Dr inż. Paweł Kołodziej Dr inż. Marek Boryga Katedra Inżynierii Mechanicznej i Autoatyki, Wydział Inżynierii Produkcji, Uniwerytet Przyrodniczy w Lublinie, ul. Doświadczalna 5A, -8 Lublin, Polka e-ail: pawel.kolodziej@up.lublin.pl, arek.boryga@up.lublin.pl Analiza czętościowa przęgła o regulowanej podatności krętnej Słowa kluczowe: przęgło podatne, ztywność krętna, analiza czętościowa, charakterytyka aplitudowa Strezczenie: W pracy przedtawiono analizę czętościową przęgła podatnego uożliwiającego zianę ztywności krętnej. Wyprowadzono zależność na ztywność przęgła uwzględniając paraetry geoetryczne i ateriałowe. Ziana ztywności przęgła dokonuje ię tak aby iloraz czętości wyuzenia i czętości drgań włanych układu był więkzy od 1,4. Obliczono paraetry drgań dla wybranych wartości wpółczynnika ztywności krętnej przy czętościach wyuzenia blikich czętości drgań włanych oraz po zianie ztywności. 1. Wprowadzenie Rozwój techniki w dziedzinie projektowania i ekploatacji azyn roboczych wyuza na kontruktorach konieczność dokonywania wyboru najkorzytniejzego rozwiązania kontrukcyjnego oraz podwyżzania prędkości ekploatacyjnych w proceach produkcji. Rozpatrując kutki powyżzych działań należy twierdzić, że zwiękzenie prędkości ruchu powoduje wzrot wartości obciążeń dynaicznych. Nazywając te oddziaływania terine dynaiczności azyny, należy uwzględnić charakterytyki jej tanu echanicznego czyli wartości aplitud drgań układu kontrukcyjnego jako całości jak również jego pozczególnych podzepołów i eleentów. Duże wartości obciążeń dynaicznych oddziałują negatywnie na trwałość, niezawodność, dokładność działania, powtawanie błędów kztałtu oraz dokładności pozycjonowania [1]. Drgania wytępujące podcza pracy zepołów napędowych obciążonych zienny oente, zależą od wartości aplitudy i czętości oentu wyuzającego, aowych oentów bezwładności eleentów układu napędowego oraz ztywności krętnej i tłuienia. Mechaniczne układy ze zienną podatnością wytępują zarówno jako eleenty kontrukcji przęgieł, wałów jak i eliinatorów drgań. Przykład eliinatora drgań krętnych wykorzytującego zienną podatność pierścieni neoprenowych pełniających rolę prężyn i tłuików przedtawiono w pracy Slavicka i Bollingera [13]. Ziana ztywności natępuje w wyniku przeiezczenia oiowego śrub tożkowych powodującego zwiękzenie lub zniejzenie naciku na pierścienie. Zakre zian podatności neoprenu uożliwia dotrojenie eliinatora wypoażonego w dyk o aie kg do czętości rezonanowej wrzeciona frezarki, na który zabudowano urządzenie. W publikacjach Kowala [8-1] zianę ztywności przęgła lub wału przekładni wykorzytującego walcowe albo talerzowe prężyny nacikowe ułożone w pakiety, dokonuje ię za poocą echanizu gwintowego. Według autora przęgło tanowi zepół kutecznie zniejzający obciążenia dynaiczne podcza pracy utalonej i rozruchu układu napędowego. Natoiat odułowa kontrukcja złożona ze prężyn talerzowych uożliwia tworzenie układów o różnych charakterytykach tatycznych. Filipowicz [-5] oraz Filipowicz i Kuczaj [6, 11] zaprezentowali nowe rozwiązania układów
podatnych krętnie oraz przeprowadzili teoretyczną i praktyczną analizę przęgła dwutronnego działania. Badacze twierdzili, że zaprojektowane kontrukcje pozwalają na uzykanie kątów kręcenia do kilkuet topni, przenozenie oentów obrotowych o znacznej wartości oraz łagodzenie chwilowych przeciążeń. Ponadto utalili, że tworzenie najkorzytniejzych charakterytyk przęgła (do rodzaju napędzanej azyny) polega na doborze zetawu i układu prężyn oraz paraetrów echanizu gwintowego i jet ożliwe już na etapie projektowania. Cele pracy jet wyznaczenie wpływu zian ztywności krętnej zaprojektowanego przęgła podatnego na aplitudę wyuzonych drgań utalonych. Układ pracy jet natępujący. W rozdziale przedtawiono poób rozwiązania równań drgań wyuzonych, tłuionych. W rozdziale 3 przedtawiono poób doboru ztywności krętnej przęgła. Rozdział 4 zawiera opi zaprojektowanego przęgła oraz obliczenia jego ztywności krętnej. W rozdziale 5 przedtawiono wyniki analizy dla dzieięciu wybranych wartości wpółczynnika ztywności krętnej.. Równania drgań wyuzonych i ich rozwiązanie Równanie różniczkowe drgań wyuzonych ożna zapiać w potaci [14] Bq Cq Kq H int (1) gdzie: B acierz bezwładności, K acierz ztywności, C acierz tłuienia, H wektor aplitud iły wyuzającej, q wektor wpółrzędnych uogólnionych, czętość drgań wyuzonych [rad/], t cza []. Po wtawieniu do równań drgań rozwiązania tacjonarnego otrzyuje ię układ równań algebraicznych, w których niewiadoą jet wektor zepolonych aplitud a drgań wyuzonych utalonych [14] ( K B ) a ica H () gdzie : i 1 jednotka urojona. W przypadku przęgła podatnego układ równań drgań wyuzonych a potać gdzie: J c c k k 1 1 1 it e J c c k k M (3) J - zredukowany do oi wirnika ilnika aowy oent bezwładności wirnika i wirujących eleentów części czynnej przęgła [kg ], J - zredukowany do oi obrotu wału wyjściowego przęgła oent bezwładności azyny [kg ], c - wpółczynnik tłuienia wikotycznego [N /rad], k - wpółczynnik ztywności krętnej [N /rad], M - oent obciążający przęgło [N ], 1 - wychylenie kątowe tarczy czynnej przęgła [rad], - wychylenie kątowe tarczy biernej przęgła [rad]. Wykorzytując wzór () oraz dokonując przekztałceń otrzyuje ię k J a ic ( k ic ) 1 (4) ( k ic ) k J ic a M Po rozwiązaniu rozdzielenie otrzyanych wyrażeń na część rzeczywitą i urojoną otrzyuje ię M( k ) MJ a1 A 1( ) ib 1( ) i (5) [ ( J J )] ( J J ) M( ) MJ a A ( ) ib( ) i (6) [ ( J J )] ( J J )
gdzie: JJ k( J J ), c ( J J ), cj, k J. Moduł aplitudy i kąt przeunięcia fazowego oblicza ię ze wzorów [14] a ( ) i [ A( i )] [ B i( )] (7) B i( ) i( ) arctg (8) A i( ) 3. Dobór ztywności krętnej przęgła Równanie charakterytyczne (wiekowe) uożliwia wyznaczenie czętości drgań włanych. Równanie to a potać det( K B ) (9) W przypadku przęgła podatnego a ono potać k k J (1) k k J Wyznaczone pierwiatki równania (1) wynozą oraz k( J J ) (11) JJ Sprzęgło wywiera korzytny wpływ na właściwości dynaiczne układu gdy pełniona jet zależność [1] (1) Należy więc tak zieniać wpółczynnik ztywności krętnej przęgła k, aby przęgło pracowało przy czętościach nadkrytycznych, przechodząc przez rezonan w początkowy okreie rozruchu, kiedy oent dynaiczny nie jet jezcze zbyt duży. Podtawiając do zależności (1) wyznaczoną wartość czętości drgań głównych (11) oraz przekztałcając otrzyuje ię zależność na wyagany wpółczynnik ztywności krętnej przęgła k J J k ( J J ) (13) 4. Sztywność krętna przęgła o regulowanej podatności 4.1. Opi przęgła Analiza zagadnień związanych z wpływe ztywności eleentów podatnych na wartości obciążeń dynaicznych w układach napędowych, prowadzi do wnioku, że korzytny poobe zniejzenia negatywnych oddziaływań jet zatoowanie urządzenia, którego kontrukcja pozwala na uzykiwanie regulowanej (w pewny zakreie) wartości ztywności krętnej. Przy czy podatność byłaby zieniana w poób niezależny od paraetrów ruchu układu napędowego oraz obciążenia zewnętrznego. Uwzględniając powyżze inforacje należy twierdzić, że zadanie to pełnia przęgło z wbudowany echanize uożliwiający beztopniową zianę ztywności krętnej [7], którego cheat działania przedtawiono na ryunku 1.
Ry. 1. Scheat działania przęgła o regulowanej podatności Na powyżzych ryunkach zaprezentowano zaadę działania przęgła z regulowaną podatnością krętną. Ziana ztywności układu polega na blokowaniu czynnej długości prężyny płakiej łączącej tarczę czynną i bierną. Blokada jet ożliwa w wyniku liniowego przeunięcia tarczy terującej oadzonej na wałku wielowyputowy. Makyalną podatność przęgło poiada gdy długość czynna prężyn jet najwiękza (L ax ) a inialną gdy jet najniejza (L in ). Na ryunku przedtawiono kontrukcję zaprojektowanego przęgła [7]. Na wałku wejściowy 1, oadzona jet bieżnia zczotki 1 do zailania ilnika 11 napędzającego poprzez przekładnie zębatą (koła 13 i 14) śrubę pociągową 15. Śruba pociągowa poiadająca ożliwość obrotu w tarczy czynnej 16 i oporowej łuży do przeuwania tarczy terującej 18. Przeunięcie pooiowe tarczy terującej wzdłuż wałka wielowyputowego 17 powoduje zniejzenie czynnej długości płakich prężyn zniejzając jednocześnie kąt kręcenia poiędzy tarczą czynną 16 i bierną 19. Sprężyny płakie zaocowane ą ztywno w oprawkach 1, które ogą wobodnie obracać ię w tarczach 16 i 19. Ry.. Sprzęgło o regulowanej podatności. 4.. Obliczenia ztywności krętnej Strzałka ugięcia prężyny płakiej wynoi 3 FL f (14) 3EJ x
gdzie: F - iła obciążająca prężynę [N], L - czynna długość prężyny [], E - oduł prężytości [MPa], J x - oiowy oent bezwładności przekroju prężyny [ 4 ]. Siłę działającą na jedną prężynę przy obciążeniu przęgła oente M ożna obliczyć ze wzoru M F (15) nd gdzie: d - średnica roziezczenia prężyn [], n - ilość prężyn. Dla ałych kątów ożna napiać d f tg (16) gdzie: - względny kąt kręcenia tarcz przęgła [rad]. Porównując zależności (14) i (16) oraz wykorzytując wzór (15) otrzyuje ię 3 d ML tg (17) 3ndEJ x Dla ałych kątów wyrażonych w radianach tg toteż przekztałcając odpowiednio równanie (17) oraz uzgadniając jednotki otrzyuje ię zależność na wpółczynnik ztywności krętnej M 3nd EJ x k (18) 3 4L Na ryunku 3 przedtawiono wykre zian wpółczynnika ztywności krętnej przęgła k w zależności od czynnej długości prężyn L, przy czy oś wpółczynnika k jet logaryticzna. Wykre ten otrzyano dla natępujących paraetrów przęgła: n = 4, d = 1, J x = 5,65 4, E =,11 5 MPa, L = (515). Ry. 3. Wykre wpółczynnika ztywności krętnej przęgła k w zależności od czynnej długości prężyn L 5. Wyniki analizy Obliczenia wykonano dla dzieięciu wybranych wartości wpółczynnika ztywności krętnej k iezczących ię w zakreie regulacji. W kolunie 1 tabeli 1 przedtawiono wyznaczone z zależności (11, 5, 6) czętości drgań włanych ( ) oraz wartości aplitud przeiezczeń kątowych tarczy czynnej (a 1 ) i biernej (a ). W obliczeniach przyjęto wartości paraetrów kontrukcyjnych przęgła uwzględnionych w poprzedni rozdziale. Ponadto przyjęto: J =,3 kg, J = 1 kg, c =, N /rad oraz M = 3,5 N. Natoiat w kolunie
zaiezczono wartości wpółczynnika ztywności krętnej wyznaczone z zależności (13) uwzględniającej warunek (1). Tabela 1. Wartości wpółczynnika ztywności krętnej k i aplitud przeiezczeń kątowych tarcz przęgła a 1 i a 1 k a 1 a k a 1 a [N /rad] [rad/] [rad] [rad] [N /rad] [rad] [rad] 5 914,39 5,681-5 5,91-7 15 4,1811-7 (,74%) 1 578,15 9,171-5 1,1771-6 5 1,461-6 (1,16%) 5 48,86 1,741-4,541-6 5,31-6 (1,59%) 5 89,17 1,861-4 4,371-6 15 4,151-6 (,%) 15 4,43,5491-4 8,5371-6 65 8,4551-6 (3,3%) 63 144,553 3,661-4 1,6661-5 31,5 1,6651-5 (4,6%) 315 1,63 5,111-4 3,391-5 157,5 3,4351-5 (6,73%) 16 73,139 7,1991-4 6,541-5 8 6,5961-5 (9,16%) 8 51,717 1,361-3 1,3351-4 4 1,4141-4 (13,64%) 6 31,67 1,81-3 1,7941-4 3 3,71-4 (3,6%) 4,1-7 (8,56%) 1,51-6 (89,8%),781-6 (9,16%) 4,1451-6 (94,86%) 8,4351-6 (98,8%) 1,6691-5 (1,1%) 3,3741-5 (11,34%) 6,5861-5 (1,66%) 1,3491-4 (11,3%) 1,8161-4 (11,1%) Ry. 4. Wykre aplitudy a 1 w zależności od czętości wyuzenia dla wpółczynnika ztywności krętnej k = 1 N /rad oraz k = 5 N /rad
Ry. 5. Wykre aplitudy a w zależności od czętości wyuzenia dla wpółczynnika ztywności krętnej k = 1 N /rad oraz k = 5 N /rad Na ryunkach 4 i 5 przedtawiono wyniki yulacji dla wybranego przypadku obliczeniowego wyróżnionego w tabeli 1. Ryunek 4 przedtawia wykre aplitudy a 1 w zależności od czętości wyuzenia. Początkowo układ znalazł ię w otoczeniu punktu rezonanowego A (wpółczynnik ztywności krętnej przęgła wynoił k = 1 N /rad natoiat czętość wyuzenia wynoiła = 578 rad/ i była blika czętość drgań wyuzonych ). W punkcie ty wartość aplitudy wynoiła a 1 = 9,171-5 rad. Ziana wpółczynnika ztywności krętnej zgodnie ze wzore (13) z wartości k = 1 N /rad do k = 5 N /rad powodował przejście układu do punktu B i zniejzenie aplitudy do wartości a 1 = 1,461-6 rad (ponad 86 razy niejzej niż w punkcie A). Ryunek 5 przedtawia wykre aplitudy a w zależności od czętości wyuzenia. W ty przypadku zniejzenie wartości a nie jet tak znaczne jak dla a 1. Zniejzenie wpółczynnika ztywności krętnej z wartości k = 1 N /rad do k = 5 N /rad powodowało padek wartości aplitudy a z 1,1771-6 rad do 1,51-6 rad (punkty A i B). 6. Wnioki Na podtawie rozważań przeprowadzonych w pracy wynikają natępujące wnioki końcowe: Przedtawione rozwiązanie kontrukcyjne przęgła podatnego (z układe terowania) oże tanowić zepół do tałej kontroli i kopenacji drgań w układach echanicznych. Ziana wpółczynnika ztywności krętnej w zależności od czynnej długości prężyn jet ilnie nieliniowa. Dla założonych paraetrów geoetrycznych i ateriałowych wpółczynnik ten zienia ię od 3,6 N /rad w przypadku akyalnej czynnej długości prężyn L ax = 15 do 835 N /rad w przypadku inialnej czynnej długości prężyn L in = 5. Liniowa ziana wartości wpółczynnika ztywności krętnej k powoduje nieliniową zianę aplitudy przeiezczenia kątowego tarczy czynnej przęgła a 1. Aplituda ta aleje i wynoi od,74% do 3,6% aplitudy a 1 przed zianą, przy czy wzrot powyżej 1% dotyczy wartości wpółczynnika ztywności krętnej k poniżej 8 N /rad.
Ziana wpółczynnika k wpływa w niejzy topniu na aplitudę przeiezczenia kątowego tarczy biernej a. Dla wartości k powyżej 15 N /rad a aleje w zakreie 8,56% do 98,8% aplitudy przed zianą, a dla k poniżej 63 N /rad pojawia ię wzrot wartości a do 11%. Bibliografia 1. Cepel Cz. Minializacja drgań azyn i ich eleentów. w: Wpółczene zagadnienia dynaiki azyn. Wrocław: Oolineu, 1976.. Filipowicz K. Deterining of the tatic characteritic of a torionally flexible etal coupling. Acta Montanitica Slovaca 7; 1(4): 34-38. 3. Filipowicz K. Reearch of etal flexible torional clutche applied in ining achine. Acta Montanitica Slovaca 8; 13(): 4-1. 4. Filipowicz K. Nowe rozwiązania układów napędowych azyn z etalowyi przęgłai podatnyi krętnie i przęgłai przeciążeniowyi. Przegląd Mechaniczny 9; : 41-46. 5. Filipowicz K. Badania układów napędowych azyn roboczych ze przęgłai podatnyi. Mazyny Górnicze 1; : 3-1. 6. Filipowicz K, Kuczaj M. Kineatic and dynaic iulation of the functioning of torionally flexible etal coupling. Tranport Proble 1; 5(3): 95-1. 7. Kołodziej P, Stępniewki A. Sprzęgło podatne. Patent nr PL 19391 B1 z arca 7. 8. Kowal A. Sprzęgło etalowe o budowie odułowej uożliwiającej dobór podatności krętnej. Technologia i Autoatyzacja Montażu 6; : 64-66. 9. Kowal A. Sprzęgło echaniczne. Patenty nr PL 19945 B1 i PL 1919 B1 z lutego 6. 1. Kowal A. Metalowe przęgło przeciążeniowe o dużej podatności krętnej. Szybkobieżne Pojazdy Gąienicowe 7; 1(): 15-11. 11. Kuczaj M, Filipowicz K. Coputer finite eleent analyi of tre derived fro particular unit of torionally flexible etal coupling. Tranport Proble 1; 5(4): 19-6. 1. Podtawy Kontrukcji Mazyn. Red. M. Dietrich. Wyd. 3. T. 3. Warzawa: WNT 1999. 13. Slavicek J, Bollinger J G. Deign and application of a elf-optiizing daper for increaing achine tool perforance. Advance in Machine Tool Deign and Reearch ; Proceeding of the Tenth International Machine Tool Deign and Reearch Conference 1969: 71 81. 14. Wrotny L T. Dynaika układów echanicznych. Repetytoriu teoretyczne i zadania. Warzawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warzawkiej, 1995.