Interwałowe zbiory rozmyte 1. Wprowadzenie. Od momentu przedstawienia koncepcji klasycznych zbiorów rozmytych (typu 1), były one krytykowane za postać jaką przybiera funkcja przynależności. W przypadku zbiorów typu 1, jest ona ściśle zdefiniowana. Niemożliwe jest zawarcie jakiejkolwiek niepewności z nią związanej. Zbiór rozmyty typu 1 możemy zdefiniować w następujący sposób: efinicja 1. Zbiór rozmyty w pewnej przestrzeni rozważań X określa się się jako zbiór par: {( ( ) ) ( ) [ ]} Gdzie ( ) jest funkcją przynależności do zbioru rozmytego. Krytyce podlega niejako zaprzeczenie idei logiki rozmytej, której podstawowym założeniem jest operowanie na danych posiadających pewne nieprecyzyjności, a co za tym idzie, na zbiorach, które nie posiadają ściśle wyznaczonych granic przynależności elementów do danego zbioru. Przykład trójkątnej funkcji przynależności zbioru rozmytego typu 1 przedstawia rysunek 1 Rysunek 1. Przykład funkcji przynależności zbioru rozmytego, typu 1. Problem pojawia się, gdy nie da się jednoznacznie zdefiniować funkcji przynależności. Rozwiązanie zaproponowane zostało przez twórcę teorii zbiorów rozmytych, otfi Zadeh a. Przedstawił On koncepcję zbiorów rozmytych typu 2. 2. Zbiory rozmyte typu 2 Główną zaletą zbiorów rozmytych typu 2 jest możliwość zdefiniowania funkcji przynależności o nieprecyzyjnym charakterze. Jeżeli nie istnieje potrzeba zdefiniowania nieprecyzyjnej funkcji przynależności, wówczas zbiory rozmyte typu 2 redukują się do zbiorów rozmytych typu 1.
Zadeh przedstawił różne rodzaje zbiorów rozmytych typu 2, których funkcja przynależności przyjmuje trójwymiarową postać. Trzeci wymiar jest wartością funkcji przynależności w każdym punkcie jej dwuwymiarowej domeny, zwanej śladem niepewności (ang. footprint of uncertainty). Niniejsza instrukcja dotyczy wyłącznie interwałowych zbiorów rozmytych typu 2 których trzeci wymiar funkcji przynależności jest pomijany, ponieważ jej wartości trzeciego wymiaru jest w każdym punkcie taka sama. o opisania funkcji przynależności zbiorów interwałowych wystarczy zatem jej ślad niepewności. Ślad niepewności wyznacza rozmycie funkcji przynależności typu 1. Jest on opisany za pomocą dwóch funkcji ograniczających, dolnej funkcji przynależności (ang. lower membership function) i górnej funkcji przynależności (ang. upper membership function). Każda z nich jest analogiczna do ostrej funkcji przynależności, wykorzystywanej zbiorów typu 1. Rysunek 2. Ślad niepewności zbioru rozmytego typu 2. Ślad niepewności można zdefiniować następująco: ( ) { ( ) } Gdzie à jest zbiorem opisanym w przestrzeni. Poszczególnym wartościom interwałowych zbiorów rozmytych typu 2 odpowiadają zbiory nazywane interwałami, zamiast pojedynczej wartości funkcji przynależności. Oznacza to, że definicja zbioru rozmytego typu 1 musi zostać odpowiednio zmodyfikowana. Zbiór interwałowy możemy zdefiniować następująco: efinicja 2. Interwałowy zbiór rozmyty w pewnej przestrzeni X określa się jako zbiór par: {( ( ) ) ( ) ([ ])} Gdzie ( ) [ ] jest interwałową funkcją przynależności a Int([, 1]) oznacza zbiór wszystkich subinterwałów: Int([, 1]) = {[a, b] : a, b [, 1]}.
Funkcje przynależności dolna ( ) i górna ( ) określają dwa, graniczne zbiory rozmyte typu 1: {( ( ) ) ( ) [ ]} {( ( ) ) ( ) [ ]} olna i górna funkcja przynależności spełnia następujący warunek: Jeżeli mówimy, że zbiór jest znormalizowany. Każda wartość ze zbioru [ ] jest możliwa. Jeżeli, otrzymujemy zbiór zredukowany do zbioru rozmytego typu 1. 3. Podstawowe charakterystyki interwałowych zbiorów rozmytych typu 2 harakterystyki interwałowych zbiorów rozmytych typu drugiego określa się na podstawie odpowiednich charakterystyk zbiorów granicznych. iczność zbioru interwałowego ( ) jest przedziałem ( ) [ ], gdzie: ( ) ( ) Nośnik zbioru interwałowego ( ) (będący zbiorem klasycznym o wartościach należących do zbioru rozmytego w stopniu niezerowym), jest określony za pomocą nośników zbiorów i : Z powyższych wzorów wynika zależność: { ( ) } { ( ) } 4. Operacje na interwałowych zbiorach rozmytych typu 2 Operacje na rozmytych zbiorach interwałowych typu 2 zdefiniowane zostały w analogiczny sposób do operacji zdefiniowanych na zbiorach tradycyjnych. Niech i będą interwałowymi zbiorami w pewnej przestrzeni X.
4.1. Suma interwałowych zbiorów rozmytych Suma interwałowych zbiorów rozmytych wykonywana jest z użyciem wybranej t konormy zastosowanej obu funkcji przynależności i jest zbiorem interwałowym o funkcjach przynależności zdefiniowanych następująco: ( ) ( ) Ponieważ jednymi z najczęściej używanych tkonorm jest maimum, wówczas powyższy wzór przyjmuje postać: ( ) ( ) ( ) ( ) 4.2. Różnica interwałowych zbiorów rozmytych Różnica interwałowych zbiorów rozmytych wykonywana jest z użyciem wybranej t normy zastosowanej obu funkcji przynależności jest zbiorem interwałowym o funkcjach przynależności zdefiniowanych następująco: ( ) ( ) postać: Jednymi z najczęściej używanych tnorm jest minimum, wówczas powyższy wzór przyjmuje ( ) ( ) ( ) ( ) 4.3. opełnienie interwałowych zbiorów rozmytych opełnienie interwałowego zbioru rozmytego oznaczane jako o funkcjach przynależności zdefiniowanych w następujący sposób:, jest zbiorem interwałowym Można zauważyć następującą zależność: ( )
5. Przykład implementacji wyznaczania stopnia przynależności do zbioru interwałowego Poniżej przedstawiony zostanie przykład wyznaczania stopnia przynależności pewnej wybranej wartości do interwałowego zbioru rozmytego, którego dolna i górna funkcja przynależności opisana została za pomocą parametrów. Zbiory interwałowe korzystają z prostokątnych funkcji przynależności, zatem dolna i górna funkcja musi zostać opisana za pomocą czterech wartości. Wartości ( ) opisują dolną funkcję przynależności, natomiast wartości ( ) odpowiadają górnej funkcji przynależności. Rysunek 3. Przykład definicji interwałowego zbioru rozmytego w postaci parametrycznej. Należy wyznaczyć przedział przynależności wartości do zbioru : [ ].W tym celu, należy obliczyć wartości dolnej i górnej funkcji przynależności, korzystając ze wzorów funkcji przynależności zbiorów rozmytych typu 1. Wartości ( ) i ( ) wyznacza się za pomocą następujących wzorów: 1 ) ( f 1 ) ( f
o wyznaczenia przedziału przynależności wystarczy zatem jedna, nieskomplikowana funkcja, która jako argumenty przyjmuje wartości opisujące górną lub dolną funkcję przynależności: public double countmembershipegree(double, int, int, int, int ){ } if ( <= ){ return ; }else if( > && < ){ if (!= ) return ( )/( ); else return ; }else if( >= && <= ){ return 1; }else if ( > && < ){ if (!= ) return ( )/( ); else return ; }else if( >= ){ return ; } Jak łatwo zauważyć, zrozumienie oraz operowanie na zbiorach interwałowych jest bardzo proste i analogiczne do operacji wykonywanych na klasycznych zbiorach rozmytych. IIOGRFI 1. Niewiadomski.: Methods for the linguistic summarization of data: applications of fuzzy sets and their etensions. EXIT, Warszawa, 28. 2. Mendel, J. M.,: Type2 Fuzzy Sets and Systems: an Overview. IEEE omputational Intelligence Magazine, Vol. 2, pp. 229, February 27. 3. http://en.wikipedia.org/wiki/type2_fuzzy_sets_and_systems