Zastosowanie komputerowej symulacji przepływów do wyznaczania parametrów zbiornikowych skał

Paulina Krakowska 1, Paweł Madejski 2 AGH Akademia Górniczo-Hutnicza Zastosowanie komputerowej symulacji przepływów do wyznaczania parametrów zbiornikowych skał Wprowadzenie Wydobycie gazu i ropy naftowej w Polsce odbywa się głównie ze złóż konwencjonalnych. Jednak od paru lat uwaga jednostek przemysłu naftowego jest skoncentrowana na poszukiwaniu złóż gazu zamkniętego w łupkach (shale gas) lub piaskowcach (tight gas). Jednym z podstawowych zadań petrofizyków, realizujących prace dla jednostek przemysłu naftowego i wydobywczego, jest określenie parametrów fizycznych skał do oszacowania ich potencjału zbiornikowego, czyli możliwości migracji i akumulacji węglowodorów. Porowatość efektywna i przepuszczalność są jednymi z najważniejszych parametrów determinujących potencjał zbiornikowy skał, a także ich własności filtracyjne. Wartości porowatości efektywnej i przepuszczalności wyznaczane są na podstawie badań laboratoryjnych na próbkach z rdzeni wiertniczych oraz na podstawie profilowań geofizyki otworowej. Oprócz wyznaczenia wartości parametrów fizycznych ważnym zagadnieniem w określeniu potencjału zbiornikowego jest ocena zdolności skały do przepływu mediów. W ostatnich latach dokonano bardzo intensywnego rozwoju dziedziny komputerowego modelowania przepływów CFD (Computational Fluid Dynamics) [1]. Modelowanie stało się efektywnym narzędziem pozwalającym na szczegółowe analizy przepływu płynu w ośrodkach porowatych, w rozważanym przypadku- w skale zbiornikowej. Badania laboratoryjne skał na próbkach wyciętych z rdzeni wiertniczych dostarczają wyników w skali mezo, w której przepływ mediów opisują równanie Darcy ego lub nieliniowe równanie Darcy- Forcheheimera, w zależności od zakresu prędkości przepływu. Wyniki pomiarów mikrotomograficznych, uzyskanych na próbkach skał, rozpatrywane są w skali mikro; wtedy przepływ mediów w przestrzeni porowej opisany jest przez równanie Naviera-Stokesa. Wykorzystanie w modelowaniu równania Naviera- Stokesa wymaga dokładnego odwzorowania przestrzeni porowej skały. Zobrazowanie 2D lub 3D przestrzeni porowej skał możliwe jest dzięki wykorzystaniu komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej. Metoda mikrotomografii stanowi bazę do utworzenia modelu geometrycznego przestrzeni porowej do analizy przepływu płynów. Połączenie wyników mikrotomografii komputerowej i modelowania przepływu w ośrodku porowatym dostarcza odpowiedzi na pytania na temat potencjału zbiornikowego oraz filtracyjnego skał. W pracy wykonano obliczenia przepuszczalności i oceniono poprawność założonych parametrów w symulacji przepływu płynu (wody) przez fragment 2D przestrzeni porowej piaskowca, wieku karbonu górnego. Wynik przedstawiono w skali mikro. Analizie poddano także rozkład prędkości przepływu, ciśnienia, a także linii przepływu płynu przez analizowaną przestrzeń porową piaskowca karbońskiego. Uzyskane wyniki modelowania przepływu płynu przez dokładnie odwzorowaną przestrzeń porową zostały przeniesione do próbki w skali mezo. Porównano wyniki symulacji (gradient ciśnienia na długości próbki) dla dwóch przypadków skala mikro i mezo. Porównanie potwierdziło słuszność przyjętych założeń i możliwość przeprowadzenia symulacji i skali mikro i mezo z wykorzystaniem CFD. Modelowanie przepływów przez ośrodki porowate teoria i podstawy modelownia Przepływ płynów przez materiał porowaty jest jednym z oddzielnych i obszernych podrozdziałów mechaniki płynów, którego podstawę stanowi prawo Darcy ego. Modelowanie matematyczne przepływów oparte jest na 3 podstawowych równaniach: 1 P. Krakowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska. E: krakow@agh.edu.pl 2 P. Madejski AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska. E: madejski@agh.edu.pl 252 Logistyka 4/2013

równaniu zachowania masy (równaniu ciągłości), równaniu stanu dla płynu, równaniu zachowania pędu. Podstawowe zależności matematyczne służące do opisu zjawiska przepływu płynu przez ośrodek porowaty są oparte na założeniu, że przepływ jest ustalony i odbywa się tylko w jednym kierunku. Równanie zachowania masy (ciągłości) zapisane jest w postaci: m q const (1) m strumień masy płynu [kg/s], q strumień objętości płynu [m 3 /s], ρ gęstość płynu [kg/m 3 ]. Strumień masy przepływającego płynu ( m ) przez analizowany ośrodek dla stanu ustalonego (niezmiennego w czasie) jest wartością stałą. Jeżeli w równaniu (1) uwzględni się zależność pomiędzy strumieniem objętości płynu a prędkością filtracji q v A, równanie zachowania masy przybierze postać: f v A const f (2) Kolejnym równaniem, które posłuży do analizowania zjawisk przepływowych jest równanie stanu, które opisuje termodynamiczne parametry stanu gazu w funkcji temperatury i ciśnienia. Jeżeli analizowanym medium jest gaz, traktowany jako gaz doskonały, stosowane jest równanie Clapeyrona: m p RT q (3) p ciśnienie bezwzględne gazu [Pa], R indywidualna stała gazowa [J/(kg K)], T temperatura gazu [K]. Jeżeli przez ośrodek porowaty przepływa ciecz, jest ona taktowana jako płyn nieściśliwy o stałej gęstości w funkcji ciśnienia. Gęstość cieczy wyznaczana jest dla temperatury analizowanego medium w oparciu o wyniki doświadczalne. Ostatnim podstawowym prawem jest równanie zachowania pędu, opisujące zależności pomiędzy prędkością przepływającego płynu a działającymi na niego siłami powierzchniowymi-lepkościowymi (związanymi z oddziaływaniem międzycząsteczkowym cząsteczek szkieletu mineralnego i cząstek płynu w porach skalnych) oraz masowymi- bezwładnościowymi (związanymi z działaniem grawitacji na cząstki o zadanej masie). Zależność wyprowadzona przez Darcy ego była pierwszą matematyczną próbą opisania zjawisk zachodzących podczas przepływu płynu przez ośrodek o strukturze porowej. Ogólna postać tego równania wygląda następująco: v f q ΔH K A ΔL (4) v f prędkość filtracji [m/s], q strumień objętości płynu [m 3 /s], A pole przekroju analizowanego obszaru [m 2 ], K współczynnik filtracji [m/s], ΔH spadek wysokości hydraulicznej [m] Logistyka 4/2013 253

ΔL długość analizowanego obszaru [m]. Jeżeli uwzględnimy zależność łączącą współczynnik filtracji K z współczynnikiem przepuszczalności k, g K k (5) k współczynnik przepuszczalności [m 2 ], ρ gęstość płynu [kg/m 3 ], g przyśpieszenie ziemskie [m/s 2 ], μ lepkość dynamiczna płynu [Pa s] oraz zależność łącząca spadek wysokości hydraulicznej ΔH i różnice ciśnienia (Δp) panującego na przeciwległych końcach analizowanego obszaru: p gh uzyskamy bardziej popularną postać równania Darcy ego: p q L k A (7) Podczas wyznaczania parametrów zbiornikowych skał, równanie (7) wykorzystywane jest do obliczania wartości współczynnika przepuszczalności k, który jest charakterystyczny dla analizowanej skały. Jeżeli z kolei znana jest wartość współczynnika przepuszczalności k możliwe staje się wyznaczenie prędkości filtracji v f dla danej różnicy ciśnienia Δp, przy znanej geometrii analizowanego obszaru ΔL orazznanej wartości lepkości dynamicznej μ płynu: v f pk L (8) Załóżmy w równaniu (7), że ΔL L, gdzie L jest długością analizowanej próbki, a różnica ciśnienia jest równa Δp p2 p1 (p 1, p 2 - ciśnienie panujące odpowiednio na wlocie i wylocie z próbki) równanie Darcy ego przybierze następujacą postać (rysunek 1): (6) q k( p1 p2) A L (9) Rys. 1. Geometria przykładowego modelu (A, L) z zaznaczonymi warunkami brzegowymi (p 1, p 2 ) i własnościami fizycznymi (k, Φ, μ). Objaśnienie symboli w tekście. Źródło: opracowanie własne. 254 Logistyka 4/2013

Równanie (9) jest spełnione w przypadku, gdy analizowanym płynem jest ciecz, traktowana jako płyn nieściśliwy (ρ=const), a objętościowy strumień płynu q jest niezmienny w całym analizowanym obszarze. Jeżeli analizowanym płynem jest gaz, traktowany jako gaz doskonały, w równaniu Darcy ego należy uwzględnić równanie stanu (3), uzależniające gęstość gazu od parametrów stanu. Zakładając stałą temperaturę w analizowanym obszarze (T=const) oraz fakt, że indywidualna stała gazowa charakteryzuje dany gaz (R=const), otrzymuje się równanie: 2 2 qm k( p1 p2 ) A 2Lp m (10) p m - wartość ciśnienia w punkcie, w którym jest wyznaczany strumień objętości gazu q m. Równanie Darcy ego przedstawia liniową zależność pomiędzy prędkością filtracji v f a spadkiem ciśnienia na odcinku ΔL, dlatego jego zakres zastosowalności do wyznaczania współczynnika przepuszczalności lub prędkości filtracji jest ograniczony do przepływu laminarnego. Zakres stosowalności odpowiednich równań można przedstawić (rys. 2) za pomocą liczby Reynoldsa dla przepływów przez ośrodki porowate Re p [2]. Liczba Reynoldsa dla materiałów porowatych Re p może być wyznaczona za pomocą równania: Re p vd f (11) d średnica ziaren, określona dla wyidealizowanego ośrodka równoważnego (stawiającego taki sam opór) [m]. Rys. 2. Przepływ (prędkość filtracji) płynów przez ośrodki porowate w funkcji różnicy ciśnienia, z zaznaczonym zakresami stosowalności poszczególnych równań (wykres zmodyfikowany na podstawie pracy [2]). Źródło: [2]. Wartości liczb Reynoldsa, dla których obowiązują poszczególne zakresy stosowalności równań przepływu, nie są jednoznaczne i w literaturze można znaleźć jego różne graniczne wartości [2 3]. Można założyć, że granice liczbowe dla przepływów przedstawionych na rysunku 2 przedstawiają się następująco: Logistyka 4/2013 255

Tablica 1. Zakresy stosowalności liczby Reynoldsa Re p dla materiałów porowatych. zakres Pre-Darcy zakres prawa Darcy zakres prawa Forchheimera zakres przepływu turbulentnego <Re p <(1-3) (1-3)<Re p <(10-15) (10-15)<Re p <(80-120) (80-120)<Re p < Źródło: [2 3]. Równanie Darcy ego (7 10) dobrze opisuje przepływ przez ośrodki porowate dla małych prędkości, wówczas, gdy występuje przepływ laminarny. Jeżeli prędkości przepływu v f (również strumień przepływu q) zwiększą się, zaczyna występować przepływ przejściowy (wstępny przepływ turbulentny), a równanie Darcy ego musi być rozszerzone o człon nieliniowy. Wprowadzając taką zależność do równania Darcy ego otrzymuje się równanie Darcy-Forchemiera: β- współczynnik Forchheimera [1/m]. Równanie (12) można zapisać również w formie: p 2 vf vf L k (12) p 2 vf vf L (13) 1 - współczynnik zakresu obowiązywania prawa Darcy ego [1/m 2 ]. k Występujące w równaniu (13) człony, liniowy (αμv f ) oraz nieliniowy (βρv f 2 ), reprezentują powstające podczas przepływu płynu opory, odpowiednio opór lepkościowy oraz bezwładnościowy. Wynika to z faktu, iż podczas przepływu płynu w zakresie obowiązywania prawa Darcy ego (przepływ laminarny) głównym czynnikiem generującym opór jest lepkość płynu. Gdy prędkość się zwiększa, a spadek ciśnienia przestaje być funkcją liniową, bezwładność przepływającego płynu ma coraz większy wpływ na generowanie oporów i musi być uwzględniona w równaniu przepływu. Współczynnik β występujący w równaniu (12) i (13) powinien być wyznaczany indywidualnie dla analizowanego ośrodka. Nie istnieje ogólny sposób wyznaczania jego wartości dla wszystkich materiałów porowatych. Istnieje szereg empirycznych funkcji i rozwiązań, jednak są zgodne z rzeczywistością tylko w szczegółowych przypadkach ich stosowania. Przykładem dla rozwiązania równania Darcy Forchemimera (13) może być wzór empiryczny Erguna [2]: ϕ porowatość materiału [m 3 /m 3 ], d średnica ziaren materiału [m]. 2 2 p 150 1 1.75(1 ) v 3 2 f v 3 f (14) L d d W przypadku analizowania przepływów laminarnych (zakres Darcy ego) znana jest korelacja Blake- Kozeny ego [4]: 3 2 pa d q (15) 2 L 180(1 ) 256 Logistyka 4/2013

która po prostych przekształceniach przyjmuje postać: q p 180(1 ) 3 2 A L d 2 v f (16) Przy zastosowaniu wzoru empirycznego Erguna należy wyznaczyć parametry charakteryzujące dany ośrodek porowaty: porowatość (ϕ) i średnicę ziaren materiału (d).współczynniki α i β (13) we wzorze Erguna (14) przyjmują następującą postać: 1 k 150 1 d 2 3 2 1.75(1 ) 3 d (17) (18) Z kolei dla korelacji Blake Kozeny ego (16), dla przepływów laminarnych, gdzie nie występuje człon nieliniowy (β=0), współczynnik α wynosi: 1 k 180 1 d 2 3 2 (19) Współczynniki α i β mogą zostać również wyznaczone definiując formułę uzależniającą te współczynniki od charakterystycznych wielkości dla ośrodków porowatych, jak współczynnik przepuszczalności k, porowatość ϕ, współczynnik krętości kanałów porowych τ oraz stałych współczynników C. Znane w literaturze wyprowadzenia zostały zestawione i opisane w pozycji [3]. Wyprowadzone powyżej zależności pozwalają wyznaczać spadek ciśnienia podczas przepływu płynu przez materiał porowaty traktowany jako obiekt makroskopowy (skala mezo), wykorzystując równania zarówno dla przepływów laminarnych (Darcy ego) jak i przejściowych (Darcy Forcheimera). Przedstawione powyżej równania pozwalają wykonać obliczenia przepływu dla obszaru traktowanego jako ośrodek ciągły, uwzględniając przepływ tylko w jednym kierunku, a w przypadku płynów nieściśliwych z założeniem stałej prędkości filtracji v f, na całej długości próbki. Dokładniejsze wyniki obliczeń uzyskać można poprzez dyskretyzację analizowanego obszaru i wykorzystanie narzędzikomputerowej mechaniki płynów CFD. Podstawowymi prawami wykorzystywanymi w modelowaniu CFD są prawa zachowania masy (równanie ciągłości), pędu (równanie dynamiki przepływu- równanie Naviera-Stokesa) i energii (pierwsza zasada termodynamiki). W przypadku modelowania przepływów przez ośrodek porowaty równanie energii zazwyczaj jest pomijane, jeżeli nie analizowane są zjawiska wymiany ciepła w materiale porowatym. Równania zachowania masy oraz pędu w przypadku laminarnych przepływów płynu nieściśliwego w stanie ustalonym, zapisane w formie różniczkowej mają postać: v wektor prędkości filtracji [m/s], Γ tensor naprężeń powierzchniowych [Pa], f p wektor sił oporu [Pa/m]. divv 0 (20) div( v v) grad ( p) div( Γ) f p (21) W równaniu zachowania pędu (21) człon źródłowy f p reprezentuje spadek ciśnienia wywołany oporami lepkościowymi oraz bezwładnościowymi, charakterystycznymi dla przepływu przez ośrodek porowaty. Opory P dla przepływu przejściowego opisanego równaniem Darcy Forcheimera (12) można podzielić Logistyka 4/2013 257

na opór lepkościowy P v oraz opór bezwładnościowy P i, reprezentowane odpowiednio przez liniowy człon (αμ) oraz nieliniowy (βρ): P całkowity generowany opór przepływu [Pa s/m 2 ], P v opór lepkościowy [Pa s/m 2 ], P i opór bezwładnościowy [Pa s 2 /m 3 ]. P P P v (22) v i Człon źródłowy f p można przedstawić w postaci iloczynu oporów przepływu P i prędkości filtracji v: f P v P P v v (23) p v i Jeżeli założy się, że ΔL 0, to dla jednego z kierunków, w tym przypadku x równanie Darcy Forcheimera przyjmuje postać: lub z uwzględnieniem oporów P: dp 2 v f v (24) f dx dp P P v iv v dx (25) W tym przypadku wartości oporów lepkościowych i bezwładnościowych przyjmują wartości: Pv Pi (26) (27) Rys. 3. Podział układu geometrycznego przykładowego modelu na objętości kontrolne. Źródło: opracowanie własne. Modelowanie przepływów z wykorzystaniem równania Naviera Stokesa i członu źródłowego f p w postaci sumy oporów lepkościowych i bezwładnościowych pozwala wyznaczać parametry przepływu (prędkość filtracji, ciśnienie) w każdym elemencie siatki, na jaką został podzielony analizowany obszar (rysunek 3). Dodatkowo, w modelu uwzględnić można przepływ we wszystkich kierunkach układu współrzędnych (anizotropowość próbki) i zdefiniować opory przepływu dla każdego kierunku z osobna. Dla kartezjańskiego układu współrzędnych x, y, z opory przepływów P v i P i mogą przyjmować różne 258 Logistyka 4/2013

wartości dla każdej współrzędnej i obliczane są z uwzględnieniem prędkości w zadanym kierunku: f ( P P v ) v (28) px vx ix x x f ( P P v ) v (29) py vy iy y y f ( P P v ) v (30) pz vz iz z z Również w tym przypadku w trakcie obliczania oporów przepływu można skorzystać z empirycznych korelacji. Przykładowo, wykorzystując wzór Erguna (14), wartość poszczególnych oporów przepływu można wyrazić w postaci: P v P i 2 150 1 (31) 3 2 d 1.75(1 ) 3 (32) d lub w przypadku zastosowania korelacji Blake Kozeny ego: P v 2 180 1 (33) 3 2 d P 0 (34) i Parametry ośrodka porowatego mogą być wyznaczane z wykorzystaniem modelowania CFD w oparciu o podstawową formę równań zachowania masy i pędu (równanie Naviera-Stokesa). Równanie zachowania masy dla stanu ustalonego oraz płynu nieściśliwego posiada taką samą formę jak w równaniu (20). W równaniu Naviera-Stokesa nie musi być uwzględniany człon f p reprezentujący opory przepływu, ponieważ modelowaniu poddana jest tylko objętość zajmowana przez płyn. W tym przypadku nie uwzględniana jest żadna z form równań opisujących przepływ przez ośrodek porowaty, a całe zagadnienie sprowadza się do obliczenia parametrów przepływu płynu przez przestrzeń porową, którą można wyidealizować jako kanał o znanych parametrach geometrycznych (rysunek 8). W przypadku modelowania przepływów z zastosowaniem podstawowej formy równania Navier Stokesa niezbędna jest znajomość dokładnego układu geometrycznego przestrzeni porowej, a co za tym idzie również współczynnika porowatości Ф. Porowatość próbki można zdefiniować jako: A p przekrój poprzeczny przez przestrzeń porową [m 2 ], A s przekrój poprzeczny przez całą próbkę [m 2 ]. A p (35) A Bazując na wynikach symulacji możliwe jest wyznaczenie objętościowego strumienia przepływu w każdym przekroju (w tym przypadku na wylocie z analizowanej próbki) korzystając ze wzoru: q A p s vda (36) Wykorzystując wyżej wymienione zależności (35 36) w równaniu Darcy ego (9), możliwe staje się wyznaczenie współczynnika przepuszczalności k: Logistyka 4/2013 259

k L vda Ap p1 p (37) 2 Ap W równaniu (37) parametry geometryczne próbki (A p przekrój poprzeczny przez przestrzeń porową, L długość próbki, Ф- porowatość), własności płynu (μ- lepkość dynamiczna) oraz warunki brzegowe (p 1, p 2 ciśnienie na wlocie i wylocie próbki) są znane. Prędkość v jest rzeczywistą prędkością przepływającego płynu i jest wynikiem symulacji komputerowej. Jeżeli zastosuje się relację pomiędzy przepuszczalnością k a współczynnikiem filtracji K opisaną przez równanie (5), wtedy uzyskuje się wzór na średni współczynnik filtracji, wyprowadzony m.in. w [5]. Komputerowa mikrotomografia rentgenowska Komputerowa mikrotomografia rentgenowska jest jedną z najbardziej nowoczesnych metod badawczych w analizie petrofizycznej skał. Metoda ta jest bezinwazyjna, co oznacza, że analizowana próbka skalna nie ulega zniszczeniu (mechanicznemu lub w wyniku nasycenia cieczą, gazem) lub deformacji. Próbka skalna poddawana jest promieniowaniu rentgenowskiemu, dzięki czemu możliwe jest uzyskanie trójwymiarowego obrazu przestrzeni porowej porowej. Mikrotomografia rentgenowska dostarcza informacji na temat porowatości badanej skały, rozkładu porów w przestrzeni porowej, a także informacji o krętości kanalików porowych, istotnych przy zagadnieniu zdolności skały do przepływu. Mikrotomograficzny obraz przestrzeni porowej pozwala wyznaczyć jej cechy geometryczne, które następnie mogą zostać zastosowane do symulacji przepływu płynu w przestrzeni porowej skały. Prawo Beera definiuje podstawową wielkość mierzoną w mikrotomografii rentgenowskiej, czyli współczynnik tłumienia liniowego µ [6]: I I 0 exp( h) (38) t I 0 natężenie promieniowania padającego, I natężenie promieniowania przechodzącego X, h grubość próbki, µ t współczynnik tłumienia liniowego. Prawo Beera jest spełnione dla założenia, że wiązka promieniowania rentgenowskiego jest skolimowana (promienie są równoległe) i źródło promieniowania jest monochromatyczne (charakteryzujące się jedną częstotliwością). Współczynnik tłumienia liniowego µ zależy od gęstości elektronowej i liczby atomowej Z: gęstość elektronowa, Z liczba atomowa, a współczynnik Klein-Nishina (niemal niezależny od energii), b stała (9,8 x 10-24 ). 3,8 b Z t a (39) 3, 2 E Stosowane w mikrotomografii lampy rentgenowskie emitują energię z przedziału energetycznego promieniowania X, nie energię monochromatycznego promieniowania, dlatego też stosuje się całkę z współczynnika tłumienia liniowego µ, po grubości próbki. W ten sposób uwzględnia się zmiany współczynnika tłumienia liniowego µ wzdłuż ścieżki promieniowania X: 260 Logistyka 4/2013

t xdx I I0 e (40) Pierwszy człon równania (40) dotyczy rozpraszania Comptona (przeważa przy energiach promieniowania X powyżej 100 kev), natomiast drugi uwzględnia absorpcję fotoelektryczną (znaczenie przy energiach promieniowania X poniżej 100 kev). Skanowanie próbki niskimi i wysokimi energiami promieniowania X oraz rozwiązywanie równania (40) dla każdego piksela obrazu osobno pozwala na uzyskanie jednego obrazu proporcjonalnego do gęstości średniej, a drugiego do liczby atomowej (zależność od składu chemicznego). W przypadku, gdy skanowany przedmiot składa się z mieszaniny gatunków atomowych, wtedy absorpcja fotoelektryczna jest proporcjonalna do liczby atomowej Z: Z 3.8 e i i f i - ułamek elektronów w i-tym pierwiastku o liczbie atomowej Z i. 1 3.8 f Z (41) Pomiar komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej rozpoczyna się w momencie emisji wiązki promieniowania X przez lampę rentgenowską. Prześwietlana próbka rzuca cień na detektor, tworząc projekcję 2D. Promieniowanie, przechodząc przez próbkę, ulega absorpcji, czyli w zależności od badanego obiektu, w różnym stopniu jest osłabiane. Wieksze osłabienie wiązki wynika z większej gęstości próbki, lub jej fragmentu. Zasada pomiaru bazuje na zapisywaniu kolejnych projekcji (rzutu obrazu całej próbki na płaszczyznę detektora) promieniowania X, różniących się pozycją kątową w zakresie od 0 do 360 o. Im mniejszy kąt obrotu próbki, tym większa jest dokładność obrazu, ale także i dłuższy czas pomiaru. Aby uzyskać przekroje mikrotomograficzne próbki, czyli cięcie złożonych projekcji (przekroje poprzeczne projekcji), konieczne jest zastosowanie algorytmu projekcji wstecznej, który w efekcie pozwala na uzyskanie obrazu zmienności współczynnika pochłaniania liniowego. Algorytm projekcji wstecznej (back- projection) stanowi grupę algorytmów rekonstrukcji, czyli procesu matematycznego umożliwiającego pozyskanie przetworzonego obrazu. W miarę jak próbka jest obracana w trakcie pomiaru, zbierane są sekwencyjnie przekroje, tworzące zrekonstruowane obrazy 3D. Dzięki komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej uzyskuje się pełny obraz przestrzeni porowej badanej próbki skalnej. W zależności od rozdzielczości mikrotomografu zobrazowane są pory o wymiarach nanometrów (nonotomografy) lub mikrometrów (mikrotomografy). Daje to możliwość obliczenia współczynnika porowatości (Φ): V p objętość porów, V objętość szkieletu. Vp (42) V V p Wyniki komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej są prezentowane w postaci wizualizacji przestrzeni porowej 3D (rysunek 4 i 5). Wizualizacja przestrzeni porowej 3D pozwala na jej jakościową interpretację, natomiast interpretacja ilościowa obejmuje wyznaczenie parametrów petrofizycznych, między innymi, wartości porowatości, krętości kanałów porowych, a także obliczenie wybranych paramerów statystycznych. Wizualizowana próbka (rysunek 4 i 5) jest prostopadłościanem o wymiarach 950x950x400 wokseli w kierunku X, Y i Z. Woksel w grafice 3D jest najmniejszym elementem przestrzeni i w przypadku wykonanych badań mikrotomograficznych ma wymiary 5,8 x 5,8 x 5,8 μm 3 (1 woksel=195 μm 3 ). Logistyka 4/2013 261

Rys. 4. Wizualizacja szkieletu piaskowca karbońskiego (bez porów). Źródło: [6]. Rys. 5. Wizualizacja przestrzeni porowej piaskowca karbońskiego, próbka nr 888. Źródło: [6]. Proces uzyskania przetworzonego obrazu 3D dla całej próbki jest czasochłonny, dlatego dzieli się ją na dwie podpróbki (rysunki 6 i 7). W ten sposób dokonuje się segmentacji przestrzeni porowej z wydzieleniem dwóch elementów podpróbki A i B. Rys. 6. Wizualizacja przestrzeni porowej piaskowca karbońskiego, podpróbka A. Źródło: [6]. 262 Logistyka 4/2013

Rys. 7. Wizualizacja przestrzeni porowej piaskowca karbońskiego, podpróbka B. Źródło: [6]. Przestrzeń porowa została podzielona na podgrupy [6]. Każda z podgrup stanowi zespół porów połączonych ze sobą, lecz nieskomunikowanych z innymi podgrupami. Każda z podgrup została sklasyfikowana pod względem objętości. Wyróżnionych zostało 6 klas objętości podgrup przestrzeni porowej, oznaczonych na obrazie mikrotomograficznym odpowiednimi kolorami: I klasa: 1 9 wokseli, kolor żółty, II klasa: 10 99 wokseli, kolor niebieski, III klasa: 100 999 wokseli, kolor czerwony, IV klasa: 1000 9999 wokseli, kolor zielony, V klasa: 10000 99999 wokseli, kolor biały, VI klasa: >100000 wokseli, kolor fioletowy. Komputerowa mikrotomografia rentgenowska dostarcza niezbędnych danych do modelowania przepływu w ośrodku porowatym, dając możliwość odwzorowania przestrzeni porowej. Kluczem do poprawnego przeprowadzenia modelowania przepływu płynów przez skałę jest dokładność określenia parametrów geometrycznych przestrzeni porowej. Pomiar komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej, a także interpretacja wyników była wykonana w Instytucie Nafty i Gazu w Krakowie przy zastosowaniu mikrotomografu rentgenowskiego Benchtop CT160, ze źródłem rentgenowskim emitującym stożkową wiązkę fotonów o energii z zakresu 40 160kV i rozdzielczości dochodzącej do 3 µm. Modelowanie przepływu w przestrzeni porowej piaskowca karbońskiego Do przeprowadzenia modelowania przepływu, określenia przepuszczalności i sprawdzenia poprawności założonych parametrów w symulacji wybrano próbkę piaskowca karbońskiego o porowatości całkowitej równej 15%, która została pobrana z rdzenia wiertniczego z głębokości 3154 m (rysunek 4 7). Otwór wiertniczy zlokalizowany jest w rejonie antyklinorium pomorskiego. W celu otrzymania parametrów geometrycznych przestrzeni porowej użyte zostały obrazy mikrotomograficzne (rysunek 4 i 5). Wybrano fragment 2D przestrzeni porowej z rysunku 4, w miejscu, w którym pory były względnie największe oraz połączone. Fakt ten ma znaczenie, gdyż obliczona wartość porowatości i przepuszczalności jest zawyżona i nie ma odniesienia do całości próbki piaskowcowej. Kształt porów został uproszczony w sposób optymalny. Pory zostały zastąpione najbardziej zbliżonym Logistyka 4/2013 263

do rzeczywistości, prostym kształtem, w tym przypadku prostokątem. Porowatość efektywna, czyli porowatość, która bierze udział w przepływie płynu, wynosi 15%. Uproszczony fragment przekroju przez próbkę piaskowca karbońskiego, użyty do symulacji przedstawiony jest na rysunku 8. Rys. 8. Geometria przestrzeni porowej piaskowca karbońskiego Źródło: [7]. W celu kalkulacji przepuszczalności zastosowano modelowanie przepływu wody przez przestrzeń porową piaskowca karbońskiego. Przed przystąpieniem do symulacji przepływu zostały ustawione następujące parametry symulacji w programie Star- CCM+ [8]: lepkość dynamiczna płynu (µ=8,8*10-4 Pa*s) i spadek ciśnienia ( p=0,79 Pa, 7,9 Pa, 79 Pa i 799 Pa). Wynikami symulacji są wartości strumienia objętości płynu q otrzymane dla kolejnych gradientów ciśnienia p. Wartość przepuszczalności została obliczona przy użyciu równania (37) zakładając parametry geometrii przestrzeni porowej (A s = 1,37*10-3 m, L= 2,3*10-3 m). Wynikiem modelowania przepływu w przestrzeni porowej jest objętość przepływającego płynu q oraz przepuszczalność k, zaprezentowane w tablicy 2. Tablica 2. Wyniki symulacji przepływu wody przez fragment przestrzeni porowej piaskowca karbońskiego. 1 2 3 4 p [Pa] 0.79 7.9 79 799 q [m 3 /s] 1,29*10-9 1,29*10-8 1,29*10-7 1,29*10-6 k [md] 2441 2441 2441 2441 Źródło: [7]. Objętość przepływającego płynu q wzrasta liniowo podczas zwiększania gradientu ciśnienia p, co jest charakterystyczne dla przepływów w zakresie stosowalności równania Darcy ego. Wartość przepuszczalności dla czterech symulacji pozostawała stała, co potwierdziło założenia wprowadzone do modelowania przepływu w przestrzeni porowej. Wartość otrzymanej przepuszczalności mieści się w przedziale spodziewanych w rzeczywistości wartości przepuszczalności dla skał o porowatości 15% i nieskomplikowanej budowie przestrzeni porowej. Jednakże wyestymowana wartość przepuszczalności w tym przypadku jest zawyżona, z powodu uproszczonej geometrii przestrzeni porowej. Dla wszystkich założonych różnic ciśnień przepływ płynu jest laminarny i zastosowanie prawo Darcy ego jest uzasadnione. Rysunek 9 prezentuje objętość przepływającego płynu q jako funkcję liniową zmian ciśnienia p. 264 Logistyka 4/2013

Rys. 9. Strumień objętości płynu jako funkcja gradientu ciśnienia. Źródło: [7]. Oprócz możliwości estymacji parametrów przepływu (tablica 2) modelowanie przepływu w przestrzeni porowej pozwoliło na określenie pola prędkości (rysunek 10 12) dla gradientów ciśnienia p, rozkładu ciśnienia (rysunek 13) oraz linie kierunku przepływu płynu (rysunek 14). Szczegółowa analiza rozkładu pola prędkości, ciśnień oraz linii przepływu płynu niesie informację na temat wpływu stopnia komplikacji układu geometrycznego przestrzeni porowej i krętości kanałów porowych na przepuszczalność skał. Symulacja została także przeprowadzona dla ciekłego azotu i potwierdziła poprawność jej założeń, otrzymując ten sam wynik. Rys. 10. Rozkład pola prędkości płynu dla gradientu ciśnienia p =7,9 Pa. Źródło: opracowanie własne. Rys. 11. Rozkład pola prędkości płynu dla gradientu ciśnienia p =79 Pa. Źródło: [7]. Logistyka 4/2013 265

Rys. 12. Rozkład pola prędkości płynu dla gradientu ciśnienia p =799 Pa. Źródło: opracowanie własne. Rys. 13. Rozkład ciśnienia dla symulacji przeprowadzonej dla gradientu ciśnienia p=79 Pa. Źródło: [7]. Rys. 14. Rozkład linii przepływu płynu dla gradientu ciśnienia p=79 Pa. Źródło: [7]. 266 Logistyka 4/2013

Na podstawie uzyskanych wyników modelowania przepływu cieczy przez przestrzeń porową przeprowadzono kolejną symulację przepływu, bez odzwierciedlania dokładnego układu geometrycznego. Układ geometryczny próbki, dla której przeprowadzono obliczenia, przedstawia rysunek 15. W celu wykonania modelowania ośrodka porowatego, założono wartość oporów lepkościowych P v (26), gdzie wartość współczynnika α obliczono przy użyciu wyznaczonej wartości współczynnika przepuszczalności k=2441 md. Lepkość analizowanego płynu μ pozostaje bez zmian. Na wlocie próbki założona została wartość prędkości filtracji v f, obliczona na podstawie wyznaczonego objętościowego strumienia przepływu q i przekroju poprzecznego próbki A dla wariantu 3 ( p=79pa), wg zależności v f = q/a. Wartości użyte do obliczeń zestawione zostały w tablicy 3. Rys. 15. Dyskretyzacja analizowanego obszaru próbki. Źródło: opracowanie własne. Tablica 3. Dane przyjęte do obliczeń przepływu przez obszar próbki przedstawiony na rysunku 15. p [Pa] P v [kg/m 3 s] k [md] μ [Pa s] q/a [m/s] 1700 3,64*10 8 2441 8,8*10-4 9,416*10-5 Źródło: opracowanie własne. Dla tak założonych parametrów wyznaczony został spadek ciśnienia na długości próbki (rysunek 16). Porównanie założonej wartości spadku ciśnienia na długości próbki dla symulacji przy dokładnym odwzorowaniu przestrzeni porowej (próbka 1) z wynikiem obliczeń uzyskanym dla założonego oporu przepływu Pv (próbka 2) przedstawia tablica 4. Tablica 4. Porównanie wyników symulacji dla dwóch różnych przyjętych geometrii analizowanej próbki piaskowca karbońskiego. Próbka p [Pa] p/l [Pa/m] 1 1714 34051 2 79 34280 Źródło: opracowanie własne. Uzyskane wyniki potwierdzają wiarygodność założonych parametrów i poprawność wykonanych symulacji. Parametry materiału porowatego, wyznaczone w oparciu o obraz mikrotomograficzny i symulacje przepływu pozwalają przeprowadzać symulacje dla dużo większego obiektu z zachowaniem bardzo wysokiej dokładności. Logistyka 4/2013 267

Rys. 16. Wynik w postaci rozkładu ciśnienia w analizowanym obszarze próbki dla zdanej wartości prędkości filtracji v f i oporów przepływu P v. Źródło: opracowanie własne. Wnioski Modelowanie przepływu płynu w przestrzeni porowej skały jest rozszerzeniem informacji w stosunku do standardowo stosowanych metod otrzymywania parametrów petrofizycznych skał, w szczególności przepuszczalności. Połączenie komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej i modelowania przepływu koresponduje z standardowymi badaniami laboratoryjnymi na rdzeniach wiertniczych i stanowi uzupełniającą metodę w przypadku skał niskoporowatych i niskoprzepuszczalnych (tight gas, shale gas). Zastosowanie mikrotomografu pozwala dokładnie odwzorować przestrzeń porową, a jej znajomośćwyznaczyć współczynnik przepuszczalności za pomocą komputerowej mechaniki płynów [9]. Jeżeli uda się wyznaczyć współczynniki przepuszczalności i będą one reprezentatywne dla większej ilość próbek, możliwe staje się obliczanie parametrów przepływu, a w szczególności spadku ciśnienia w skałach na odpowiednio dużych głębokościach. Symulacja przepływu daje możliwość wnikliwej analizy wpływu stopnia skomplikowania parametrów geometrycznych przestrzeni porowej na rozkład pola prędkości, ciśnienia i linii przepływu płynu. Podziękowania Autorzy pragną podziękować Ministerstwu Ochrony Środowiska za udostępnienie rdzeni wiertniczych, a także Wydziałowi Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie za dostęp do programu Star- CCM+. Badania laboratoryjne na rdzeniach wiertniczych zostały wykonane w Instytucie Nafty i Gazu w Krakowie. Projekt badawczy nr 18.18.140.244, obejmujący zagadnienie modelowania przepływu w ośrodku porowatym, jest finansowany przez Narodowe Centrum Nauki i prowadzony na Wydziale Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska AGH Akademii Górniczo- Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie. Streszczenie Jednym z podstawowych zadań petrofizyków pracujących dla przemysłu naftowego jest określenie parametrów fizycznych skał do oszacowania ich potencjału zbiornikowego. Oprócz wyznaczania parametrów fizycznych skał ważnym zagadnieniem jest określenie zdolności skały do przepływu mediów. W ostatnich latach dokonano bardzo intensywnego rozwoju dziedziny komputerowego modelowania przepływów CFD (Computational Fluid Dynamics). Modelowanie stało się potężnym narzędziem, pozwalającym na szczegółowe analizy przepływu płynu w ośrodkach porowatych, w tym w skałach. W pracy przedstawiony został opis metod wykorzystujących komputerowe modelowanie przepływów dowyznaczania parametrów zbiornikowych skał oraz wyniki modelowania dla 2D fragmentu przestrzeni porowej karbońskiej próbki piaskowcowej pochodzącej z głębokości ponad 3000 m. Połączenie wyników mikrotomografii komputerowej i modelowania przepływu w ośrodku porowatym dostarcza odpowiedzi 268 Logistyka 4/2013

na pytania na temat potencjału zbiornikowego oraz filtracyjnego skał. Słowa kluczowe: modelowanie przepływów, potencjał zbiornikowy, mikrotomografia komputerowa. COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS TO DETERMINE RESERVOIR PARAMETERS OF ROCKS Abstract One of the basis task realizing by petrophysicists working in petroleum industry is determination of rocks petrophysical parameters to estimate their reservoir potential. Besides determining the petrophysical parameters of rocks one of the most important issue is to evaluate the rock capability to fluid flow in porous space. Nowadays, there was made very intensive development of computational fluid dynamics field (CFD), which becomes a powerful tool allowing detailed analysis of fluid flow also in porous materials. Description of CFD methods for reservoir parameters determination is presented in the article. Also the results of 2D modeling of a pore space fragment of Carboniferous sandstone sample, which was cored below 3000 m depth, are discussed. Combination of computed microtomography and fluid flow modeling in pore space lead to the answer about the reservoir and filtration potential of the analyzed rocks. Keywords: computational fluid dynamics, reservoir potential, computed microtomography Literatura [1] Andersson B., Andersson R., Hakansson L., Mortensen M., Sudiyo R., Wachem B.: Computational Fluid Dynamics for Engineers, Cambridge University Press, Cambridge, Wielka Brytania 2012. [2] Amao A.M.: Mathematical model for Darcy Forchheimer flow with applications to well performance analysis, Praca doktorska, Texas Tech University, Misato 2007. [3] Peszyńska M., Trykozko A., Sobieski W.: Forchheimer law in computational and experimental studies of flow through porous media at porescale and mesoscale, GAKUTO International Series Mathematical Sciences and Applications, tom 32, Tokyo 2010, s. 463 482. [4] Darby. R.: Chemical Engineering Fluid Mechanics, Marcel Dekker Inc., New York 2001. [5] Narsilio G., Buzzi O., Fityus S., Yun T., Smith D.: Upscaling of Navier- Stokes equations in porous media: Theoretical, numerical and experimental approach, Computers and Geotechnics, 36, Elsevier, s. 1200 1206. [6] Zalewska J., Dohnalik M., Łykowska G., Kiernicki J.: Sprawozdanie Nr 37/11/2011. Badanie własności petrofizycznych skał wybranych formacji gazonośnych, Instytut Nafty i Gazu, Kraków 2011. [7] Krakowska P., Madejski P., Jarzyna J.: Fluid flow modeling in tight Carboniferous sandstone, Materiały konferencyjne 75 th EAGE Conference and Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013, baza publikacji EAGE EartDoc www.earthdoc.org, Londyn, Wielka Brytania 2013. [8] Star- CCM+ software, Computational Dynamics Ltd., Londyn 2011 [9] Zalewska J.: Rentgenowska mikrotomografia komputerowa w badaniu skał węglanowych, Prace naukowe Instytutu Nafty i Gazu nr 171, Wydawnictwo INiG, Kraków 2010. Logistyka 4/2013 269