 10,, (8) gdzi q jst wktorm przmiszczñ wêz³owych -tgo lmntu, A jst polm lmntu tarczy, B jst macirz¹ pochodnych funkcji kszta³tu. Równani (6) jst równanim równowagi uk³adu, q jst globalnym wktorm przmiszczñ wêz³ów konstrukcji, K i F s¹ odpowidnio globaln¹ macirz¹ sztywnoœci i wktorm si³ zwnêtrznych, ν jst objêtoœci¹ lmntu dyskrtyzacji. Wyra ni (7) jst równanim sta³j iloœci matria³u w ca³ym obszarz Ω. Pirwszy cz³on wyra nia (7) oznacza objêtoœæ matria³u zastêpczgo, zaœ drugi jst objêtoœci¹ obszaru projktowgo pomno- on¹ przz sta³¹ f. Sta³a ta okrœla stopiñ pocz¹tkowgo rozrzdznia matria³u

92 Izabla Marczwska, W³odzimirz Sosnowski litgo w obszarz projktowym Ω. Jœli objêtoœæ matria³u litgo jst o po³owê mnijsza od objêtoœci obszaru projktowgo to wówczas f=0,5. Wyra ni (8) okrœla zakrs zminnoœci miary gêstoœci matria³u zastêpczgo. Gdyζ przyjmuj wartoœæ 1,0 wówczas lmnt jst ca³kowici wyp³niony matria³m litym. Obszary, w których ζ = ζ min uwa an s¹ za pust. Z wzglêdów numrycznych przyjmuj siê, doln ograniczni ζ min powinno byæ dobran tak, aby ni by³o mnijsz ni dopuszczalny poziom dok³adnoœci arytmtyki komputra. W naszym przypadku przyjêto ζ min = 0,1-07. Istnij tak mo liwoœæ optymalizacji topologicznj uk³adu z jdnoczsnym uwzglêdninim optymalizacji iloœci matria³u poprzz dobór odpowidnij wilkoœci paramtru f. W tak postawionym problmi bêdzimy mili dwi funkcj clu. Pirwsz¹ funkcj¹ clu bêdzi iloœæ matria³u, z którgo bêdzi wykonany uk³ad, która zal y od wilkoœci paramtru f. Drug¹ funkcj¹ clu, tak jak w poprzdnim sformu³owaniu, bêdzi minimalna podatnoœæ, którj wartoœci w poszczgólnych krokach itracyjnych zal ¹ od odpowidnio rozmiszczango matria³u. Naturalnym jst, j li ni wprowadzimy dodatkowych ograniczñ to przy projktowaniu na podstawi krytrium maksymalnj sztywnoœci wymiary lmntów uk³adu bêd¹ d¹ y³y do niskoñczonoœci. Aby unikn¹æ takich rozwi¹zañ nal y zdfiniowaæ dodatkow warunki w postaci ograniczñ typu naprê niowgo i przmiszczniowgo. Wówczas sformu³owani zadania optymalizacji ogólngo kszta³tu maksymalni sztywnj i lkkij konstrukcji mo byæ podan nastêpuj¹co: znajdÿ min f min ζ c= N =1 T T q B D B da q A, (9) przy ograniczniach (6), (7), (8) oraz dodatkowych ograniczniach: typu naprê niowgo typu przmiszczniowgo gdzi σ dop σ σ, i= 1,..., n, (10) σ i i dop u u, i= 1,..., n, (11) i i i i i i dop dop, u, σ, u s¹ odpowidnio naprê nim i przmiszcznim w i-tym l- dop dop mnci oraz i-tym wêÿl uk³adu.σ i, u s¹ odpowidnio naprê nim i przmisz- i cznim dopuszczalnym w i-tym lmnci oraz i-tym wêÿl uk³adu. n σ, n u oznaczaj¹ liczbê ograniczñ typu naprê niowgo i przmiszczniowgo. Ninijsz DROGI i MOSTY 1/2004 u

PROJEKTOWANIE KSZTA TU MOSTU METODAMI OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ 93 podjœci ni jst jdnak tmatm pracy i zosta³o jdyni zasygnalizowan. W pracy wykorzystywan jst natomiast sformu³owani podan wzorami (5)-(8). Optymalizacja topologiczna mo byæ stosowana tak miêdzy innymi do projktowania ogólngo kszta³tu uk³adów drgaj¹cych. Przyk³ady innych zastosowañ omawianj mtody mo na znalÿæ w bardzo wilu pracach, niktór z nich s¹ omawian w [7] i [8]. 4. KRYTERIA OPTYMALNOŒCI Rozwi¹zani zadania minimalizacji globalnj podatnoœci przy ograniczniach danych wzorami (6)-(8) mo byæ uzyskan drog¹ okrœlnia punktu stacjonarngo funkcji Lagrang a okrœlango z warunków optymalnoœci Kuhna-Tuckra. Funkcja Lagrang a dla zadania (5)-(8) przyjmuj postaæ [9] N N N p T o T L= ζ q k q + Γ ( Kq F) + λ f = ζ ν ν + 1 = 1 = 1 N N min g ( ) ( 10 ) d + ξ ζ ζ + ξ ζ,, = 1 = 1 (12) gdzi k o = T B D B dajst macirz¹ sztywnoœci lmntu z matria³m litym.γ iλ A o s¹ mno nikami Lagrang'a stoj¹cymi przy ograniczniach typu równoœciowgo, zaœ ξ d i ξ g s¹ mno nikami Lagrang'a stoj¹cymi przy ograniczniach typu nirównoœciowgo. Warunki optymalnoœci Kuhna-Tuckra wyra on s¹ zal noœciami: L ζ L ξ d L g ξ L L = 0, = 0, = 0, Γ λ 0, ξ d 0, ξ 0, g L d ξ ξ d 0, = 0, L ξ ξ g = 0. g (13) W przntowanj pracy problm optymalizacji topologicznj by³ rozwi¹zywany przy u yciu mtod krytriów optymalnoœci. W mtodach tych na ka dym kroku itracyjnym okrœlany jst zbiór ograniczñ aktywnych. Jœli znamy strfy gdzi ogranicznia nirównoœciow s¹ niaktywn to mo my w nich pos³ugiwaæ siê równoœciowymi warunkami stacjonarnoœci funkcji Lagrang a. W strfach gdzi ogranicznia s¹ aktywn pos³ugujmy siê nirównoœciowymi warunkami Kuhna-Tuckra.

94 Izabla Marczwska, W³odzimirz Sosnowski Dla poœrdnich wartoœci zminnych dcyzyjnych ζ min < ζ < 1,0 ogranicznia nirównoœciow (8) staj¹ siê niaktywn. Uwzglêdniaj¹c zal noœæ (12) krytrium opty- malnoœci dla poœrdnich wartoœci miar gêstoœci matria³u mo na zapisaæ w postaci ( p 1) T o pζ q k q = 1,0, λν (14) gdzi k o jst macirz¹ sztywnoœci lmntu z litym matria³m rzczywistym o gêstoœci ρ o. Wprowadzaj¹c oznaczni Q ( p 1) T o pζ q k q = λν, (15) wyra ni (15) mo my zapisaæ w postaci Q = 1,0. Intrprtacja fizyczna wyra nia (15) jst nastêpuj¹ca: gêstoœæ pochodnj podatnoœci z miar¹ 1 jst równa jdn w ka - λ dym lmnci obszaru dla poœrdnich miar gêstoœci matria³u ζ. Gdy sp³niony jst warunk (15) dla poœrdnich miar gêstoœci ζ min < ζ <1,0 rozwi¹zani uwa an jst za optymaln. Gdy doln ograniczni staj siê aktywn ζ min ζ =0 i ξ d 0 krytrium optymalnoœci przyjmuj postaæ Q d ξ = 1 1 λν, (16) Dla górngo ogranicznia aktywngo ζ 1= 0, ξ g 0 a krytrium optymalnoœci przyjmuj postaæ Q d ξ = 1+ 1 λν. (17) Wykorzystuj¹c powy sz zwi¹zki Bndso [1] zaproponowa³ nastêpuj¹cy schmat uaktualniania zminnych ζ k+ 1 min η k min ( ζ,( ζ m) ) Q ζ ζ ζ (,( m )) Q η k η k ζ gdy min( 1,( ζ + m) ) < Q ζ < max ζ min,( ζ m ) ( 1,( ζ + m) ) gdy min ( 1, ( ζ )) η k + m Q ζ, max gdy max = min (18) ( ) DROGI i MOSTY 1/2004

PROJEKTOWANIE KSZTA TU MOSTU METODAMI OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ 95 gdzi ηjst paramtrm t³uminia, m d³ugoœci¹ kroku. Mno niki Lagrang'a Γ i λ s¹ wyznaczan z warunków L Γ = 0 oraz L = 0. λ Wprowadzni paramtru t³uminia ma na clu przybli ani wartoœci Q, uzyskanj w danj itracji, do jdynki. Wówczas rozwi¹zani sp³nia krytrium optymalnoœci (14). Przyjmuj¹c η=1/2 zbli amy siê z wartoœciami Q do jdnoœci, np. 11, = 10488,, zaœ 0, 990 = 0, 995. D³ugoœæ kroku m okrœla o il na danj itracji mo wzrosn¹æ lub zmalæ wartoœæ miary gêstoœci matria³u. W pracy miara ta jst dobrana jako 1 max x = 002,. Wprowadzni powy szych paramtrów wi¹ siê z hurystycznym 50 typm algorytmu optymalizacji topologicznj. 5. PRZYK ADY NUMERYCZNE 5.1. PRZYK AD 1 Za³ó my, chcmy zaprojktowaæ most dla samochodów z jazd¹ do³m nad p³ytk¹ rzk¹ o p³askich brzgach, wg schmatu przdstawiongo na rysunku 2. Rozwa aj¹c wstêpn¹ koncpcjê mostu nal y zwróciæ uwagê na warunki podparcia. Na tym tapi projktu ni zachodzi potrzba zastosowania takigo samgo sposobu podparcia dla obszaru projktowgo jak dla uzyskango mostu. Spcyfika zadania wymaga wprowadznia podpór niprzsuwnych dla obszaru projktowgo. W projkci wstêpnym opracowywanym przy u yciu optymalizacji topologicznj podpory powinny znajdowaæ siê w mijscach gdzi przwiduj siê usytuowani przyczó³ków lub filarów miêdzy przês³owych. Przy dalszych obliczniach projktu nal y wprowadziæ inn warunki, np. taki, któr zapwniaj¹ konstrukcji statyczn¹ wyznaczalnoœæ. W przdstawionym podjœciu obszarm projktowym s¹ tarcz sprê yst. D³ugoœæ tarczy wynika z rozstawu podpór, wysokoœæ jst okrœlona przz projktanta dowolni. Rozk³ad gêstoœci matria³u uzyskany drog¹ optymalizacji topologicznj dla takich uk³adów ni zal y od wartoœci obci¹ nia istotny jst natomiast jgo rozk³ad. W mijscu gdzi bêdzi znajdowa³ siê pas jzdny nal y wprowadziæ obci¹ ni ci¹g³. Podobni, na rozk³ad gêstoœci matria³u ni maj¹ wp³ywu jgo w³asnoœci sprê yst, taki jak modu³ Younga. W pracy przprowadzon s¹ oblicznia przy za³o niu, modu³ Younga jst równy 210 GPa co odpowiada stali konstrukcyjnj. Nal y podkrœliæ, taki sam kszta³t mostu uzyskalibyœmy przyjmuj¹c E=1 N. Oczywiœci wartoœci obci¹ nia i sta³ matria³ow wp³ywaj¹ na odpowidÿ uk³adu lcz maj¹ znaczni dopiro na tapi wymiarowania konstrukcji. Wtdy bowim przprowadzana jst dok³adna analiza wytrzyma³oœci i optymalizacja wymiarów w koljnych fazach projktowania. Problmatyka ta wychodzi jdnak poza zakrs ninijszj pracy.

96 Izabla Marczwska, W³odzimirz Sosnowski Rys.2. Œci ka optymalizacji topologicznj i rozmiszczni matria³u tarczy w p³askim stani naprê nia obci¹ onj równomirni wzd³u dolnj krawêdzi, podpartj w dwóch naro nych wêz³ach Fig.2. Topology optimization - itration path and th matrial distribution in plain strss slab subjctd to in-plan, distributd load, supportd at two cornrs' nods Wobc powy szych za³o ñ przyjmujmy, obszar projktowy stanowi tarcza niprzsuwni zamocowana w naro ach i równomirni obci¹ ona wzd³u dolnj krawêdzi tak jak to pokazano na rysunku 2. Do rozwi¹zania zadania statyki przyjêto obci¹ ni o intnsywnoœci q =1000 kn/m oraz nastêpuj¹c dan matria³ow: E=210 GPa oraz ν=0,3. Obszar projktowy podzilono na 3000 prostok¹tnych, tarczowych, cztrowêz³owych lmntów skoñczonych. W zadaniu optymalizacji topologicznj przyjêto: p = 3, η = 0,5, m = 0,02, f = 0,5, ζ min = 0,1-07. Optymalny kszta³t konstrukcji oraz przbig ca³go procsu optymalizacji w koljnych krokach itracyjnych przdstawia rysunk 2. Rozwi¹zani optymaln uzyskano w 60-tym kroku itracyjnym. Stwirdzono oko³o 70 procntowy spadk wartoœci globalnj podatnoœci (równowa ny 70 procntowmu wzrostowi sztywnoœci) w stosunku do stanu pocz¹tkowgo. W wyniku optymalizacji topologicznj przmiszczony w obszarz projktowym matria³ tworzy uk³ad przypominaj¹cy most podwiszony. Pas noœny stanowi ³uk do którgo za pomoc¹ ciêgin jst przymocowany pomost. DROGI i MOSTY 1/2004

PROJEKTOWANIE KSZTA TU MOSTU METODAMI OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ 97 5.2. PRZYK AD 2 Nal y zaprojktowaæ most dla samochodów z jazd¹ gór¹ nad rzk¹ o bardzo stromych brzgach, któr¹ p³ywaj¹ statki. Przyjêto, schmat zastêpczy stanowi tarcza niprzsuwni zamocowana w naro ach i równomirni obci¹ ona wzd³u górnj krawêdzi, tak jak to pokazano na rysunku 3. Dan do analizy uk³adu i rozwi¹zania zadania optymalizacji topologicznj przyjêto taki sam jak w poprzdnim przyk³adzi. Optymalny kszta³t tarczy oraz przbig ca³go procsu optymalizacji w koljnych krokach itracyjnych przdstawia rysunk 3. Rozwi¹zani optymaln uzyskano w 60-tym kroku itracyjnym. Podatnoœæ konstrukcji optymalnj spad³a o oko³o 90 % w stosunku do wartoœci podatnoœci dla projktu pocz¹tkowgo. Rys.3. Œci ka optymalizacji topologicznj i rozmiszczni matria³u tarczy w p³askim stani naprê nia obci¹ onj równomirni wzd³u górnj krawêdzi, podpartj w dwóch naro nych wêz³ach Fig.3. Topology optimization - itration path and th matrial distribution in plain strss slab subjctd to in-plan, distributd load, supportd at two cornrs' nods W wyniku optymalizacji topologicznj matria³ przmiszcza siê w obszarz projktowym tworz¹c uk³ad przypominaj¹cy kratownicê z pasm dolnym w kszta³ci ³uku i prostym pasm górnym. Oddzia³ywani zwnêtrzn prznoszon przz pas górny jst przkazywan do pasa dolngo poprzz s³upy.

98 Izabla Marczwska, W³odzimirz Sosnowski 5.3. PRZYK AD 3 Ninijszy przyk³ad pokazuj jak tworzy siê optymalny kszta³t mostu z pomostm w œrodku wysokoœci obszaru projktowgo. W przypadku tym obci¹ ni przy³o on jst w po³owi wysokoœci tarczy zamocowanj niprzsuwni tak jak to pokazano na rysunku 4. Pozosta³ dan do analizy uk³adu i rozwi¹zania zadania optymalizacji topologicznj przyjêto taki sam jak w poprzdnich przyk³adach. Optymalny kszta³t tarczy oraz przbig ca³go procsu optymalizacji w koljnych krokach itracyjnych przdstawiono na rysunku 4. Rozwi¹zani optymaln uzyskano w 60-tym kroku itracyjnym. Podatnoœæ konstrukcji optymalnj spad³a o oko³o 90 % w stosunku do wartoœci podatnoœci dla projktu pocz¹tkowgo. Rys.4. Œci ka optymalizacji topologicznj i rozmiszczni matria³u tarczy w p³askim stani naprê nia obci¹ onj równomirni w œrodku wysokoœci, podpartj w dwóch naro nych wêz³ach Fig.4. Topology optimization - itration path and th matrial distribution in plain strss slab subjctd to in-plan, distributd load in th middl of th hight, supportd at two cornrs' nods Uzyskana konstrukcja mostu posiada cchy uk³adu Nilsna, [11], pokazango na rysunku 5. Konstrukcj noœn¹ uzyskango uk³adu stanowi ³uk, który na œrodkowym odcinku dÿwiga g³ówn¹ p³ytê mostu poprzz ciêgna. DROGI i MOSTY 1/2004

PROJEKTOWANIE KSZTA TU MOSTU METODAMI OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ 99 Rys.5. Most Saigo, (http://www.khi.co.jp/tkkou/catalog/framright6-.html). Lokalizacja: Shiman Prfctur, Japonia, d³ugoœæ 270 m, szrokoœæ 6 m, rok oddania 1977 Fig.5. Saigo bridg, (http://www.khi.co.jp/tkkou/catalog/framright6-.html). Location: Shiman Prfctur, Japan, lngth 270 m, width 6 m, dat of compltion 1977 5.4. PRZYK AD 4 Ninijszy przyk³ad pokazuj jak tworzy siê optymalny kszta³t mostu z pomostm w œrodku wysokoœci obszaru projktowgo przy wprowadzniu dwóch podpór niprzsuwnych. W przypadku tym, tak jak w poprzdnim przyk³adzi, obci¹ ni przy³o on jst w po³owi wysokoœci tarczy (rys. 6). Pozosta³ dan do analizy uk³adu i rozwi¹zania zadania optymalizacji topologicznj przyjêto taki sam jak w poprzdnich przyk³adach. Optymalny kszta³t tarczy oraz przbig ca³go procsu optymalizacji w koljnych krokach itracyjnych przdstawiono na rysunku 6. Rozwi¹zani optymaln uzyskano w 60-tym kroku itracyjnym. Podatnoœæ konstrukcji optymalnj spad³a o oko³o 90 % w stosunku do wartoœci podatnoœci dla projktu pocz¹tkowgo. Uzyskana konstrukcja mostu stanowi dwuprzês³owy uk³ad z podwiszonym pomostm.

100 Izabla Marczwska, W³odzimirz Sosnowski Rys.6. Œci ka optymalizacji topologicznj i rozmiszczni matria³u tarczy w p³askim stani naprê nia obci¹ onj równomirni w œrodku wysokoœci, podpartj w dwóch wêz³ach Fig.6. Topology optimization - itration path and th matrial distribution in plain strss slab subjctd to in-plan, distributd load in th middl of th hight, supportd at two nods 6. PODSUMOWANIE Optymalizacja topologiczna pozwala ustaliæ wstêpny kszta³t konstrukcji i mo stanowiæ uzup³nini warsztatu pracy in ynira projktanta. Nal y jdnak podkrœliæ, optymalizacja ni zast¹pi twórczgo myœlnia projktanta jgo intuicji i doœwiadcznia. Mo natomiast wspomóc i wzbogaciæ tn procs. Szybkoœæ uzyskiwania rozwi¹zañ pozwala rozwa aæ wil ró nych koncpcji przy stosunkowo ma³ym nak³adzi pracy i w krótkim czasi. Przdstawiona mtoda optymalizacji ma charaktr bardzo ogólny. Zosta³a wprawdzi prztstowana na stosunkowo prostych przyk³adach al mo byæ stosowana do rozwi¹zywania znaczni bardzij skomplikowanych zadañ. Powy szy wniosk móg³ byæ sformu³owany przd wszystkim dziêki tmu, algorytmy optymalizacyjn zosta³y sprzê on z najbardzij uniwrsaln¹ mtod¹ numryczn¹ rozwi¹zywania zadañ in ynirskich, jak¹ jst mtoda lmntów skoñczonych. DROGI i MOSTY 1/2004

PROJEKTOWANIE KSZTA TU MOSTU METODAMI OPTYMALIZACJI TOPOLOGICZNEJ 101 Mtoda projktowania ogólngo kszta³tu przy wykorzystaniu optymalizacji topologicznj jst mtod¹ stosunkowo now¹. Jdnak rozwój tj mtody jst nis³ychani dynamiczny. Przntowany w pracy problm optymalizacji topologicznj jst sformu³owany w taki sposób, na rozk³ad matria³u w obszarz projktowym ni maj¹ wp³ywu w³aœciwoœci matria³u i wilkoœæ obci¹ nia a jdyni wymiary, kszta³t, warunki podparcia i rozk³ad obci¹ nia obszaru projktowgo oraz wstêpna iloœæ matria³u fikcyjngo. Dlatgo przdstawion sformu³owani problmu optymalizacji topologicznj mo byæ jdyni wykorzystywan przy tworzniu koncpcji konstrukcji. Ni mo my siê spodziwaæ, uzyskamy od razu gotowy projkt, który sp³nia wszystki krytria np. wytrzyma³oœciow. Uzyskamy natomiast informacjê jak mog³y by byæ usytuowan lmnty przysz³j konstrukcji aby by³a ona najbardzij sztywna. Ni dostanimy tak informacji na tmat wymiarów tych lmntów. Mo my jdyni okrœliæ, któr z nich powinny byæ krêp a któr smuk³. Szczgó³ow wymiary s¹ ustalon w dalszych tapach procsu projktowania. Zawart w pracy rozwa ania pozostaj¹ wiêc w fazi wstêpngo projktu architktoniczngo. BIBLIOGRAFIA [1] Bndso M.P.: Optimization of Structural Topology, Shap and Matrial. Springr Vrlag, Brlin Hidlbrg, 271, 1995 [2] Klibr M., Antunz H., Hin T.D., Kowalczyk P.: Paramtr Snsitivity in Nonlinar Mchanics. J. Wily, 406, 1997 [3] Sosnowski W.: Numryczna symulacja, analiza wra liwoœci i optymalizacja procsów dformacji konstrukcji, monografia. Wydawnictwo Akadmii Bydgoskij, 211, 2003 [4] Marczwska I.: Sosnowski W., Marczwski A., Bdnark T.: Topology and Snsitivity- Basd Optimization of Stiffnd Plats and Shlls. World Congrs on Structural and Multidisciplinary Optimization (WCSMO-5), Lido di Jsolo, Wncja, 2003 [5] Sigmund O., Jnsn J. S.: Dsign of acoustic dvics by topology optimization. World Congrs on Structural and Multidisciplinary Optimization (WCSMO-5), Lido di Jsolo, Wncja, 2003 [6] Zinkiwicz O.C., Taylor R.L.: Th finit lmnt mthod : Volum 1 : Th basis, Volum 2: Solid mchanics, 5-th Edition. Buttrworth-Hinmann, 689, 459, 2000 [7] Hassani B., Hinton E.: Homognization and Structural Topology Optimization, Thory, Practic and Softwar. Springr-Vrlag London Limitd, 268, 1999 [8] Bndso M.P., Sigmund O.: Topology optimization, Thory, Mthods and Applications. Springr, 370, 2003 [9] Marczwska I.: Wilotapowa optymalizacja topologii, kszta³tu i paramtrów przkrojowych z³o onych konstrukcji zginanych. Praca doktorska, IPPT PAN, 172, 2003

102 Izabla Marczwska, W³odzimirz Sosnowski [10] http://www.cmap.polytchniqu.fr/~optopo/homog_n.html [11] http://www.khi.co.jp/tkkou/catalog/framright6-.html GENERAL SHAPE DESIGN OF THE BRIDGE STRUCTURE USING TOPOLOGY OPTIMALIZATION METHODS Abstract Th papr dals with a nw mthod which can b usd in initial dsign of th bridg constructions, whn th fundamntal dcisions rlatd to th typ of th bridg must b considrd. Snsitivity basd topology optimization is th modrn, intrdisciplinary dsign tool, which is usd in many practical problms. Th numrical topology optimization algorithm consists of two basic stps at ach itration: th first, th analysis of th systm is prformd and th scond, th dsign variabls ar updatd. In th problm of topology optimization th optimal rdistribution of th artificial, non-ral matrial should b dtrmind in dsign domain in ordr to minimiz th man complianc of th structur. This matrial is calld Simpl Isotropic Matrial with Pnalization [1]. In optimization procss th artificial matrial with intrmdiat non ral dnsity ρ is rdistributd. It is concntratd in stiffnd zons ρ = ρ o. Th rsult of th optimization is th optimal global shap of th construction. Th prsntd xampls dmonstrat how quickly and asily on can obtain th optimal global shap of th bridg construction using numrical topology optimization procdur. DROGI i MOSTY 1/2004