Lista zadań - Relacje

MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci, a następnikami są wykłady, na które ci studenci są aktualnie zapisani. b) Program komputerowy przekształca rozwinięcie dziesiętne liczby na rozwinięcie dwójkowe. Rozważamy relację składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są dopuszczalne rozwinięcia dziesiętne, a następnikami są odpowiednie rozwinięcia dwójkowe. Zad. 2. Niech U = {0, 1, 2, 3} i niech r 1, r 2 U U będą relacjami takimi, że: a) (m, n) r 1 m n jest liczbą parzystą, b) (m, n) r 2 m n. Zapisz każdą z relacji jako: zbiór par uporządkowanych, w postaci tabelki i w postaci grafu. Dla każdej relacji określ jej własności (czy jest zwrotna, czy symetryczna itd.). Zad. 3. Niech A = {0, 1, 2}. Każde z poniższych stwierdzeń określa relację r w zbiorze A w ten sposób, że (m, n) r, jeśli to stwierdzenie jest prawdziwe dla m i n. Zapisz każdą relację jako zbiór par uporządkowanych i narysuj jej wykres w postaci grafu. a) mn = 0, d) mn = m, b) m 2 + n 2 = 2, e) m + n A, c) m 2 + n 2 = 3, f) m = n. Które z poznanych własności spełniają te relacje? Zad. 4. Relacje r 1, r 2, r 3, o których mowa poniżej określone są w zbiorze N. a) Zapisz relację r 1 określoną wzorem m + n = 5 jako zbiór par uporządkowanych. b) Zrób to samo dla relacji r 2 określonej wzorem max{m, n} = 2. c) Relacja r 3 określona wzorem min{m, n} = 2 zawiera nieskończenie wiele par uporządkowanych. Wypisz 5 z nich. 1

Sprawdź, które z poznanych własności spełniają te relacje. Zad. 5. Zbadaj własności relacji: a) (x, y) r 2 (x + y) dla x, y N, b) (x, y) r 5 (x 3 y 3 ) dla x, y Z, c) (x, y) r sgn(x) sgn(y) dla x, y R, d) (x, y) r x + y + 1 1 dla x, y R (narysuj wykres relacji), e) (x, y) r x < y dla x, y R. Zad. 6. Podaj (wymieniając pary uporządkowane albo definując tabelkę relacji albo rysując graf) przykład relacji w zbiorze X = {a, b, c, d}: a) zwrotnej, b) symetrycznej, c) przechodniej. Zad. 7. Rozpatrzmy relacje w zbiorze liczb rzeczywistych R. Jaka jest naturalna interpretacja geometryczna takich relacji? Jaki jest sens geometryczny własności zwrotności? A jaki własności symetrii, spójności, asymetrii, antysymetrii? Zad. 8. Ile różnych relacji zwrotnych można utworzyć w zbiorze n-elementowym? A symetrycznych? Zad. 9. Które z poniższych relacji są relacjami równoważności? Dla każdej relacji równoważności podaj elementy pewnej klasy abstrakcji. a) Relacja r 1 określona w zbiorze S szklanych kulek oznaczająca, że (s, t) r 1 wtedy i tylko wtedy, gdy s i t są tego samego koloru. b) Relacja r 2 określona w zbiorze linii prostych na płaszczyźnie oznaczająca, że (l 1, l 2 ) r 2 wtedy i tylko wtedy, gdy l 1 i l 2 są prostopadłe. c) Relacja r 3 określona w zbiorze Amerykanów oznaczająca, że (m 1, m 2 ) r 3 wtedy i tylko wtedy, gdy m 1 i m 2 mieszkają w tym samym stanie. d) Relacja r 4 określona w zbiorze Amerykanów oznaczająca, że (m 1, m 2 ) r 4 wtedy i tylko wtedy, gdy m 1 i m 2 mieszkają w tym samym stanie lub w stanach sąsiednich. e) Relacja r 5 określona w zbiorze wszystkich ludzi oznaczająca, że (o 1, o 2 ) r 5 wtedy i tylko wtedy, gdy o 1 i o 2 mają wspólnego rodzica. f) Relacja r 6 określona w zbiorze wszystkich ludzi oznaczająca, że (o 1, o 2 ) r 6 wtedy i tylko wtedy, gdy o 1 i o 2 mają tę samą matkę. 2

g) Weźmy program, który akceptuje jako dane wejściowe ciągi ze zbioru Σ dla pewnego alfabetu Σ i generuje ciągi wyjściowe. Relacja r 7 jest określona w zbiorze Σ i oznacza, że (w 1, w 2 ) r 7 wtedy i tylko wtedy, gdy ten program generuje te same ciągi wyjściowe zarówno dla danych w 1, jak i dla w 2. Zad. 10. Zbadać, czy relacja r jest relacją równoważności. Jeśli tak, to wyznaczyć klasy abstrakcji tej relacji. a) a, b A = {1, 2, 3,..., 16}: (a, b) r 4 (a 2 b 2 ), b) a, b A = {2, 4, 6, 8,...} N: (a, b) r 4 (a b), c) a, b A = {1, 2, 3,..., 20}: (a, b) r a, b maja tę samą liczbę podzielników, d) a, b N: (a, b) r a = b, e) a, b N: (a, b) r 2a = 3b, f) a, b N \ {0, 1}: (a, b) r log a b = log b a, g) a, b N: (a, b) r suma cyfr liczby a jest równa sumie cyfr liczby b, h) a, b N: (a, b) r [(a b) (b a)], i) a, b Z: (a, b) r a b jest liczbą nieparzystą, j) a, b Z : (a, b) r a 5, b k) a, b Z: (a, b) r 3 dzieli a b, l) a, b Z: (a, b) r a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez liczbę pierwszą p postaci 4n + 1, n N, ł) a, b Z: (a, b) r a ma tyle samo cyfr co b, m) a, b [ 1, 1]: (a, b) r 2 sgn(a) = 2 sgn(b), n) a, b R: (a, b) r a b 1, o) a, b R: (a, b) r a = b, p) a, b R: (a, b) r a 2 + b 2 = 3ab, r) a, b R + : (a, b) r log 1 a + log 3 3 b > 0, s) a, b R: (a, b) r a b, t) a, b R: (a, b) r e a = 3 e b, u) a, b R: (a, b) r a 2 = b, v) a, b R: (a, b) r a 2 + b 2 1, w) a, b R: (a, b) r a b Z, x) a, b R: (a, b) r a 2 = b 2, y) a, b R: (a, b) r a 2 + b 2 = 2ab, z) a, b R: (a, b) r 2 a 2 b = 4 a, 3

a ) a, b R: (a, b) r 2 [a] = 2 [b], b ) a, b R: (a, b) r (1 + 5)a = 2b + 4 1+ 5 a. Zad. 11. Czy rodzina zbiorów {X 1, X 2, X 3 } jest podziałem zbioru liczb naturalnych N, jeśli X 1 = {x N x jest kwadratem liczby parzystej}, X 2 = {x N x jest liczbą pierwszą}, X 3 = {x N x jest kwadratem liczby nieparzystej}? Zad. 12. Dany jest podział zbioru R na odcinki domknięto-otwarte {[x, x + 1) x Z}. Wskaż relację równoważności, której klasami abstrakcji są te zbiory. Co się zmieni, gdy weźmiemy podział na odcinki postaci (x, x + 1]? Zad. 13. Dany jest podział zbioru Z na dwa zbiory: zbiór liczb parzystych i zbiór liczb nieparzystych. Wskaż relację równoważności, której klasami abstrakcji są te zbiory. Zad. 14. Dzielimy płaszczyznę R R na 5 zbiorów, odpowiadających czterem ćwiartkom otwartym płaszczyzny oraz sumie mnogościowej osi Ox i Oy. Znajdź relację równoważności, której klasami abstrakcji są te zbiory. Zad. 15. Płaszczyznę R R dzielimy na zbiory będące okręgami o środku w początku układu współrzędnych. Znajdź relację równoważności, której klasami abstrakcji są te zbiory. Zad. 16. Weźmy funkcje g i h przekształcające Z w N, określone wzorami: g(n) = n i h(n) = 1 + ( 1) n. a) Opisz zbiory występujące w podziale {g (k) k N} zbioru Z. Ile jest tych zbiorów? b) Opisz zbiory występujące w podziale {h (k) k N} zbioru Z. Ile jest tych zbiorów? Zad. 17. Narysuj diagramy Hassego następujących zbiorów częściowo uporządkowanych: a) ({2, 3, 4, 6}, ), ({1, 2, 3, 6}, ), ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, ), ({1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, ), gdzie m n oznacza, że m jest dzielnikiem n. b) Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru {3, 7} z relacją jako częściowym porządkiem. c) Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru {a, b, c} z relacją jako częściowym porządkiem. d) Zbiór wszystkich niepustych właściwych podzbiorów zbioru {a, b, c} z częściowym porządkiem. Zad. 18. Które z poniższych diagramów są diagramami Hassego? 4

w u v e f E z y z b c d B C D y x a A x Zad. 19. W zbiorze X = {3, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 32, 66, 128, 135} wprowadzamy relację R: (x, y) R D x D y, gdzie D x oznacza zbiór wszystkich dzielników naturalnych liczby x: a) Wykaż, że relacja R jest relacją częściowego porządku. b) Sporządź diagram tej relacji. Zad. 20. Rozważmy zbiór FUN({a, b, c}, {0, 1}) wszystkich funkcji z trzyelementowego {a, b, c} w {0, 1}. Definiujemy częściowy porządek w tym zbiorze w następujący sposób: f g wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) g(x) dla x = a, b, c. Narysuj diagram Hassego zbioru (FUN({a, b, c}, {0, 1}), ). Zad. 21. Weźmy zbiór częściowo uporządkowany ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, ). ({1, 2, 3, 6}, ) Wypisz elementy, które należą do segmentów: [1, 6], [2, 6], [3, 5]. Zad. 22. Poniższy rysunek przedstawia diagramy Hassego trzech zbiorów częściowo uporządkowanych. z o p q r h m n w x y f g k v d e a b c j u 5

Wypisz elementy, które należą do segmentów: [b, h], [a, g], [k, p], [j, r], [v, z], [w, y]. Zad. 23. Niech F(N) oznacza rodzinę wszystkich skończonych podzbiorów zbioru N. Wówczas (F(N), ) jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Wypisz elementy, które należą do segmentów: [2, 3, 2, 7, 9], [2, 3, 2, 3, 5, 7]. Zad. 24. Podaj przykłady dwóch zbiorów częściowo uporządkowanych wziętych z codziennego życia. Zad. 25. W zbiorze Q [1, 2017] wprowadzamy relację następująco: p r q s Sprawdź, czy jest to relacja częściowego porządku. ps qr Z. Zad. 26. Czy R jest relacją częściowego porządku w zbiorze Z, jeżeli dla każdych m, n Z mrn m 2 n 2. Zad. 27. Sprawdź czy jest częściowym porządkiem na X, gdzie a)x = N 2, (x, y) (a, b) (x = a y = b) (x < a y < b) b)x = N, x y (2 x 2 y k N y = 2 k x) (2 x 2 y x y) c)x = N 2, (x, y) (a, b) x a b y d)x = R, x y (x = y) ({x} < {y}) gdzie {x} oznacza część ułamkową z x. Czy w b) 2 12? W c) rozważyć (A, ), gdzie A = {2, 4, 6} 2 i narysować diagram Hassego. Zad. 28. Mając dany alfabet Σ, możemy określić relację w nieskończonym zbiorze Σ wszystkich słów używających liter z Σ, w następujący sposób. Jeśli w 1 i w 2 są słowami z Σ, to w 1 w 2, jeśli w 1 jest odcinkiem początkowym w 2, tzn., jeśli w Σ istnieje słowo w takie, że w 1 w = w 2. Pokaż, że relacja jest częściowym porządkiem w zbiorze Σ. Zad. 29. Dla Σ = {a, b} z poprzedniego zadania narysuj diagram Hassego odpowiadający zbiorowi (Σ, ). Zad. 30. Niech Σ będzie pewnym alfabetem. Dla w 1, w 2 Σ powiemy, że w 1 w 2, jeśli w Σ istnieją słowa w i w takie, że w 2 w = ww 1 w. Czy jest częściowym porządkiem w zbiorze Σ. Odpowiedź uzasadnij. Zad. 31. Które ze zbiorów częściowo uporządkowanych z poniższego rysunku są zbiorami uporządkowanymi również liniowo? 6

(a) (b) (c) Zad. 32. Podaj przykłady dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych wziętych z codziennego życia. Zad. 33. Przy okrągłym stole zasiadło n osobistości. Czy porządek osób wyznaczony przez zajmowane miejsce następująco a b wtedy i tylko wtedy, gdy a siedzi na lewo od b jest porządkiem liniowym? Zad. 34. Rozważmy zbiór T = {2, 3, 4,..., 15} wraz z relacją podzielności ograniczoną do elementów tego zbioru. Wskaż wszystkie łańcuchy długości 3. Zad. 35. Czy relacja 1 jest częściowym porządkiem na zbiorze R, gdzie x 1 y z R : (x < z y < z)? Czy 3 1 π? Czy można tę relację zapisać prościej? Czy porządek 1 jest liniowy? Zadania komputerowe Zad. 1. W zbiorze A = {0, 1, 2, 3, 4} określona jest relacja R następująco: xry 3 dzieli x 2 y 3. Napisz program, który sprawdza poznane własności tej relacji. Zad. 2. W zbiorze A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} określona jest relacja R następująco: xry x < y. Napisz program, który sprawdza poznane własności tej relacji. Zad. 3. W zbiorze A = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} określona jest relacja R następująco: xry a b. Napisz program, który sprawdza poznane własności tej relacji. 7