Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/
Bibliografia [1] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN. [2] S. G. Kellison, The Theory of Interest, McGraw-Hill Int. Ed. [3] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN. [4] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet. [5] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa. [6] M. Capinski, T. Zastawniak, Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering, Springer. 1
Oprocentowanie, kapitalizacja i dyskontowanie Podstawowymi transakcjami finansowymi jest inwestowanie pewnych ilości pieniędzy w celu osiągnięcia zysku. Przykładem takiej inwestycji może być wpłata określonej kwoty na rachunek oszczędnościowy w banku. Kwotę tę nazywamy kapitałem, kapitałem początkowym, wartością poczatkową inwestycji (ang. principal, present value) i oznaczamy przez P, P V. Kwotę jaką uzyskamy po pewnym czasie albo pod koniec inwestycji nazywamy kapitałem końcowym, kapitałem przyszłym, wartością przyszłą (ang. accumulated value, future value) i oznaczamy przez F, F t, F V. Będziemy zakładać, że F > P. Różnicę I = F P, czyli zysk z zainwestowanego kapitału nazywamy odsetkami (amount of interest lub krótko interest). Miernikiem wielkości wygenerowanych odsetek w ustalonym czasie jest stopa procentowa r > 0 (rate of interest). Definiujemy ją jako stosunek odsetek do kapitału początkowego, czyli r = I P. Stopa procentowa jest przeważnie liczbą z przedziału (0, 1). Możemy ją wyrazić jako liczbę niemianowaną tj. liczbę w postaci ułamka dziesiętnego lub zwykłego albo wyrazić w procentach mnożąc przez 100%. Przedział czasu uwzględniony w określających stopę procentową odsetkach nazywamy okresem stopy procentowej (period of interest). W praktyce najczęściej mamy do czynienia ze stopami określonymi dla okresu rocznego. Mówimy wtedy o rocznej stopie procentowej lub stopie procentowej w skali roku. Przy badaniu problemów teorii zmiany kapitału w czasie oraz konsekwencji stąd wypływających podstawowymi pojęciami są: oprocentowanie, kapitalizacja i dyskontownie. Oprocentowaniem nazywamy wyznaczanie odsetek. Najkrótszy przedział czasu, po którym zostały wyznaczone odsetki, nazywamy okresem oprocentowania. Natomiast czas pomiędzy początkiem i końcem inwestycji - czasem oprocentowania, czasem inwestycji, horyzontem czasowym inwestycji. Czas może być mierzony za pomocą różnych jednostek np. dni, miesięcy, roku, itp. Jednostka, którą będziemy mierzyć czas inwestycji nazywamy krótko okresem (period). Kapitalizacją odsetek lub krótko kapitalizacja nazywamy powiększanie kapitału o odsetki. Czas, po którym odsetki są skapitalizowane nazywamy okresem kapitalizacji. Gdy okres stopy procentowej pokrywa się z okresem oprocentowania, to mówimy o oprocentowaniu zgodnym. W przeciwnym przypadku mówimy o oprocentowaniu niezgodnym. W zależności od sposobu ustalania odsetek wyróżniamy oprocentowanie proste (simple interest) i składane (złożone) (compound interest). W pierwszym przypadku oprocentowaniu podlega wyłącznie kapitał początkowy zaś w drugim oprocentowaniu podlega kapitał początkowy i wygenerowane w trakcie czasu oprocentowania odsetki. Przez warunki oprocentowania rozumiemy zbiór danych potrzebnych do wyznaczenia w sposób jednoznaczny wysokości odsetek należnych od ustalonego kapitału za ustalony czas. Dyskontowaniem rzeczywistym lub krótko dyskontowaniem nazywamy wyznaczanie wcześniejszych wartości kapitału w oparciu o wartości przyszłe. W szczególności dyskontowaniem 2
jest obliczanie wartości początkowej kapitału P na podstawie wartości końcowej F. Kwota D, o którą należy pomniejszyć F, aby otrzymać P, nazywa się dyskontem. Funkcja akumulacji i dyskontowania Niech [0, T ] będzie czasem inwestycji, T 0. Rozważmy inwestycję kapitału jednej jednostki. Niech a(t) 0 oznacza wartość przyszłą tego kapitału w momencie t [0, T ]. Funkcję a : t a(t) nazywamy funkcją akumulacji (accumulation function) jednej jednostki kapitału. Funkcja akumulacji posiada następujące własności: 1. a(0) = 1. 2. a jest funkcja rosnącą. Gdyby funkcja przyjmowała wartości mniejsze przy wzroście t, to generowała by ujemne odsetki, co od strony matematycznej jest możliwe natomiast od strony finansowej takimi przypadkami nie będziemy się zajmować. 3. Jeżeli generowane odsetki będą gromadzić się w sposób ciągły, to funkcja akumulacji też będzie ciągła. Jeżeli odsetki będą gromadzić się w sposób skokowy zależnie od okresu oprocentowania, to funkcja akumulacji będzie w tych punktach nieciągła a dokładnie będzie ciągła z prawej strony. Dla ustalonego t wartość a(t) będziemy nazywali t-okresowym czynnikiem akumulacji (accumulation factor). Jeżeli inwestycją będzie kapitał P, to wartość przyszła tego kapitału w czasie t [0, T ] wyrazi się wzorem F t = P a(t). Oczywiscie F 0 = P. W celu wyznaczenia wartości początkowej kapitału 1 jednostki po czasie T należy rozważyć fnkcję a 1 : t a 1 (t) spełniającą a 1 (t) a(t) = 1 dla każdego t [0, T ]. a 1 nazywamy funkcją dyskontowania (discount function) jednej jednostki kapitału. Dla ustalonego t wartość a 1 (t) będziemy nazywali t-okresowym czynnikiem dyskontowania (discount factor). Oczywiście dla kapitału F t wartość początkowa tego kapitału wyraża się wzorem P = F t a 1 (t). Przypuśćmy teraz, że dana jest pewna inwestycja o horyzoncie czasowym [0, T ] i że w momencie t 1 [0, T ] został zainwestowany pewien kapitał P 1. W celu wyznaczenia wartości przyszłej F t2 tego kapitału w momencie t 2 [0, T ], t 2 > t 1 należy skorzystać ze wzoru F t2 = P 1 a 1 (t 1 ) a(t 2 ). Dla t = 0, 1, 2,... będziemy częściej stosowali oznaczenie a(n) zamiast a(t), F n zamiast F t itp. Przez I n będziemy oznaczać odsetki uzyskane w n-tym okresie inwestycji. Zatem I n = F n F n 1 dla n = 1, 2, 3,.... Oprocentowanie zgodne Będziemy zakładać, że: -) czas oprocentowania składa się ze skończonej ilości podokresów będących okresami oprocentowania; -) okres stopy procentowej r pokrywa się z okresem oprocentowania. 3
Oprocentowanie proste Zasady oprocentowania prostego są stosowane w obliczeniach bankowych transakcji krótkoterminowych (do jednego roku) oraz umowach zawieranych poza sferą bankową. Zasada oprocentowania prostego charakteryzuje się następującą cechą: odsetki uzyskane w czasie inwestycji po każdym okresie oprocentowania są generowane od wartości początkowej kapitału, czyli nie podlegają kapitalizacji w czasie a na końcu inwestycji. Wyznaczymy postać ogólna ciągu {F n } n=1 przyszłych wartości kapitału P po czasie n, będącym całkowitą wielokrotnością okresu oprocentowania. Obliczanie wartości F n+1 na koniec (n + 1) go okresu oprocentowania przebiega następująco: do wartości F n z końca n-tego okresu kapitalizacji dopisujemy odsetki I n+1 przypadające za (n+1)-szy okres. Tak więc ciąg (F n ) spełnia równanie rekurencyjne postaci (1) F n+1 = F n + I n+1, n = 0, 1,... z warunkiem początkowym F 0 = P. Ponieważ oprocentowaniu podlega tylko kapitał początkowy P, to ciąg odsetek (I n ) jest ciągiem stałym o wyrazie ogólnym postaci (2) I n = P r, n = 0, 1,. Podstawiając (2) do (1) otrzymujemy równanie (3) F n+1 = F n + P r, n = 0, 1,..., a stąd (4) F n+1 F n = P r, n = 0, 1,.... Wzór (4) wskazuje, że ciąg (F n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy P r i pierwszym wyrazie postaci F 1 = P + P r = P (1 + r). Zatem, w myśl (3) n-ty wyraz tego ciągu ma postać (5) F n = P (1 + nr). Funkcja akumulacji wyraża się tutaj wzorem a(t) = a(n) dla t [n, n + 1), gdzie a(n) = 1 + nr, n = 0, 1,... jest n-okresowym czynnikiem akumulacji kapitału w modelu oprocentowania prostego. Z (5) otrzymujemy postać n-okresowego czynnika dyskontowania 1/(1 + nr) oraz wzór na wartość początkową kapitału P (6) P = F n 1 + nr. Zauważmy, że suma odsetek wytworzonych przez kapitał P w ciągu n okresów kapitalizacji jest równa różnicy wartości przyszłej F n i wartości teraźniejszej P a więc (7) I = F n P = P nr. Zatem wzór (5) wskazuje, że wartość przyszła kapitału P po n okresach kapitalizacji jest sumą wartości kapitału początkowego i odsetek za czas n. 4