Podstawy mechaniki kwantowej Jak opisać świat w małej skali? Czy świat jest realny? Promieniowanie elektromagnetyczne gamma X ultrafiolet podczerwień mikrofale radiowe widzialne Wavelength in meters 0-0 -0 0-8 4 x 0-7 7 x 0-7 0-4 0-0 04 Gamma rays X rays Ultraviolet Infrared Microwaves Radio waves Visible FM Shortwave AM 4 x 0-7 5 x 0-7 6 x 0-7 7 x 0-7 Film_fala elektromagnetyczma.mov
Promieniowanie elektromagnetyczne second λ duża długość fali mała częstość ν = 4 cycles/second = 4 hertz λ ν = 8 cycles/second = 8 hertz λ 3 mała długość fali duża częstość ν 3 = 6 cycles/second = 6 hertz 3 Promieniowanie elektromagnetyczne λ second ν = 4 cycles/second = 4 hertz λ λ c = = λ ν T m [ s ] ν = 8 cycles/second = 8 hertz λ 3 λ długość fali [m] ν częstość [/s] Τ okres [s] ν = [] s T ν 3 = 6 cycles/second = 6 hertz 4
Promieniowanie elektromagnetyczne Przykład Wyznaczenie częstości światła z długości fali Jaka jest częstość promieniowania podczerwonego stosowanego w dalmierzu (autofocus) aparatu fotograficznego, jeżeli długość fali tego promieniowania wynosi.00 µm?! pamiętając, że λ ν= c i przeliczając długość fali na metry, tak aby c i λ były wyrażone w tych samych jednostkach, długość fali wynosi: c ν = λ λ =.00 µm 0-6 =.00 0-6 m µm 3.00 0 ν = 8 m/s = 3.00 0 4 /s.00 0-6 m 3.00 0 4 Hz 5 Fakty eksperymentalne. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego. Efekt fotoelektryczny 3. Efekt Comptona 4. Widma atomowe 5. Układ okresowy 6
Fakty eksperymentalne. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego Max Planck 900 kwanty energii E = hν h = 6.66 0 34 J s http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/applets/blackbody/frame.html 7 Fakty eksperymentalne. Efekt fotoelektryczny Albert Einstein 905 hν e bilans energii hν = m e v + Φ m e masa elektronu v prędkość ν częstość Φ praca wyjścia 8
Analogia Kwantowanie można porównać z wlewaniem wody do wiadra. Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, że można wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody, którą można przenieść, to jedna cząsteczka H O. Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposób ciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylko pewnymi porcjami. 9 Fakty eksperymentalne Przykład Wyznaczenie energii fotonów Jaka jest energia (w kilodżulach na mol) fotonów światła żółtego o częstości 5. 0 4 Hz? Każdy foton ma energię, która odpowiada częstości światła, zgodnie z równaniem E=hν. Z równania tego należy obliczyć tą energię, a następnie pomnożyć ją przez stałą Avogadra, by wyznaczyć energię na mol fotonów (w kilodżulach na mol kj = 0 3 J, Hz = /s). E = hν = (6.63 0-34 J s) (5. 0 4 /s) = 6.63 5. 0-0 J (6.63 5. 0-0 J) (6.0 0 3 /mol) ( kj/0 3 J) =. 0 kj/mol 0
Fakty eksperymentalne 3. Efekt Comptona p i zasada zachowania pędu ρ p i p ρ ρ p ρ = p s i s ρ + p = cosθ e p s θ p i p e i s równanie de Broglie a p h p = λ h h h λi = + = cosθ λ λ λ λ s λ i = λ e ( cosθ ) Fakty eksperymentalne Przykład Obliczenie długości fali obiektu Przypuśćmy, że elektron w atomie porusza się z prędkością. 0 6 m/s. Jaka jest długość fali de Broglie a elektronu? Równanie λ = h/mυ podaje zależność między długością fali a masą i prędkością obiektu. Aby z niego skorzystać musimy znać masę elektronu i wartość h (jednostki: kilogram, metr, sekunda). λ = (9.09 0-8 0 g) -3 kg = 9.09 0-3 kg g 6.63 0-34 J s (9.09 0-3 kg) (. 0 6 m/s) = 3.3 0-0 m J = kg m /s ; 330 pm
Fakty eksperymentalne Przykład 3 Obliczenie masy fotonu Jaką masę mają fotony pochodzące ze światła o długości fali 500 nm? Równanie mυ = h/λ podaje zależność między masą i prędkością obiektu a długością fali. m m f f h = λ c -34 6.63 0 Js = = 4 0-7 8 m 5 0 m 3 0 s 37 kg m e =9 0-3 kg 3 Fakty eksperymentalne 07_97 4. Widma atomowe (a) + VI BGYOR Continuous spectrum - Electric arc (white light source) Slit Prism Detector (photographic plate) (b) + Arc Detector (photographic plate) = R o n λ n > High voltage - Hydrogen gas Slit Prism 40 nm434 nm 486 nm 656 nm 4
Fakty eksperymentalne 5. Układ okresowy 0_9 Alkaline earth metals A Noble gases Halogens 8 8A H 3 4 5 6 7 A 3A 4A 5A 6A 7A He 3 Li 4 Be 5 B 6 C 7 N 8 O 9 F 0 Ne Na Mg 3 4 5 6 7 8 9 0 Transition metals 3 Al 4 Si 5 P 6 S 7 Cl 8 Ar Alkali metals 9 K 37 Rb 0 Ca 38 Sr Sc 39 Y Ti 40 Zr 3 V 4 Nb 4 Cr 4 Mo 5 Mn 43 Tc 6 Fe 44 Ru 7 Co 45 Rh 8 Ni 46 Pd 9 Cu 47 Ag 30 Zn 48 Cd 3 Ga 49 In 3 Ge 50 Sn 33 As 5 Sb 34 Se 5 Te 35 Br 53 I 36 Kr 54 Xe 55 Cs 56 Ba 57 La* 7 Hf 73 Ta 74 W 75 Re 76 Os 77 Ir 78 Pt 79 Au 80 Hg 8 Tl 8 Pb 83 Bi 84 Po 85 At 86 Rn 87 Fr 88 Ra 89 Ac 04 Unq 05 Unp 06 Unh 07 Uns 08 Uno 09 Une Uun 0 Uuu *Lanthanides 58 Ce 59 Pr 60 Nd 6 Pm 6 Sm 63 Eu 64 Gd 65 Tb 66 Dy 67 Ho 68 Er 69 Tm 70 Yb 7 Lu Actinides 90 Th 9 Pa 9 U 93 Np 94 Pu 95 Am 96 Cm 97 Bk 98 Cf 99 Es 00 Fm 0 Md 0 No 03 Lr 5 Dualizm korpuskularno-falowy własności korpuskularne falowe światło!ciało doskonale czarne!efekt Comptona!efekt fotoelektryczny!dyfrakcja!interferencja elektrony!promieniowanie katodowe!promieniowanie beta!dyfrakcja!interferencja Które efekty dominują i dlaczego? Przykład: proces fotograficzny http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/microworld_e 6
dyfrakcja elektronów 7 Źródło pojedynczych elektronów Pd-Cs cathode 50 nm gold layer 8
Elektrony Dualizm korpuskularno-falowy Zgodnie z relacją de Broglie a cząstka o określonej prędkości jest falą, której długość określa równanie: h λe = m υ e e Gdzie zatem znajduje się elektron? Fala rozciąga się w przestrzeni, jest wszędzie. Jednak elektrony są jednocześnie falą i materią Zasada nieoznaczoności Heisenberga 9 Dualizm korpuskularno-falowy Zasada nieoznaczoności Heisenberga " jeżeli znamy prędkość cząstki, to nie możemy określić jej położenia. " gdy znamy położenie cząstki, wówczas nie wiemy nic o jej prędkości. tzn. znając położenie cząsteczki, nie możemy opisać jej jako fali o określonej długości x p h Czy są sytuacje, że zasada nieoznaczoności nie działa? # zjawiska makroskopowe, gdy falowe właściwości materii nie odgrywają praktycznie roli 0
Fotony Dualizm korpuskularno-falowy energia E f = hν masa m f hν = c pęd h - stała Plancka = 6.6. 0-34 J. s hν h ν częstość, s - p f = = c λ λ - długość fali, m c prędkość światła 3. 0 8 m/s Podstawy. Kwantowanie energii interpretacja efektu fotoelektrycznego i rozkładu widma ciała doskonale czarnego E = hν. Dualizm korpuskularno-falowy każda poruszająca się cząstka (foton, elektron) emituje falę o długości: λ = h p 3. Zasada nieoznaczoności nie można dokładnie ustalić położenia i pędu cząstki x p h
Podstawy 4. Gęstość prawdopodobieństwa można natomiast ustalić prawdopodobieństwo P przebywania cząstki w określonej objętości dv. Prawdopodobieństwo w danej objętości definiujemy jako gęstość prawdopodobieństwa Ψ : ψ P = dv 5. Równanie Schrödingera funkcję Ψ znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe: H ˆψ = Eψ gdzie Ψ oznacza funkcję falową. 3 Definicje Co to jest funkcja falowa? z P prawdopodobieństwo Ψ funkcja falowa ρ gęstość prawdopodobieństwa P ρ = = ρ( x, y, z, t) ρ( x, y, z) dv x y Istnieje taka funkcja, że ψ = ρ ψ = 4
Definicje Co to jest operator w matematyce? dowolna operacja matematyczna, jak na przykład: + Co to jest zagadnienie własne? Gˆ f d dx = g f sin ^ jeżeli w wyniku działania jakiegoś operatora G na funkcję f otrzymamy tą samą funkcję przemnożoną przez liczbę g: ^ wówczas liczbę g nazywamy wartością własną operatora G 5 Definicje Co to jest zagadnienie własne? Przykład można policzyć, że podwójne różniczkowanie funkcji: f = Ae ax daje: d dx Ae ax = a Ae ax gdzie: d dx jest operatorem Gˆ i a jest wartością własną 6
Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy Hamiltona energia funkcja falowa zasada zachowania energii h d d d + + m dx dy dz energia kinetyczna elektronu m masa cząstki h stała Plancka operator energii kinetycznej Hˆ = Tˆ + Vˆ operator energii potencjalnej Z ładunek jądra E ładunek elektronu Z e 4πε r przyciąganie Coulombowskie jądro-elektron 0 7 ε 0 stała dielektryczna próżni r promień Równanie Schrödingera jeżeli cząstka porusza się w jednym wymiarze x to operator Hamiltona ma postać w stanie nieważkości: Hˆ h d = m dx a w trzech wymiarach x, y, z: ˆ = h d d d H + + m dx dy dz m masa cząstki h stała Plancka 8
Równanie Schrödingera Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E wyznaczonymi doświadczalnie. 9 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) x=0 x=l x równanie Schrödingera ma postać: h m d ψ ( x) = Eψ ( x) dx 30
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) h m d Ψ = E Ψ( x) dx rozwiązanie równania ma postać ogólną: gdzie Ψ( x) = Asin kx + B cos kx (me) k = η i η = h π E energia cząstki A, B stałe całkowania 3 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) Uwzględniając warunki brzegowe cząstki w pudle dla: x=0 to Ψ=0 i x=l to Ψ=0 bo cząstka nie przebywa na ściankach pudła. Podstawiając x=0 do równania ogólnego otrzymamy: Ψ(x=0)=Asin (k 0)+Bcos(k 0)=0 sinkx=0 i coskx= zauważmy, że: wówczas B=0 Podstawiając x=l do równania ogólnego otrzymamy: Ψ(x=L)=Asin (k L)=0 wówczas A=0 lub sin (k L)=0 3 jednak A=0 wykluczamy, bo cząstka istnieje (Y(x)= 0 dla 0 < x< L)
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) Zatem dalej: sin (k L)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy k=n π i n jest liczbą naturalną Podstawmy do wzoru na k ( me) k = = nπ n =, η Z tego otrzymamy wzór na energię E π π 3π... n h E = n = 8mL,... Energia cząstki jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej n 33 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) energia n h E = n =,... 8mL poziomy energetyczne cząstki E n n 5 5 6 4 9 3 0 4 34
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) funkcja falowa dla stanu podstawowego n = dla stanu wzbudzonego n > można wykazać, że z warunku L Ψ ( x) dx = 0 Ψ ( x) n = L nπx sin L określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego 35 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) funkcja falowa i energia E n n ψ Ψn ( x) = L nπx sin L 9 3 E = n h 8mL 4 0 36 x=0 x=l
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) funkcja falowa E n n ψ ψ Ψn ( x) = L Ψ i energia n h E = 8mL nπx sin L gęstość prawdopodobieństwa nπx n( x) = sin L L 0 9 4 3 37 x=0 x=l