Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas IV w roku szkolnym 2015/2016 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Transkrypt

1 Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas IV w roku szkolnym 2015/2016 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Figury na płaszczyźnie Kąty w okręgu i kąt między styczną a sieczną. Wielokąt. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt. 1. narysować kąty wpisane i kąty środkowe oparte na tym samym łuku, zaznaczyć kąty między styczną a sieczną, 2. zastosować twierdzenie o kątach wpisanym i środkowym opartych na tych samym łuku do obliczania miar kątów, rozpoznać kąty wpisane oparte na tym samym łuku, zastosować zależność między kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku do obliczania miar kątów, 3. narysować przekątne wielokąta, obliczyć, ile boków ma wielokąt o danej liczbie przekątnych, 4. obliczyć miary kątów wewnętrznych wielokąta, 5. stosować twierdzenie o okręgu wpisanym w trójkąt i opisanym na trójkącie do rozwiązywania zadań, obliczyć promień i pole koła wpisanego w trójkąt i opisanego na danym trójkącie (w szczególności trójkąt równoboczny i prostokątny). 1. Kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 150. Jaka jest miara kąta wpisanego i środkowego? 2. Oblicz kąty trójkąta ABC 3. Oblicz miary katów : a) b) c) 42 o 80 o 40 o 4. Bok trójkąta równobocznego ma długość 6cm. Oblicz: a) pole koła opisanego na tym trójkącie b) długość okręgu wpisanego w ten trójkąt 5. Wyznacz promień r koła wpisanego i promień R koła opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a= 2 i b= Jaka jest miara kąta wewnętrznego w dwunastokącie foremnym? 7. Ile wierzchołków ma wielokąt, którego każdy kąt wewnętrzny ma miarę Czy istnieje wielokąt, którego suma miar kątów wewnętrznych wynosi Ile przekątnych ma siedemdziesiokąt? 10. Ile boków ma wielokąt o liczbie przekątnych Oblicz pole trójkąta ABC, w którym AB = 5, AC = 2, BAC = Oblicz pole trójkąta ABC, w którym AB = 6, BC = 3, AC = 5. Strona 1 z 5

2 II. Czworokąty i ich rodzaje Związki miarowe w czworokątach z zastosowaniem trygonometrii i elementów geometrii analitycznej. 1. dokonać klasyfikacji czworokątów, 2. stosować własności prostokąta, kwadratu, równoległoboku, rombu i trapezu do rozwiązywania zadań, 3. korzystać ze wzorów na długość odcinka i współrzędne środka odcinka w układzie współrzędnych, 4. korzystać z własności funkcji trygonometrycznych kąta ostrego do rozwiązywania zadań, w tym z zastosowaniem wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie zawartym między nimi. 1. Przekątna prostokąta o długości 10 cm tworzy z dłuższym bokiem kąt o mierze 60. Oblicz pole tego prostokąta. 2. Stosunek długość przekątnych rombu, którego bok ma długość 8 cm jest równy 4 3. Oblicz pole tego rombu. 3. Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 2 3 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta. 4. Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą trapezu kąt o mierze 60 i jest prostopadła do boku trapezu Każde z ramion trapezu ma długość 4 cm. Oblicz długość podstaw trapezu. 5. Oblicz pole i obwód rombu o przekątnych długości 6 cm i 0,8 dm. 6. Pod jakim kątem do ziemi padają promienie słoneczne, jeżeli budynek o wysokości 48 m rzuca cień długości 12 m. 7. Oblicz wartość sinusa kąta ostrego równoległoboku o polu 40 cm2 i bokach długości 6 cm i 8 cm. 8. Oblicz pole i obwód trójkąta równoramiennego o podstawie długości 2 cm i kącie między ramionami Oblicz pole i obwód rombu o boku 10 i kącie o mierze Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego, którego dolna podstawa ma długość 16 cm, ramię 6 cm, a miara kąta ostrego wynosi Oblicz pole i obwód trapezu prostokątnego o dolnej podstawie długości 16 cm, górnej 10 cmi kącie ostrym o mierze Oblicz obwód kwadratu o polu 8 cm Oblicz pole zacieniowanej części na rysunku: 14. Mając dane współrzędne punktów A = (0,0), B = (2, 1), C = (4,3): a) Napisz równanie prostej BC, b) Oblicz długości odcinków, AB, BC AC, c) Czy trójkąt ABC jest równoboczny lub prostokątny? (uzasadnij dlaczego), d) Oblicz obwód trójkąta ABC, e) Oblicz pole trójkąta ABC, f) Wyznacz współrzędne środków boków trójkątas BC, g) Napisz równanie symetralnej boku BC, h) Napisz równanie prostej zawierającej środkową poprowadzoną z wierzchołka A, 15. Oblicz obwód czworokąta o wierzchołkach A = ( 2, 1), B = (1, 5), C = (4, 1), D = (1, 3). 16. Oblicz obwód i pole prostokąta o wierzchołkach A = ( 1; 0), B = (1; 4), C = (7; 1), D = (5; 3) obliczając wcześniej długości jego boków. 17. Dane są przeciwległe wierzchołki kwadratu A = (1, 3), C = ( 5, 1). Wyznacz obwód i pole tego kwadratu. Strona 2 z 5

3 III. Proste i płaszczyzny w przestrzeni. Wielościany. Bryły obrotowe. Wielościany dowolne i graniastosłupy. Odcinki i kąty w graniastosłupie. Pole powierzchni i objętość graniastosłupa. Obliczanie pól powierzchni, objętości i kątów graniastosłupów z zastosowaniem trygonometrii. Odcinki i kąty w ostrosłupie. Obliczanie pól powierzchni, objętości i kątów ostrosłupów, w tym z zastosowaniem trygonometrii. 1. wskazać wierzchołki, krawędzie i ściany wielościanu, 2. rozpoznać graniastosłup prosty, graniastosłup pochyły, równoległościan, prostopadłościan i sześcian, 3. rysować siatki i modele graniastosłupów i ostrosłupów w rzucie równoległym oraz zaznaczać kąty nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy i kąty nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy, stosować funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków i miar kątów w graniastosłupach i ostrosłupach, 4. wyznaczyć długości przekątnych w sześcianie i prostopadłościanie, 5. obliczyć pole powierzchni i objętość graniastosłupa i ostrosłupa z zastosowaniem trygonometrii, 6. rozwiązać proste zadania realistyczne, wykorzystując własności graniastosłupów i ostrosłupów. 1. Oblicz długość przekątnej sześcianu o długości boku 10 cm. 2. Oblicz objętość sześcianu o przekątnej 6 3 cm. 3. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o długości boków 10 cm, 12 cm, 16 cm,. 4. Przekątna prostopadłościanu ma długość 20 i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60. Oblicz objętość tego prostopadłościanu, wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy ma długość Basen kąpielowy ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 25m x 10,5m x 1,8m. Ile litrów wody jest w basenie, jeżeli objętość wody zajmuje 80% objętości basenu? 6. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy a = 6 cm przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt α = 60. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. 7. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 6cm i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 45. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa. 8. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ściany bocznej tworzy z wysokością ostrosłupa kąt o mierze 30. Wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 8 cm oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa. 9. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 400 cm 2. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 26 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa. 10. Kąt rozwarcia stożka ma miarę 90, a wysokość stożka ma długość 5 2 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość stożka. 11. Wydobywany z rzeki piasek usypywany jest w stożek o wysokości 2 m i obwodzie podstawy 20π m. Oblicz masę wydobytego piasku wiedząc, że 1 m 3 waży 1350 kg. 12. Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 24 cm i kącie ostrym 45 obraca się dokoła krótszej z przyprostokątnych. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły. 13. Prostokąt o bokach 4 cm i 6 cm obraca się dookoła dłuższego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. 14. Pojemnik w kształcie walca mieści 750 litrów wody i ma wysokość 60 cm. Oblicz średnicę tego pojemnika. 15. Oblicz objętość i pole powierzchni kuli, której średnica ma długość 12 cm. 16. Z sześcianu o krawędzi długości 20 cm wytoczono największą możliwą kulę. Jaki był procent odpadów? Strona 3 z 5

4 IV. Elementy statystyki opisowej Sposoby prezentacji problemów w statystyce. Porządkowanie danych statystycznych, ich mediana, dominanta i częstość cechy statystycznej. Średnia arytmetyczna i średnia ważona danych statystycznych oraz ich interpretacja. Wariancja i odchylenie standardowe oraz ich interpretacja. Rozwiązywanie zadań różnych. 1. porządkować i prezentować dane, 2. odczytać i interpretować lub przetwarzać informacje z tabeli, tekstu, wykresu, diagramu, 3. obliczyć średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę, modę, wariancję i odchylenie standardowe i interpretować je, 1. Teleturniej składał się z trzech konkurencji ocenianych w skali od 0 do 10. Ostateczny wynik jest średnią ważoną poszczególnych wyników. Który zawodnik wygrał teleturniej? WAGA Kuba Paweł Marek Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: Ile osób liczy twoja rodzina? wyniki przedstawiono w tabeli. Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Oblicz x. Liczba osób w rodzinie x 2 Liczba uczniów 3. Średnia arytmetyczna wieku czteroosobowej rodziny wynosi 22 lata. Gdyby doliczyć wiek babci, średnia ta wzrosłaby o 8 lat. Ile lat ma babcia? 4. Średni wzrost w grupie siatkarzy wynosi 180 cm. Gdy uwzględnimy wzrost trenera, równy 198 cm, średni wzrost mężczyzn zwiększy sie o 2 cm. Ilu zawodników liczy ta grupa? 5. Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność Wartość danej a) Oblicz średnią arytmetyczną tych Liczebność danych. b) Podaj medianę. c) Oblicz odchylenie standardowe. 6. Przeprowadzono sondę uliczną, zadając pytanie: Ile razy był(a) Pan(i) w kinie w ciągu ostatniego miesiąca?. Wyniki sondażu przedstawiono na diagramie. a) Przedstaw wyniki w tabeli. b) Jaki procent badanych osób było w kinie więcej niż jeden raz w ciągu ostatniego miesiąca? c) Jaka jest mediana i dominanta wyjść do kina? d) Ile wynosi średnia liczba wyjść do kina. e) Oblicz odchylenie standardowe liczby wyjść do kina. 7. Oblicz medianę i średnią danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 4, 5. Strona 4 z 5

5 V. Rachunek prawdopodobieństwa Doświadczenie losowe i jego zbiór zdarzeń elementarnych. Zdarzenia losowe i zdarzenia elementarne sprzyjające tym zdarzeniom oraz ich liczba. Algebra zdarzeń losowych. Pojęcie prawdopodobieństwa klasycznego. Własności prawdopodobieństwa klasycznego. Doświadczenie wieloetapowe i obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń losowych z wykorzystaniem "metody drzew". 1. opisywać przestrzeń zdarzeń elementarnych i podawać liczbę jego elementów, 2. opisywać zdarzenie losowe jako podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych i podawać liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu, 3. określać i obliczać liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniom, np. A, A, A B, A B, A \ B, B \ A, gdy A Ω i B Ω oraz obliczać prawdopodobieństwa tych zdarzeń z definicji klasycznej, 4. określać zdarzenie pewne, zdarzenie niemożliwe i zdarzenie przeciwne, 5. stosować regułę mnożenia, 6. sporządzać drzewo doświadczenia dwuetapowego i za jego pomocą obliczać prawdopodobieństwo, wykorzystując regułę iloczynów i regułę sum. 1. W dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry wypisz wszystkie zdarzenia elementarne i oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A otrzymano parę liczb nieparzystych, B otrzymano liczby, których suma jest większa od 6 oraz zdarzeń: A B, A B. 2. Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia: A - na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A B. 3. Z cyfr 3, 5, 6, 8 układamy liczbę dwucyfrową, przy czym cyfry nie mogą się w tej liczbie powtarzać. Określ zbiór zdarzeń elementarnych Ω. Zdarzenie A polega na tym, że otrzymana liczba jest parzysta, zaś zdarzenie B na tym, że otrzymana liczba jest podzielna przez 3. Jakie zdarzenia elementarne sprzyjają zdarzeniom A oraz B, oblic prawdopodobieństwa zdarzeń A i B. Opisz słownie zdarzenia A B, A B, A \ B, B ', wypisz zdarzenia im sprzyjające i oblicz ich prawdopodobieństwa. Podaj przykład zdarzenia pewnego lub niemożliwego i oblicz jego prawdopodobieństwo. 4. W torebce znajduje się 25 cukierków: 18 miętowych, 2 czekoladowe i 5 owocowych. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowany losowo cukierek jest: a) czekoladowy, b) miętowy lub owocowy, c) nie jest owocowy. 5. W pewnej klasie jest 25 osób, w tym ośmiu chłopców. Siedem dziewcząt i trzech chłopców nosi adidasy. Z klasy tej wybrano losowo jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A zdarzenie polegające na tym, że jest to dziewczyna, B zdarzenie polegające na tym, że jest to chłopiec w adidasach, C zdarzenie polegające na tym, że jest to osoba, która nie ma nosi adidasów, D zdarzenie polegające na tym, że jest to dziewczyna, która nosi adidasy. 6. W kapeluszu znajduje się 9 kul: 4 kule białe, 2 kule zielone, 3 kule czarne. Losujemy kolejno dwie kule za każdym razem zwracając wylosowana kulę do kapelusza. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania a) dwóch kul jednakowego koloru, b) dwóch kul różnego koloru. 7. Na loterii jest 40 losów, w tym 4 wygrywające. Kupujemy 2 losy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie wśród nich dokładnie jeden los wygrywający? 8. Pierwszy koszykarz trafia do celu w 80%, a drugi w 60%. Każdy z nich strzela jeden raz do kosza. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) tylko jeden z nich trafi do kosza, b) nie trafi żaden z koszykarzy. c) trafienia co najmniej raz do celu. Strona 5 z 5