Jak przygotować się szybko i zdać pewnie maturę z matematyki.

Transkrypt

1

2 Jak przygotować się szybko i zdać pewnie maturę z matematyki. Na podstawie statystycznej analizy matur od 005 roku. Ucz się mądrze, a nie dużo.

3 Spis treści Wstęp...5 Kluczowe umiejętności, czyli rozwiązywanie równań, nierówności i układów równań...8 Rozwiązanie 1. 9 Rozwiązanie 9 Rozwiązanie 10 Rozwiązanie 4 10 Rozwiązanie 5 11 Rozwiązanie 6 1 Rozwiązanie 7 1 Rozwiązanie 8 1 Rozwiązanie 9 14 Rozwiązanie Wstęp do rozwiązania zadania Rozwiązanie zadania Rozwiązanie 1 18 Rozwiązanie Zadania...0 Typ 1. Ułamki...0 Typ. Pierwiastki... Typ. Logarytmy...5 Typ 4. Potęga o wykładniku wymiernym...7 Typ 5. Procenty...9 Typ 6. Nierówność bezwzględna...1 Typ 7. Równania liniowe... Typ 8. Równania kwadratowe...6 Typ 9. Równania stopnia (wielomiany)...8 Typ 10. Układy równań liniowych 1 stopnia...40 Typ 11. Układy równań kwadratowych...4 Typ 1. Nierówności liniowe...46 Typ 1. Nierówności kwadratowe...49 Typ 14. Parametr w funkcji liniowej...5 Typ 15. Dowody własności geometrycznych...55 Typ 16. Obliczanie wartości wyrazu w ciągu arytmetycznym...57 Typ 17. Średnia geometryczna...59 Typ 18. Zadania tekstowe : droga, czas, prędkość...61 Typ 19. Funkcja liniowa ogólne własności...65 Typ 0. Funkcja kwadratowa ogólne własności...67 Typ 1. Funkcje i inne własności na podstawie wykresu...69 Typ. Zbiór wartości funkcji...7 Typ. Miejsce zerowe funkcji...74 Typ 4. Określ współczynniki funkcji...76 Typ 5. Określ wzór funkcji...78 Typ 6. Wykres funkcji wykonanie rysunku, odczytanie własności...81 Typ 7. Czy punkt należy do wykresu funkcji...85 Typ 8. Zbiór argumentów dla których funkcja ma daną własność...87 Typ 9. Trójkąt dowolny - równoramienny...89 Typ 0. Trójkąt i

4 Typ 1. Trójkąt równoboczny...95 Typ. Trapez...98 Typ. Koło okrąg wielokąty wpisane i opisane Typ 4. Kąty w okręgu...10 Typ 5. Pole figury płaskiej Typ 6. Obwód Typ 7. Długość odcinka Typ 8. Podobieństwo skala tw.talesa...11 Typ 9. Twierdzenie Pitagorasa Typ 40. Graniastosłupy Typ 41. Ostrosłupy...11 Typ 4. Liczba krawędzi wierzchołków - ścian...17 Typ 4. Pole powierzchni całkowitej i bocznej...18 Typ 44. Objętość...11 Typ 45. Długość odcinka w bryle...1 Typ 46. Podaj pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych dla sinxa...18 Typ 47. Kombinacje Typ 48. Prawdopodobieństwo klasyczne...14 Typ 49. Kostka do gry Typ 50. Średnia arytmetyczna Typ 51. Równanie prostej równoległej do danej prostej Typ 5. Równanie prostej prostopadłej do danej prostej...15 Typ 5. Równanie okręgu Typ 54. Środek odcinka

5 Wstęp Trzymasz w rękach esencję matury z matematyki na poziomie podstawowym. Główną siłą napędową mobilizującą mnie do napisania tej książki była chęć stworzenia materiału, który pomoże w przygotowaniu do matury, ale w przeciwieństwie do innych pozycji na rynku nie będzie miał setek zadań z krótkimi lakonicznymi odpowiedziami. W mojej książce zadania są dobrane w bardzo przemyślany sposób. Jest ich znacznie mniej, ale nie w ilości siła, a w metodzie doboru i jakości rozbudowanych odpowiedzi. Przeanalizowałem wszystkie matury od 005 roku uwzględniając ponad 00 typów zadań. Stworzyłem na tej podstawie obszerną bazę danych, której analiza statystyczna pozwoliła na wybranie 54 kluczowych umiejętności. Analiza ta jest fundamentem tej książki. Jest w niej to, co jest WAŻNE. Nie ma tu zadań umieszczonych na wszelki wypadek. Jest to zbiór zadań dobranych ze względu na statystycznie największe prawdopodobieństwo pojawienia się ich na egzaminie. Masz przed sobą bardzo silne narzędzie, które w sposób precyzyjny pozwoli zmaksymalizować i zoptymalizować Twoje przygotowanie do matury. Trzeba w tym miejscu wyraźnie zaznaczyć, że mówię tu o zmaksymalizowaniu wyniku egzaminu, przy minimalnych nakładach czasowych. Jeśli masz ambicję zdać na 100%, to ta pozycja nie wyczerpuje tematu, ale niewątpliwie stanowi bezwzględną bazę do dalszej pracy. Dzięki wyselekcjonowanym zadaniom możesz się skupić na nauce kluczowych i najważniejszych umiejętności. Na każdy z pięćdziesięciu czterech typów przypadają zadania treningowe, zatem całość materiału zamyka się w 16 zadaniach. Rozwiązanie do każdego z nich jest bardzo dokładnie omówione. Starałem się w taki sposób je przedstawić, aby jak najmniej pozostawało w sferze domysłu i nie był pominięty żaden krok. Nie obawiaj się, stosuję luźny, mało formalny język, a ponadto często podaję sposoby i triki ułatwiające myślenie. Pozwalają one zaoszczędzić cenny czas na egzaminie. Bezpośrednio po każdym dziale poświęconym zadaniom, znajdują się rozwiązania. Jeżeli masz mało cierpliwości, to możesz pominąć rozdział drugi. Omawiam w nim kluczowy temat jakim jest umiejętność rozwiązywania równań. Jeśli nie masz z tym problemu lub nie potrzebujesz wyjaśnień, nie wahaj się i omiń go. Proponuję jednak abyś poświęcił przynajmniej chwilę na refleksję nad zadaniami. Zadaj sobie pytanie: czy aby na pewno potrafisz rozwiązać każde z nich? W poniższej tabeli przedstawiam zbiór pięćdziesięciu czterech typów, które ujawniły się w wyniku analizy materiału maturalnego z okresu 10 lat. Wyobraź sobie wielkie sito z oczkami których jest ponad 00. Wkładasz do niego wszystkie pytania z matur z lat Liczysz z którego oczka pytania wypadają najczęściej. Każde oczko reprezentuje pewien typ zadania. 5

6 Okazało się, że są oczka przez które nie wypadło ani jedno zadanie. Są również oczka, przez które zadania wypadały znacznie częściej niż przez inne. Te które cieszyły się największym powodzeniem są zebrane w poniższej tabeli. Treść i wszystkie zadania w tej książce są poświęcone właśnie tym najpopularniejszym typom. Część pierwsza książki obejmuje tematy od 1 do 8, a część druga wyczerpuje resztę tematów. L.p. Nazwa Dział 1 Ułamki Pierwiastki Logarytmy 4 Potęga o wykładniku wymiernym 5 Oblicz liczbę gdy dany jest jej % Procenty 6 Nierówność bezwzględna Wartość bezwzględna 7 Równania liniowe 8 Równania kwadratowe 9 Równania wielomianowe 10 Układy równań liniowych 11 Układy równań kwadratowych 1 Nierówność liniowa 1 Nierówność kwadratowa 14 Parametr w funkcji liniowej Parametr 15 Dowody własności geometrycznych Dowody 16 Obliczanie wartości wyrazu w ciągu arytmetycznym 17 Średnia geometryczna 18 Zadania tekstowe: prędkość, droga, czas 19 Funkcja liniowa ogólne własności 0 Funkcja kwadratowa 1 Funkcje własności na podstawie wykresu Zbiór wartości funkcji Miejsca zerowe funkcji 4 Określ współczynniki funkcji 5 Określ wzór funkcji 6 Wykres funkcji wykonanie rysunku, odczytanie własności 7 Czy punkt należy do wykresu funkcji 8 Zbiór argumentów dla których funkcja ma daną własność 9 Trójkąt dowolny - równoramienny 0 Trójkąt oraz Trójkąt równoboczny Liczby i działania Równania Układy równań Nierówności Ciągi Zadania tekstowe Funkcje Planimetria 6

7 Trapez Koło/okrąg wielokąty wpisane i opisane 4 Kąty w okręgu 5 Pole figury płaskiej 6 Obwód 7 Długość odcinka 8 Podobieństwo / skala / tw. Talesa 9 Twierdzenie Pitagorasa 40 Graniastosłupy 41 Ostrosłupy 4 Liczba krawędzi / wierzchołków / ścian 4 Pole powierzchni całkowitej i bocznej 44 Objętość 45 Długość odcinka w bryle 46 Podaj pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych gdy sin xa 47 Kombinacje 48 Prawdopodobieństwo klasyczne 49 Kostka do gry 50 Średnia arytmetyczna 51 Równanie prostej równoległej do danej 5 Równanie prostej prostopadłej do danej 5 Równanie okręgu 54 Środek odcinka Stereometria Trygonometria Prawdopodobieństwo Statystyka Geometria anal 7

8 Zadania Typ 9. Trójkąt dowolny - równoramienny Zadanie 85 Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym, którego ramiona mają długości 6, a podstawa ma długość. Zadanie 86 W trójkącie równoramiennym miara kąta rozwartego jest cztery razy większa od miary kąta ostrego. Oblicz miarę kąta ostrego i kąta rozwartego w tym trójkącie. Zadanie 87 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 i obwodzie 4. Rozwiązanie zadania 85 Sporządzamy rysunek pomocniczy. Z twierdzenia Pitagorasa budujemy równanie. 1 +h 6 h6 1 h5 h 5 Rozwiązanie zadania 86 Niewiadomy kąt ostry na rysunku oznaczam przez x. 8

9 Suma kątów w trójkącie wynosi 180o zatem: x + x +4 x180 o 6 x180 x0 o o /:6 Rozwiązywanie zadania 87 Rysunek pomocniczy zawsze jest mile widziany. Wiedząc, że obwód trójkąta wynosi 4 oraz jeden z boków ma długość 6, łatwo dochodzimy do wniosku, że ramiona mają długość 9. Teraz narysujemy problem naszego zadania. Literą r oznaczam promień okręgu wpisanego jak na rysunku. W tablicach znajdziemy wzór : 9

10 PΔ ABC rp, gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego w trójką, a p jest zdefiniowane jako połowa obwodu. Skoro mamy obwód podany w treści zadania, to szybko możemy znaleźć wartość p dzieląc go przez. p1 Zauważmy, że mając powyższe informacje możemy ustalić długość wysokości h. Możemy to zrobić dzięki twierdzeniu Pitagorasa. Wykonanie obliczeń pozostawiam czytelnikowi, ponieważ i przebieg jest bardzo podobny do tych z zadania 85. h6 Dzięki temu, możemy obliczyć pole trójkąta. P Dzięki temu, że mamy wiedzę jaką wartość ma pole, możemy otrzymaną liczbę podstawić do znalezionego w tablicach wzoru PΔ ABC rp. Otrzymamy: 18 r r r 10

11 Typ. Trapez Zadanie 94 W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 45 o, krótsza przekątna o długości ma długość taką jak dłuższy bok trapezu. Oblicz długości boków i podstawy dolnej. Zadanie 95 W trapezie o kątach i długościach przedstawionych na rysunku oblicz długości pozostałych boków. Zadanie 96 Oblicz obwód trapezu równoramiennego o wysokości 4, oraz podstawach długości 5 i 9. Rozwiązanie zadania 94 Obliczamy wartość x. x x + x ( ) x 9 /: x 9 / lub x (długość >0) 11

12 Mając obliczoną wartość x, możemy obliczyć y. y y + x ( ) y +9 y 18 9 y 9 lub y (długość> 0) Teraz możemy napisać długości boków. b, ax+y stąd a+6, cy zatem c. Znamy długości wszystkich boków. Rozwiązanie zadania 95 Rysunki zastąpią słowa. Podstawa dolna ma długość : 7+, a ramię:. Rozwiązanie zadania 96 1

13 Typ. Koło okrąg wielokąty wpisane i opisane Zadanie 97 Oblicz pole trapezu równoramiennego opisanego na kole o promieniu cm i ramionach o długości 6 cm. Zadanie 98 W trójkąt prostokątny wpisano okrąg. Punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną podzielił ją na odcinki długości 4 i 6. Oblicz pole trójkąta i promień okręgu wpisanego. Zadanie 99 Oblicz długość krótszej przekątnej w sześciokącie foremnym wpisanym w okrąg o średnicy 4. Rozwiązanie zadania 97 W tym zadaniu kluczowe jest twierdzenie, które mówi, że w czworokącie w którym jest wpisany okrąg suma długości naprzeciwległych boków jest równa. Oznacza to, że: a+b6+6. Teraz wystarczy wstawić znane długości do wzoru na pole trapezu : P a+b h. P

14 Rozwiązanie zadania 98 W trójkącie w który jest wpisany okrąg, odpowiednie odcinki zaznaczone kolorami są równe. Możemy zapisać twierdzenie Pitagorasa: (6+r ) +( 4+r )( 6+4 ) Powyższe równanie rozwiążemy, pamiętając o wzorach skróconego mnożenia. 6+1 r +r r +r 100 r +0 r 480 /: r +10 r 40 Δ , Δ14. r mniejsze od zera, r większe od zera. Mamy odpowiedź na jedno z pytań w zadaniu: r. Znając długość promienia okręgu możemy określić długości przyprostokątnych, które wynoszą 6 i 8. To spostrzeżenie pozwala nam na obliczenie pola trójkąta i uzyskanie odpowiedzi na drugie pytanie. PΔ Rozwiązanie zadania 99 Na rysunku jest zaznaczona krótsza przekątna d w sześciokącie foremnym. Zwróćmy uwagę, że jej długość jest równa podwojonej długości wysokości trójkąta równobocznego. Stąd : d h. Ponadto długość boku sześciokąta jest równa długości promienia. Wysokość w trójkącie równobocznym wyraża się wzorem: h a. Podstawiając mamy: d h, co kończy zadanie. 14

15 Typ 4. Kąty w okręgu Zadanie 100 Podaj miary kąty wskazanych kątów. Zadanie 101 Podaj miary kąty wskazanych kątów. Zadanie 10 Podaj miary kąty wskazanych kątów. Rozwiązanie zadania 100 Zilustrujmy rozwiązanie. 15

16 Rozwiązanie zadania 101 Rozwiązanie zadania 10 16

17 17

18 Typ 5. Pole figury płaskiej Zadanie 10 Krótsza przekątna w trapezie prostokątnym dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoramienny. Dłuższa podstawa trapezu ma długość 4. Oblicz pole trapezu. Zadanie 104 Oblicz pole wycinka koła o kącie środkowym wynoszącym 40 o i promieniu długości 6. Zadanie 105 Oblicz pole trójkąta równobocznego, który ma wpisane koło o polu Po4 π. Rozwiązanie zadania 105 Z treści zadania wiemy, że pole koła wpisanego wynosi Po4 π. Dzięki tej informacji możemy obliczyć promień koła, ponieważ ze wzoru na pole koła mamy: 4 ππ r, r. W trójkącie równobocznym promień koła wpisanego stanowi jedną trzecią wysokości co zostało zapisane na rysunku. To pozwala obliczyć długość krawędzi a, bowiem wysokość w trójkącie równobocznym możemy zapisać wzorem: h a. Stąd mamy: r 1 zatem : h. Dalej mamy: 1 r h 1 a 1a a / 6 /: Mając długość a możemy obliczyć pole trójkąta ze wzoru: PΔ a. Podstawiając a4 mamy: PΔ (4 ) (16 )

19 Typ 6. Obwód Zadanie 106 Podaj obwód trapezu w którym jest wpisany okrąg o ramionach długości 4 i 6. Zadanie 107 Podaj długość boku dwunastokąta foremnego o obwodzie 6. Zadanie 108 Oblicz obwód sześciokąta foremnego, w który został wpisany okrąg o promieniu r5. Rozwiązanie zadania 106 Zauważmy, że w treści nie ma żadnej wzmianki o długości promienia okręgu lub jego średnicy. Istne jest to, że w ten trójkąt można wpisać okrąg. Jest to informacja bardzo istotna, bowiem kryje się za nią własność., dzięki której obliczymy obwód trapezu. Własność ta mówi, że w sytuacji w której w czworokąt jest wpisany okrąg, suma długości naprzeciwległych boków jest równa. Zobacz rysunek. Rozwiązanie zadania 107 Obwód dwunastokąta foremnego obliczymy mnożąc 1 a, gdzie a oznacza długość boku. Biorąc to pod uwagę mamy: 1 a6. Stąd szybko obliczymy a, dzieląc równanie przez 1. 19

20 a 6, co kończy zadanie. 1 Rozwiązanie zadania 108 W sześciokącie foremnym odcinki zaznaczone na niebiesko są równe jego bokom. Mając na uwadze ten fakt możemy powiedzieć, że sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu trójkątów równobocznych. Promień okręgu wpisanego jest równocześnie wysokością jednego z trójkątów. Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym pozwoli nam obliczyć długość boku a. 5 5 a a / : / a5. Znając długość a, możemy obliczyć obwód sześciokąta. Obw6 50. Typ 41. Ostrosłupy. Zadanie 11. Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej i wysokości równej 5. Zadanie 1. Kąt nachylenia krawędzi bocznej o długości 6 cm w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym, do krawędzi podstawy wynosi 60o. Oblicz objętość i pole całkowite ostrosłupa. Zadanie 1. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym, wysokość ostrosłupa jest nachylona do wysokości ściany bocznej pod kątem 0o. Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa wiedząc, że pole podstawy ma wartość 4 [cm ]. 0

21 Rozwiązanie zadania 11. Pole całkowite obliczamy ze wzoru : P c P p + P b, gdzie pole podstawy trójkąta równobocznego, które obliczamy ze wzoru: P p Pp jest polem a. 4 a - jest długością krawędzi podstawy zatem: a. Podstawiamy do wzoru na pole podstawy i otrzymujemy: P p 4 [ j ]. 4 4 Pole boczne jest polem trzech ścian bocznych, które są trójkątami równoramiennymi o podstawie długości a i wysokości h s (zobacz rysunek). Pole ściany bocznej a hs, Ps P s obliczamy ze wzoru : Długość wysokości h s obliczymy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o krawędziach: H, e, h s (zobacz rysunek). Długość odcinka e obliczymy ze związku, który mówi o długościach odcinków e oraz f. Związek ten, to: h ae + f, gdzie: 1 e ha oraz f ha. h a jest wysokością w trójkącie równobocznym, zatem jej długość obliczymy ze wzoru: 1

22 h a a, gdzie a w naszym zadaniu wynosi. Zatem : h a 1 1, oraz e ha. Podstawiając teraz do równości z twierdzenia Pitagorasa h s e + H, mamy: h s ( ) +5, h s , 9 h s / Mając obliczoną h s, obliczamy pole ściany bocznej Ps a hs Ps 6 Pole boczne jest sumą trzech ścian o polu P b P s, zatem: P b P s. Stąd: [ j ]. Mają pole podstawy i pole boczne możemy obliczyć pole całkowite Pc. P c + 57 [ j ]. Rozwiązanie: objętość. 1 Objętość obliczamy ze wzoru : V P p H. Podstawiamy do wzoru V Odp: P p oraz H5 i otrzymujemy : [ j ]. P c + 57 [ j ], V 5 [j ].

23 Typ 49. Kostka do gry Zadanie 145 Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyrzuconych na obu oczkach jest liczbą parzystą. Zadanie 146 Zdarzenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką. Niech zdarzenie A polega na tym, że iloczyn liczby wyrzuconych oczek jest podzielny przez 5, natomiast zdarzenie B polega na tym, że suma wyrzuconych oczek jest większa od 8. Oblicz P( A B). Zadanie 147 Oblicz prawdopodobieństwo, że przy dwukrotnym rzucie kostką liczba oczek wyrzuconych w pierwszym rzucie jest mniejsza niż liczba oczek wyrzuconych w drugim rzucie. Rozwiązanie zadania 145 Rozwiązanie zadań z dwukrotnym rzutem kostką opiera się na sprytnym zapisie wszystkich możliwych wyników. Wykorzystamy w tym celu tabelę. Każda komórka w tabeli reprezentuje wynik losowania. Zobacz przykłady: Wszystkich wyników jest 6. Zapisujemy to następująco: Ω 6. W tabeli zaznaczę wyniki sprzyjające zdarzeniu opisanemu w treści zadania. Oznaczamy je dużą literą: A{ suma oczek wyrzuconych na obu kostkach jest liczba parzystą }

24 Obliczamy teraz ile razy występuje litera A. Zapisujemy to tak : A 18. Teraz wystarczy obliczyć prawdopodobieństwo ze wzoru : P( A) A. Ω P( A) Koniec zadania. 6 Rozwiązanie zadania 146 Wprowadzamy oznaczenia: A{ iloczyn liczby wyrzuconych oczek jest podzielny przez 5 }, B{ suma wyrzuconych oczek jest większa od 8 }. Wyniki zaznaczamy w tabeli wyników: Teraz mamy Ω 6, A B. Stąd: P( A B) 1, co kończy zadanie

25 Rozwiązanie zadania 147 Wystarczy jak zapiszemy wyniki w tabeli. Jestem przekonany, że książka ta pomogła w przygotowaniu, a czas nad nią spędzony przyczyni się do pozytywnego rezultatu na maturze. 5