4. Proste równoległe i prostopadłe Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi. przykład: Jeśli proste przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi. przykład: Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy wykazać ich położenie względem siebie za pomocą wzorów. Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to: Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli a. Sprawdzenie równoległości dwóch prostych: Wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory: oraz b nas nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą, skupiamy się na współczynnikach a obu prostych.
W przypadku badania równoległości mamy: Jeżeli to proste są równoległe. * Jeśli, to proste nie są równoległe. * Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych: Również tutaj doprowadzamy wzory prostych do postaci kierunkowych czyli: oraz i skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność: Jeżeli to proste są prostopadłe, a jeżeli to proste nie są prostopadłe. * Przykład: Sprawdź czy proste o równaniach 3x + y + 2 = 0 i 6x + 2y + 2 = 0 są równoległe lub prostopadłe. Pierwszym krokiem jest zawsze wyliczenie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy: 3x + y + 2 = 0 y = 3x 2 a teraz drugi wzór: 6x + 2y + 2 = 0 2y= 6x 2 : 2 y = 3x 1 Mamy już dwa równania prostych: y = 3x 2 y = 3x 1 Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku 3: a 1 = 3 a 2 = 3 Widzimy, że współczynniki kierunkowe obu prostych są równe czyli proste są równoległe. Dla porządku możemy jeszcze sprawdzić prostopadłość: 9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe. Zadanie 1. Prosta o równaniu jest prostopadła do prostej o równaniu. Stąd wynika, że
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej m = 3 odp. D Zadanie 2. Prosta l ma równanie y = - x + 7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l. odp. C Zadanie 3. Prostymi równoległymi są wykresy funkcji liniowych: odp. D Zadanie 4. Proste: są prostopadłe, jeżeli R: a 1 = -3 a 2 = a 1 a 2 = - 3 = - 3 + 3 = - a 2 + 4 - a 2 + 4 = -1 - a 2 = -5 /: (-1) a 2 = 5 to a= 5 lub a = - 5 odp. D Zadanie 5. Prostą przechodzącą przez punkt A = (1,1) i równoległą do prostej y = 0,5x - 1 opisuje równanie
Szukana prosta ma współczynnik kierunkowy równy 0,5 bo jest równoległa do prostej y = 0,5x 1; ten warunek spełnia tylko odpowiedź B. Możemy jeszcze sprawdzić, czy punkt A należy do tej prostej, ale to tylko formalność Wstawiamy współrzędne punktu C w miejsce x, y i mamy równość: 1= 1=1 odp. B Zadanie 6. Proste l i k są prostopadłe i l: 2x - 9y + 6 = 0, k: y = ax + b. Wówczas: R: Przekształcamy prostą l do postaci kierunkowej: 2x 9y + 6 = 0-9y = -2x 6 / : (-9) y = a 1 = a 2 = a a 1 a 2 = -1 więc / 9 2a = - 9 / : 2 a = - 4,5 odp. C Zadanie 7. Prosta prostopadła do prostej l o równaniu 4x - 5y + 6 = 0 ma wzór: Przekształcamy wzór prostej l do postaci kierunkowej: 4x 5y + 6 = 0-5y = - 4x 6 /: (-5) y = x + prosta l ma współczynnik kierunkowy: a 1 = szukana prosta ma współczynnik kierunkowy a 2 i a 1 a 2 = -1 mamy więc / : a 2 = -1 = odp. D Zadanie 8. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x - 4y = 5.
R: przekształcamy równanie podanej prostej do postaci kierunkowej: - 4y = - 2x + 5 / : (- 4) y = współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi a 1 = współczynnik kierunkowy szukanej prostej oznaczmy a 2 a 1 a 2 = -1 podstawiamy: / to a 2 = -2 odp. D Zadanie 9. Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y = -3x + 5 jest równy odp. B. Zadanie 10. Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x - 6y + 15 = 0 Zadanie 11. Wyznacz wszystkie m dla których prosta o równaniu y = (m - 1)x + 5 jest a. rosnąca m 1 > 0 czyli m >1 b. równoległa do prostej y = -6x + 3 m = - 6 Zadanie 12. Wyznacz wszystkie m dla których prosta o równaniu y = (3-2m)x + 5 jest a. malejąca 3 2m < 0 czyli.. b. prostopadła do prostej y = 2x-3 (3 2m) 2 = - 1 to 6 4m = -1 to Zadanie 13. Proste o równaniach y = 2x - 5 i y = (3 - m)x + 4 są równoległe. Wynika stąd, że
Zadanie 14. Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = 2x - 7. Zadanie 15. Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y = 4x + 5 Zadanie 17. Wybierz i zaznacz równanie opisujące prostą prostopadłą do prostej o równaniu Zadanie 18. Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej równoległej do l. Zadanie 19. Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej prostopadłej do l. Zadanie 20. Prosta l ma równanie 2y - x = 4. Wskaż równanie prostej równoległej do l. Zadanie 21. Prostą równoległą do prostej o równaniu jest prosta opisana równaniem
Zadanie 22. Proste o równaniach -3y - mx + 12 = 0 oraz y = 6x - 12 są prostopadłe dla m równego: Zadanie 23. Dane są równania czterech prostych: Prostopadłe są proste: A. l i n B. l i m C. k i n D. k i m