PRACE NAUKOWO-PRZEGLĄDOWE

PRACE NAUKOWO-PRZEGLĄDOWE Przegląd Naukowy Inżynieria i Kształtowanie Środowiska nr (47), 00: 43 5 (Prz. Nauk. Inż. Kszt. Środ. (47), 00) Scientific Review Engineering and Environmental Sciences No (47), 00: 43 5 (Sci. Rev. Eng. Env. Sci. (47), 00) Marcin KRUKOWSKI Katedra Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska SGGW w Warszawie Department of Hydraulic Engineering and Environmental Recultivation WULS SGGW Statystyczna metoda weryfikacji założeń technicznych modelu koryta dwudzielnego wykorzystywanego w badaniach hydraulicznych Statistical method for verification of technical principles of compound channel model construction for hydraulic research Słowa kluczowe: model koryta dwudzielnego, statystyczna weryfikacja przekroju Key words: model of compound channel, statistical verification of cross-section Wprowadzenie W laboratorium hydraulicznym Katedry Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska Wydziału Inżynierii i Kształtowania Środowiska Szkoły Głównej Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie zbudowano w 005 roku betonowe koryto do badań przepustowości. Koryto jest prostoliniowe, ma długość 6 m i szerokość,5 m z symetrycznymi terenami zalewowymi i dwudzielnym trapezowym przekrojem poprzecznym (rys. ). Projektowany spadek podłużny dna koryta głównego i terenów zalewowych wynosił,0. Tereny zalewowe nie mają spadku poprzecznego. Po wybudowaniu modelu konieczna jest kontrola warunków technicznych, założonych w projekcie koryta, i stwierdzenie, czy ewentualne odkształcenia modelu koryta badawczego są dopuszczalne. Niestaranne wykonanie koryta może uniemożliwiać prowadzenie badań w warunkach ruchu ustalonego jednostajnego. Wyniki niwelacji koryta W celu statystycznej weryfikacji powierzchni dna i skarp laboratoryjnego kanału wykonano niwelację całego koryta. Pomiar wysokościowy koryta prowadzono w punktach przekroju poprzecznego (rys. b). Kolejne przekroje poprzeczne, w których dokonywano po- Statystyczna metoda weryfi kacji założeń technicznych... 43

RYSUNEK. Widok wybudowanego kanału o dwudzielnym przekroju poprzecznym FIGURE. View built of compound channel miarów wysokościowych, były oddalone od siebie o 0,50 m. W rozmieszczonych jak na rysunku a przekrojach zmierzono wysokość położenia 363 punktów ( punktów w 33 przekrojach poprzecznych). Wyniki niwelacji powierzchni koryta przedstawiono w tabeli dla wybranych przekrojów. a) 50 50 35 5 50 b) P P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 50 P0 P A P P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P0 P H 0 B C F G 0 D E 0 70 0 30 0 70 0 in cm RYSUNEK. Schemat przekroju poprzecznego koryta i rozmieszczenia punktów pomiaru wysokości: punkty pomiaru wysokości, P,..., P oznaczenie profili wyznaczonych przez punkty pomiaru wysokości w przekroju koryta FIGURE. Schema of cross-section channels and distributions of points of measurement of height: points of measurement of height, P,..., P mark of appointed sections by points of measurement of height in section of channel 44 M. Krukowski

TABELA. Przykładowe wyniki niwelacji koryta TABLE. Example results levelling of channel Odległość a Distance a [m] Rzędne punktów przekroju [m] Points elevetions of the cross-section P P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P0 P 0 90,49 70,49 70,39 70,4 50,4 50, 50,34 70,3 70,4 70,3 90,33 0,5 90,4 70,33 70, 70, 50,0 50,0 50, 70,6 70, 70,8 90,30,0 90,4 70,4 70,7 70,9 50,09 50,04 50,0 70,9 70,6 70,30 90,9,5 90,9 70,9 70,9 70, 50,0 50,0 49,96 70, 70,08 70,9 90,3,0 90,6 70,3 70, 70,09 50,0 50,00 49,89 70,09 69,99 70,9 90,3,5 90,3 70,4 70,9 70, 49,99 49,9 49,9 69,99 69,97 70,08 90,08 3,0 90,7 70,9 70,8 70, 49,93 49,85 49,97 70, 70,00 70,00 90,03 3,5 90,30 70, 70,8 70,08 50,0 49,9 49,99 70,09 70,0 70,03 89,96 4,0 90,3 70,9 70,0 69,96 50,9 49,9 49,97 69,98 69,99 69,95 89,83 4,5 90,9 70, 70,0 69,99 50,09 49,83 49,95 69,96 69,8 70,00 89,79 5,0 90,4 69,94 69,9 69,7 50,0 49,8 49,9 69,76 69,79 69,79 89,7 5,5 90,7 69,9 69,6 69,59 49,99 49,79 49,89 69,58 69,59 69,7 89,58 a Od początku koryta. / From begining of the channel. Opracowanie statystyczne wyników pomiaru wysokości koryta Opracowanie statystyczne wyników wysokościowych, uzyskanych w pomiarach niwelacji nowo wybudowanego koryta dwudzielnego, wykonano metodą opisaną w pracy Kozioła i innych (997). Na podstawie pomiarów rzędnych wybranych punktów koryta głównego i terenów zalewowych (rys. ) opisano dno i skarpy płaszczyznami o równaniu: z b b x b y () o gdzie x, y współrzędne punktów pomiarowych. Współczynniki regresji wielokrotnej bˆ ˆ ˆ o, b, b szacowano metodą najmniejszych kwadratów z układu równań normalnych: bˆ var( x) bˆ cov( x, y) cov( x, z) b ˆ ˆ cov( x, y) b var( y) cov( y, z) bˆ ˆ ˆ o z bx by () Rozwiązanie układu () przedstawiono w postaci macierzowej: ˆ B V C (3) gdzie: ˆB macierz współczynników regresji Bˆ bˆ bˆ V macierz współczynników przy niewiadomych Statystyczna metoda weryfi kacji założeń technicznych... 45

var( x) cov( x, y) V cov( xy, ) var( y) V macierz odwrotna var( y) cov( x, y) V cov( xy, ) var( x) det V C macierz kowariancji cov( xz, ) C cov( yz, ) Wartości wariancji, kowariancji i wyznacznika detv obliczono z zależności: var( x) xi x xi (4) cov( xy, ) xy i i y xi (5) var( y) yi y yi (6) cov( xz, ) xz i i z xi (7) cov( yz, ) yz i i z yi (8) var( z) zi z zi (9) detv = var(x) var(y) cov(x, y) (0) gdzie: x i, y i, z i współrzędne punktów pomiarowych dla i =,,..., 363, x, y, z ich wartości średnie. Miarą dopasowania równania () regresji dwukrotnej do danych empirycznych jest ocena współczynnika determinacji, który wyrażony w procentach informuje, w jakim stopniu rzędne z zależą od x i y: T B C R () var( z) Średnie odchylenie wysokości punktów pomiarowych od wyznaczonej płaszczyzny regresji podanej równaniem () scharakteryzowano pierwiastkiem z nieobciążonego estymatora wariancji odchyleń od regresji (Smolik 994): s sˆ zx zx zi zˆ i n T i var( z) B C () nk nk sˆ (3) zx gdzie: n liczba punktów pomiarowych o współrzędnych (x i, y i, z i ), k liczba zmiennych opisujących, k = (liczba współczynników regresji), B ˆ T macierz transponowana współczynników regresji, B ˆ T ˆ ˆ b b. Wyniki przeprowadzonych obliczeń statystycznych dla powierzchni dna i skarp koryta zestawiono w tabeli. W tabeli przyjęto oznaczenia płaszczyzn koryta od do, jak na rysunku 3. Wartości współczynników determinacji dla płaszczyzn, stanowiących dno koryta głównego, dno lewego terenu zalewowego i dno prawego terenu zalewowego, wynoszą odpowiednio: 94,6, 95,3 i 9,9%. Średnie odchylenie pomierzonych wysokości punktów od obliczonych z równań płaszczyzn wynosi 0, cm, tzn. około mm. Wyrównany spadek tych płaszczyzn w kierunku przepływu wynosi odpowiednio: 0,86 (płaszczyzna ),,0 (płaszczyzna ) i 0,9 (płaszczyzna ). Współczynniki determinacji płaszczyzn,,, mają wartości z przedziału od 9,9 do 99,9% i spadek podłużny między 0,86 a,08. Oznacza to, że mo- 46 M. Krukowski

TABELA. Wyniki obliczeń statystycznych dla powierzchni koryta TABLE. Results of statistical calculations for surface areas of the channel Wielkość Quantity Dno koryta Bottom of channel Skarpa lewa Left slope Zalew lewy Left floodplain Płaszczyzny / Surface areas Skarpa lewego zalewu / Slope left floodplain Skarpa prawa Right slope Zalew prawy Right floodplain Skarpa prawego zalewu / Slope right floodplain) Σx i 79 00 5 800 79 00 5 800 5 800 79 00 5 800 85 800 000 57 00 000 85 800 000 57 00 000 57 00 000 85 800 000 57 00 000 Σy i 0 650 6930 7590 650 6930 7590 Σx i 5 075 47 850 565 950 879 450 47 850 565 950 879 450 Σz i 4906,64 3 933,6 6889,5 75,6 399,9 688,98 550, Σx i y i 0 30 000 5 544 000 6 07 000 30 000 5 544 000 6 07 000 Σx i z i 3906 064,5 3 33 464 548 888,5 4 9 304 3 30 0 5 484 94,5 4 86 674 Σy i z i 30,9 04 899 48 360,6 6 444,3 048 7,4 48 78 60 375,3 Σy i Σz i 4 300,5 40 94,6 479 463,8 45 76,3 40 5,9 478 4 44 6,8 x 800 800 800 800 800 800 800 y 0 5 70 5 5 70 5 z 49,56 59,59 69,59 79,69 59,53 69,5 79,55 var(x) 440 000 4 960 000 440 000 4 960 000 4 960 000 440 000 4 960 000 cov(x, y) 0 0 0 0 0 0 0 var(y) 5 075 6600 80 850 6600 6600 80 850 6600 cov(x, z) 9 47,5 3 064 679,5 6 36 3 0 669,5 350 cov(y, z) 30,9 6570 99, 664,8 6585, 4,35 6600 var(z) 7,53 655,53 4,9 6667,78 658,8 0,53 663,6 det V 3,38 0 9,87 0 0,8 0 9,87 0 0 9,87 0 0,8 0 9,87 0 0

cd. tabeli Table cont. Płaszczyzny / Surface areas Skarpa prawego zalewu / Slope right floodplain) Zalew prawy Right floodplain Skarpa prawa Right slope Zalew lewy Left floodplain Skarpa lewa Left slope Dno koryta Bottom of channel Wielkość Quantity ˆb 0,0005 0,995 0,00,00376 0,9964 0,00054,00807 Skarpa lewego zalewu / Slope left floodplain ˆb 50,5 35,4 70,3 34,88 35,30 70, 34,73 0 94,56 99,98 95,7 99,99 99,98 9,86 99,98 s z x 0,099 0, 0, 0,0 0, 0, 0, ˆR 00% del koryta wybudowany został zgodnie z założeniami. Równania płaszczyzn koryta mają postać: dno koryta z = 0,000858x 0,0005y + 50,5 (4) skarpa lewa z = 0,000874x 0,99545y + 35,406 (5) zalew lewy z = 0,000x + 0,00y + 70,33 (6) skarpa zalewu lewego z = 0,0008x,00376y + 34,883 (7) skarpa prawa z = 0,000883x + 0,996y + 35,98 (8) zalew prawy z = 0,0009x 0,00054y + 70,5 (9) skarpa zalewu prawego z = 0,000903x +,00807y + 34,73 (0) Na podstawie równań płaszczyzn koryta określono jego spadek podłużny (w kierunku osi OX), który jest równy odpowiednim współczynnikom kierunkowym ˆb (tab. ). Jak wynika z tabeli, wartość spadku dna koryta głównego na rysunku 3 wyraźnie różni się od wartości projektowanej. Rozwiązując równania powierzchni zalewów i płaszczyzn skarp oraz płaszczyzny dna koryta, otrzymuje się tzw. równania prostych krawędzi koryta. Obliczone równania krawędzi przecięcia się płaszczyzn koryta mają postać: krawędź AA 0,00037x + 0,97534y + 34,907 = 0 () 48 M. Krukowski

A A' B' 4 left floodplain C ' 3 D' B koryto gówne main channel E' C x D F' z O E y 6 G' prawy teren zalewowy right floodplain RYSUNEK 3. Przyjęte oznaczenie płaszczyzn i krawędzi modelu koryta FIGURE 3. Accepted signature of surfaces and of edge model of channel 5 F H' 7 G H krawędź BB 0,00000367x 0,976y 87,860 = 0 () krawędź CC 0,00037x + 0,97534y + 34,907 = 0 (3) krawędź DD 0,000060x + 0.99340y + 4,84 = 0 (4) krawędź EE 0,000060x 0,99979y 4,950 = 0 (5) krawędź FF 0,0000380x 0,9986y + 34,97 = 0 (6) krawędź GG 0,00043x,00438y + 90,48686 = 0 (7) krawędź HH 0,00005384x,00343y + 05,3799 = 0 (8) Na podstawie obliczonych równań płaszczyzn (tab. ) wyznaczono kąty dwuścienne pokazane na rysunku 4. Kąt dwuścienny (α i ) między dwiema płaszczyznami oblicza się ze wzoru: ' ' bb ˆˆ bb ˆˆ cos (9) ˆ ˆ' ˆ ˆ' b b b b ' ' ' gdzie: bˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ o, b, b i bo, b, b są współczynnikami kierunkowymi odpowiednich płaszczyzn. Obliczono cosinusy kątów nachylenia płaszczyzn koryta, a następnie wyznaczono wartości kątów: skarpa zalewu lewego / slope left floodplain zalew lewy / left floodplain skarpa zalewu prawego / slope right floodplain zalew prawy / right floodplain skarpa lewa left slope dno / bottom skarpa prawa right slope RYSUNEK 4. Kąty między płaszczyznami FIGURE 4. Angles between surfaces Statystyczna metoda weryfi kacji założeń technicznych... 49

cosα = 0,7076 α = arc(cos α ) = = 44,96 cosα = 0,7084 α = arc(cos α ) = = 44,89 cosα 3 = 0,7058 α 3 = arc(cos α 3 ) = = 45,0 cosα 4 = 0,708 α 4 = arc(cos α 4 ) = = 44,80 cosα 5 = 0,7099 α 5 = arc(cos α 5 ) = = 44,87 cosα 6 = 0,7070 α 6 = arc(cos α 6 ) = = 45,0 Wartości obliczonych kątów są bardzo zbliżone do wartości projektowanej, tzn. α = 45 o. Dokładność wykonania modelu koryta prowadzono, sprawdzając także wielkość powierzchni przekroju koryta, obliczonych na podstawie pomiarów i z równań krawędzi. Pole przekroju koryta (P) obliczano jako sumę powierzchni trójkątów P, P, P 3 i P 4 (rys. 5). Pola powierzchni trójkątów obliczono na podstawie współrzędnych punktów A, B, C, D, E, F, G, H metodą wyznacznikową: y z P / y z (30) y z 3 3 P = P + P (3) gdzie: (y, z ), (y, z ), (y 3, z 3 ) są współrzędnymi wierzchołków trójkąta. Współrzędne te obliczono z równań prostych A opisujących krawędzie koryta dla danych wartości x i, y i. Zmiany powierzchni przekroju koryta głównego, koryta zalewowego oraz dla całkowitego przekroju koryta wraz z jego długością, obliczone na podstawie bezpośrednich pomiarów i z równań krawędzi () (8), przedstawiono na rysunkach 6, 7 i 8. Jak wynika z obliczeń, różnice średniej wartości pola przekroju na długości do pola teoretycznego są odpowiednio równe: dla koryta głównego ΔP =,88 cm (rys. 6), dla części zalewowej ΔP = 6,59 cm (rys. 7), dla całkowitej powierzchni koryta ΔP = 9,5 cm (rys. 8). Podsumowanie Przedstawiono wyniki statystycznych obliczeń założeń technicznych modelu koryta, przeprowadzonych w celu oceny zgodności jego wykonania z projektem. Jest to bardzo istotne, ponieważ daje to pewność, że prowadzone badania hydrauliczne będą mogły być realizowane w warunkach ruchu ustalonego jednostajnego. Otrzymane różnice wartości pól powierzchni przekroju koryta głównego, zalewowego oraz dla całkowitego prze- H P P 4 3 B C P F P D E RYSUNEK 5. Stosowany schemat podziału przekroju koryta na trójkąty FIGURE 5. Practical schema partition of channel section on triangles G 50 M. Krukowski

P [cm ] 004 00 000 998 996 994 99 P = -0,0068L + 00,5 990 0 00 400 600 800 000 00 400 600 L [cm] RYSUNEK 6. Zmienność powierzchni przekroju koryta głównego, obliczonych na podstawie równań krawędzi koryta FIGURE 6. Variability of surface in cross-section of main channel calculated on the basis equalizations edge of the channel 460 465 460 4605 4600 4595 4590 4585 P = 0,079L + 457, 4580 4575 4570 4565 0 00 400 600 800 000 00 400 600 L [cm] RYSUNEK 7. Zmienność powierzchni przekroju koryta zalewowego, obliczonych na podstawie równań krawędzi koryta FIGURE 7. Variability of surface in cross-section of floodplain calculated on the basis equalizations edge of the channel P [cm ] P [cm ] 560 5605 5600 5595 5590 5585 5580 5575 P = 0,0L + 5573,6 5570 0 00 400 600 800 000 00 400 600 L [cm] RYSUNEK 8. Zmienność powierzchni przekroju całego koryta, obliczonych na podstawie równań krawędzi koryta FIGURE 8. Variability of surface in all cross-section of the channel calculated on the basis equalizations edge of the channel Statystyczna metoda weryfi kacji założeń technicznych... 5

kroju koryta, obliczone na podstawie bezpośrednich pomiarów i z równań powierzchni dna i skarp, potwierdzają dużą dokładność wykonania koryta dwudzielnego. Natomiast uzyskane wyniki obliczeń można wykorzystać w analizach dokładności prowadzonych pomiarów. Literatura KOZIOŁ A., KUŚMIERCZUK K., SMOLIK S. 997: Statystyczna weryfikacja założeń technicznych modelu koryta używanego w badaniach hydraulicznych. III Konferencja Naukowa Współczesne problemy inżynierii wodnej, Wisła, 3 5 kwietnia: 37 36. SMOLIK S. 994: Zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej dla akademii rolniczych. Wydawnictwo SGGW, Warszawa. Summary Statistical method for verification of technical principles of compound channel model construction for hydraulic research. Statistical method for verification of technical principles of channel model construction for hydraulic research was introduced. Method and statistical equations applied for model construction accuracy analysis were discussed. Problems of model construction accuracy influence on measurement of flow capacity in two-stage compound open channel was described. Author s address: Marcin Krukowski Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego Katedra Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska Zakład Hydrauliki ul. Nowoursynowska 59, 0-787 Warszawa Poland e-mail: marcin_krukowski@sggw.pl 5 M. Krukowski