Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest równa: A. 100 B. 99 C. 90 D. 19 Mamy do dyspozycji 10 tkanin, zatem na zewnętrzne pasy możemy użyć 10 różnych tkanin. Kiedy wybraliśmy już kolor na pasy zewnętrzne, do dyspozycji zostało nam 9 tkanin (zgodnie z treścią zadania środkowy pas musi być innego koloru). Z reguły mnożenia liczmy liczbę wszystkich możliwości: = 10 9 = 90 2. Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30 Sposób I Wypisujemy liczby dwucyfrowe podzielne przez 3 to: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99. = 30 Sposób II 1
Dwucyfrowe liczby podzielne przez 3 tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy, w którym i. Mamy zatem: 3. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane? A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 Sposób I Skoro liczby mają być większe od 3000, to pierwsza cyfra każdej z takich liczb musi być równa 3. Każdą z pozostałych 3 cyfr możemy wybrać dowolnie spośród liczb: 1, 2, 3. Jest więc takich liczb: = 1 3 3 3 = 27 Sposób II Wypisujemy wszystkie liczby spełniające warunki zadania. 4. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9? A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 Dwucyfrowe liczby podzielne przez 6 to: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96. Wśród tych liczb jest 5 liczb podzielnych przez 9: 18, 36, 54, 72, 90 W sumie jest więc takich liczb. 2
Odpowiedź: B. 5. Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Skoro suma cyfr ma być równa 2: to liczba ta może mieć jedną cyfrę równą 2 jest jedna taka liczba: 2000, może mieć dwie cyfry równe 1 są trzy takie liczby: 1001, 1010, 1100. 6. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5? A. 90 B. 100 C. 180 D. 200 Jeżeli liczba ma się dzielić przez 5, to ostatnią jej cyfrą musi być 0 lub 5. Pierwszą cyfrę takiej liczby możemy wybrać na 9 sposobów (nie może być 0), a drugą na 10 sposobów, więc w sumie takich liczb jest: = 9 10 2 = 180 7. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 4? A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 Skoro iloczyn cyfr ma być równy 4, to cyframi liczby muszą być dwie jedynki i czwórka, lub jedynka i dwie dwójki. Łatwo wypisać wszystkie takie liczby: 114, 141, 411, 122, 212, 221. 8. Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa A. 66 B. 72 C. 132 D. 144 Pierwszego uczestnika spotkania możemy wybrać na 12 sposobów, a drugiego na 11 sposobów, co razem daje: par przyjaciół. Ten rachunek wymaga jednak 3
poprawy, bo w ten sposób każdą parę przyjaciół policzyliśmy dwa razy: jako i. Musimy więc powyższą liczbę podzielić przez 2. Zatem powitań było: 132 : 2 =66 Odpowiedź: A. 9. Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników? A. 100 B. 90 C. 45 D. 20 Pierwszego gracza możemy wybrać na 10 sposobów, a drugiego na 9 sposobów, co razem daje z reguły mnożenia: możliwości. Ten rachunek wymaga jednak poprawy, bo w ten sposób każdą parę zawodników policzyliśmy dwa razy: jako i. Musimy więc tę liczbę podzielić przez 2: 90 : 2 = 45 i mamy ostatecznie 45 możliwości. 10. Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano A. 4 losy B. 20 losów C. 50 losów D. 25 losów Na początku szansa na wygraną wynosiła: Po wyciągnięciu losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną jest równa. Mamy więc równanie 11. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy 4
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 6 = 36 A iloczyn wyrzuconych oczek wynosi 5, Mamy 2 wyniki sprzyjające A: (1, 5) i (5, 1). = 2 Odpowiedź: B. 12. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe Jeżeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy pary otrzymanych liczb oczek to Jest jedno zdarzenie sprzyjające: (5, 5). Zatem 13. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 6 = 36 A suma wyrzuconych oczek wynosi 3, Mamy 2 wyniki sprzyjające A: (1, 2) i (2, 1). = 2 5
14. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego cztery jest równe Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 6 = 36 A iloczyn wyrzuconych oczek wynosi 4. Mamy 3 wyniki sprzyjające A: (1, 4), (2, 2) i. = 3 Odpowiedź: A. 15. Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 2 = 8 Są cztery zdarzenia sprzyjające: (O, O, O), (O, R, O), (R, O, O), (R, R, O). Stąd prawdopodobieństwo wynosi: 16. Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy A. 0 B. 0, C. D. 6
Obliczmy, ile jest zdarzeń elementarnych: 2 = 8. Są 3 zdarzenia sprzyjające: (O, O, R), (O, R, O), (R, O, O). Prawdopodobieństwo jest więc równe 17. Rzucamy trzy razy symetryczna monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe Obliczmy, ile jest zdarzeń elementarnych: = 36 Sposób I: Jest 7 zdarzeń sprzyjających: Prawdopodobieństwo jest więc równe. Sposób II Jeżeli przez oznaczymy interesujące nas zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej jednej reszki, to zdarzenie przeciwne polega na otrzymaniu samych orłów. Zatem Odpowiedź: A. 18. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe Obliczmy, ile jest zdarzeń elementarnych: = Jest 15 zdarzeń sprzyjających: wylosowano kobietę: Prawdopodobieństwo wybrania kobiety jest równe: 7
19. W karcie dań jest 5 zup i 4 drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania? A. 25 B. 20 C. 16 D. 9 Zupę możemy wybrać na 5 sposobów, a drugie danie na 4 sposoby, co daje łącznie sposobów (zasada mnożenia). Odpowiedź: B. 20. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas W podanym zbiorze są trzy liczby podzielne przez 4: 4, 8, 12. A wylosowano liczbę podzielną przez 4. Zatem mamy: I prawdopodobieństwo wynosi: Odpowiedź: B. 21. Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe Liczb dwucyfrowych jest, a liczb podzielnych przez 30 jest 3 : 30, 60, 90. Prawdopodobieństwo jest więc równe: 8