Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów(017) Jednej rzeczy nauczyłem się w moim długim życiu: że cała nasza nauka w konfrontacji z rzeczywistością wydaje się prymitywna i dziecinna - a jednak jest to najcenniejsza rzecz, jaka posiadamy. Albert Einstein Wykład 13 Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 017

W praktyce stosujemy kopenhaską interpretacje mechaniko kwantowej oficjalny pogląd profesjonalnych fizyków q Zadanie fizyków to przewidzieć wyniki doświadczeń, MK pozwala to zrobić, q Nie stajemy w obliczu problemów epistemologicznych. Są też tacy, których nie satysfakcjonuje interpretacja kopenhaska q w interpretacji tej tkwi kłopotliwy paradoks, q Filozofia Bohra wolno mówić o fizycznych cechach układu dopiero po wykonaniu odpowiedniego pomiaru (pomiar ma szczególna wagę), q Zupełnie inne znaczenie pomiaru klasycznego i kwantowego Ø klasycznie -- pomiar rejestruje tak czy inaczej istniejącą rzeczywistość, Ø kwantowo -- pomiar nie rejestruje rzeczywistości, pomiar ją kreuje q Aparatura jest klasyczne problem gdzie przebiega linia podziału pomiędzy układem kwantowym i makroskopowym aparatem, q Każdy układ kwantowy może ewoluować na dwa różne sposoby:

Izolowany układ -- ewolucja unitarna, Pomiar redukcja pakietu falowego Pojedynczy elektron Kwantowo: Pomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu kwantowego. Jeśli układ był w stanie ρ i dokonaliśmy pomiaru wielkości fizycznej A, w wyniku czego otrzymaliśmy wartość a, to stan układu po pomiarze będzie opisany operatorem statystycznym: ρ(a) = P aρp a Tr(ρP a ) Pomiar położenia elektronu lata świetlne

Redukcja pakietu falowego Klisza fotograficzna Pakiet falowy Wyświetlony element kliszy Pakiet falowy po redukcji Ø Musi nastąpić, Ø Kolaps następuje natychmiast w całej przestrzeni, Ø Czasami mówimy o redukcji stanu. przed pomiarem 1 = ( ) + z z po pomiarze = z

Redukcja stanu nie jest unitarną ewolucją w czasie zadaną równaniem Schrödingera. Jak następuje pociemnienie kliszy? P wz (t) v foton wzbudza atom, v padające fotony opiszemy falą elektromagnetyczną, v mamy atom w stanie podstawowym, na które pada sinusoidalne zaburzenie, v możemy znaleźć prawdopodobieństwo, że atom jest w stanie wzbudzonym. 1 T wz 100% szansa, że atom zostanie wzbudzony t

Stan atomu możemy zapisać w sposób: Tak więc: P wz = αw = 1 α p ψ + α = αp ψ p α w p + αw = ψ 1 w To wszystko co MK mówi o wzbudzaniu atomów przez fotony, co więc z tego wynika? P wz = 1 1) Kiedy następuje przejście, czy w chwili gdy? Może nastąpić w każdej chwili dla t > 0. ) W którym momencie następuje redukcja pakietu falowego, co na ten temat mówi równanie Schrödingera? Nie wiemy, równanie Schrödingera nie daje absolutnie żadnej informacji na ten temat. 3) Dlaczego więc następuje redukcja pakietu falowego? Redukcja stanu wynika z faktu, że nastąpiła obserwacja, a nie wynika z mechaniki kwantowej. 4) Jakie jest więc znaczenia funkcji falowej? Funkcja falowa nie ma przy pomiarze żadnego znaczenia, opisuje tylko naszą informację o systemie.

Kolaps funkcji falowej nie ma specjalnego znaczenia, to tak jakbyśmy przepowiadali pogodę: Prognoza pogody: Jutro jest 60%-owa szansa, że nie będzie padać deszcz! Czekamy do południa, wychodzimy z domu i stwierdzamy, że pada. Wtedy Ø prawdopodobieństwo, że pada - 40% kolapsuje do 100%, Ø prawdopodobieństwo, że nie pada - 60% kolapsuje do 0%, Ø nikt nie jest zdziwiony takim stanem rzeczy, Ø Jeżeli ψ odpowiada jakiemuś fizycznemu procesowi to problem, Ø problemu nie ma, gdy ψ opisuje tylko naszą wiedzę o procesie. Przyjrzyjmy się bliżej procesowi pomiaru nieskończony regres (powrót to pierwotnej formy)

Gdy będziemy bardziej dokładnie przyglądać się pomiarowi to, gdyby o nim decydowała ewolucja unitarna układu, pomiar nigdy by nie nastąpił. Jakie zrobiliśmy uproszczenia? v Stan atomu nie wygląda tak prosto, jest to skomplikowany stan splatany, v Powinniśmy rozpatrywać układ: wszystkie atomy w kliszy + foton ψ (α (α p p = ψ ψ (α p p p + + ψ α α p w w + ψ ψ w w α w ) ) N ψ w ) 1 0 ψ (inne atomy) ψ (inne atomy) 0 0 ψ (inne atomy) ν ν N ν 1 + +... Rozpatrzymy prostszą sytuację: rezygnujemy z pomiaru lokalizacji fotonu, zajmiemy się jego energią. Możemy wtedy rozpatrywać jeden atom. Załóżmy, że foton może mieć dużą energię (i może atom zjonizować), lub małą (wtedy atom pozostanie w stanie podstawowym). Wtedy stan układu ma postać:

ψ = α ω ϕ + β mała neutr ω dużu ϕ zjonizowany W tej nowej sytuacji niewiele to zmieniło; nadal układ jest w stanie czystym i nie widać redukcji pakietu falowego. Aby się zorientować jaka jest energia fotonu, patrzymy czy atom jest zjonizowany. Umieszczamy go w zewnętrznym polu elektrycznym gdy zostaje odchylony to był zjonizowany a więc foton miał dużą energię. ψ = α ω ϕ χ + β ω mała neutr nieodchyla się dużu ϕ zjonizowany χ odchyla się To nic nie pomogło, otrzymaliśmy dodatkowo bardziej splątany stan, nic nie wskazuje na redukcję pakietu. Możemy tak robić dalej i próbować np. złapać odchylony atom w detektorze D ψ = α ω ϕ χ D + β ω mała dużua ϕ neutr zjonizowany nieodchyla się χ odchyla się zla D nie zla

I tak możemy coraz dalej. Mamy nieskończony regres. Nie ma miejsca na pomiar. Aby przerwać ten nieskończony regres musimy więc wprowadzić postulat projekcji na stan mierzony. Doświadczenie nas uczy, że zawsze zaobserwujemy atom albo zaobserwujemy jego brak. Tak więc sztucznie wprowadzamy założenie: Ewolucja unitarna --- Redukcja ---- Ewolucja unitarna (Cały stan splątany zamieniony w jeden składnik) Albo pierwszy z prawdopodobieństwem, albo drugi z prawdopodobieństwem. W obydwu tych przypadkach detektor pozostaje w dobrze zdefiniowanym stanie i wynik pomiaru jest ewidentny. β Redukcja stanu nie odpowiada żadnemu rzeczywistemu procesowi fizycznemu. Jest to czysty matematyczny zabieg zrobiony po to aby być w zgodzie z doświadczeniem. α

Brak zrozumienia procesu pomiaru to kłopotliwy punkt mechaniki kwantowej. Staje się on tym bardziej kłopotliwy, bo w pewnych sytuacjach redukcja stanu będzie konieczna a innym razem zbędna. Aby to zbadać, rozpatrzymy trzy sytuacje. W dwóch pierwszych redukcja pakietu nie będzie potrzebna. W trzecim nie dokonamy pomiaru bez postulatu redukcji. Jak produkowany jest foton? 3 Foton z duża energią 1 Foton z mała energią I. Przygotowujemy układ w stanie 3 lub w stanie Gdy mała energia fotonu (stan ): ψ = ω mała ϕ neutr χ nieodchyla się D zla

Gdy energia fotonu duża: ψ = ω dużua ϕ zjonizowany χ odchyla się D nie zla II. W 0% atomy są w stanie a w 80% w stanie 3. Wtedy nasz stan po pomiarze będzie opisany operatorem statystycznym: ρ = 0.ψ ψ + ψ ψ i 0. 8 i bez redukcji pakietu falowego otrzymamy wynik 0% fotonów ma małą energię a 80% dużą, bowiem po pomiarze na wskutek unitarnej ewolucji układ jest w stanie 3 3 ρ = 0.ψ ψ + 0. 8ψ mała mała duż ψ duż W obydwu rozpatrywanych przypadkach pomiar w mechanice kwantowej nie jest sprzeczny z naszym postrzeganiem rzeczywistości. III. Przygotowujemy zbiór atomów w stanie czystym:

ψ = + 0. ψ ψ 0. 8 Nieskończony regres nie może zostać przerwany bowiem otrzymamy czysty stan końcowy: ψ = 0. ψ + 0. 8 ψ kon mała Sytuacja jest bardzo niezadowalająca. Aby dokonać pomiaru, raz musimy zgodzić się na redukcję pakietu falowego, a innym razem nie jest to potrzebne. Nie musimy, w sytuacji gdy przygotowujemy układ w stanie, który jest stanem własnym aparatury pomiarowej. A także gdy układ opisany jest mieszaniną statystyczną. W każdym innym przypadku redukcja jest konieczna. Pokażemy jeszcze inne dziwne własności pomiaru kwantowego, wskazujące na jego aktywną rolę i kreowanie rzeczywistości. I. W niektórych przypadkach pomiar może grać taką samą rolę jak dekoherencja 3 duz

Rozpatrzymy pojemnik z cząstkami o spinie ½ w stanie czystym Początkowa superpozycja SG +z -z SG Końcowa superpozycja Nie wykonujemy pomiaru rzutu spinu Mierzymy rzut spinu Detektor Początkowa superpozycja SG +z SG Końcowa mieszanina -z Detektor Widzieliśmy, że taką samą rolę odgrywa dekoherencja Aparatura pomiarowa zamieniła superpozycję w mieszaninę statystyczną

II. Jaki jest stan fotonu, który powstał z rozpadu atomu? Będzie to drugi przykład pokazujący aktywną rolę pomiaru (pomiar kreuje rzeczywistość). Atom zostaje wzbudzony i emituje foton, Okazuje się, że na pytanie o stan fotonu nie ma czasami jednoznacznej odpowiedzi, Stan fotonu może zależeć od rodzaju pomiaru tego stanu, I ten wpływ może mieć miejsce nawet wtedy, gdy stan fotonu jest mierzony znacznie później po jego powstaniu. Załóżmy, że rozpadające się atomy mają dwa blisko odległe stany podstawowe a ωh ωg h g E.T. Jaynes, Quantum beats w Foudations of Radiation Theory and Quantum Electrodynamics, New York, Plenum Press,1980.

Stany pola elekromagnetycznego 1 ψ = h h + Stany atomów po emisji fotonu ( ϕ ω ϕ ω ) g g Splatany stan atomów i pola Mierzymy stan atomu a dokładniej ich energie, otrzymamy możliwe dwie wartości: Eg Eh Po pomiarze wiemy w jakim stanie jest nasz układ: ψ = ϕ ω albo ψ g = ϕg g h h h ω Stąd dokładnie wiemy jaką energię mają fotony: ωh ωg

Ale możemy także w inny sposób mierzyć energię atomów, określamy nowe stany: 1 ϕ + = g + 1 ω + = ( ω g + ω h Wtedy stan atomu może być także zapisany w sposób: ψ ) 1 = ( ϕ+ ω+ + ϕ ω Joynes w Quantum beats opisuje w jaki sposób mierzyć nowe stany atomów: ( oświetlamy atomy pulsowym promieniowaniem elekromagnetycznym o określonym natężeniu i czasie trwania). Okazuje się, że gdy przed oświetleniem atom był w jednym z nowych stanów + lub - to później będzie: ϕ+ ( ϕ ϕ ) ϕ g h ϕ ω ϕ = = 1 1 ) ( ϕ ϕ ) ( ω g ω h ϕh g h )

Następnie aparatura mierzy energie atomów w tradycyjny sposób, jak poprzednio. Gdy zmierzymy, że atom ma energię to oznacza, że przed pomiarem splątany układ (atom + foton) był w stanie: E g E g ϕ + ω + I podobnie: E h ϕ ω Widzimy więc, że przy takim sposobie pomiaru otrzymamy fotony, w stanach z nieokreśloną energią. Poza tym pomiar stanu atomu mógł się odbyć w dużym odstępie czasu od wysłania fotonu.

III. Kwantowy efekt Zenona Efekt psa stróża, Obserwowany garnek nigdy nie wykipi Najpierw pojawił się w kontekście rozpadów niestabilnych cząstek. Gdy przygotujemy atomy w stanach wzbudzonych a następnie będziemy ciągle patrzeć czy się już rozpadły, to przedłużymy ich czas życia. Gdy zwiększamy liczbę obserwacji to atomy nie rozpadają się wcale. Paradoks Zenona Zenon z Elei (490-430 p.n.e.) Achilles nigdy nie dogoni żółwia W Mechanice Kwantowej mamy podobną sytuację B.Misra & E.C.G. Sudarshan, The Zeno s paradoks in quantum mechanics, J.Math. Phys., 18(1977)756 Przeprowadzono eksperyment w odwrotną stronę wzbudzając atomy laserowym światłem.

Chociaż MK nie przewiduje momentu, w którym nastąpi przeskok to wiemy, że po czasie przejście takie nastąpi z pewnością. T wz W opisanym eksperymencie pokazano, że prawdopodobieństwo przejścia zmniejsza się gdy obserwujemy czy przejście takie już nastąpiło. Czemu tak się dzieje? Wzbudzany atom jest w stanie: ψ + α = αp ψ p w ψ w P wz αp α w W chwili t = 0 α ψ = ψ p p = 1, αw = 0 czas Po pewnym małym czasie, prawdopodobieństwo, że atom się wzbudzi trochę wzrośnie i tym samym zmaleje szansa, że atom pozostaje w stanie podstawowym. Tak będzie gdy nie podglądamy czy atom się wzbudził.

Gdy wykonujemy pomiar i otrzymujemy, że atom jest ciągle w stanie podstawowym, następuje kolaps funkcji falowej: ψ + α = α ψ p p w ψ w ψ p Wróciliśmy więc do stanu początkowego. Zegar się zresetował (t 0), zaczynamy go liczyć od początku. Gdy później dokonamy pomiaru i atom był w stanie wzbudzonym: ψ = α ψ + α ψ ψ p w p w w Wtedy pomiar każe atomom się rozpaść. Ale ta sytuacja nie bardzo ma szansę nastąpić gdy od początku wykonujemy pomiary. W konsekwencji atomy pozostają w stanie podstawowym, ich czas życia wydłuża się.

Prawdopodobieństwo, że układ się nie rozpadnie (nie obserwując): Zadanie: Sprawdzić tę relację Rozpatrzmy N pomiarów w interwale czasu (0,t), wtedy: W przypadku dużej częstości pomiarów:

Gdy mamy natomiast klasyczny rozpad zadany formułą wykładniczą: Nie czuje powtarzających się obserwacji gdyż: W opisywanym doświadczeniu badano jony berylu. Wykres obok podaje prawdopodobieństwo, że po czasie nasz układ będzie w stanie wzbudzonym. Widać wyraźnie, że wynik zależy od liczby obserwacji n i dobrze się zgadza z teoretycznymi przewidywaniami. T wz Należy jednak wspomnieć, że taka interpretacja wyników jest jedną z możliwych 9 B +

Próby rozwiązania problemu pomiaru Zawsze próbując interpretować pomiar jako unitarną ewolucję układu przechodzimy do makroskopowego detektora. Ale wiemy już, że każdy makroskopowy obiekt podlega dekoherencji. Przypomnijmy, że q Otoczenie, w którym umieszczony jest nasz makroskopowy detektor podlega stale nieregularnym fluktuacjom, q Jeśli makroskopowy detektor jest w stanie czystym będącym superpozycją, to każdy stan tej superpozycji będzie w różny sposób oddziaływać z otoczeniem, będzie mieć w szczególności różną energię oddziaływania, q Dlatego czasowa ewolucja każdego składnika superpozycji stale i nieregularnie fluktuuje, q A taka sytuacja, jak wiemy, nie różni się niczym od mieszaniny stanów. W naszych dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy detektor jako obiekt kwantowy. Zjawisko dekoherencji uświadamia nam, że jest to niewłaściwe podejście. Może uwzględnienie tego błędu rozwiąże problem pomiaru?

Mieszacz obiekt makroskopowy, opisuje wszystkie niedokładności rzeczywistego eksperymentu Idealny detektor dokonuje właściwego pomiaru, nie podlega wpływowi otoczenia Wchodzący stan kwantowy Mieszacz Idealny detektor Stan wyjściowy Makroskopowy detektor Mieszacz tu odbywa się całe oddziaływanie z otoczeniem, i wewnątrz samego detektora. Nie wiemy jak się to odbywa, i nie można tych procesów włączyć w kwantowo-mechaniczne zachowanie detektora. Procesy tu zachodzące można traktować jako nieznane i niekontrolowane perturbacje.

Początkowy stan czysty dociera do detektora jako stan mieszany: ψ = i α n n,i A n,i = a n,i n n k ρ = α 1 k i α 1 k k α 1,i 1,i + α i 1 k k i α k α,i,i +... = i k = β 1 ρ 1 + β ρ +... = β n ρ n n k β n = α n k ρ n = i k α n i α n k n,i n,i β n = 1 n Trρ n = 1 Trρ = 1

Jak to wszystko pracuje? Na wejściu mamy układ w dowolnym stanie, który podlega pomiarowi (stan własny aparatury, mieszanina statystyczna lub koherentna superpozycja jak np. w przypadku poprzednio opisanym atom emituje foton) Foton wchodzi do mieszacza, na skutek dekoherencji każdy stan kwantowy staje się mieszaniną statystyczną. Gdy układ był już w stanie mieszanym rola mieszacza nie jest potrzebna. Gdy układ był w stanie czystym przechodzi w stan mieszany. W tej sytuacji to co dociera do idealnego detektora już jest mieszanką statystyczną. Wtedy, jak wiemy, założenie o redukcji pakietu falowego nie jest potrzebne. Tak więc zawsze układ dociera do idealnego detektora w stanie mieszanym. Czyli założenie o redukcji pakietu falowego nie jest potrzebne. Na skutek dekoherencji, to co mierzymy zawsze już opisane jest mieszanką statystyczną.

Niestety taka opinia nie jest powszechna. Okazuje się, że są sytuacje gdzie dekoherencja nie jest w stanie wymazać całą kwantową informację. W przytoczonej pracy pokazano, że czasami na skutek dekoherencji układ nie gubi całej kwantowej koherencji. W tej sytuacji dekoherencja nie rozwiązuje problemy pomiaru. Postulat redukcji stanu dalej musiałby istnieć. Sprawa pozostaje otwarta W rzeczywistym świecie bardzo trudno teoretycznie opisać dekoherencję. Nie można więc także jednoznacznie stwierdzić, że rozwiązuje ona problem pomiaru. To jest powodem braku ogólnej zgody na takie rozwiązanie i poszukiwań innych alternatywnych odpowiedzi.

Ale tą sytuację znamy. To tak jakbyśmy przygotowali układ w stanie własnym obserwabli, którą za chwilę mierzymy

Tutaj także mamy sytuację jak w makroświecie. Nie wiemy czy atom jest w stanie wzbudzonym czy podstawowym, ale z taką niewiedzą bardzo często się spotykamy w naszym makroskopowym świecie.

Dziękuję za uwagę 34