ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych 3. Związki trygonometryczne tego samego kąta. 4. Wyznaczanie brakujących wartości funkcji trygonometrycznych. 5. Tożsamości trygonometryczne ich wykazywanie 6. Zastosowanie trygonometrii w planimetrii. II. Planimetria. 1. Twierdzenie Pitagorasa i Talesa. 2. Cechy podobieństwa trójkątów. 3. Kąty w okręgu wpisany i środkowy, zależności. 4. Skala podobieństwa figur. III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. 2. Badanie własności ciągu np. a n < 2, a n = 3, monotoniczność, wykres ciągu, szukanie wzoru ciągu 3. Ciąg arytmetyczny definicja, wzory na a n, S, wyznaczanie an i r 4. Ciąg geometryczny definicja, wzory na a, S n, wyznaczanie an i q. 5. Procent składany lokaty, kredyty IV. Rachunek prawdopodobieństwa 1. Doświadczenie losowe i jego zbiór wyników elementarnych 2. Zdarzenia i ich moc. 3. Definicja klasyczna prawdopodobieństwa i jej zastosowanie. 4. Reguła mnożenia i dodawania na drzewku. 5. Własności prawdopodobieństwa w zastosowaniu w zadaniach. 6. Obliczanie prawdopodobieństwa.
Naturalnie, że zdasz I. TRYGONOMETRIA. Zad1. W trójkącie prostokątnym ABC (wierzchołek C-kąt prosty) wyznacz długości boków i miary kątów jeśli: a) 12, 30, b) 20, 60, c) 4, 45. Zad2. W trapezie prostokątnym krótsza podstawa ma długość 6 cm natomiast druga jest o 4 cm dłuższa, kąt ostry trapezu ma miarę 30 o. Oblicz pole i obwód tej figury. Zad3. W prostokącie przekątna długości 12dm tworzy z krótszym bokiem kąt o mierze 60 o. Oblicz pole o obwód prostokąta. Zad4. Oblicz pole rombu o kacie ostrym 60 o i boku 4cm. Zad5. Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych jeśli: a), b) 3, c), d) 6. Zad6. Sprawdź tożsamość: a) 12, b). II. PLANIMETRIA. Zad1. Które z par figur są podobne? Dla figur podobnych podaj skalę podobieństwa. a) prostokąt o wymiarach 8 x 12 oraz prostokąt 6 x 8; b) trójkąt o podstawie 12 i wysokości 8 oraz trójkąt o podstawie 6 i polu 12. c) prostokąt o wymiarach 4 x 10 oraz prostokąt 6 x 15
d) trapez prostokątny o podstawach 4 i 12 oraz wysokości 9 i trapez o podstawach 2 i 6 oraz polu 16. Zad2. Na rysunku proste m i k są równoległe. Oblicz: a) IKTI, jeśli IOTI=28 dm, IRAI=4 dm, IKRI=1dm, b) IKOI, jeśli IKTI=25 cm, IKRI=15 cm, IKAI=50 cm, c) IARI, jeśli IKAI=3 m, IKTI=18 m, IOTI=0,6m, d) IKAI, jeśli IKRI=4 dm, IOTI=1,2 dm, IKTI=1,8 dm. m T k O A R K Zad3. Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego, w którym jedna podstawa ma długość 8 cm natomiast druga jest dłuższa o 6cm, kąt ostry ma miarę 30 o. Zad4. Oblicz pole i obwód trapezu prostokątnego, w którym jedna podstawa ma długość 6 cm natomiast druga jest dłuższa o 4cm, kąt ostry ma miarę 60 o. Zad5. W trapezie równoramiennym ramię ma długość 12 cm. Przekątna jest prostopadła do ramienia, kąt ostry ma miarę 60 o. Oblicz pole i obwód figury. Zad6. Czy trójkąt o bokach k, l, m jest podobny do trójkąta o bokach p, q, r (odpowiedź krótko uzasadnij)? a) k = 5 cm p = 18 cm b) k = 7 cm p = 30 cm l = 9 cm q = 24 cm l = 3 cm q = 18 cm m = 12 cm r = 10 cm m = 10 cm r = 21 cm. c) k = 6 cm p = 12 cm d) k = 8 cm p = 20 cm l = 7 cm q = 18 cm l = 6 cm q = 18 cm m = 9 cm r = 14 cm m = 10 cm r = 16 cm. e) A= 38 o P = 88 o f) A= 54 o P = 68 o B= 88 o Q = 54 o B= 68 o Q = 58 o. Zad7. W trójkącie!"# boki mają długości:!" 2 %, "# 3%,!# 4 %.Obwód trójkąta! " # podobnego do trójkąta!"#, jest równy 59cm. Oblicz długości boków trójkąta! " #.
Zad8. Oblicz miary kątów zaznaczonych na rysunkach:
III. CIĄGI LICZBOWE. Zad1. Zbadaj monotoniczność następujących ciągów liczbowych: a) & 31, b) & 2, c) & 4. Zad2. Wyznacz piąty, siódmy i jedenasty wyraz ciągu określonego wzorem a) & 2 5'3, b) & 3 '8'13. Zad3. Liczby 3,2%1,'2 są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego i jednocześnie trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz %. Zad4. Liczby ),*,12 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, natomiast ),*,9 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz liczby ) *. Zad5. Oblicz wyraz pierwszy i różnicę ciągu arytmetycznego o wyrazie piątym równym 5 i ósmym równym -1. Zad6. Oblicz wyraz pierwszy i różnicę ciągu arytmetycznego o wyrazie piątym równym 5 i setnym równym 97. Zad8. Jeżeli liczby log 8, ),1są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to ile wynosi liczba ). Zad9. Wyznacz ) jeżeli liczby 3),),) '2) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad10. Ile wynosi iloraz ciągu geometrycznego określonego wzorem & 7 3 &0. Zad11. Wyznacz miejsce zerowe ciągu & 3 52. Zad12. Liczby log 9,2log 8,6log127 są kolejnymi wyrazami ciągu 2 geometrycznego. Wyznacz iloraz q. Zad13. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Przeciwprostokątna ma długość 30. Oblicz długości przyprostokątnych. Zad14. Między liczby 28 i 52 wstaw takie dwie liczby, aby ciąg (28,x,y,52) był ciągiem arytmetycznym.
Zad15. Przy wykopie studni za pierwszy metr głębokości zapłacono 20 zł, a za każdy następny metr o 10 zł więcej niż za poprzedni. Całkowity koszt wykopu studni wyniósł 1350 zł. Jaka głęboka jest studnia? Zad16. Za trzy książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono 61 zł. Za pierwszą i drugą zapłacono razem 11 zł więcej niż za trzecią. Ile zapłacono za każdą książkę. Zad17. Piłka, odbiwszy się od ziemi, osiąga za każdym razem poprzedniej wysokości. Jak wysoko wzniosła się piłka po pierwszym uderzeniu, jeśli po szóstym odbiła się na wysokość 32 cm. IV. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Zad1. Rzucamy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A wypadła szóstka, B wypadły co najmniej trzy oczka, C nie wypadła dwójka, D wypadła nieparzysta liczba oczek. E wypadła czwórka, F wypadły co najmniej cztery oczka, G nie wypadła piątka, H wypadła parzysta liczba oczek. Zad2. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A w drugim rzucie wypadnie liczba oczek o dwa większa niż w pierwszym, B suma oczek w obydwu rzutach jest większa niż 8, C iloczyn wyrzuconych oczek będzie podzielny przez 9. D w pierwszym rzucie wypadnie liczba oczek o trzy większa niż w drugim, E suma oczek w obydwu rzutach jest większa niż 7, F iloczyn wyrzuconych oczek będzie podzielny przez 6.
Zad3. W urnie znajduje się pięć kul z numerami 2, 3, 5, 7, 8. Losujemy ze dwukrotnie ze zwracaniem jedną kulę. Wylosowane w ten sposób cyfry tworzą liczbę dwucyfrową. Z jakim prawdopodobieństwem wylosujemy w ten sposób liczbę: a) większą niż 53, b) mniejszą niż 77? Zad4. W urnie znajduje się pięć kul z numerami 1, 2, 4, 6, 9. Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem jedną kulę. Wylosowane w ten sposób cyfry tworzą liczbę dwucyfrową. Z jakim prawdopodobieństwem wylosujemy w ten sposób liczbę: a) większą niż 44, b) mniejszą niż 62? Zad5. Ile jest czterocyfrowych liczb o różnych cyfrach, jeżeli do ich zapisania możemy użyć następujących cyfr: a) 2, 3, 4, 6, 7, b) 1, 2, 4, 5, 8, 9, c) 0, 1, 3, 6, 7, 8, 9. Zad6. W urnie znajdują się cztery kule czerwone, trzy niebieskie i dwie zielone. Losujemy dwukrotnie bez zwracania po jednej kuli. Co jest bardziej prawdopodobne wylosowanie dwóch kul czerwonych czy zielonej i niebieskiej? Zad7. W urnie znajdują się cztery kule białe, trzy zielone i dwie niebieskie. Losujemy dwukrotnie bez zwracania po jednej kuli. Co jest bardziej prawdopodobne wylosowanie dwóch kul białych czy zielonej i niebieskiej? Zad8. Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana karta będzie figurą lub pikiem. Zad9. Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana karta będzie figurą lub koloru czerwonego.