II. MODELOWANIE STANU DYNAMICZNEGO MASZYN

II. MODELOWANIE STANU DYNAMICZNEGO MASZYN 1. WSTP Funkcjonowanie maszyn, urzdze, instalacji, a w ogólnoci obiektów mechanicznych nieodłcznie jest zwizane z przekazywaniem rónorakich oddziaływa siłowych. W wikszoci przypadków oddziaływania te mona podzieli na cz statyczn, stał w czasie, która zapewnia projektowane połoenie bd projektowany ruch oraz cz dynamiczn - na ogół o charakterze oscylacyjnym. Analizujc zachowanie si obiektów mechanicznych pod wpływem oddziaływa mona przyj, e stan napreniowy, połoenie równowagi, redni ruch na torze itp. jako wynik działania czci statycznej jest znany i nie stanowi problemu. Problemem zatem bdzie tu zrozumienie, przewidywanie i poprawianie zachowania si obiektu pod wpływem czci dynamicznej oddziaływa, czyli analiza dynamiczna obiektu. Czy jednak w obliczu coraz wikszego skomplikowania konstrukcyjnego i funkcjonalnego obiektów mechanicznych (np. pojazd kosmiczny) wyniki takiej analizy dynamicznej mog by wiarygodne? Otó, niejednokrotnie stwierdzono teoretycznie i praktycznie, e zachowanie si (reakcja) dynamiczne skomplikowanych obiektów mechanicznych złoone jest z reakcji elementarnych, (zachowanie si układu elementarnego), które mona pozna i przestudiowa kad oddzielnie. Sposób syntezy reakcji elementarnych w reakcj złoonego obiektu mechanicznego jest niejednokrotnie skomplikowany, lecz jednoznaczny. Moe on by poznany za pomoc wnikliwie stosowanych wzgldnie prostych metod analitycznych. Z tego włanie wynika zdolno do analizy dynamicznej skomplikowanych obiektów mechanicznych złoonych z wielu podukładów i zaufanie, e bd one zachowywa si tak jak przewiduj wyniki bada stanowiskowych. 2. POWSTAWANIE OBCIE DYNAMICZNYCH Dynamika jest działem mechaniki zajmujcym si ruchem ciał w ujciu makroskopowym z uwzgldnieniem przyczyn powodujcych ruch. Dynamika maszyn jest wic nauk o drganiach konstrukcji maszyn, geometrycznie niezmiennych, o zachowawczej postaci równowagi. Celem dynamiki maszyn jest okrelenie odpowiedzi konstrukcji (przemieszcze, napre) poddanej działaniu dowolnego obcienia dynamicznego. Obcienie dynamiczne jest obcieniem, którego warto, kierunek, zwrot lub miejsce przyłoenia s zmienne w czasie [5,9,13,22,25,51]. Do głównych problemów wystpujcych ju na etapie projektowania maszyn naley wymieni nastpujce: - wyznaczenie statycznych i dynamicznych obcie działajcych na poszczególne wzły i elementy maszyny; - ustalenie rozkładu napre w wybranych obszarach obliczanej konstrukcji, - wybór najbardziej obcionych elementów oraz oszacowanie ich wytrzymałoci i trwałoci (niezawodnoci działania). Najtrudniejszym przedsiwziciem zatem, jest wyznaczenie przebiegu, charakteru zmian i wartoci ekstremalnych obcie dynamicznych w projektowanej konstrukcji. Od dokładnoci wyznaczenia stanu tych obcie zalee bdzie poprawno prowadzonych oblicze projektowych, a w ich rezultacie niezawodna praca, a take walory eksploatacyjne i koszt wytwarzania maszyny. Pierwszym krokiem podczas analizy dynamiki jest zwykle wyznaczenie czstoci drga własnych elementów i układów maszyny (tzw. widmo drga maszyny lub zespołu). Zwykle obserwuje si, e drgania swobodne z tymi czstociami w maszynie podlegaj szybkiemu wytłumieniu. Jednak zawsze zachodzi obawa o narastanie drga, gdy zewntrzne

oddziaływania (deterministyczne lub losowe) w swojej strukturze bd zawiera take wymuszenia o czstotliwociach zblionych do czstoci drga własnych maszyny. Najbardziej niebezpieczne stany obcie dynamicznych i zwizane z tym ekstremalne wartoci napre powstaj w obszarze drga rezonansowych z najniszymi czstociami własnymi maszyny. Wysokie obcienia dynamiczne mog powstawa np. podczas szybkiej (skokowej) zmiany warunków pracy maszyny, jej układu napdowego czy najazdu na przeszkod terenow. Istotnym ródłem wzbudzenia drga maszyny s silniki spalinowe i oddziaływania zewntrzne na osprzt roboczy oraz na układ jezdny. Zwykle zachodzce przy tym zmiany stanu obcienia wzłów maszyny maj charakter procesów przejciowych o gasncej amplitudzie. Wanym etapem pracy maszyny jest zmiana prdkoci ruchu postpowego lub obrotowego jej elementów oraz łczenie i rozłczanie sprzgieł. Zachodzce przy tym procesy przejciowe zwykle maj posta nieperiodycznych waha stanu obcienia. Charakter tych waha jest bardzo zrónicowany. W przebiegach procesów przejciowych widoczne s zwykle znaczne zmiany amplitud obcienia, a proces wygaszania waha tych obcie czsto trwa znacznie dłuej ni czynnoci je wywołujce. S sytuacje, w których chwilowe zmiany stanu obcienia prowadz do znaczcego narastania drga i zjawisk rezonansowych. Jeli podczas pracy maszyny niektóre jej parametry zmieniaj si w sposób okresowy (np. w rezultacie powtarzania czynnoci roboczych, pracy zaworów lub rozdzielaczy), to w układzie dynamicznym maszyny istnieje moliwo wzbudzenia tzw. drga parametrycznych. Znanym i wanym ogniwem maszyny s wały napdowe z przegubami krzyakowymi. Ich praca jest stałym ródłem zmiennych obcie dynamicznych, które mog wywoływa drgania parametryczne. Podobnie zmienne naciski i tarcie midzy zbami kół zbatych (np. w rezultacie drobnych niedokładnoci ich wykonania lub powtarzalnoci kontaktów tych samych par zbów) s wanym czynnikiem powstawania parametrycznych drga gitnych wałów skrzy przekładniowych i reduktorów. Obserwowane przy tym silne wzmocnienie drga (rezonans parametryczny) jest spowodowane zblianiem si czstotliwoci zmiany parametrów układu do czstoci własnej lub prdkoci obrotowej elementów wirujcych. Energia na podtrzymanie tych drga wynika z sił wewntrznych układu (np. sił sprystoci). Praktycznie we wszystkich przypadkach obracajce si elementy maszyn s ródłem okresowych wymusze (oddziaływa dynamicznych) o czstotliwociach wynikajcych z krotnoci prdkoci obrotowej. Oczywicie, zwikszanie si tych drga (narastanie amplitud drga mechanicznych czy poziomu hałasu) bdzie zalee od właciwoci całego układu dynamicznego maszyny. Wystpienie zgodnoci czstotliwoci tych wymusze z czstociami własnymi maszyny moe prowadzi do znaczcego narastania drga. Wywołane nimi stany obcie dynamicznych s czsto przyczyn uszkodzenia lub zniszczenia elementów. W systemach automatycznej regulacji oraz układach mechanicznych pracujcych w obecnoci znacznych sił tarcia suchego, mog pojawi si drgania samowzbudne. S one niekiedy wan przyczyn wysokich obcie dynamicznych w układach napdowych np. ze sprzgłami ciernymi. Drgania gitno - skrtne obracajcych si wałków, zwykle zwizane z hydrodynamicznymi procesami w łoyskowaniu, czsto s głównym powodem znacznego ograniczenia prdkoci obrotowych elementów napdowych maszyn. Jednym z istotnych czynników dynamicznego oddziaływania na maszyn jest praca silnika spalinowego. Oddziaływania te wynikaj z nierównomiernoci przebiegu momentu obrotowego silnika, a take procesów jego rozruchu i zatrzymywania. Podczas jazdy maszyny obserwuje si oddziaływania dynamiczne, zwizane ze współprac układu jezdnego z nierównym podłoem. Wzajemne oddziaływanie pomidzy poruszajc si maszyn a podłoem wpływa nie tylko na drgania układu jezdnego, ale take

układu napdowego i nadwozia. Widoczny jest wpływ zmiany nachylenia i rodzaju podłoa oraz jego stanu na ogólny poziom obcie dynamicznych maszyny. Z najbardziej uznanych przedsiwzi, prowadzonych w celu zmniejszenia obcie dynamicznych, warto wymieni nastpujce: - modyfikacja parametrów i charakterystyk konstrukcyjnych, prowadzca do ograniczenia moliwoci wzbudzania drga rezonansowych lub przesunicia czstotliwoci tych drga poza obszary normalnych warunków pracy maszyny (przedział prdkoci jazdy, prdkoci obrotowej silnika itp.); - wprowadzanie do układów napdowych elastycznych sprzgieł przecieniowych i odpowiednio dobranych tłumików, których zadaniem jest zmniejszenie amplitud drga oraz rozproszenie ich energii. Warto tu podkreli, e zmniejszenie obcie dynamicznych i poziomu drga oraz hałasu w układach napdowych i sterowania maszyn, a tym samym zwikszenie ich trwałoci oraz niezawodnoci mona osign dziki zastosowaniu hydraulicznych zespołów napdowych, wprowadzeniu amortyzatorów hydraulicznych, tłumików drga oraz dynamicznych eliminatorów drga. Dobór ich charakterystyk najczciej jest oparty na wynikach analizy dynamiki maszyny oraz zachodzcych w niej procesów. Podczas wyznaczania obcie dynamicznych mog by stosowane metody fizycznego i matematycznego modelowania. Metody modelowania fizycznego s wykorzystywane podczas bada prototypów maszyn i ich zespołów na stanowiskach laboratoryjnych oraz podczas specjalnie przygotowanych testów poligonowych. Badania laboratoryjne pozwalaj na znaczne skrócenie czasu w stosunku do bada poligonowych. Łatwiej te wówczas zachowa powtarzalno warunków bada. Jednak kada z tych metod jest bardzo kosztowna i czasochłonna [8,14,40,51]. Wszystkie wyej opisane przedsiwzicia naley wykona na etapie prac projektowych i budowy prototypów. Jeli nie doprowadz one do znaczcego obnienia poziomu drga maszyny, to wówczas naley bra pod uwag konieczno zasadniczych zmian w jej układzie konstrukcyjnym. Dogodnym narzdziem do analizy opisanych stanów obcie dynamicznych s systemy programów komputerowych, których podstaw stanowi modele dynamiki maszyn lub wydzielonych z nich zespołów. Wykorzystanie współczesnych metod modelowania matematycznego i cyfrowej symulacji pracy maszyny daje moliwo analizy wielu wariantów konstrukcji i wybór na tej podstawie rozwiza optymalnych. 3. STUDIUM DYNAMIKI MASZYN Dynamika jest nauk o tym, jak rzeczy zmieniaj si w czasie i o siłach, które s przyczyn tych zmian [4,16,19,28,40,51]. Celem studium dynamiki układu jest zrozumienie zasad funkcjonowania, zmian stanu obcie dynamicznych i przewidywanie poprawnego zachowania si układu. Potrzeba znajomoci dynamiki układu wynika z coraz wikszych wymaga stawianych maszynom. Wraz ze wzrostem prdkoci ich ruchu i wartoci obcie, zwikszeniem wymaga dotyczcych trwałoci i niezawodnoci, a take koniecznoci stosowania sterowania automatycznego ronie znaczenie analizy dynamiki konstrukcji. Na podstawie praw Newtona mona stwierdzi, e w dynamice bezwzgldnym układem odniesienia jest układ majcy zawsze przyspieszenie równe zeru. Układ taki, poruszajcy si jednostajnie i prostoliniowo jest równoznaczny układowi pozostajcemu stale w spoczynku. Podstawowe prawa dynamiki słuszne w tym układzie na ogół nie s słuszne w innym układzie, gdy zmiana układu odniesienia powoduje zmian zalenoci midzy sił a ruchem. Układy odniesienia poruszajce si ruchem jednostajnym prostoliniowym wzgldem absolutnie nieruchomego układu odniesienia, w którym słuszne s podstawowe prawa dynamiki nazywa si układami inercjalnymi (Galileusza, bezwładnociowymi). Analiza dynamiki układu składa si z nastpujcych etapów [16,51]:

- etap I - dokładne okrelenie układu, jego istotnych cech i budowa modelu fizycznego, którego własnoci dynamiczne bd w dostatecznym stopniu zgodne z własnociami rzeczywistego obiektu; - etap II analityczny opis zjawisk dynamicznych odzwierciedlanych modelem fizycznym, czyli znalezienie modelu matematycznego, równa róniczkowych opisujcych ruch modelu fizycznego; - etap III - przestudiowanie własnoci dynamicznych modelu matematycznego na podstawie rozwizania równa róniczkowych ruchu, ustalenie przewidywanego ruchu układu; - etap IV - podjcie decyzji projektowych, tj. przyjcie fizycznych parametrów układu, z modernizacj przystosowan do oczekiwa. Synteza i optymalizacja prowadzca do osignicia wymaganych własnoci dynamicznych konstrukcji. Przedstawiona procedura opiera si na znajomoci modelu układu, a wnioski płynce z działa na modelach zale od ich jakoci. Budow modeli zajmuje si identyfikacja, która utosamia systemy rzeczywiste z ich modelami. Na rys.2.1 przedstawiono etapy studium dynamiki układu z zaznaczeniem sprze zwrotnych dotyczcych poprawiania modelu fizycznego oraz porównania projektu z wykonan konstrukcj. Przy opracowywaniu zada studium dynamiki konstrukcji szeroko wykorzystywane s schematy blokowe. Maj one na celu przedstawienie kolejnoci zdarze lub wzajemne ich powizania, ułatwiaj pokazanie skomplikowanych układów za pomoc schematu blokowego zalenoci i zwizków midzy czciami tych układów. Złoone układy mog wic by studiowane oddzielnie, by w kocu złoy to w cało. Dla kadego bloku mona poda model matematyczny opisujcy własnoci dynamiczne, a schemat lokowy wskae drog zespolenia bloków i odpowiadajcych im modeli, umoliwiajc analiz własnoci dynamicznych całego układu. Poprawki modelu fizycznego UKŁAD Etap I Etap II Etap III WYJCIOWY MODELOWANIE PRZYJCIE STUDIUM rzeczywisty FIZYCZNE RÓWNA RUCHU WŁACIWOCI RUCH DYNAMICZNYCH UKŁADU Warunki techniczne Etap IV DECYZJE KONSTRUKCYJNE Rys.2.1 Etapy studium dynamiki układu Funkcjonowanie maszyn i urzdze mechanicznych nieodłcznie jest zwizane z przekazywaniem rónorakich oddziaływa siłowych. Oddziaływania te mona podzieli na statyczne (stałe w czasie, zapewniajce projektowane połoenia lub projektowany ruch) i dynamiczne (na ogół o charakterze oscylacyjnym). Analizujc zachowanie si obiektów mechanicznych pod wpływem czci statycznej (stan napreniowy, połoenie równowagi, redni ruch na torze) przyjmuje si, e jest ono znane i nie stanowi problemu. Problemem jest zatem zrozumienie i przewidywanie zachowania si obiektu pod wpływem czci dynamicznej oddziaływa, czyli analiza dynamiczna obiektu. Kluczem do okrelenia dynamiki czyli drga obiektu mechanicznego jest znajomo moliwych odpowiedzi układu dynamicznego, do którego mona zredukowa badany obiekt.

Uzyskanie modelu fizycznego obiektu jest pierwszym krokiem jego analizy dynamicznej. W wielu przypadkach otrzymany układ dynamiczny bdzie układem elementarnym, podstawowym, zwanym układem lub modelem o jednym stopniu swobody. Procedura dojcia od obiektu rzeczywistego do jego zastpczego układu dynamicznego, zwanego czsto modelem lub modelowaniem jest pierwszym krokiem analizy dynamicznej. Wag tego kroku dla całej analizy dynamicznej niech uzmysłowi fakt, e dla jednego obiektu mechanicznego mona obmyli nieskoczenie wiele modeli, od bardzo prostych do niezwykle skomplikowanych, a do tego aden moe nie oddawa dostatecznie precyzyjnie poszukiwanych własnoci obiektu. Tak wic procedur modelowania, czyli dojcia do modelu zastpczego obiektu mechanicznego naley przeanalizowa na przykładzie i wycign ogólne wnioski metodyczne. Własnoci mechaniczne, które bd nas interesowa przy modelowaniu to: masa (inercja), sztywno i dyssypacja energii maszyny, urzdzenia. Własnoci te, jak łatwo spostrzec, rozłoone s w sposób cigły na rozpitoci obiektu. Dc jednak do moliwej prostoty opisu modelu i dalszej jego analizy własnoci te bdziemy skupia w okrelonych punktach obiektu zwanych punktami redukcji. Pierwszym krokiem modelowania jest okrelenie punktu redukcji własnoci mechanicznych obiektu. Punkt ten musi spełnia trzy istotne warunki: 1 drgania musz mie amplitudy zauwaalne, nie moe to by wic punkt podpory nieruchomej, 2 musi by spełniona wzgldna łatwo redukcji rozcigłych własnoci inercyjnych, sztywnoci i dyssypacji obiektu do własnoci dyskretnych, 3 musi istnie bezporedni zwizek midzy amplitud drga w punkcie redukcji a celem analizy dynamicznej. Suma załoe daje: model dyskretny liniowy, o kilku stopniach swobody, stacjonarny, zdeterminowany. Nastpnym krokiem analizy dynamicznej obiektu jest zastosowanie praw mechaniki i fizyki do uzyskania równa róniczkowych ruchu. Analiza rozwiza tych równa w funkcji parametrów modelu daje znajomo własnoci dynamicznych modelu. Wnioski płynce z analizy zachowania si modelu winny dalej by skonfrontowane z wynikami eksperymentu na obiekcie. W przypadku istotnych rónic zmieniamy model tak dalece, by otrzyma zgodne zachowanie si obiektu i jego modelu. Wymaga to dodatkowo pełnej wiedzy i umiejtnoci prowadzenia eksperymentu. Podczas analizy stanu dynamicznego maszyn mona poszukiwa odpowiedzi w zakresie: - oceny statecznoci układu; - wartoci amplitud drga lub wystpujcych sił; - opisu stanu ustalonego lub procesów przejciowych; - okrelenia czstoci rezonansowych. W zalenoci od celu prowadzonej analizy dynamicznej obiektu stawia si róne wymagania budowanym modelom, a ich ocen przeprowadza si rónymi metodami eksperymentalnymi. 4. IDEALIZACJA UKŁADÓW RZECZYWISTYCH 4.1 Determinizm i losowo rzeczywistoci Kada racjonalna ocena stanu dynamicznego maszyny jest wynikiem dokonywania odpowiednich pomiarów i przetwarzania ich wyników. Głównym problemem do rozwizania jest tu kwestia zalenoci pomidzy cechami maszyny, a wartociami pomierzonych symptomów stanu, co stanowi o zakresie modelowania obserwowanej maszyny.

Opis otaczajcej nas rzeczywistoci opiera si na przyjmowaniu modeli tworzonych na prawach i faktach uwzgldniajcych nastpujce zasady: - zasada przyczynowoci; - zasada determinizmu; - zasada nieoznaczonoci; - zasada losowoci. Pogldy na istot zwizku przyczynowego opieraj si na zwizkach przyczynowo - skutkowych zachodzcych w nastpstwie czasowym oddziaływania pomidzy zjawiskami, okrelajcymi zalenoci pomidzy przyczynami i ich skutkami. Formuła: nic nie dzieje si bez przyczyny lecz wszystko z jakiej racji i koniecznoci stała si podstaw gromadzenia wiedzy, formułowanych praw i na ich podstawie teorii tworzcych nauk [Bobrowski 1998]. Zasada przyczynowoci jest podstaw skrajnego determinizmu w pogldzie na zjawiska zachodzce w otaczajcej nas rzeczywistoci, formułowane w postaci jednoznacznej odpowiedzi na pytania: - czy kade zjawisko ma ustalon jednoznacznie przyczyn? ; - czy kada przyczyna ma jednoznacznie okrelony skutek?. Modelowe przedstawianie rzeczywistoci z koniecznoci wielu ogranicze opiera si na deterministycznym pojmowaniu zjawisk, wykorzystujcym newtonowski pogld na otaczajcy nas wiat. W takim ujciu obiekt bada pokazano na rys.2.2, wyodrbniajc jako główne: zmienne wejciowe, zmienne zakłóce, zmienne stanu oraz zmienne wyjciowe. Zbiór zmiennych wejciowych X, zwany take wymuszeniami, okrela oddziaływania urzdze lub warunki pracy obiektu (zasilanie, sterowanie) podczas diagnozowania. W badaniach stanu maszyn przyjmuje si, e zbiór X zmiennych wejciowych jest niezmienny (stały podczas badania), by wszelkie zmiany sygnałów diagnostycznych były spowodowane jedynie zmian stanu badanej maszyny. Zbiór X zawiera te zmienne stanu maszyny, zwanych take cechami stanu, opisujce aktualny stan badanej maszyny. Stan badanej maszyny jest okrelony jeli znane s wartoci wszystkich, istotnych wzgldem kryterium decyzyjnego, niezalenych cech stanu. Zbiór niezalenych cech stanu jest zbiorem minimalnym, poniewa nie zawiera cech zbdnych, nie wnoszcych dodatkowych informacji o stanie maszyny. X Zakłócenia Z S uszkodzenia A (X, S) symptomy n m m n Rys.2.2 Opis modelu maszyny Zbiór Z zmiennych zakłóce obejmuje: - warunki otoczenia: wilgotno, temperatur, stan czystoci atmosfery, których dokładne ustalenie nie jest moliwe; - warunki diagnozowania: obcienie, prdko obrotowa, temperatura płynów eksploatacyjnych, których równie ustalenie na stałym poziomie jest niemoliwe; - cechy stanu obiektu, które nie zostały uwzgldnione w prowadzonych badaniach; - błdy: urzdze diagnostycznych, bloków pomiarowych, dopasowujcych itp.

Zbiór S zmiennych wyjciowych przedstawia zbiór sygnałów wyjciowych traktowanych w diagnostyce technicznej jako sygnały diagnostyczne. Przyczynowo i determinizm opisu stanu maszyny zostaj coraz czciej modyfikowane przez zasad nieoznaczonoci, traktujc otaczajcy nas wiat w kategoriach losowoci. Pocztkowo zjawiska losowoci opisywano w kategoriach prawdopodobiestw i przy pomocy metod statystycznych, skrywajc niewiedz ludzk dalej w modelach deterministycznych. Przekonanie o tym, e wiat jest newtonowski, musiało ustpi pod naciskiem koncepcji kwantowego i relatywistycznego poznawania wiata. Mechanika kwantowa zrywa ostatecznie z pełnym determinizmem, a zasada nieoznaczonoci Heisenberga okrela stopie niedokładnoci pomiarów podstawowych wielkoci fizycznych - połoenia i pdu : x p x h, stała Plancka h = 6,62 x 10 34 Js (1) 4Π Zwikszenie dokładnoci pomiaru połoenia czstki zmniejsza dokładno pomiaru jej pdu i na odwrót. To samo dotyczy pomiarów energii i czasu i nie ma to nic wspólnego z dokładnoci przyrzdów pomiarowych: h E t (2) 2 Π Energi w danym stanie mona wyznaczy tym dokładniej, im dłuej czstka przebywa w tym stanie. Dla okrelenia przyszłego stanu czstki naley zna dokładnie jej pocztkowe połoenie i pocztkow prdko, co w myl zasady nieoznaczonoci nie pozwala przewidzie dokładnie przyszłego połoenia czstki. Dlatego, nawet najlepiej zorganizowany i przeprowadzony eksperyment nie zapewnia powtarzalnoci wyników, co oznacza, e losowo decyzji o stanie jest koniecznoci nie do uniknicia. Dopiero stworzenie teorii chaosu deterministycznego, opartego na nieliniowych transformacjach deterministycznych pozwala na przyblione opisywanie zjawisk w warunkach losowoci. Z chaosem deterministycznym cile zwizane jest wystpowanie tzw. atraktorów, którymi s zazwyczaj nieokresowe trajektorie przycigajce inne trajektorie ze swego otoczenia. Prowadzi to wprost do teorii fraktali, gdzie cechy fraktalne (powtarzajce si) propaguj si w przestrzeni, stanowic dobre przyblienie systemów rozwijajcych si. Chaos deterministyczny wprowadza niepewno bardziej ogóln ni zasada nieoznaczonoci Heisenberga. W ostatnich latach dla wielu systemów analizowanych metodami statystycznymi udało si efektywnie wyznaczy atraktory, precyzyjnie prognozujce ewolucj tych systemów, co przekonuje, e chaos nie zawsze jest zjawiskiem negatywnym. Dodanie losowego szumu do systemu nie zaburzonego moe prowadzi do statystycznej stabilnoci lub okresowoci ewolucji systemu. ródłem chaosu mog take by niedokładnoci w okrelaniu parametrów wystpujcych w modelu, znane jako zjawisko bifurkacji i prowadzce do błdów w procesie wnioskowania o stanie. Tak wic nowoczesne traktowanie obiektów i zjawisk, opisywanych w kategoriach chaosu zdeterminowanego, daje nowe metody analizy systemów deterministycznych zaburzanych losowo. Przedstawione problemy zdecydowanie zmieniaj dotychczasowe podejcie do zagadnie modelowania stanu dynamicznego maszyn, a take dobrze obrazuj uznane, lecz mało dokładne, deterministyczne załoenie metodologiczne: maszyna jest urzdzeniem zdeterminowanym, gdzie kademu stanowi odpowiadaj jednoznaczne objawy, na którym buduje si tradycyjnie model maszyny.

Przekonanie o tym, e wiat jest newtonowski - ustpuje pod naciskiem koncepcji holistycznego (kwantowego i relatywistycznego) poznawania wiata, stajc si ródłem nowych koncepcji i obszarów bada. 4.2 Idealizacja układów Przeprowadzajc analiz teoretyczn dowolnego rzeczywistego układu fizycznego lub technicznego trzeba go idealizowa, pomijajc szereg mniej wanych, drugorzdnych jego właciwoci. Modelowany układ rzeczywisty jest wic zwykle zastpowany podczas analizy teoretycznej układem wyidealizowanym, zwanym układem zastpczym [19]. W przypadku drga mechanicznych układ zastpczy składa si z punktów materialnych i brył nie odkształconych, obarczonych pewnymi wizami sztywnymi i odkształcalnymi, których mas pomijamy, moe take zawiera odkształcalne elementy o cigłym rozkładzie masy. Zasadnicze uproszczenia, których dokonujemy przechodzc od rzeczywistego do zastpczego układu mechanicznego dotycz: liczby stopni swobody, zalenoci sił sprystych od odkształce, charakteru sił oporu oraz innych sił nie zachowawczych, a take sposobu działania obcie zewntrznych. Układ zastpczy moe wic by bardziej lub mniej złoony, w zalenoci od konkretnych potrzeb. Bardziej złoony układ zastpczy lepiej odzwierciedla cechy układu rzeczywistego, ale wymaga złoonej analizy matematycznej. Układ prostszy, wprawdzie gorzej ujmuje cechy układu rzeczywistego, jednak analiza jego jest prostsza. Zbudowanie układu zastpczego w konkretnym przypadku badanej konstrukcji wymaga dokładnej analizy charakteru obcie, odkształce oraz sił wewntrznych działajcych w rozwaanym układzie. Mona zatem stwierdzi, e dowolny układ mechaniczny mona zamodelowa: - układami dyskretnymi o skoczonej liczbie swobody lub cigłymi o nieskoczonej liczbie swobody; - układami liniowymi lub nieliniowymi w zalenoci od tego, czy s opisane liniowymi czy nieliniowymi równaniami róniczkowymi. Charakterystyki spryste i tłumienia wystpujce w maszynach i konstrukcjach s z reguły nieliniowe. Na ich nieliniowo maj wpływ nastpujce czynniki: - tzw. czynniki typu "naturalnego", wynikajce z konstrukcji i przeznaczenia maszyn, jak: tarcie suche, tarcie konstrukcyjne itp.; - tzw. czynniki "programowe", wystpujce na skutek odpowiedniego doboru spryn, stosowania luzów oraz nieliniowych amortyzatorów i tłumików. Wikszo nieliniowoci, spotykanych w układach drgajcych, pochodzi od tłumienia i sił sprystych. W wielu układach rzeczywistych tłumienie jest złoone i pochodzi od tarcia suchego, tarcia wiskotycznego, wewntrznego i konstrukcyjnego. Człony spryste wykazuj równie zmienno współczynnika sprystoci w zalenoci od odkształce. Wszystkie spryny s do pewnego stopnia nieliniowe. Oznacza to, e przy duych odkształceniach siła sprystoci wystpujca w sprynie nie jest wprost proporcjonalna do odkształcenia. Dla małych ugi elementów sprystych, pomija si nieliniowoci, przyjmujc charakterystyk spryst jako liniow. Przy duych ugiciach zastpuje si charakterystyk nieliniow zlinearyzowan charakterystyk o zastpczym współczynniku sprystoci. W przypadku układów sprystych z tworzyw sztucznych lub układów, w których wystpuj luzy, nie mona pomin nieliniowoci, poniewa prowadzi to do powanych błdów. W wielu przypadkach mona zaobserwowa wpływ nieliniowoci spryn na zachowanie si układu. Problematyk budowania układów zastpczych zajmuje si teoria modelowania. Modelowanie to budowa modelu (układu zastpczego) obiektu rzeczywistego, który w odniesieniu do dynamiki maszyn jest modelem fizycznym oraz matematycznym modelem

opisu zachowania si modelu w rónych, modelowanych przypadkach. Oba etapy modelowania s ze sob zwizane i czsto prowadzi si je równolegle. W procesie budowy modelu fizycznego trzeba przede wszystkim okreli układ, wydzieli go z otoczenia oraz ustali sposób oddziaływania otoczenia na układ i układu na otoczenie. Nastpnie naley ustali struktur układu, czyli okreli jego elementy i poda sprzenia midzy nimi [16]. W literaturze technicznej opisano kilka podstawowych procedur upraszczania modeli podstawowych. Do najwaniejszych nale: - pomijanie jednego lub wicej elementów zmiennych opisowych i reguł opisujcych reakcj; - zastpowanie jednej lub wielu zmiennych losowych przez zmienne deterministyczne; - uogólnianie zakresu jednej lub wikszej liczby zmiennych opisowych; - grupowanie elementów w bloki i okrelenie zmiennych opisowych dla bloków. Rozwizujc zadania z dynamiki mona formułowa pytania typu jakociowego, np. czy układ jest stateczny lub typu ilociowego, np. jakie s wartoci amplitudy drga lub wystpujcych sił. Do tego potrzebny jest dobry model matematyczny opisujcy rozwaany model układu. Kad maszyn w opisie strukturalnym mona przedstawi za pomoc trzech parametrów: masy m, sztywnoci k oraz tłumienia c, za w ujciu funkcjonalnym za pomoc parametrów procesu drganiowego. 4.3 Liczba stopni swobody Trudnoci w badaniu dynamiki układów mechanicznych w znacznej mierze zale od liczby stopni swobody. Liczb stopni swobody układu mechanicznego nazywamy liczb niezalenych współrzdnych, jednoznacznie okrelajcych połoenie wszystkich punktów materialnych układu. W układach mechanicznych odwzorowywanych procesami drganiowymi połoenie punktów układu zmienia si z upływem czasu, czyli współrzdne te s funkcjami czasu i do ich opisu stosowane najczciej s równania róniczkowe [22,40]. Równania róniczkowe przedstawiaj stan równowagi dynamicznej układu, czyli stan równowagi dynamicznej sił działajcych na układ w czasie jego ruchu. Liczba tych równa zaley od liczby stopni swobody układu. Pod pojciem stopnia swobody układu bdcego punktem materialnym lub brył doskonale sztywn rozumie si moliwy ruch prosty niezaleny od innych ruchów wykonywanych przez układ. Liczba stopni swobody układu jest wic liczb niezalenych ruchów prostych wykonywanych przez układ. Swobodny punkt materialny ma wic trzy stopnie swobody, za swobodna bryła doskonale sztywna sze stopni swobody (trzy translacje i trzy obroty wzgldem osi x, y, z). Ograniczenia nałoone na ruch ciał nazywane wizami, odbieraj pewn liczb stopni swobody (w skrajnym przypadku wszystkie stopnie swobody). Podczas ruchu nieswobodnego układu pojawiaj si w wizach siły reakcji, które naley uwzgldni w rozwaaniach równowagi dynamicznej. Dowolny układ mechaniczny posiada nieskoczenie wiele punktów materialnych, a w zwizku z tym nieskoczon liczb stopni swobody. Przy rozwizywaniu zagadnie praktycznych wygodnie jest posługiwa si uproszczonymi układami, które charakteryzuj si skoczon liczb swobody. W takich uproszczonych układach obliczeniowych niektóre elementy przyjmuje si jako bezmasowe odkształcalne wizy, elementy, którym przypisuje si mas punktow lub traktuje si je jako bryły sztywne. 4.4 Linearyzacja charakterystyk obiektów Model matematyczny obiektu lub procesu, stanowic pewn idealizacj rzeczywistoci, moe by w ogólnoci liniowy lub nieliniowy, co zaley od właciwoci równa opisujcych stan modelu. Wyrónia si kilka typów nieliniowoci charakterystyk

członów wykonawczych, siłowników, zaworów, m.in.: - geometryczne, zwizane ze zmiennym połoeniem lub luzem w połczeniach elementów; - fizyczne, wynikajce z właciwoci materiałów; - strukturalne, opisujce zaleno momentu bezwładnoci od połoenia elementu lub zmiany połoenia rodka jego masy. Charakterystyki sił sprystoci i tłumienia w rzeczywistych układach najczciej s opisywane nieliniowymi funkcjami przemieszcze lub prdkoci ich elementów. Naley podkreli, e czsto celowo wprowadza si elementy o charakterystykach nieliniowych w celu uzyskania podanego zachowania si badanego układu. W badaniach praktycznych dopuszcza si czsto rozwaania ograniczone do małych drga (przesuni) mas modelu, co pozwala na liniowy opis modelu. S jednak przypadki, w których przyjmowanie przebiegu stycznej do nieliniowej charakterystyki (warunek liniowoci) zamiast uwzgldnienia jej rzeczywistego kształtu ogranicza moliwoci analizy zachowania si modelu przy znacznych wymuszeniach i obcieniach. Układy nieliniowe nie poddaj si zasadzie superpozycji (sumowania) rozwiza szczególnych. Pierwszym krokiem podczas analizy złoonego nieliniowego układu dynamicznego jest rozwaenie jego struktury pod ktem moliwoci wydzielenia członów liniowych. Operacj pokazan na rys.2.3 prowadzi si na drodze przekształce nieliniowych równa opisujcych model matematyczny. Wybór metody dalszego postpowania zaley od oszacowania znaczenia i wpływu wydzielonego członu nieliniowego na przebieg odpowiedzi badanego układu. W analizie układów nieliniowych istotnym problemem jest take zbadanie ich stabilnoci. x 0 człon człon y liniowy nieliniowy Rys.2.3 Szeregowe połczenie członów układu dynamicznego Stosowanie metod linearyzacji podczas badania modeli nieliniowych pozwala w wielu przypadkach sprowadzi układy równa nieliniowych do postaci, w której moliwe jest zastosowanie metod właciwych dla analizy układów liniowych [19,51]. W metodzie linearyzacji bezporedniej funkcje nieliniowe wystpujce w równaniach modelu matematycznego s zastpowane przez ekwiwalentne zalenoci przyblione, o charakterze liniowym. Krokiem podstawowym w tej operacji jest rozłoenie funkcji nieliniowej w szereg Taylora wokół wartoci redniej argumentu tej funkcji. Zakłada si przy tym, e sygnał wejciowy jako argument nieliniowej funkcji, jest przebiegiem stacjonarnym i o rozkładzie normalnym. Szersze zastosowanie ma metoda linearyzacji statystycznej, która jest stosowana wówczas, gdy na wejciu członu nieliniowego jest sygnał o strukturze losowej, a charakterystyki statystyczne tego sygnału s znane. Współczynniki linearyzacji s wyznaczane na podstawie zalenoci, które wynikaj z przyjtych kryteriów równowanoci statystycznej. Zwykle rozwaa si dwa kryteria równowanoci statystycznej : - równo wartoci oczekiwanej i wariancji funkcji nieliniowej i aproksymujcej; - minimalizacja wartoci redniej kwadratu rónicy funkcji nieliniowej i funkcji aproksymujcej. Przebiegi funkcji aproksymujcych dobrze opisuj właciwoci funkcji nieliniowych w bliskim otoczeniu wartoci redniej jej argumentu (wymuszenia). S zatem dopuszczalne podczas analizy małych przemieszcze wokół połoenia równowagi, okrelanego zwykle redni wartoci wymuszenia. Specjalistyczna literatura [1,6,14,33,51] wskazuje na istnienie wielu metod

linearyzacji charakterystyk nieliniowych, do których nale: linearyzacja zwykła, linearyzacja prostoktna, linearyzacja wg J.G. Panowki, linearyzacja energetyczna, linearyzacja harmoniczna. 4.5 Zasada prac przygotowanych Przesuniciem przygotowanym (wirtualnym) nazywa si elementarne przesunicie punktu materialnego, zgodnie z wizami. Oznacza to, e przesunicie przygotowane jest przesuniciem pomylanym i nie przedstawia rzeczywistego przemieszczenia punktu. Sens geometryczny przesuni przygotowanych obrazuj nastpujce przykłady. Jeli punkt znajduje si na powierzchni, to przesunicie przygotowane jest styczne do tej powierzchni; jeli punkt znajduje si na linii krzywej, to przesunicie jest styczne do tej linii; jeli dwa punkty znajduj si w stałej odległoci, to rzuty przesuni przygotowanych obu punktów na prost je łczc s równe [19,31]. Warunkiem koniecznym i wystarczajcym równowagi układu materialnego jest zerowanie si sumy prac przygotowanych wszystkich sił i reakcji wizów przy dowolnym przesuniciu przygotowanym. Poniewa z załoenia wszystkie punkty materialne układu znajduj si w równowadze, to dla kadego punktu winno by spełnione równanie: P R = 0 i =1,2,..., w (3) i i gdzie: P i wypadkowa sił czynnych; R i wypadkowa reakcji wizów. Zadajc tym punktom przesunicia przygotowane, gdzie wypadkowa sił czynnych i reakcji wizów jest dla kadego punktu równa zeru, otrzymuje si: P δ r + R δr = 0 (4) i i i W układach mechanicznych wystpuj wizy idealne, których reakcje spełniaj równanie: w R i δ r i = 0 (5) i = 1 Zatem, w układach o wizach idealnych zasada prac przygotowanych sprowadza si do postaci: w w R δ r = ( P δ x + P δ y + P δ z ) = 0 (6) i i i = 1 i = 1 ix i W przypadku ogólnym na układ materialny oprócz sił skupionych P i mog działa pary sił o momentach M i oraz siły powierzchniowe i objtociowe o intensywnociach odpowiednio p A oraz p V. Zasada prac przygotowanych przyjmuje wic posta: n n n 1 2 j u j = Pi δ ri + M iδ ϕ i + p Aδ rada + pvδ rv dv = j= 1 i= 1 i= 1 A V i iy F δ 0 (7) Z przedstawionego równania wynika sposób wyznaczania sił uogólnionych : - okreli siły działajce na układ; - okreli liczb stopni swobody i wybra współrzdne uogólnione; - zada układowi przesunicia przygotowane i obliczy prac sił na tych przesuniciach zgodnie z równaniem (7); - wszystkie przesunicia przygotowane wyrazi w funkcji współrzdnych uogólnionych; po uporzdkowaniu wyraenia przy odpowiednich uogólnionych przesuniciach przygotowanych s siłami uogólnionymi. 4.6 Współrzdne uogólnione Model fizyczny systemu mechanicznego odzwierciedla na ogół segment, który hasłowo mona okreli jako "mechaniczne własnoci, procesy i zwizki". W tym segmencie i iz i

jest badany ruch systemów w obecnoci obcie. Model fizyczny przedstawia układ punktów lub ciał materialnych, które w uproszczonej postaci odzwierciedlaj jego elementy. Midzy tymi punktami lub ciałami istnieje układ wzajemnych oddziaływa. W mechanice nazywaj si one wizami i odzwierciedlaj relacje, midzy elementami systemu. Punkty materialne lub ciała, tworzce model fizyczny, pozostaj w spoczynku lub poruszaj si i s poddawane działaniu obcie w postaci sił i momentów. W celu wykonania opisu sformalizowanego modelu fizycznego naley przede wszystkim ustali układ odniesienia. Wielkoci przyjte jako współrzdne punktów lub ciał materialnych powinny w sposób prosty i dogodny opisywa ich połoenie. Zmiana w czasie tych współrzdnych odzwierciedla ruch elementów tworzcych system. W mechanice oraz teorii maszyn i mechanizmów do opisu stanu badanego systemu najczciej wykorzystuje si układ współrzdnych prostoktnych, zwany równie kartezjaskim. Przestrze, okrelona przez układ współrzdnych kartezjaskich, musi by jednorodna i izotropowa. Taki układ współrzdnych jest inercjalny, co oznacza, e ciało swobodne, które jest w stanie spoczynku w pewnej chwili, bdzie stale pozostawa w tym stanie. Natomiast ruch swobodny ciała odbywa si z prdkoci stał co do modułu i kierunku; zmiana tego ruchu moe si odby pod wpływem siły, w kierunku jej działania i jest do niej proporcjonalna. Innymi słowy, w układzie inercjalnym zachowanie ciał materialnych podlega prawom Newtona. Połoenie punktu materialnego w przestrzeni okrela uporzdkowana trójka liczb wyznaczajca koniec wektora wodzcego w układzie współrzdnych kartezjaskich. Połoenie ciała materialnego jest okrelone za pomoc wektora wodzcego, którego koniec wyznacza dowolny punkt zwizany z tym ciałem oraz trzech któw, okrelajcych połoenie tego ciała wzgldem drugiego, nieruchomego układu współrzdnych, którego pocztek znajduje si w tym punkcie [19]. Model fizyczny systemu mechanicznego składa si przewanie z wielu punktów lub ciał; połoenie kadego z nich musi zosta zapisane w sformalizowanym opisie modelu. Dlatego dla badania ruchu i obcie modelu fizycznego złoonego z wielu punktów lub ciał materialnych, wykorzystuje si wielowymiarow przestrze współrzdnych uogólnionych, okrelon w układzie współrzdnych kartezjaskich. Jeeli model fizyczny systemu mechanicznego jest zbudowany z punktów materialnych, to jego połoenie okrelaj współrzdne uogólnione tych punktów: q 1, q 2,..., q v. Jeeli w skład modelu wchodz ciała materialne, to oprócz tych współrzdnych, trzeba poda współrzdne uogólnione, które reprezentuj ich połoenia ktowe: ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ v,.... Poniewa rozpatrywany jest na ogół system dynamiczny, współrzdne uogó1nione s najczciej funkcjami czasu. Liczba niezalenych współrzdnych, które s potrzebne do okrelenia połoenia wszystkich punktów materialnych lub ciał, tworzcych model fizyczny badanego systemu mechanicznego, nazywa si liczb stopni swobody. Ta liczba okrela wymiar przestrzeni współrzdnych uogólnionych. Załómy, e sporód i = 1, 2,..., I elementów tworzcych zbiór modelu cybernetycznego systemu, w skład modelu fizycznego wchodzi: i = 1, 2,..., I < 1 elementów, które odzwierciedlono w postaci swobodnych punktów materialnych. Poniewa kady swobodny punkt materialny, w układzie współrzdnych kartezjaskich ma trzy stopnie swobody, to połoenie wszystkich punktów tworzcych model fizyczny da si zapisa za pomoc K=N=3I niezalenych współrzdnych uogólnionych: q 1, q 2,..., q N. Jeeli elementy systemu zostały w modelu fizycznym odzwierciedlone jako swobodne ciała materialne, to kade z nich ma w układzie współrzdnych kartezjaskich sze stopni swobody. Dla okrelenia połoenia takiego układu I ciał naley poda N przemieszcze uogólnionych: q 1, q 2,...,q v, q N, oraz N uogólnionych któw obrotu: ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ v, ϕ N, co czyni:

K=2N=6I niezalenych współrzdnych uogólnionych. Znajomo współrzdnych uogó1nionych w danej chwili wystarcza do okrelenia połoenia ale nie wystarcza do pełnego okrelenia stanu systemu, reprezentowanego przez model fizyczny, gdy nie pozwala przewidywa połoenia systemu w przyszłoci. Dopiero jednoczesna znajomo wszystkich uogó1nionych połoe, któw oraz prdkoci postpowych i obrotowych, całkowicie okrela stan systemu i pozwala przewidzie jego dalszy ruch. Stan systemu opisany za pomoc połoe i prdkoci uogó1nionych pozostaje w cisłej zalenoci z obcieniami, które na ten system działaj. W systemach mechanicznych te obcienia mog pochodzi od działania sił i momentów zewntrznych oraz od reakcji wizów, które wymuszaj odpowiedni ruch elementów systemu, zapewniajc jego skoordynowane funkcjonowanie [19]. 5. MODELOWANIE OBIEKTÓW DYNAMICZNYCH Modelowanie to budowa modelu nominalnego, który w odniesieniu do dynamiki maszyn jest modelem fizycznym oraz opis jego modelem matematycznym. Oba te etapy s ze sob zwizane i czsto prowadzone równolegle. W procesie budowy modelu fizycznego trzeba okreli układ, wydzieli go z otoczenia oraz ustali sposób oddziaływania otoczenia na układ i układu na otoczenie. Nastpnie naley ustali struktur układu, czyli okreli jego elementy i poda sprzenia midzy nimi. Model fizyczny to utworzony układ fizyczny, odpowiadajcy rzeczywistemu układowi pod wzgldem cech istotnych dla badanego zagadnienia, ale prostszy i poddajcy si łatwiej studiom analitycznym. Uproszczone modele fizyczne układów rzeczywistych pozwalaj szybko i dokładnie przewidywa rzeczywiste własnoci dynamiczne projektowanych konstrukcji. Tworzc fizyczny model układu przyjmuje si wiele załoe przyblionych co do uproszcze matematycznych opisu rzeczywistoci, jednoczenie zapewniajc dostatecznie dokładne odtworzenie rzeczywistoci. Niej wymieniono rodzaje przyblie technicznych, które okazuj si przydatne i daj si stosowa w rónym stopniu w rónych zagadnieniach: - pomijanie małych wpływów (zmniejsza liczb zmiennych, a wic i równa ruchu, np. gradient siły cikoci nie jest istotny dla samolotu, a istotny dla statku kosmicznego); - załoenie, e układ badany nie powoduje zmian w otaczajcym go rodowisku (np. pobudzenie jest niezalene od reakcji układu); - zastpowanie parametrów rozłoonych przez parametry skupione [y(x,t); y(t); lub skupionych w kilku punktach y 1 (t), y 2 (t), y 3 (t)]. Zatem zamiast równa róniczkowych czstkowych, stosowa mona równania róniczkowe zwyczajne; - zakładanie prostych liniowych zalenoci midzy zmiennymi fizycznymi opisujcymi przyczyni i skutki; przyblienia liniowe s niezwykle pomocne dla uproszczenia analizy matematycznej ruchu układu; równanie róniczkowe zwyczajne liniowe ma posta: d n x d n 1 x d 2 x A + A +... + A + A n n n 1 1 2 2 1 dt dt n dt d m y d m 1 y d 2 y + B + B +... + B + m m m 1 m 1 2 dt dt dt 2 dy + B + B y +... = f ( t ) 1 dt 0 dx dt + A x + 0 Zmienne x, y s funkcjami tylko zmiennej niezalenej t, a współczynniki A, B mog zmienia si w funkcji czasu, ale nie w funkcji x, y. Wyraz f(t) moe by dowoln funkcj czasu, ale nie zaley od zmiennych x, y. W równaniu nie mog wystpowa iloczyny (8)

zmiennych lub ich pochodnych, takie jak: xy, x 2, xx, yy. Przykład zwyczajnego liniowego równania róniczkowego: d 2 x dx 3 + 14 + (sin 4t) x = 5t 3 (9) dt 2 dt Jeli współczynniki A, B s stałe, to równanie jest stacjonarne (o stałych współczynnikach). Modele liniowe - uproszczone rozwizanie układu linearyzowanego moe obowizywa tylko w ograniczonym zakresie zmian stanów obiektów (np. spryna, rezystor). - załoenie, e parametry fizyczne nie s funkcj czasu (zmiana długoci w czasie kilka modeli dla rónych długoci); - unikanie nieokrelonoci i pomijanie szumów (determinizm, ucieczk od statystycznego traktowania zagadnie). cisły opis ruchu układu fizycznego w ogólnym przypadku daje układ równa róniczkowych nieliniowych, o pochodnych czstkowych. Podane sze przyblie sprawia, e model fizyczny układu staje si łatwiejszy do analizy matematycznej, która jest znacznie uproszczona czsto o całe rzdy wielkoci. Opis sformalizowany modelu fizycznego polega na ułoeniu matematycznych relacji równoci lub nierównoci, które wynikaj ze zbilansowania wielkoci, podporzdkowanych bezporednio lub porednio prawom zachowania lub zasadom dynamiki. S to na ogół wielkoci charakteryzujce ruch i obcienia wystpujce w modelu fizycznym takie jak: siły i momenty, masa, energia, pdy, krty itp. Istniej dwie metody tworzenia relacji matematycznych w opisach sformalizowanych, systemu mechanicznego. Pierwsza, to droga analityczna, wynikajca z wiedzy o modelowanym systemie, jego własnociach i zachodzcych w nim procesach i zwizkach. Druga droga - empiryczna, która zasadza si na zalenociach korelacyjnych i jest wykorzystywana przy braku adekwatnej teorii, moliwej do zastosowania. Metoda analityczna opiera si głównie na zasadzie d'alemberta i zasadzie najmniejszego działania. 5.1 Modele utworzone według zasady d'alemberta Zasada d'alemberta jest jedn z podstawowych zasad róniczkowych, która pozwala sprowadzi trudne zadania z dynamiki systemów mechanicznych do postaci łatwiejszej do rozwizania. Zakładajc, e połoenie i-tego ciała okrela sze współrzdnych uogólnionych: q v = 1, 2,...,6, mona łatwo zapisa równania ruchu dla tego ciała we współrzdnych kartezjaskich [19]: m m m I I I i i i ix iy iz.. x.. y.. z i i i.. = = = a α = 1 a P ixα + b β = 1 b Piy α + α = 1 β = 1 a α = 1 a P α = 1 izα + b β = 1 R ixβ R R b β = 1 iyβ izβ ϕ = M + M (10).. ϕ ix iy.. = a α = 1 + ϕ = iz M a α = 1 ixα iyα M + izα b β = 1 + M b β = 1 ixβ iyβ M izβ

Model matematyczny (10) jest układem równa róniczkowych drugiego rzdu, opisujcych ruch i-tego ciała materialnego, na które działaj siły zewntrzne (czynne) i reakcje (bierne). Sposób w jaki te siły zostan odzwierciedlone decyduje czy te równania bd liniowe czy nie, co jak wiadomo, ma istotny wpływ na sposób ich rozwizywania. Układ równa (10) mona napisa dla kadego ciała, które w modelu fizycznym reprezentuje jaki element modelowanego systemu mechanicznego. Poniewa reakcje pochodzce od wzajemnych relacji midzy elementami równowa si, to przez odpowiednie podstawienia mona je wyeliminowa i uzyska układ równa ruchu dla modelu całego systemu. Przez całkowanie równa ruchu, w zalenoci od charakteru danych i niewiadomych, mona rozwizywa pierwsze lub drugie zadanie mechaniki. Wstawiajc do układu (10) przemieszczenia: x i = y i = z i = const. oraz kty obrotu: ϕ ix = ϕ iy = ϕ iz = const., uzyskuje si równania równowagi i-tego ciała modelu fizycznego, pozostajcego w stanie statycznym: a α = 0 a α = 1 b + P ix α Rixβ = 0 P iy Riyβ = 0 β = 0 b + a α = 1 + M ix α M ixβ = 0 M iy M iyβ = 0 β = 1 a α = 1 + b a b α P iz α Rizβ = 0 β = 1 α = 1 β = 1 + + b a b α M iz M izβ = 0 β = 1 α = 1 β = 1 α (11) Układ równa (11) jest powszechnie wykorzystywany do badania statycznych modeli systemów mechanicznych. 5.2 Modele utworzone według zasady najmniejszego działania Zasada najmniejszego działania, znana w mechanice jako zasada Hamiltona, jest najogólniejszym prawem ruchu w systemach zachowawczych (tzn. takich, w których nie zachodzi rozpraszanie energii). Zgodnie z t zasad, dla modelu fizycznego kadego systemu zachowawczego mona sformułowa funkcje stanu w postaci Lagrange'a. Jeeli system przemieszcza si z punktu 1 w chwili t 1 do punktu 2 w chwili t 2 to działanie w sensie Hamiltona jako funkcja stanu systemu, przyjmuje warto minimaln z zalenoci: t 2 dx W = L( x,, t) dt (12) dt t 1 Wyznaczenie takiej funkcji x(t) w przedziale czasu t [t 1, t 2 ), która minimalizuje funkcjonał W jest zadaniem rachunku wariacyjnego. Dla nieskoczenie małych przedziałów czasu zasada najmniejszego działania przyjmuje posta róniczkow i staje si odpowiednikiem trzeciego prawa Newtona, które mówi, e suma sił działajcych na punkt materialny jest równowaona sił bezwładnoci tego punktu. Nie wdajc si w szczegóły mona powiedzie, e po dokonaniu odpowiednich przekształce z zasady najmniejszego działania otrzymuje si model matematyczny w postaci równa Lagrange'a drugiego rodzaju. S to równania róniczkowe zwyczajne rzdu drugiego, które wraz z warunkami pocztkowymi wyraaj równowag sił i momentów. Dla zachowawczych systemów mechanicznych, funkcja Lagrange'a jest rónic.ẋ midzy energi kinetyczn i potencjaln i zaley tylko od x, i t; nie zaley natomiast od pochodnych wyszych rzdów. Potwierdza to fakt, e stan systemu mechanicznego jest całkowicie okrelony przez współrzdne przestrzenne i prdkoci, które s pochodnymi tych współrzdnych. Poza tym funkcja Lagrange'a wyraa stan systemu w danej chwili t i nie zaley od tego w jaki sposób ten stan został osignity.oznacza to, e ta funkcja jest niezalena ad historii systemu. Pozwala to modelowa pewne zjawiska zachodzce w takich systemach jako procesy Markowa. Zasada najmniejszego działania jest bardzo wygodna do budowania modeli systemów mechanicznych, w których równoczenie wystpuj róne rodzaje ruchu, np. w robotach

gdzie mamy do czynienia z ruchem postpowym i obrotowym oraz systemów, w których zachodz przemiany energii, np. w maszynach elektrycznych, gdzie mamy do czynienia z zamian energii mechanicznej na energi pola magnetycznego. 5.3 Wymiary i jednostki układ SI Studium dynamiki maszyn ma zawsze charakter ilociowy. Pomiary s jego nieodłczn czci, a ujcie ilociowe i czas poszczególnych faz ruchu stanowi główny przedmiot zadania. wiat mechaniki mona opisa ilociowo za pomoc podstawowych jednostek układu SI. Zwizki midzy sił i wielkociami geometrycznymi (prdko, przypieszenie, przemieszczenie) maj dominujce znaczenie w dynamice maszyn. Sprawdzanie wymiarów wyraenia winny by tego samego wymiaru, na kadym etapie bada. W trakcie badania analitycznego równa wizów, równowagi, charakterystyk czasowych naley bada zgodno wymiarów, potwierdzajcych poprawno rozwaa. 5.4 Równania ruchu Centralnym zagadnieniem wyprowadzania równa ruchu dla danego modelu układu fizycznego jest sformułowanie zalenoci wyraajcych równowag, opisujcych bilans sił, wydatków przepływów, energii, który musi istnie dla całego układu i dla jego podukładów. Dotyczy to take napisania równa spójnoci opisujcych zalenoci midzy ruchami elementów układu z uwzgldnieniem ich połcze. Ogólnie zatem naley rozway oddzielnie: - wybór zmiennych (przepływu co przechodzi i spadku rónicy stanów); - warunki (równania) równowagi lub spójnoci; - prawa fizyki wynikajce std zalenoci zestawiamy w układ równa ruchu. Przy układaniu równa ruchu modelu mechanicznego naley przestrzega nastpujcej procedury: - zalenoci geometryczne; narysowa układ, okreli współrzdne i ich dodatnie zwroty, zanotowa tosamoci geometryczne, napisa zaleno spójnoci geometrycznej wicej układ; - równowagi sił; napisa zalenoci wynikajce z bilansu sił lub z bilansu energii; - zwizków miedzy geometri układu i siłami; napisa dla poszczególnych elementów układu zalenoci fizyczne midzy siłami i geometri układu. W kocowej fazie sprawdzi, czy jest taka sama liczba niezalenych liniowych równa róniczkowych jak niewiadomych, co umoliwia opisanie stanu układu. Przyblienia liniowe s niezwykle pomocne dla uproszczenia analizy matematycznej ruchu układu. Stan układu w danej chwili opisany przez róniczkowe równania ruchu oraz sygnały wejciowe, okrela jego połoenie na cały czas przyszły. Równania róniczkowe nieliniowe, lepiej opisujce rzeczywiste obiekty, rzadko daj si sprowadzi do postaci nadajcej si do analizy, zwykle za do ich rozwizania konieczne jest zastosowanie maszyny cyfrowej. Stan układu mechanicznego jest okrelany jako zbiór niezalenych współrzdnych połoenia układu oraz ich pochodnych i wyraa si przez połoenia i prdkoci. Rozwizujc równania liniowe, niezalenie czy jest to równanie ze stałymi współczynnikami, czy zalenymi od czasu, to rozwizanie to jest na tyle ogólne, e jest słuszne dla wszystkich wartoci zmiennych opisujcych ruch układu. Rozwizanie równania nieliniowego słuszne jest tylko dla tej szczególnej wartoci zmiennej, dla której zostało otrzymane. Dlatego te własnoci dynamiczne modelu liniowego mona zbada bardziej wyczerpujco i mniejszym nakładem wysiłku, ni poprzez przestudiowanie modelu nieliniowego. Naley jednak pamita, e uproszczone rozwizania układu linearyzowanego moe obowizywa tylko w ograniczonym zakresie zmian jego stanów [19,24,30].

Tak wic, nawet przy zdumiewajcych moliwociach obliczeniowych, z jakich obecnie moemy korzysta przy rozwizywaniu duych układów równa nieliniowych, rola liniowego modelu zachowuje nadal sw warto, gdy pozwala on szybko i dostatecznie dokładnie pozna własnoci dynamiczne badanego układu. Niewiele układów fizycznych wykazuje charakterystyki rzeczywicie liniowe. Przykładowo, zaleno midzy sił i wydłueniem spryny jest zawsze w pewnym stopniu nieliniowa, ale w rozsdnych granicach (w zakresie odkształce liniowych) mona uzna j za liniow. Własnoci dynamiczne tego układu s bliskie tych, które wynikaj z zalenoci doskonale liniowych. Stan układu w danej chwili zwizany jest z energi zmagazynowan w jego elementach, co umoliwia opis zmian stanu układu w kategoriach modeli energetycznych. 5.5 Prawa i zasady Prawa Newtona stwierdzaj ogólne prawidłowoci, którym podlegaj systemy mechaniczne. Zastosowanie tych praw do układania równa ruchu, jest niekiedy utrudnione i nie zawsze prowadzi bezporednio do rozwizania zadania. Dlatego dla utworzenia modelu matematycznego, który pozwoli rozwiza zadanie, wykorzystuje si prawa zachowania i zasady dynamiki, które zostały sformułowane na podstawie praw Newtona. 1. Prawa zachowania Prawa zachowania, zwane równie prawami dynamiki, s ogólnymi twierdzeniami, które mówi jak zmieniaj si prdkoci punktów lub ciał modelu fizycznego w zalenoci od sił czynnych i reakcji wizów. S to prawa zachowania ruchu rodka masy, prawa zachowania pdu, krtu i energii. Przy specjalnych załoeniach dotyczcych sił czynnych i reakcji, kade prawo dynamiki moe bezporednio doprowadzi do całek równa ruchu, systemu mechanicznego. Mimo tego, ruch systemu nie daje si okreli w pełni adnym ze wspomnianych praw, poniewa adne z nich nie pozwala utworzy układu równa ruchu. Dlatego prawa dynamiki s stosowane do tworzenia modeli matematycznych, które odzwierciedlaj proste modele fizyczne, słuce m.in. do rozwizywania zada z kinematyki ruchu systemów. Powszechno praw dynamiki jest podstaw do formułowania analogii midzy innymi dotyczcych systemów mechanicznych, elektrycznych, społeczno-ekonomicznych. W tych ostatnich, odpowiednikiem energii i masy s zasoby finansowe i siła robocza. 2. Zasady dynamiki Ogólne twierdzenia, pozwalajce utworzy model matematyczny, który odzwierciedla skomplikowany model fizyczny (np. urzdzenia mechanicznego ) nosz nazw zasad. Podobnie jak prawa dynamiki, zasady opisuj własnoci ruchu systemu mechanicznego. adna z zasad nie prowadzi bezporednio do całek równa ruchu. Jednak sposób w jaki kada z nich opisuje ruch systemu, pozwala wyprowadzi układ róniczkowych równa ruchu, a nastpnie dokona ich całkowania. Wszystkie zasady dziel si na dwie kategorie, a mianowicie na zasady róniczkowe i całkowe. Do pierwszej kategorii nale: zasada d'alemberta, zasada prac przygotowanych i zasada najmniejszego działania lub wymuszenia. Wszystkie one maj posta równa lub nierównoci róniczkowych. Zasady w postaci róniczkowej stosuj si do modeli fizycznych systemów mechanicznych, zarówno z wizami geometrycznymi jak i kinematycznymi, przy czym te ostatnie mog by całkowalne lub niecałkowalne. Do zasad w postaci całkowej nale: zasady stacjonarnego działania w postaci Hamiltona lub Lagrange'a i zasada Helmholtza. Te zasady nie stosuj si do systemów z nie całkowalnymi wizami róniczkowymi. Załómy, e model fizyczny systemu mechanicznego składa si z punktów materialnych. Stan ruchu układu punktów we współrzdnych

uogólnionych mona zapisa w postaci równa Lagrange'a: d L L = 0 (13) dt qv q v gdzie: L -jest tzw. funkcj stanu według Lagrange'a, równ sumie energii kinetycznej T i funkcji sił czynnych U (czyli energii potencjalnej): L=T+U. Jeeli w czasie od t 1 do t 2 układ przeszedł z połoenia 1 do połoenia 2, to całka funkcji stanu: t 2 W = Ldt (14) t 1 nazywa si działaniem w sensie Hamiltona. Przyjmujc t zasad za punkt wyjcia mona wyprowadzi równania ruchu układu punktów lub ciał materialnych, tworzcych model fizyczny systemu mechanicznego. Budow modelu dynamicznego konstrukcji realizuje si w procesie analitycznych przekształce równa sformułowanych do opisu dynamiki układu, albo na podstawie wyników bada przeprowadzonych na obiekcie rzeczywistym. Opracowanie modelu systemu, odzwierciedlajcego własnoci dynamiczne systemu i charakterystyki wektora wymusze w szerokim zakresie warunków ruchu, jest zwykle zadaniem bardzo złoonym (identyfikacja parametrów modelu, utworzenie baz danych eksperymentalnych, weryfikacja eksperymentalna modelu}. 6. MODEL PROCESU DESTRUKCJI OBIEKTU Budujc model dynamiczny obiektu traktuje si go jako układ transformujcy energi [52,53]. Energii uytkowej towarzyszy energia procesu destrukcji, powodujca ewolucj własnoci fizycznych i funkcjonalnych, charakteryzujcych stan techniczny obiektu. Destrukcja techniczna rozumiana jest jako ewolucyjny proces fizyczny prowadzcy do obnienia własnoci. obiektu wskutek działania procesów zuyciowych, oraz procesów starzenia technicznego, korozji, itp. Obiekt, traktowany jako złoony układ mechaniczny, bdcy złoeniem podukładów: napdowego, roboczego i konstrukcji wsporczej, jest systemem mechanicznym o okrelonym przestrzennym rozkładzie mas, sztywnoci i tłumie. Właciwoci dynamiczne systemu s pochodn przestrzennego rozkładu jego parametrów fizycznych oraz warunków brzegowych (sposobu posadowienia maszyny na podłou), a take sposobu jego agregowania ze ródłem napdu. Dla potrzeb analizy dynamicznej badane s modele obiektów (systemów mechanicznych), dzielonych odpowiednio na podsystemy. W silnikach, w układach przenoszenia napdu, oraz w maszynach roboczych do najbardziej obcionych elementów nale łoyska, których uszkodzenie moe prowadzi do katastrofy obiektów, w których s one instalowane. Uszkodzenie moe wystpi w wyniku ewolucyjnego procesu destrukcji lub w wyniku chwilowego przecienia [47]. Dotyczy to moe np. łoysk w obiektach latajcych lub w generatorach w elektrowniach, a take w maszynach roboczych, itp. Niszczenie układu mechanicznego nastpuje wówczas, gdy porcja energii (mocy) spowoduje zmian jego właciwoci strukturalnych lub gdy przy cigłej kumulacji energii nastpi przekroczenie wartoci granicznych, powodujc niszczenie wzła konstrukcyjnego. Procesy te maj wic wymiar energetyczny, tzn., e opisane s przez wielkoci energetyczne (energia, moc). Jeli przyrost pracy sił zewntrznych działajcych na wyodrbniony element systemu jest wikszy od dopuszczalnego przyrostu energii wewntrznej, nastpuje zmiana konfiguracji struktury na zaburzon, co oznacza destrukcj tego fragmentu struktury. W wytrzymałoci materiałów odkryto, i bezporedni przyczyn uszkodzenia materiału jest utrata statecznoci

równowagi wewntrznej w odkształconym materiale [28]. Do teoretycznego wyznaczenia niebezpiecznych (ze wzgldów wytrzymałociowych) stanów odkształcenia niezbdna jest znajomo fizycznego modelu materiału zdefiniowanego za pomoc gstoci energii odkształcenia [15]. Zgodnie z natur procesów, zjawisko degradacji wzłów konstrukcyjnych struktur mechanicznych, w tym obiektów technicznych, opisywane moe by poprzez wielkoci energetyczne, przy spełnieniu holistycznoci modelowania [8,25,40,50,51]. W układzie fizycznym jedn wspóln nierozłczn cało tworz zarówno jego parametry fizyczne jak równie wzajemne oddziaływania i zewntrzne wymuszenia. Macierz charakterystyk dynamicznych systemu mechanicznego w opisie holistycznym mona zdefiniowa nastpujco [27]: H 11[ jω, D11 ( Θ) ] H1 n [ jω, D1 n ( Θ) ] {H ik (jω,d(r,θ))} = H [ ( Θ) ] [ ( Θ) ] (15) n1 jω, Dn 1 H nn jω, Dnn Z powyszego wynika, i elementy macierzy charakterystyk dynamicznych: H ik (jω,θ) s funkcj przestrzennej miary destrukcji D ik (r, Θ). Zmiany parametrów fizycznych w dyskretnym modelu układu mechanicznego, tj. parametrów masowych (macierz mas M), sprystych (macierz sztywnoci K) i dyssypacyjnych (macierz tłumienia C) opisuj operatory dynamiczne G[D(r,Θ,t], zalene od miar degradacji D ik (Θ), gdzie i, k s współrzdnymi punktów wzłowych maszyny, Θ - jest czasem długim, czasem ewolucji dynamicznej obiektu, t - jest czasem biecym zjawisk dynamicznych. Zmiana parametrów mechanicznych systemu mechanicznego (masa, sztywno, tłumienie) powoduje zmian jego charakterystyk własnych, wyznaczanych poprzez transmitancje widmowe oraz charakterystyk eksploatacyjnych, okrelonych np. przez widma odpowiedzi. Zmienna w czasie Θ dynamiczno konstrukcji, opisywana przez macierz charakterystyk dynamicznych {H i (jω,d(r,θ))} moe stanowi dobry symptom destrukcji elementów maszyny. Podstawowym elementem ewolucyjnego procesu destrukcji jest nieodwracalne zjawisko rozpraszania (dyssypacji) energii w systemie [10,27]. Przyczyn rozpraszania (dyssypacji) energii w drgajcych systemach mechanicznych jest tarcie wewntrzne oraz tarcie konstrukcyjne, zachodzce na powierzchniach połczonych nieruchomo elementów', a take tarcie w połczeniach ruchomych (prowadnice, łoyska), oraz take korozja, erozja, itp. [19,21]. W konstrukcjach mechanicznych, poddawanych intensywnym wymuszeniom dynamicznym, instalowane s elementy z materiałów o duym współczynniku tłumienia, absorbujce energi drga. Materiałami wyróniajcymi si zdolnoci do pochłaniania energii s np. kauczuk, korek, eliwo. Rozpraszanie energii w materiałach poprzez tarcie wewntrzne obnia stopie uwielokrotniania drga w strefach rezonansu. Rozpraszanie energii nastpuje take wskutek wystpowania tłumienia hydrodynamicznego i aerodynamicznego (zjawisko flateru). Zjawisko rozpraszania energii jest nieodwracalne. Tarcie jest kocow form rozpraszania energii. Ewolucyjna kumulacja energii prowadzi do destrukcji elementów systemu poprzez zmiany parametrów mechanicznych elementów, np. obnienie sztywnoci, obnienie twardoci, złuszczenie bieni łoysk, pknicia zmczeniowe, erozj zewntrzn materiału, korozj itp. Istot procesów destrukcyjnych jest koncentracja rozpraszanej energii w niewielkich obszarach konstrukcji. Rozwaajc własnoci dynamiczne liniowego układu mechanicznego, w którym wystpuje tłumienie proporcjonalne C [8,28] otrzymuje si: C = αm + βk (16)

gdzie: α, β - współczynniki, M -macierz mas, K - macierz sztywnoci. Tłumienie proporcjonalne wynika z własnoci struktury rozłoonych w sposób cigły (tłumienie histerezowe). Oznacza to, e układ mechaniczny z tłumieniem proporcjonalnym daje si przedstawi w postaci wielu układów o jednym stopniu swobody. Transformacja układu współrzdnych za pomoc przekształcenia [19]: Q = Φ X (17) prowadzi do rozprzenia równa ruchu, gdy: Tr Tr Tr Tr Φ CΦ = Φ ( α M + βk ) Φ = αφ MΦ + βφ KΦ = αm + βk (18) Złoono mechanizmu rozpraszania energii prowadzi do braku stałoci tłumienia dla kadej postaci drga [19]. Tote badania ograniczane s zwykle do wykrycia dominujcego czynnika tłumicego. Wystarczajce jest zwykle wykrycie przyblionych liniowych zwizków midzy macierzami mas, sztywnoci i tłumie [28]. Nieliniowy charakter sił tłumienia (proces dyssypacji energii) oraz sił sztywnoci stanowi o nieliniowoci modelu. Potwierdzeniem istnienia nieliniowoci w układzie fizycznym jest wystpowanie w ustalonej odpowiedzi układu na wymuszenie, składowych o czstotliwociach nie wystpujcych w sile wymuszajcej. Słaba nieliniowo jest zwykle pomijana. W systemach mechanicznych, w których wystpuj elementy o typowej charakterystyce nieliniowej stosowany jest sposób modelowania bdcy połczeniem modelowania liniowego z metodami statystycznymi. Istnieje bowiem obszerna liczbowo klasa obiektów mechanicznych, które z dopuszczaln dla praktyki dokładnoci mog by opisywane przez modele liniowe. Pojcie modelu liniowego pociga za sob spełnienie zasady wzajemnoci Bettiego, która stwierdza, e jeeli na dan spryst i liniow struktur działaj kolejno dwa róne obcienia, to praca pierwszego obcienia na przemieszczeniach wywołanych drugim obcieniem jest równa pracy drugiego obcienia na przemieszczeniach wywołanych pierwszym obcieniem. Szczególnym przypadkiem zasady Bettiego jest zasada Maxwella [19], która orzeka: jeli na struktur działaj kolejno dwie siły uogólnione, liczbowo równe, to wzajemne, uogólnione przemieszczenia odpowiadajce jednej sile, a wywołane działaniem drugiej siły s te równe. Z zasady tej wynika równo wzajemnych charakterystyk dynamicznych H ik (jω,θ) stosowana w analizie modalnej. 7. IDENTYFIKACJA STRUKTURALNA MODELU OBIEKTU W maszynach o duej dynamicznoci (due prdkoci obrotowe, niewywaenie, ruch posuwisto-zwrotny mas itp.) prowadzc prace z zakresu obniania obcie dynamicznych oraz diagnostyki konstrukcyjnej wyznacza si własnoci dynamiczne konstrukcji. Własnoci dynamiczne systemu mechanicznego wyznacza si w procesie identyfikacji, który jest złoonym procesem badawczym prowadzcym w mechanice na ogół do wyznaczenia macierzy charakterystyk dynamicznych (macierz transmitancji). Wyrazy macierzy transmitancji definiowane s jako stosunek transformat Laplace'a sygnału wyjciowego x i (t,θ) i-tej masy do sygnału wejciowego (sygnał wymuszenia) F k (t,θ), przykładanego do k-tej masy: α[ xi ( t, Θ) ] H ik ( S) =, s = jω (19) α[ Fk ( t, Θ) ] Jeli x i (t,θ) jest przemieszczeniem, a F k (t,θ) sił wymuszajc to H ik (jω,θ) nazywane jest podatnoci dynamiczn [14,50].

Odwrotno podatnoci dynamicznej S ik (jω,θ)= H ik 1 ( jω, Θ) nazywana jest sztywnoci dynamiczn. Transmitancja bdca stosunkiem siły wymuszajcej, działajcej w danym punkcie układu mechanicznego, do prdkoci drga tego punktu mierzonej w kierunku działania siły nazywana jest impedancj mechaniczn: α[ Fk ( t, Θ) ] ν ik ( s) = (20) α[ x i ( t, Θ) ] Impedancja mechaniczna jest miar oporu stawianego przez układ przy przemieszczeniu go z prdkoci x i ( t, Θ). W dziedzinie czstotliwoci przekształcenie Fouriera procesów losowych stacjonarnych i ergodycznych pozwala przedstawi rozpatrywane funkcje za pomoc widm cigłych, które mog by porównywane z widmami rzeczywistymi wyznaczanymi eksperymentalnie. H aik ( j, Θ) T 0 T T x i ( t, Θ) ( t, Θ) jωt ω = lim (21) 0 F k e e Inertancj mechaniczn H aik (jω,θ) wyznacza si eksperymentalnie bezporednio z pomoc nowoczesnych systemów pomiarowych wg formuły: Ga ( ω, Θ) if j k H aik ( jω, Θ) = (22) G ω, Θ F F k k jωt ( ) gdzie: G af (jω,θ) jest widmem gstoci mocy wzajemnej przyspieszenia drga G ω, Θ jest widmem gstoci mocy mechanicznych a i i siły wymuszajcej F k, natomiast ( ) własnej wymuszenia. Proces identyfikacji właciwoci dynamicznych systemu sprowadza si do: - wyznaczenia charakterystyk amplitudowo-czstotliwociowych oraz zbioru parametrów wynikajcych z tych charakterystyk, - wyznaczenia struktury modelu, tj. połcze midzy elementami inercyjnymi, sprystymi i dyssypacyjnymi i wyznaczenie wartoci tych wielkoci. Ogólnie wyrónia si: 1) identyfikacj bezporedni polegajc na wyznaczeniu struktury modelu i sprowadzajc si do wyznaczenia macierzy mas, macierzy sztywnoci i macierzy tłumie wraz ze sposobem połcze i wzajemnych oddziaływa midzy tymi elementami w maszynie. 2) identyfikacj parametryczn, sprowadzajc si do wyznaczenia charakterystyk dynamicznych (postacie drga, czstoci własne, tłumienia). Metody analizy modalnej pozwalaj identyfikowa model fizyczny maszyny poprzez badanie relacji midzy wejciami i wyjciami układu. W układach napdowych i zespołach maszyn roboczych wystpuj głównie siły wymuszajce o niskich czstotliwociach. Mona je wic modelowa układami dyskretnymi o kilku stopniach swobody lub czsto o jednym stopniu swobody. Zachowanie dynamiczne układu mechanicznego opisuje macierzowe równanie ruchu: M x + Cx + Kx = F(t) (23) gdzie: M - macierz mas, C - macierz tłumienia, K - macierz sztywnoci, F(t) - wektor sił wymuszajcych, x, x, x - odpowiednio: wektory przemieszcze, prdkoci, przyspiesze drga. W dziedzinie czstotliwoci wektor odpowiedzi układu X(ω) ma posta: X ( ω) = [ H ( jω)] F ω (24) dt dt ( ) F k F k

gdzie: [H(jω)] macierz postaci dynamicznej. Std: H ( j ) 2 [ ] = [ K ω M + jωc] 1 ω (25) Do identyfikacji własnoci dynamicznych obiektów stosuje si metod eksperymentalnej analizy modalnej i metod eksploatacyjnej analizy modalnej, które omówiono w rozdziale 6. Badania symetrycznoci macierzy podatnoci [H ik (jω)] = H ki (jω,θ)] i połoenia elementów niesymetrycznych w macierzach podatnoci dynamicznej posłuyły do lokalizacji poleenia elementów nieliniowych w obiekcie. W problematyce analizy dynamicznej struktur mechanicznych mona wydzieli nastpujce główne grupy tematyczne: - modelowanie i identyfikacja strukturalna systemów mechanicznych metod podatnoci dynamicznej oraz metodami analizy modalnej, - analiza i ocena stanu dynamicznego obiektów mechanicznych, - opis modelu energetycznego systemu mechanicznego. Do pierwszej grupy nale najnowsze pozycje z zakresu metod modelowania i identyfikacji własnoci dynamicznych systemów, a w tym głównie metody podatnoci dynamicznej i metod analizy modalnej. Do drugiej grupy analizowanej literatury nale głównie prace z zakresu diagnostyki konstrukcyjnej, oparte o modele systemów opisywanych w czterowymiarowej czasoprzestrzeni (x, y, z, t). Do trzeciej grupy nale prace, opisujce. modele energetyczne systemów, opisywanych przewanie w przestrzeni piciowymiarowej (x,y,z,t,θ), które stanowi podstaw diagnostyki eksploatacyjnej. Zmiany stanu maszyn opisywane sygnałem drganiowym odzwierciedlaj si w zmiennych wartociach poziomu (parametrów) drga lub w zmianie transmitancji od punktu uszkodzenia do punktu odbioru. Kady układ mechaniczny w zakresie niskich czstotliwoci mona modelowa układami dyskretnymi (m, k, c), w najprostszym przypadku o jednym stopniu swobody (rys.2.4). W praktyce układ taki moe by modelem [8,19,27]: - wirnika maszyny w łoysku lizgowym z warstw oleju (c) zamocowanym na korpusie o duej masie (m) i sztywnoci (k); - maszyny o masie (m) przytwierdzonej sztywno do fundamentu o własnociach sprystych (k, c); - maszyny (m) na amortyzatorach (k, c) zamocowanej do fundamentu o duej masie; - wirnika maszyny (m) w łoysku tocznym (k, c) zamocowanym w korpusie o duej masie i sztywnoci; - wysokiej konstrukcji (platforma wiertnicza, komin, wiea) poddanej działaniu fal morskich lub wiatru. 7.1 Identyfikacja prosta W wikszoci zastosowa korzysta si z identyfikacji prostej, gdzie wyznacza si zmiany wartoci m, k, c, albo zmiany parametrów charakterystyk amplitudowo czstotliwociowych (widma). Do zada identyfikacji prostej w diagnostyce technicznej naley: - wyznaczanie struktury modelu, czyli wartoci i wzajemnych połcze midzy elementami masowymi (m), sprystymi (k) i dyssypacyjnymi (c); - wyznaczanie charakterystyk amplitudowo czstotliwociowych układów lub tylko pewnego zbioru ich parametrów.

Rys.2.4 Układ o jednym stopniu swobody jako najprostszy model obiektu mechanicznego. W zakresie czstotliwoci niskich maszyny mona modelowa układami dyskretnymi o kilku stopniach swobody, a czsto o jednym stopniu swobody. Układ dyskretny w odrónieniu od cigłego cechuje si punktowym rozkładem mas, sztywnoci tłumienia i wymiary tych elementów nie odgrywaj roli. Dla układów mechanicznych, zwłaszcza majcych wizy spryste ustalajce ich połoenie w przestrzeni, przyjmuje si zwykle liczb stopni swobody równ liczbie mas w układzie. Badania transmitancji układów o jednym stopniu swobody moe polepszy zrozumienie procesów drganiowych zachodzcych w maszynach, a take zrozumienie zmian zachodzcych w tych procesach z tytułu zmian wartoci parametrów m, k, c. Opis drga układu o jednym stopniu swobody przedstawiaj równania:... m x+ b x+ cx = F( t) (26) x = Asin( ϖ t + φ) dx d 2 x dv v = = Aϖ cos( ϖt + ϕ) a = = = Aϖ 2 sin( ϖt + ϕ) dt dt 2 dt Warto modułu transmitancji H (ω ) wyznacza si z ilorazu amplitudy odpowiedzi na wymuszenie harmoniczne do amplitudy tego wymuszenia. Faza transmitancji jest po prostu opónieniem fazowym midzy wymuszeniem a odpowiedzi. Transmitancja własna siła przemieszczenie dla układu z rys.5.15 jest nastpujca: x0 1 H xf ( ω) = = F 2 2 2 2 0 m ( ω ω ) + (2ξωω ) 2ξωω tgϕ = ω ω Zatem posta transmitancji układu o jednym stopniu swobody okrelaj całkowicie dwa k m c parametry: czstotliwo rezonansowa f r = i stopie tłumienia ξ =. Obydwa te 2π parametry s łatwo mierzalne: pierwszy z połoenia piku rezonansowego osi czstotliwoci, za drugi z wysokoci piku rezonansowego, gdy: 2 r r r 2 r c kr (27) f r na wymiarowej

1 xst H r = H ( f ) = std x f = f 0r = F0 H r = (28) r 2kξ 2ξ F0 gdzie: x st = oznacza statyczne ugicie spryny k pod działaniem siły F 0. k Zmiana piku rezonansowego moe by spowodowana tylko zmian sztywnoci lub masy w układzie, za zmiana wartoci amplitudy rezonansowej drga moe wynika ze zmiany siły F 0, sztywnoci k, lub stopnia tłumienia ξ. Tak wic mierzc połoenie czstotliwoci rezonansowej f r i warto x 0r mona orzeka o zmianie albo stacjonarnoci transmitancji układu, a tym samym o zachowaniu si parametrów fizycznych m, k, c samego modelu obiektu. Podobne podejcie mona zastosowa dla układów wielorezonansowych (realnych obiektów technicznych) pod warunkiem, e rezonanse te s dostatecznie od siebie oddalone F 2ξf r. Układ taki mona wtedy traktowa jako słabo sprzony zbiór układów o jednym stopniu swobody nastrojonych na róne czstotliwoci. Badania zmian transmitancji odzwierciedlajcej własnoci dynamiczne obiektu mona przeprowadzi trzema metodami, zgodnie z rys.2.5 : - za pomoc testu impulsowego (uderzenie młotkiem); - za pomoc testu harmonicznego (sygnał z generatora); - za pomoc testu przypadkowego (pobudzanie wielu rezonansów jednoczenie). Test impulsowy Zastosowanie impulsu jako sygnału wymuszajcego w badaniach własnoci dynamicznych układów mechanicznych stało si moliwe po wprowadzeniu analizatorów cyfrowych. Impuls moe by aproksymowany poprzez funkcj delta Diraca, która zawiera energi we wszystkich czstotliwociach. Przy stosowaniu testu impulsowego naley uwzgldni dwie bardzo wane charakterystyki układu badanego: liniowo i tłumienia. Wysoki stosunek wartoci szczytowej do wartoci skutecznej przy wymuszeniu impulsowym, powoduje wymuszenia nieliniowoci układu. Oznacza to, e test ten nie moe by stosowany do układów silnie nieliniowych. Wielko tłumienia ma take istotny wpływ na wyniki testu. W przypadku zbyt małego tłumienia odpowied układu nie zdy zanikn w czasie równym próbce realizacji pobranej do estymacji odpowiedzi czstotliwociowej, natomiast w przypadku tłumienia zbyt duego zanik odpowiedzi układu jest taki, i decydujcym problemem jest eliminacja zakłóce. Istotnym jest zwikszenie stosunku sygnału do szumu, co realizowane jest poprzez właciwy wybór parametrów okien widmowych stosowanych w procesie przekształcenia Fouriera sygnałów wymuszenia i odpowiedzi [5,51]. Dla analiz metod testu impulsowego zalecane s nastpujce okna czasowe: - transjentowe dla sygnału wymuszenia, - wykładnicze dla sygnału odpowiedzi. Istotnym jest take wybór młotka do pobudzania testowanego układu. Od rodzaju młotka (masa, twardo powierzchni) zaley kształt wyzwalanego impulsu (zakres wymuszanych czstotliwoci). Uzyskiwane z pomiarów widmo drga okrela czstotliwo rezonansow (pierwszy maksymalny pik) oraz warto amplitudy w tej czstotliwoci, co dla rónych stanów obiektu pozwala na wnioskowanie o zmianach m, k, c.

Rys.2.5 Schemat pomiarowy do identyfikacji własnoci dynamicznych metod testu impulsowego, harmonicznego i przypadkowego [7]. Test harmoniczny Sygnał harmoniczny z generatora, po wzmocnieniu zasila wzbudnik elektrodynamiczny. Wymuszenie moe by charakteryzowane za pomoc przetwornika siły, natomiast odpowied za pomoc przetwornika przyspiesze lub prdkoci drga. Główn zalet wymuszenia {testu) harmonicznego jest moliwo precyzyjnej kontroli i sterowania sił wejcia. Jest to bardzo wane w badaniu zachowa nieliniowych, mona bowiem dokona pomiaru odpowiedzi czstotliwociowej dla rónych poziomów siły wymuszajcej. Metoda testu harmonicznego umoliwia uzyskanie duego stosunku sygnału do szumu poprzez filtrowanie sygnału wyjciowego filtrem pasmowym o czstotliwoci wymuszenia. Główn wad testu harmonicznego jest długi czas trwania bada oraz dobór dostatecznie niskiego poziomu wymusze dla czstotliwoci drga własnych układu. Atutem metody jest moliwo doboru prdkoci przestrajania czstotliwoci sygnału siły wymuszajcej w zwizku z du bezwładnoci dynamiczn struktur mechanicznych. Test przypadkowy Sygnał wzbudzenia przypadkowego cechuje si rozkładem normalnym, nie jest wic procesem okresowym. Oznacza to, e zarówno wymuszenie jak te odpowied testowanego układu nie s procesami okresowymi o całkowitej liczbie w realizacji czasowej, przetwarzanej przez analizator cyfrowy. Wymaga to stosowania funkcji wacych, np. okno (29) Inn wad testu przypadkowego jest to, i mimo doprowadzenia do wzbudnika sygnału o płaskim widmie, testowana struktura jest wzbudzana sił o innym składzie widmowym, wynikajcym z okrelonych własnoci dynamicznych połczenia wzbudnika z układem. W tecie przypadkowym kada jego realizacja jest inna. Oznacza to, e w wyniku uredniania zbioru uzyskanych wyników moliwe jest wyeliminowanie efektów