8Dynaia ruchu rgającego i fale w ośroach prężyych Wybór i opracowanie zaań 8 835 - Ryzar warowi Wybór i opracowanie zaań 836-845 - Boguław Kuz 8 W ułazie przeawiony na ryunu 8 aę g w chwili ochylono o położenia równowagi o i naano jej pręość v 4 / Znaleźć zależność wychylenia pręości i przypiezenia ay o czau Ile wynoi ore rgań apliua i faza począowa wychylenia ay? Wpółczynni prężyości nieważiej prężyny N/ arcie zaniebać Ry 8 8 W ronę nieruchoej ay przeawionej na ryunu 8 poruza ię z pręością -v ciało o aie i zerza ię z nią cenralnie Ja ługo rwa ruch ay zaocowanej o nieważiej prężyny o wpółczynniu prężyości w przypau iey a zerzenie a je prężye b zerzenie a je nieprężye a ay rwale przylegają o iebie? Ile wynoi ore rgań w obu przypaach? arcie zaniebać 83 Cząa wyonuje rgania haroniczne W oległościach i o położenia równowagi jej pręości wynozą v i v Znaleźć apliuę i częość rgań cząi 84** Cząa wyonuje rgania haroniczne zgonie z równanie in( Obliczyć prawopoobieńwo p znalezienia cząi w przeziale o / o Orzyać zależność gęości prawopoobieńwa (p/ o 85 W ułazie przeawiony na ry8 aę ociągnięo o o położenia równowagi Długość nieozałconej prężyny wynoi O ile przeunął ię owolny pun prężyny o położenia równowagi? 86** W ułazie przeawiony na ryunu 8 prężyna o aie M a wpółczynni prężyości Maę ociągnięo nieco o położenia równowagi i puzczono Znaleźć ore rgań ego ułau 87* Ile wynoi ore ałych rgań uli w ułazie złożony z wahała aeaycznego i nieważiej prężyny (ry 8? Oobno wahało aeayczne a ore ałych rgań a ula powiezona ylo o prężyny a ore rgań Ry 8
88 Dwa wahała aeayczne o ługości i aie aże połączono za poocą łabej nieważiej i nieozałconej prężyny o wpółczynniu prężyości (ry 83 Znaleźć ore ałych rgań w przypaach a aże wahało ochylono o ą w prawo o położenia równowagi b pierwze wahało ochylono o ą w prawo rugie o ą w lewo o położenia równowagi c ochylono ylo pierwze wahało o ą w prawo o położenia równowagi W przypau c oblicz oęp czau upływającego poięzy chwilai czau iey jeno wahało przeaje rgać a rugie wyazuje ayalne rgania Ry 83 89 Nieważą prężynę pozielono na wie a że oune ich ługości wynoi : Naępnie z ych prężyn i ciała zonowano uła przeawiony na ryunu 84 Obliczyć ore rgań ciała ochylonego o położenia równowagi w ierunu pozioy jeśli wiaoo że ciało zaocowane o całej prężyny wyonuje rgania o częoliwości f Założyć bra arcia Ry 84 8* Wyobraźy obie unel wyrążony w Ziei wzłuż jej oi obrou W chwili ciało zaczyna paać wobonie z powierzchni Ziei w głąb unelu a ciało B zaczyna paać w głąb unelu z oległości r R Z / o śroa Ziei Obliczyć cza po óry ciała ię poają i wazać iejce poania Zaniebać opór powierza oraz założyć że Zieia je jenoroną ulą o proieniu R Z 64 8* Jenorony pozioy prę wizący na wóch pionowych linach o ługości b aża i uwiązanych o ońców pręa obrócono o ały ą woół nieruchoej pionowej oi przechozącej przez jego śroe Obliczyć ore wahań pręa 8 Wyprowazić wzór na ore ałych rgań wahała fizycznego wychoząc a z zaa ynaii ruchu obroowego b z zaay zachowania energii echanicznej 83 Na ońcach cieniego pręa o ługości b 3 i aie 4 g uocowano ałe ule o aach g i 3 g Prę z ulai waha ię woół oi pozioej przechozącej przez jego śroe Obliczyć ore ałych wahań
84* Jenorony prę o ługości b wyonuje ałe wahania woół pozioej oi przechozącej przez prę i proopałej o niego Dla jaiej oległości ięzy oią a śroie pręa ore wahań bęzie najrózy? 85* Ciężare zawiezony na nieważiej prężynie o ługości c wyonuje rgania z ereene logaryiczny Λ π Po róceniu prężyny ereen logaryiczny rgań wynoi Λ π Obliczyć ługość róconej prężyny 86 W oępie czau energia rgań w ruchu haroniczny łabo łuiony zalała n- ronie Ile razy zaleje apliua rgań w y ruchu w oępie czau? 87* W pewny ośrou wahało aeayczne rga z logaryiczny ereene łuienia Λ 5 Jai bęzie logaryiczny ereen łuienia Λ jeśli opór ośroa wzrośnie n razy? Ile razy należy zwięzyć opór ośroa aby wahało nie ogło rgać? 88 Znaleźć logaryiczny ereen łuienia wahała aeaycznego o ługości jeśli po czaie τ jego energia zniejzyła ię n razy 89* Małą ulę wychylono z położenia równowagi na oległość c i puzczono wobonie Logaryiczny ereen łuienia rgań uli wynoił Λ Jaą rogę przebęzie ula o chwili zarzyania ię? 8 W ułazie poazany na ry 8 aa znajuje ię w anie równowagi W chwili o ay przyłożono pozioą iłę F F in( Znaleźć równanie opiujące wychylenie ( ay z położenia równowagi Wpółczynni prężyości nieważiej prężyny wynoi Założyć bra arcia 8 Na poawie wyrażenia na apliuę wychylenia acjonarnych rgań wyuzonych orzyać wzór na częość rezonanową 8 pliuy wychylenia punu wyonującego acjonarne rgania wyuzone ą obie równe przy częościach i Ile wynoi częość rezonanowa? 83 pliuy pręości punu wyonującego acjonarne rgania wyuzone ą obie równe przy częościach i Ile wynoi częość rgań włanych? 84** Ciało o aie wyonuje acjonarne rgania po wpływe iły F F co( w ośrou o wpółczynniu łuienia Obliczyć śrenią oc iły oporu ośroa częość rgań włanych wynoi Wyazać że ua śreniej ocy iły oporu ośroa i śreniej ocy iły F wynoi zero 85* Obliczyć śrenią energię ineyczną i śrenią energię poencjalną iły prężyości ciała o aie wyonującego acjonarne rgania wyuzone o równaniu Dco(+ϕ Częość rgań włanych wynoi 86 W pewny ośrou wzłuż oi y przeiezcza ię onochroayczna haroniczna fala płaa o ługości λ Znaleźć różnicę faz rgań cząe ośroa znajujących ię na równoległych płazczyznach i B oległych o iebie o y Płazczyzny e ą proopałe o oi y
87* W jenorony ośrou prężyy o gęości ρ rozchozi ię fala płaa ( co( - Sporzązić wyrey la π/ a zależności ( ( / ( ( / ( b zaznaczyć na wyreie la ieruni pręości cząe ośroa la fali połużnej i poprzecznej c zależności gęości ośroa ρ( la fali połużnej 88 Wyazać że ogólne równanie fali płaiej w poaci r rr ( r co( r + ϕ pełnia równanie falowe 89 W zaocowanej na ońcach runie o ługości b c wyworzono falę ojącą W punach oległych o iebie o 5 c i 5 c apliua ej fali je równa 35 Znaleźć ayalną apliuę ej fali Kórej haronicznej opowiaa a fala? 83 W ośrou o gęości ρ wyworzono echaniczną połużną falę ojącą Wychylenie cząecze ośroa opiane je równanie: co(co( Obliczyć śrenią gęość energii ineycznej i śrenią gęość energii poencjalnej ruchu falowego w węzłach i w rzałach 83** W punach Z i Z oi oległych o o iebie uiezczono źróła onochroaycznych płaich fal haronicznych o jenaowych ierunach rgań i rozchozących ię zgonie ze zwroe oi Znaleźć śrenią gęość energii ruchu falowego w puncie P na oi Założyć że o punu P ochozą z obywu źróeł fale o równaniach opowienio co( + ϕ i co( ( + ϕ Zbaać przypai a fale ą niepójne b fale ą pójne Ośroe je nieyperyjny 83 W rzech równooległych punach znajujących ię na jenej proej oonano poiaru naężenia fali eiowanej przez o ao źróło punowe Gzie znajuje ię źróło fali jeżeli naężenie fali w punach rajnych je jenaowe a w puncie śroowy więze o p %? Oległość ięzy pune śroowy a punai rajnyi wynoi a Przyjąć a fale ą ulie b fale ą olie 833 Punowe źróło fal o ocy P znajuje ię w śrou walca o proieniu R i wyoości h Przyjując że ściani walca całowicie łuią fale obliczyć śreni ruień energii paający na boczną powierzchnię walca 834 Dwa ciągi fal płaich o ługościach λ i λ przeiezczają ię w y ay ierunu w ośrou yperyjny o yperji Pręość grupowa fali wypaowej wynoi v g Znaleźć częości ych fal 835 W pewny ośrou wie płaie fale haroniczne worzą grupę opianą równanie: 5co( 65co(5 6 gzie wpółczynnii liczbowe ą wyrażone w ułazie SI Obliczyć oune pręości fazowej o pręości grupowej
836 Zważyłe ię na waze prężynowej ( łazienowej Pocza ważenia zala wagi obniżyła ię o Dc a waga wazała g Oblicz wpółczynni prężyości oraz energię poencjalną zgroazoną w prężynie 837* Pocza ou z ou o wyoości H7 na guie bungee ocze o aie 75g oiągnął inialną wyoość na pozioie D na woą Po uaniu rgań o oreie ocze wobonie zwiał na wyoości h6 Załaając że arcie wyępujące w ułazie je proporcjonalne o pręości rozciągania guy ozacuj: a/ energię poencjalną guy w chwili gy ocze oiągnął pozio D b/ ray energii jaie naąpiły o chwili gy ocze oiągnął pozio D c/ ozacuj warość ayalnego przypiezenia ziałającego na ocza / naryuj prawopoobny wyre zian położenia pręości i przypiezenia ocza w funcji czau Uwaga: ługość liny wynoi L aę liny i opory powierza zaniebać V( 838 Na lince o ługości L wii arcza o aie W arczę rafia lecąca pozioo z pręością V ula o aie Napiz równanie ruchu arczy po zerzeniu: a/ z ulą guową (zerzenie prężye b/ z ulą plaeliny (zerzenie nieprężye Założenie: uła ożna opiać ja wahało aeayczne a zerzenie uli z arczą je zerzenie cenralny 839 Opiz ruch ułau z zaania 38 wieząc że w ułazie wyępuje łuienie opiane logaryiczny ereene łuienia Λ 84 Ozacować la jaich warości logaryicznego ereenu łuienia Λ ożna zaoować przybliżenie Λ z błęe niejzy niż % 84 Płya warcowa o częoliwości rgań włanych f MHz zoała wzbuzona o rgań wobonych łuionych Po jai czaie energia zgroazona w płyce zaleje o połowy jeśli logaryiczny ereen łuienia Λ? 84 Szarpnięy przez rybę pławi (w załcie paya wpał w rgania łuione Po czaie 8 44 (-ore rgań apliua rgań zalała 8 razy Oblicz logaryiczny ereen łuienia oraz częoliwość rgań włanych pławia 843 Jaie ayalne wazanie oczyay z wagi prężynowej (łazienowej jeśli oczyy na jej zalę z wyoości hc? Dane: g - aa ciała Dc - obniżenie zali przy ayczny obciążeniu Maę zali ożna zaniebać 844 Do jenego ońca prężyny o ałej / 3 N/ ołączono ałą ulę o aie g rzyając prężynę za jej rugi oniec wprawiono ulę w ruch po oręgu w płazczyźnie pozioej z pręością V76/ Sprężyna wyłużyła ię wuronie Oblicz proień oru uli Założenie: aa prężyny je o zaniebania a jej oś poruza ię po ały ąe o pionu 6 845 Pewną falę opiano równanie: ( in( 4π 6π Co ożna wywnioować z ego opiu? Uwaga: wielości w równaniu poane ą w ułazie SI
846 Opiz równanie echaniczną falę poprzeczną poruzającą ię w ierunu (- oi y o apliuzie ługości fali λ i pręości V 847 Jaie fale ojące ożna wzbuzić w naępujących ułaach: a/ prę ealowy o ługości L zaocowany na jeny ońcu b/ prę ealowy o ługości L zaocowany na obu ońcach c/ prę ealowy o ługości L zaocowany w puncie oległy o 5L o ońca / w puej zlance o wyoości H e/ w rurce plaiowej o ługości L 848 Wizący o w acoa (US znizczył w 94 rou wiar o pręości ooło 7/h wiejący proopale o linii ou Wiar powoował powanie rgań rezonanowych całego ou o apliuzie rzęu erów Nazicuj prawopoobny zał ou uż prze całowiy znizczenie Uwaga: przyjąć że o wizący o zaocowana na ońcach wiząca na linach jeznia o ługości ooło zeroości i grubości 3 849 Pręość fazowa fal powierzchniowych na wozie ilnie zależy o echanizu ich przeiezczania Gy ecyuje o y napięcie powierzchniowe (la fal róich λ<c ich pręość wyraża ię wzore: V f πσ ρλ gzie σ je napięcie powierzchniowy woy Kiey iła ciężości je główną przyczyną rozchozenia ię fal na wozie ich pręość gλ ożna opiać wzore: V f gzie g- przypiezenie zieie Ile wynoi pręość π grupowa fal róich i ługich w ounu o ich pręości fazowych? 85 Grupa fal wywołana przez przepływającą oorówę poruza ię z pręością / Znaleźć śrenią pręość fazową i ługość fal w ej grupie?
Rozwiązania 8R Równanie ruchu ay a poać: ( a F gzie: a F Porząując równanie ( orzyay równanie ruchu haronicznego proego ( + Szuay nierywialnego rozwiązania równania ( w poaci Ce r (C Obliczając rugą pochoną wzglęe czau z a zapoulowanego rozwiązania i wawiając o równania ( orzyay: r Ce (r + ą ay równanie charaeryyczne Równanie (3 poiaa wa pierwiai: (3 r + r i oraz r i gzie i a więc równanie ( a wa liniowo niezależne rozwiązania: C e i C e i gzie C i C ą ałyi Rozwiązanie ogólne równania ( je obinacją liniową ych rozwiązań i i (4 C e + C e Równanie (4 zazwyczaj przeawia ię w poaci rygonoerycznej orzyając z wzorów Eulera C [co( gzie : C + i in( + C ] + C [co( B i(c C i in( ] co( + Bin( Sałe i B znajujey z warunów począowych: ( v( ẋ ( v v co( + Bin( in( + B co( B B v
Zależność wychylenia ay o czau przeawia ię więc naępująco: v ( 5 co( + in( Równanie (5 ożna przeawić w poaci np oinuowej ( 6 co( ϕ D co( D + ϕ in( ϕ gzie v D D ( v + lub / g( ϕ v co ławo poazać przez prawzenie Na poawie równań (6 uzyay D 6 i ϕ - 9 raianów Ore rgań wynoi π π i po wawieniu anych liczbowych Na poawie równań (6 orzyay zależność pręości v i przypiezenia a ay o czau 8R v D a D a Zerzenie prężye in( co( + ϕ + ϕ D D co( co( + ϕ + ϕ + π / + π W przypau ego zerzenia ciało uerzające zarzya ię a ciało zaocowane o prężyny zacznie ruch w óry jego wychylenie ożna opiać równanie (parz za8 ( co( + Bin( W przyjęy na ryunu 8 ułazie wpółrzęnych waruni począowe ego ruch ożna zapiać i v -v Wyorzyując równanie ( i waruni począowe orzyujey ałe i B czyli co( v + Bin( in( + B co( v B
v in( Ruch ay zaocowanej o prężyny nie bęzie ruche oreowy i bęzie rwał o chwili jej powrou o położenia równowagi Cza rwania ego ruchu ożna obliczyć z równania π π π W chwili aa zaocowana o prężyny zarzya ię przeazując wój pę o rugiej ay óra zacznie oalać ię o niej z pręością v b Zerzenie nieprężye W y przypau aa uerzająca przylgnie o ay zaocowanej o prężyny Wpólną pręość a v ożna obliczyć z zaay zachowania pęu W przyjęy ułazie wpółrzęnych v v v v Rozpocznie ię ruch haroniczny proy z warunai począowyi v -v/ i z częością (/ / Ruch en bęzie rwał nieończenie ługo (zaniebaliśy arcie a jego ore wyraża ię wzore: π π 83R v v v v v v 84R W ciągu oreu rgań cząa przebywa w przeziale o o W przeziale o ½ o cząa przebywa w ciągu czau ( - (/ gzie (/ i wyznaczyy z równania ruchu cząi in( in( ( (/ [arcin( arcin(/ (/ Szuane prawopoobieńwo p oreślić ożna z relacji arcin( ] arcin(/ arcin( arcin(/ ( p π π 3 Gęość prawopoobieńwa ρ p/ ożna obliczyć orzyając z równania (
p (3 arcin( p π + arcin( π arcin( π + arcin( arcin( + arcin( przechoząc w równaniu (3 o granicy orzyay: ρ ( p π Poleca ię czyelniowi nazicować wyre ej funcji 85R Przyjując począe oi w puncie zaocowania prężyny o ściany orzyay 86*R Wazówa Każy eleen M prężyny o ługości wyonuje ruch haroniczny z częością Energię ineyczną aiego fragenu ożna zapiać M E Mv M v ( in( (parz za85 π + M / 3 87R + 88R Dla ałych ąów ua oenów iły ciężości i iły prężyości wzglęe oi obrou la lewego wahała wynoi (parz ry 88R:
[in( - in( ] g Ry 88R M gin( [ in( in( ] co( g ( Są równanie ruchu obroowego ego wahała a poać g ε M & g ( & + + ( I Poobnie orzyay la rugiego wahała i bęziey ieli uła równań ( ( && && g + g + + ( + ( Oznaczając + i - γ oraz oając lub oejując ronai równania ( i ( oaniey (3 (4 && + && γ + γ g g + Wiziy więc że i γ pełniają równanie ruchu haronicznego proego Ogólne rozwiązania la i γ ożna przeawić w poaci rygonoerycznej (parz za8 (5 (6 + co( + Bin( C co( + Din( Założenia zaania ugerują naępujące waruni począowe: ( ( ( i ( Z równań (5 (6 i warunów począowych ay (7 (8 + ( ( + co( co( Uła równań (7 i (8 pozwala obliczyć i
(9 + co( + co( ( + co( co( Możey przeyuować eraz pozczególne przypai a u i więc z (9 i ( ay co( Sprężyna nie wpływa na ruch wahaeł aeaycznych b u i - więc z (9 i ( ay co( co( Sprężyna je ozałcona więc wpływa na ruch wahaeł óre rgają w przeciwfazie z częością g + jena wpływ en je niewieli ponieważ prężyna je łaba i częość rgań wahaeł je blia c i więc z (9 i ( orzyay ( co( + co( ( co( co( May u o czynienia ze zjawiie unień gyż częości i niewiele ię różnią o iebie (prężyna je łaba aby o uwiocznić wygonie je przeawić równania ( i ( w poaci
(3 co( co( + (4 in( in( + Częość (równanie(4 ożna przeawić w forie g + + + ponieważ << (prężyna je łaba wey równania (3 i (4 przyją poać co( in( co( in( ( co( (in( ( ( co( in( Mouły ( i ( ą wolno ziennyi w czaie apliuai ąowyi ochyleń wahaeł o położenia równowagi Ore unień oreśliy z równania ( + π π π g gyż ore funcji co( wynoi π Oęp czau poięzy ayalnyi rganiai pozczególnych wahaeł wynoi π g 89R 3f 8R Wazówa: uowonić że ruch ażego z ciał je ruche haroniczny Orzyać ożna wey opowieź: π R Z inu g a iejce poania je śroe Ziei
8R π b 3g 8R a Równanie opiujące ruch obroowy wahała wzglęe pozioej oi obrou OO (parz ry8r a poać: ( r r I ε M n r O O r S g r Ry 8R gzie: I oen bezwłaności bryły wzglęe oi OO - weor przypiezenia ąowego r ε r M - weor oenu iły ciężości wzglęe oi OO Rozpiując r r r r r r r M g gin( n ε n n gzie je oległością śroa ay o oi obrou Na poawie równania ( ay r r n gin( n Porząując o równanie i oując przybliżenie in( oaniey I ( g + I Równanie ( je równanie ruchu haronicznego proego o ołowej częości rgań (3 g π I π I g b Z zaay zachowania energii echanicznej ay I + g[ co( ] con Różniczując powyżze równanie wzglęe czau i porząując orzyay równanie ( i (3
83R π b 6g + 3 + 3 9 (parz za8 84R Wazówa: wyorzyując wzór na ore rgań wahała fizycznego i wierzenie Seinera orzyuje ię b/( 3 85R Dereen logaryiczny rgań wyraża ię wzore ( Λ π π π ( gzie: - wpółczynni łuienia ore rgań łuionych częość rgań łuionych - częość rgań włanych Kiey prężyna zoanie rócona o ługości o jej częość rgań włanych zieni ię ponieważ zieni ię jej wpółczynni prężyości o wielości / gzie je wpółczynniie prężyości całej prężyny a ługością całej prężyny Wobec ego zieni ię częość rgań włanych Dereen logaryiczny rgań róconej prężyny Λ ożna wyrazić wey wzore ( Λ π ( π ( Dalej zieląc ronai równania ( i ( oraz obliczając / z równania ( orzyay Λ 4π + Λ Λ 4π + Λ 4c 86R W oępie czau apliua rgań zalała n / razy 87R Dereen logaryiczny rgań Λ ożna wyrazić wzore
( Λ π ( (parz za85 Kiey opór ośroa wzrośnie n razy o wpółczynni łuienia eż wzrośnie n razy Szuany ereen ożna wobec ego zapiać ( Λ πn ( n nλ ( ( n Z równania ( znajujey / (3 4 π Λ + Λ i poawiając o równania ( orzyay Λ 4π πnλ Λ (n 33 Ocylacje łuione zachozą przy pełniony warunu < Jeśli opór ośroa wzrośnie razy a aby był pełniony warune o wahało nie bęzie ogło rgać Na poawie równania (3 orzyay 4π + Λ Λ 43 88R Logaryiczny ereen łuienia wahała wynoi Λ π 4gτ ln n 89R Wazówa Oblicz rogę uli jao granicę uy warości bezwzglęnych erealnych wychyleń uli z położenia równowagi + e e Λ / Λ / 4 Λ 4
8R Równanie ynaii la ay a poać Po uporząowaniu orzyay + F in( ( + F in( Rozwiązania ogólnego równania ( zuay w poaci uy rozwiązania ogólnego równania jenoronego + i oganięego rozwiązania zczególnego równania ( Rozwiązanie zczególne poulujey w forie ( co( + B in( a rozwiązanie ogólne równania jenoronego (parz za8 ( 3 co( + Bin( Sałe i B znajziey łaąc równanie ( o równania ( i grupując raze wyrazy z inue i coinue Orzyay: (4 ( co( + [B ( F ]in( i B F ( ponieważ równanie (4 powinno być pełnione w owolnej chwili czau Rozwiązanie ogólne przeawia ię więc naępująco: F ( 5 ( co( + Bin( + in( ( Sałe i B znajujey z warunów począowych ( i v( Korzyając wuronie z równania (5 orzyay F i B ( Oaecznie równanie opiujące wychylenie ay z położenia równowagi a poać F ( [in( in( ] ( Zaleca ię czyelniowi przeprowazenie yuji powyżzego wyrażenia
8R Korzyay z wzoru na apliuę wychylenia D rgań wyuzonych o częości ( D( ( F + 4 gzie: F apliua iły wyuzającej aa ciała częość rgań włanych i - wpółczynni łuienia Należy znaleźć aiu ej wielości W y celu znajziey iniu funcji poocniczej g( Obliczay pochoną g( ( + 4 g( 4( + i po przyrównaniu jej o zera prawzay że la r apliua D a aiu rezonanowe ( po warunie < / 8R r + 83R Biorąc po uwagę równanie na wychylenie np w poaci D( co( + ϕ ay apliuę pręości C( v D( in( + ϕ C( D( ( F + 4 Z reści zaania wynia że C( C( ą ( F + 4 ( F + 4 i po ilu przezałceniach orzyay 84R Opowieź częściowa: śrenia oc iły oporu ośroa wynoi
P F F [( 4 + ] 85R Ponieważ a + E p Ep o Poobnie + + D E co ( + ϕ 4 p D D + E v E v gzie v Din( + ϕ Oaecznie orzyay E 4 D 86R Załóży że źróło fali znajuje ię w począu ułau wpółrzęnych Równanie fali opiujące wychylenie cząe na płazczyźnie znajującej ię w oległości y o źróła a wey poać: a wychylenie B cząe na płazczyźnie B ( co( y + ϕ co( Φ ( B co[ (y + y + ϕ] co( Φ B gzie: apliua fali - częość fali warość weora falowego Szuana różnica faz Φ Φ B - Φ wynoi: π Φ y y λ co oznacza że rgania cząe w płazczyźnie B ą opóźnione w fazie wzglęe rgań cząe w płazczyźnie o π y/λ raianów 87R Opowieź częściowa Gęość ośroa ożna obliczyć z efinicji
ρ ( ρ[ in( ] [ + + ( + ( ] ( + gzie orzyano z zeregu aylora i założono ałe ozałcenie ośroa 88R Wazówa: Przeawić weory r i r w forie r r e r + e y y r + e z z r r e r + ye r + ze 89R Na runie ui znajować ię całowia liczba połówe ługości fali (runa zaocowana na ońcach Z reści zaania i z ryunu 89R wynia że + λ/ ą λ ( + Mayalną apliuę obliczyy z wyrażenia i y z lub in( π in( ( + 38 in( π in( ( + 9 Ry89R ponieważ / a / Fala ojąca opowiaa n-ej haronicznej gzie n b/(λ/ b/( + 6 83R Śrenią energię ineyczną policzyy orzyając z wzoru ε + + + ε [ ( ] co ( in ( co ρ ρ ρ ( nalogicznie policzyy śrenią energię poencjalną
ε p + + ε [ ( ] p ρ ρ in ( Węzły: w węzłach ( + π/ gzie je liczbą całowią więc ε i ε p ρ Srzałi: w rzałach π więc ε p i ε ρ 83R Załóży że źróło Z je uiezczone w począu ułau wpółrzęnych a pun P w oległości o począu oi Fale ocierające o punu P ają wey poać: ( co( + ϕ co( Φ ( co( ( + ϕ co( Φ Fala wypaowa + Gęość energii całowiej ożna znaleźć z wyrażenia ( + ( + ( ( ( ( ( 3 ε ρ[( + vf ( ] ε + ε + ρ + ρv f gzie ε ρ[( + vf ( ] ρ[( + vf ( ] i ε Po obliczeniu pochonych cząowych w równaniu (3 orzyay ( 4 ε ε + ε + ρ in( Φin( Φ Wyrażenie (4 przezałciy o ogoniejzej poaci (5 ε ε + ε + ρ [co( Φ Φ co( Φ + Φ ] (6 ε ε + ε + ε ε [co( Φ Φ co( Φ + Φ ] gzie ε ρ i ε ρ Z równania (6 obliczay śrenią gęość energii
ε ε + ε + ε ε [ + co( Φ Φ + co( Φ + Φ ] (7 ε ε + ε + ε ε + co( Φ Φ ponieważ cała z uą faz aje warość zero rzeci wyraz po prawej ronie równania (7 nazywa ię wyraze inerferencyjny a Fale ą niepójne W y przypau cała w równaniu (7 je równa zeru i orzyujey wyni ówiący o proy uowaniu ię śrenich gęości energii ε ε + ε b Fale ą pójne Różnica faz w równaniu (7 nie zależy o czau ( i różnica faz począowych ϕ - ϕ nie zależy o czau Orzyay wyni ( ( 8 ε ε + ε + εε co( + ϕ ϕ] W y przypau ja wiać zachozi zjawio inerferencji fal Śrenia czaowa gęości energii ocyluje ięzy ε in ε + ε εε a εa ε + ε + εε w zależności o warości arguenu funcji coinu w równaniu (8 83R a W oległości a 36 o punu śroowego p a b W oległości 8 p + p o punu śroowego 833R Φ P R + ( h 834R Korzyay z relacji ięzy pręością grupową v g i fazową v f vf vf λ vf λ v v g + λ ale v f λ więc f λ π v g nalogicznie v π( λ g +
v π( λ g + 835R v v f g 65 64 836R Sojąc w bezruchu na waze po pewny czaie orzyałe abilne wazanie Oznacza o że iła prężyości F zrównoważyła iłę ciężości Q czyli: F D Q g laego g N 5 D E p 5J 837R a / E g ( H h L ( H D L p N 75 9375J b / E g( H D Ep 875J c/ a 5g / 838R a/ prawo zachowania pęu i energii przy zerzeniu prężyy: p + p p ' + p ' oraz E + E E ' + E ' Z powyżzych praw wynia że po zerzeniu ula chwilowo ię zarzya i naępnie zacznie paać wobonie naoia arcza uż po uerzeniu zacznie poruzać ię pozioo z pręością V O ego oenu arcza bęzie ię poruzać ruche haroniczny opiany równanie: ( in( ϕ Z warunów począowych ego ruchu wynia: g l ( in( ϕ in( ϕ czyli ϕ V ( co( ϕ V ( co( ϕ V czyli V
Pełny opi ruchu: in ( l g V Uwaga: począe oi X znajuje ię w arczy a jej ierune je zgony z ierunie V b/ zaoować prawo zachowania pęu la ego przypau a reza ja w puncie a 839R Ruch haroniczny łuiony opiuje równanie: in( ( ϕ e gzie: Λ i Z warunów zaania wynia: ( ( in co( ( in( in( ( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ V czyli V V e e V czyli e l g Równanie ruchu la ułau z zaania a poać: in( ( e V Λ 84R 8 4 4 4 4 Λ Λ + Λ Λ + Λ Λ Λ Λ π π π π π π π Z oaniego równania wynia że bęzie obry przybliżenie gy: Λ 9 8 Λ Λ czyli π W ai przypau ówiy o łabo łuionych rganiach 84R Na ocy poprzeniego zaania ożey napiać: Λ Ponieważ E e E o e i E ( ( Dla warunów z zaania: 347 ln ( 5 f czyli e E E E Λ
84R ( e o ( 8 8 e czyli ln8 8 ln8 Λ 8 Λ + + 63 f Hz i 8 5 843R Wazówa: zaoować prawo zachowania V energii la anu ułau i B (ry znaleźć pierwiai równania waraowego i wybrać opowienie h V rozwiązanie ie Wyni: May alne ściśnięcie prężyny D h + + 6c D B Chwilowe wazanie a 6g Uwaga: w rzeczywiych wagach wielość przeiezczenia zali je ograniczona onrucyjnie 844R W yni: R 845R Ogólny o pi ej fali bęzie naępujący: ( in( Je o równanie fali płaiej poruzającej ię wzłuż oi X o zwrocie (+ Paraery fali: apliua fali -6 częość fali 4 π - częoliwość fali f Hz π - ługość weora falowego 6π π ługość fali λ 33 pręość fali (fazowa V λ f 34 pręość robin ośroa: V co( czyli Va 4π przypiezenie robin ośroa: a in( czyli aa 4 wzglęne ozałcenie ośroa: 64
co( czyli a 3 8 846R Może o być równanie: πv π z( y in + y λ λ 47R Najbarziej prawopoobne wzbuzenia fal ojących: 4 a/fala poprzeczna lub połużna o ługości λ L n gzie n 3 b/fala poprzeczna lub połużna o ługości λ L n gzie n 3 c/fala poprzeczna lub połużna o ługości λ L n gzie n 3 4 /fala połużna o ługości λ H n gzie n 3 e/fala połużna o ługości λ L n 848R gzie n 3 Więcej cieawych inforacji na en ea ożna znaleźć w ieci 849R Korzyając z zależności V f Vg V f λ orzyay: λ 3 Vg V f la λ < c oraz Vg V f la λ > c 85R Długości wygenerowanych w en poób fal ą rzęu erów Są o fale ługie la órych ay (parz zaanie 849 V f gλ oraz V f V g π
Opowieź: V f λ 5 Uwaga: rezulae związu V f > V g je zjawio powawania fal na ońcu paczi falowej przeuwania ię ich o począu paczi i zaniu w obzarze czoła ej paczi