Plik pobrany ze strony

Transkrypt

1 Plik pobrany ze strony

2 Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdającego Arkusz I Czas pracy 0 minut. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 6 stron. Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy każdym zadaniu. 3. Proszę pisać tylko w kolorze czarnym; nie pisać ołówkiem. 4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 5. Nie wolno używać korektora. 6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić. 7. Brudnopis nie będzie oceniany. 8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie. 9. Podczas egzaminu można korzystać z udostępnionego zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać z kalkulatora graficznego. Życzymy powodzenia! Wpisuje egzaminator / nauczyciel sprawdzający pracę Nr. zadania SUMA Maksymalna liczba punktów Uzyskana liczba punktów Plik pobrany ze strony

3 Zadanie. (4 pkt) Janek ma w tym semestrze następujące oceny z języka polskiego: 5, 5, 3, 4, 3, 3, 4. a) Oblicz średnią ocen Janka z języka polskiego. Wynik podaj z dokładnością do 0,0. b) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe. Wyniki podaj z dokładnością do 0,0. Plik pobrany ze strony Strona z 6

4 Zadanie. (4 pkt) Pożyczkę w wysokości 8700 zł zaciągniętą w banku należy spłacić w ratach, z których każda następna jest mniejsza od poprzedniej o 50 zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty. Plik pobrany ze strony Strona 3 z 6

5 Zadanie 3. (5 pkt) Funkcja f jest określona wzorem: f ( x) = ax + bx + dla x R. a) Wyznacz wzór tej funkcji tak, aby f ( ) = i f ( ) =. b) Dla wyznaczonych wartości współczynników a i b rozwiąż nierówność: f ( x). Strona 4 z 6

6 Zadanie 4. (4 pkt) Aby wyznaczyć równanie symetralnej odcinka o końcach A(-;4), B(3;-) postępujemy w następujący sposób: - wybieramy dowolny punkt P(x; y) należący do symetralnej odcinka AB i korzystamy z własności symetralnej odcinka: - ponieważ AP AP = BP AP = BP ( x + ) + ( y 4) oraz BP = ( x 3) + ( + = y ), więc ( x + ) + ( y 4) = ( x 3) + ( y + ) - przekształcamy otrzymane równanie do prostszej postaci i otrzymujemy równanie: x 3y + = 0, które jest równaniem symetralnej odcinka AB. Postępując w analogiczny sposób, wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach: C(4;6), D(6;-). Plik pobrany ze strony Strona 5 z 6

7 Zadanie 5. (4 pkt) Wielkość prostokątnego ekranu telewizora określa długość jego przekątnej wyrażona w calach. Oblicz, o ile procent zwiększymy powierzchnię ekranu, jeśli długość przekątnej wynoszącą cali powiększymy do 3 cali zachowując stosunek długości boków prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 0,%. Strona 6 z 6

8 Zadanie 6. (4 pkt) Ciąg ( an) określony jest wzorem: a = n 3 0n + 3n n 30.Wiedząc, że a = 0 wyznacz wszystkie pozostałe wyrazy tego ciągu równe zero. Plik pobrany ze strony Strona 7 z 6

9 Zadanie 7. (3 pkt) Dana jest funkcja określona za pomocą zbioru par uporządkowanych: {( x, x + ) : x N + i x 7} a) Sporządź wykres tej funkcji i określ jej zbiór wartości. b) Wyznacz wszystkie argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość 37. Strona 8 z 6

10 Zadanie 8. (4 pkt) Metalową kulę o promieniu długości 0 cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio 6 cm i cm, przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy 8 3 cm. Oblicz wysokość tego walca. 3 Plik pobrany ze strony Strona 9 z 6

11 Zadanie 9. (5 pkt) Opisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich punktów należących do trójkąta ABC przedstawionego na rysunku. Oblicz pole tego trójkąta. Strona 0 z 6

12 Zadanie 0. (6 pkt) W pudełku znajdują się żetony. Wśród nich jest 6 żetonów o nominale 5 zł oraz n żetonów o nominale 0 zł. Losujemy z pudełka dwa żetony. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu obu żetonów o nominale 0 zł jest równe. Oblicz n. Plik pobrany ze strony Strona z 6

13 Zadanie. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest równe 6 3, a pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim szukany kąt. Strona z 6

14 @ Brudnopis Plik pobrany ze strony Strona 3 z 6

15 Strona 4 z 6

16 Plik pobrany ze strony Strona 5 z 6

17 Strona 6 z 6

18 SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO I Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Modelowy wynik etapu Liczba punktów 3 4. Obliczenie średniej ocen z języka polskiego. _ x 3, 86. Obliczenie wariancji (w tym p. za metodę oraz p. za obliczenia). 0,69.3 Obliczenie odchylenia standardowego. 0,83. Opisanie ciągu arytmetycznego określającego a = x, a = x + r, r = 50, daną sytuację. S = Zapisanie równania z wykorzystaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego. ( x 550) 6 = 8700 Rozwiązanie równania i wyznaczenie pierwszej i.3 ostatniej raty (w tym p. za metodę oraz p. za a = 000, a = 450 obliczenia). 3. Zapisanie układu równań opisującego warunki zadania. a + b + = 4a + b + = Rozwiązanie układu równań oraz zapisanie wzoru funkcji kwadratowej (w tym p. za metodę oraz p. za obliczenia). Rozwiązanie nierówności (w tym p. za metodę oraz p. za obliczenia). Wykorzystanie własności symetralnej odcinka CD. 4. Wyznaczenie CP i 4.3 Ułożenie równania. DP. f a =, b = 3 ( x) = x + 3x + 3 x 0; CP = DP CP = DP CP DP = = ( x 4) + ( y 6) ( x 6) + ( y + ) ( x 4) + ( y 6) = ( x 6) + ( y + ) 4.4 Przekształcenie równania do prostszej postaci i zapisanie równania symetralnej odcinka CD. x 4 y + 3 = 0 5. Wykonanie rysunku i wprowadzenie oznaczeń lub wprowadzenie dokładnie opisanych oznaczeń AF = cali, AC = 3cale Zastosowanie podobieństwa trójkątów: ABC AC 3 k = = i AEF do wyznaczenia skali podobieństwa k. AF P Obliczenie stosunku pól powierzchni ekranów. = k =, 3 P Wyrażenie różnicy pól powierzchni ekranów 5.4 3,% w procentach.

19 6 6. Ułożenie równania z niewiadomą n. n 3 0n + 3n Wykorzystanie twierdzenia Bèzouta do rozkładu lewej strony równania na czynniki. ( n )( n 8n + 5) = Wyznaczenie pozostałych pierwiastków równania. n 3, = n = Wyznaczenie pozostałych wyrazów ciągu równych zero. 3 a 0, = a 5 = Sporządzenie wykresu funkcji Określenie zbioru wartości funkcji. Y={,5,0,7,6,37,50} Wyznaczenie argumentu dla którego wartość 7.3 x = 6 funkcji wynosi 37. Sporządzenie odpowiednich rysunków z oznaczeniami lub opis oznaczeń. R = 0 cm promień kuli r = 6 cm, h = cm średnica i wysokość stożka r w = cm - średnica walca 3 8. Zastosowanie wzorów na objętość kuli, stożka do 4768 V W = π obliczenia objętości walca Ułożenie równania na objętość walca z niewiadomą h w (h w wysokość walca) πh W = π 8.4 Rozwiązanie równania. h w = 98 cm Zapisanie układu nierówności opisujących trójkąt ABC (w tym p. za poprawne nierówności oraz p. za zapisanie układu). Za dwie poprawne nierówności albo za trzy nierówności z których co najmniej jedna jest ostra o właściwych kierunkach przyznajemy p. Wyznaczenie długości podstawy i wysokości trójkąta ABC. x 5 3 y x 3 5 y x 5 CB = 6, AD = Obliczenie pola figury F jako pole ABC. P = CB AD = 5 0. Określenie zdarzenia losowego. A zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch żetonów o nominale 0 zł Wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A. Ω = ( n + 5)( n 6) n = = n N + = n A = = {,} ( n ) n, 3

20 Wykorzystanie prawdopodobieństwa ( A ) P do ułożenia równania. Rozwiązanie równania (w tym p. za metodę z uwzględnieniem założenia oraz p. za obliczenia). ( n ) n = ( n + 5)( n + 6) n = nie spełnia warunków zadania n = 5 spełnia warunki zadania. Sporządzenie rysunku wraz z oznaczeniami.. Wyznaczenie pola P podstawy ostrosłupa. P = a 3 Wykorzystanie pola podstawy do ułożenia równania z niewiadomą a..3 a Wyznaczenie długości a odcinka AB. a =.5 Wyznaczenie długości h p odcinka OC. h p = 3 Wykorzystanie pola powierzchni bocznej ostrosłupa i obliczenie długości h b wysokości ściany b = 6h.6 h bocznej ostrosłupa. b =.7 Wyznaczenie miary kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. 3 h cosβ = h β = 30 Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów. p b = 3 3