KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy argumentami. Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji Przykład: Dziedzinę funkcji oznaczamy najczęściej literą D, a zbiór wartości funkcji ZW. Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = {a, b, c, d, e, f}, a zbiorem wartości funkcji zbiór {k, l, m, p, r}. Sposoby określania funkcji: Przepis słowny 1. Każdemu uczniowi z klasy przyporządkujemy miesiąc urodzenia 2. Każdej liczbie naturalnej przyporządkujemy liczbę o 1 od niej większą Tabelka Stosuje się ją często dla funkcji liczbowych w przypadku, gdy ich dziedziny mają tylko kilka elementów, np.: x 1 2 3 4 5 6 y 3 6 9 3 6 9
Diagram Przyporządkowanie jest określone za pomocą strzałek Wzór Jest to najczęstszy sposób opisywania funkcji liczbowych w matematyce Na przykład: Wykres Wykresem funkcji liczbowej nazywamy zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, f (x)) dla x X
PRZYKŁADY FUNKCJI Opis słowny: Każdej rzece w Polsce przyporządkowujemy jej długość Diagram Wzór Tabelka x 0 1 2 3 y 1 1 3 5 Wykres Jedną funkcję można przedstawić kilkoma sposobami:
Weźmy przykładowo funkcję, która każdej liczbie ze zbioru {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} przyporządkowuje kwadrat tej liczby. Funkcję tą można opisać wzorem: Przedstawić w postaci następującej tabelki: dla x -3-2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 Przedstawić za pomocą diagramu: wykresu:
PRZYKŁADY PRZYPORZĄDKOWAŃ NIE BĘDĄCYCH FUNKCJAMI Każdej osobie w Polsce przyporządkowujemy jej rodzonego brata (nie każda osoba w Polsce ma brata, lub może mieć ich kilku), Każdemu miastu w Polsce przyporządkowujemy kod pocztowy (np. Kraków ma wiele kodów pocztowych) Argumentowi b przyporządkowane są dwie wartości. Argumentowi 2 nie przyporządkowana jest żadna wartość. Przykład 5 Np. argumentowi x = 0 przyporządkowane są dwie wartości: - 2 i 4, podobnie jak argumentowi 1 i wielu innym.
DZIEDZINA FUNKCJI Jeżeli funkcja jest określona za pomocą tabelki lub diagramu wyznaczenie jej dziedziny jest bardzo proste. Funkcja jest przedstawiona za pomocą tabelki: x 0 1 2 3 4 5 f(x) 1-1 2-2 3-3 Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Funkcja jest przedstawiona za pomocą diagramu: Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = {-3, -2, -1, 0, 1} Jeżeli funkcja jest przedstawiona za pomocą wzoru, ale nie ma podanej jej dziedziny, wówczas przyjmujemy, że dziedziną funkcji liczbowej y = f (x) jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których można wyznaczyć wartość funkcji. Wyznaczymy dziedziny kilku przykładowych funkcji: Funkcja ta jest określona dla dowolnej liczby rzeczywistej, zatem jej dziedziną jest zbiór D = R Jedyną liczbą rzeczywista, dla której nie można obliczyć wartości funkcji jest liczba 0, zatem jej dziedziną jest zbiór D = R \ {0} Pierwiastki kwadratowe możemy obliczać tylko z liczb nieujemnych, więc dziedziną funkcji jest zbiór D = <0 ; )
W tym przypadku argumenty funkcji muszą spełniać dwa założenia: jako wyrażenie pod pierwiastkiem i jako wyrażenie z mianownika, zatem ostatecznie: x > 0, czyli dziedziną funkcji jest zbiór D = (0 ; ) W tym przypadku musimy założyć, że mianownik ( ). Iloczyn wyrażeń jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z jego czynników jest różny od zera; czyli x - 2 0 i x 0. Dziedziną funkcji jest zbiór D = R \ {0; 2} Mianownik tego ułamka zawsze będzie różny od zera. Zatem dziedziną tej funkcji jest zbiór D = R Argumenty tej funkcji muszą spełniać dwa założenia: zatem ostatecznie jako wyrażenie pod pierwiastkiem i jako wyrażenie z mianownika, Dziedziną funkcji jest zbiór D = <-2, ) \ {1} Założenia: Dziedziną funkcji jest zbiór D = <-5 ; 2>
Na podstawie wykresu funkcji również można łatwo określić jej dziedzinę. Wystarczy wyznaczyć zbiór utworzony z wszystkich pierwszych współrzędnych punktów należących do wykresu. Dziedziną funkcji jest zbiór D = <-2 ; 2> Dziedziną funkcji jest zbiór D = R ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI Do zbioru wartości funkcji należą te elementy, które są przyporządkowane argumentom funkcji. Zbiór wartości funkcji będziemy oznaczać: ZW Mając określony zbiór wartości można też stwierdzić, czy funkcja osiąga wartość największą i najmniejszą Jeżeli funkcja jest określona za pomocą tabelki lub diagramu wyznaczenie zbioru wartości jest bardzo proste. Funkcja jest przedstawiona za pomocą tabelki:
x 0 1 2 3 4 5 f(x) 1-1 1-1 1-1 Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór ZW = {-1, 1} Funkcja osiąga wartość największą równą 1 dla argumentów x = 0, x = 2, x = 4, zaś wartość najmniejszą równą -1 dla argumentów x = 1, x = 3, x = 5. Funkcja jest przedstawiona za pomocą diagramu: Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór ZW = {0, 1, 2, 3} Widać też, że funkcja osiąga wartość największą równą 3 dla argumentu x = - 3, zaś wartość najmniejszą równą 0 dla argumentu x = 0. Jeżeli funkcja jest przedstawiona za pomocą wzoru, nie zawsze wyznaczenie zbioru wartości będzie łatwe. Dana jest funkcja: Obliczamy wartość funkcji dla każdego argumentu: f (0) = 0, f (1) = 3, f (2) = 6, f (3) = 9, f (4) = 12. Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór ZW = {0, 3, 6, 9, 12} Wartość największą równą 12 funkcja osiąga dla argumentu x = 4, a wartość najmniejszą równą 0 dla argumentu x = 0.
Dana jest funkcja: Funkcja y = x + 1 jest funkcją liniową, zatem aby znaleźć zbiór wartości wystarczy wyznaczyć wartości funkcji f na końcach przedziału tzn. f (-1) = 0 i f (1) = 2. Zbiorem wartości funkcji jest przedział ZW = <0 ; 2> Funkcja osiąga wartość największą równą 2 dla argumentu x = 1, a wartość najmniejszą równą 0 dla argumentu x = -1. Dana jest funkcja: Wyznaczając wartości tej funkcji dla kolejnych argumentów zauważymy, że f (1) = 1, a każda następna wartość będzie mniejsza od 1 ale wieksza od 0. Zatem zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział ZW = (0 ; 1>. Funkcja osiąga wartość największą równą 1 dla argumentu x = 1, wartości najmniejszej nie ma. Na podstawie wykresu funkcji również można łatwo określić jej zbiór wartości czyli zbiór utworzony z wszystkich drugich współrzędnych punktów należących do wykresu. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór ZW = -2 ; Funkcja wartości największej nie osiąga, a wartość najmniejszą równą - 2 osiąga dla argumentu x = - 2.
MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. Miejsce zerowe funkcji danej wzorem y = f (x) wyznaczamy rozwiązując równanie f (x) = 0 Szukamy miejsca zerowego: Miejscem zerowym tej funkcji jest x = 2 Szukamy miejsca zerowego: Ponieważ 2 nie należy do dziedziny, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.
Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji rozwiązując założenie: x - 1 jest zbiór D = <1 ; ) Szukamy miejsc zerowych: 0. Zatem dziedziną Ponieważ 0 nie należy do D a 1 D, więc miejscem zerowym funkcji jest liczba x = 1 Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji rozwiązując założenie: x + 3 jest zbiór D = R \ {-3} Szukamy miejsc zerowych: 0. Zatem dziedziną 3 Î D, zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba x = 3. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji na podstawie jej wykresu, należy odczytać pierwsze współrzędne punktów, w których wykres przecina oś x Miejscem zerowym funkcji jest liczba x = 1. Miejscami zerowymi funkcji są liczby x = - 2, x = 3 oraz wszystkie liczby x <0 ; 1
Miejscami zerowymi funkcji są liczby: x = -3,5, x = 0, x = 3, x = 6. ZADANIA DEFINICJA FUNKCJI 1. Które rysunki przedstawiają funkcje? a) b) c) d) 2. Sporządź tabelki funkcji: b) a) 3. Które z przyporządkowań są funkcjami? a) Każdej dodatniej liczbie całkowitej przyporządkowujemy liczbę jej dzielników. b) Każdemu uczniowi liceum przyporządkowujemy język obcy, którego się uczy. c) Każdemu uczniowi przyporządkowujemy jego numer w dzienniku. d) Każdej instytucji w Polsce przyporządkowujemy jej numer telefonu. 1
4. Mając daną funkcję oblicz jej wartości dla x = 0, x = 1, x = -2: a) b) 5. Zapisz funkcje za pomocą wzoru: a) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej liczbę do niej przeciwną. b) Funkcja g przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej kwadrat liczby większej od niej o 1. 2
DZIEDZINA FUNKCJI 1. Wyznacz dziedzinę funkcji przedstawionej diagramem lub tabelką: a) b) c) x -3-2 -1 0 1 2 3 y -1 1-1 1-1 1-1 2. Wyznacz dziedzinę funkcji danej wzorem: 3. Wyznacz dziedzinę funkcji na podstawie jej wykresu: 3
c) ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI 1. Wyznacz zbiór wartości funkcji: 2. Wyznacz zbiór wartości funkcji oraz jej wartość największą i najmniejszą na podstawie wykresu: a) b) c) d) 4
MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI 1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji na podstawie wykresu: a) b) c) d) 2. Wyznacz miejsca zerowe funkcji: a) b) c) 5
d) e) 3. Wyznacz miejsca zerowe funkcji: a) b) c) d) e) 6