Materiały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia. Sprawdzanie warunków wytrzymałości takich prętów. Wydruk elektroniczny 5. slajdów na. stronach przeznaczony do celów dydaktycznych dla studentów II roku studiów stacjonarnych na Wydz. Inżynierii Mechanicznej i Robotyki kierunek utomatyka i Robotyka w roku akademickim 07/08 utor slajdów: Marek Płachno dr hab. inż.. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki GH Katedra Wytrzymałości Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji e-mail: plachno@agh.edu.pl Zastrzeżenia autorskie. Slajdy stanowią przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 994 r. r 4 poz.8 z późn. zmianami).. utor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie niniejszych slajdów niż podane w ich przeznaczeniu. Temat wykładowy Obliczanie sił przekrojowych naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia. Sprawdzanie warunków wytrzymałości takich prętów. Część pierwsza tematu wykładowego : Obliczanie sił przekrojowych prętów rozciąganych i ściskanych bez wyboczenia.. Co to są siły przekrojowe Są to siły działające wewnątrz materiału pręta wskutek przejmowania przez pręt sił zewnętrznych czynnych i biernych obliczone dla wskazanych przekrojów myślowych tego pręta.. Co to jest przekrój myślowy pręta Jest to myślowe rozdzielenie pręta ma dwie części tj. na część część lewą i prawą po którym powierzchnia zarówno części lewej jak i części prawej uzyskana w wyniku tego rozdzielenia jest płaska i prostopadła do osi pręta oraz ma środek ciężkości punkcie przecięcia każdej z tych powierzchni przez oś pręta. Tak uzyskana powierzchnia gdy przynależy do lewej części pręta jest nazywana lewą stroną przekroju myślowego natomiast gdy przynależy do prawej części pręta jest nazywana prawą stroną tego przekroju.
. Co to jest siła przekrojowa pręta rozciąganego iściskanego bez wyboczenia określona dla wskazanego przekroju myślowego Są to fizycznie dwie siły oznaczone np. L i P z których siła L jest przyłożona w środku ciężkości lewej strony przekroju myślowego jest styczna do osi pręta oraz ma zwrot dodatni w prawo natomiast siła P jest przyłożona w środku ciężkości prawej strony przekroju myślowego też jest styczna do osi pręta ale ma zwrot dodatni w lewo.. Jak oblicza się siły przekrojowe pręta rozciąganego i ściskanego bez wyboczenia W ogólnym przypadku pręta oblicza się takie siły za pomocą wykresu rozkładu sił wewnętrznych po długości pręta. Ten wykres można wyznaczyć np. metodą wybranych przekrojów myślowych która obejmuje pięć następujących kroków obliczeń: Krok. Sprawdzić wartości algebraiczne sił zewnętrznych ze względu na warunki równowagi statycznej pręta. Krok. Oznaczyć na schemacie pręta wybrane przekroje myślowe. Krok. Sporządzić szablon tablicy dla obliczanych sił przekrojowych. Krok 4. Obliczyć wartości algebraiczne sił przekrojowych dla wybranych przekrojów myślowych za pomocą równań sumy sił dla lewej i prawej strony każdego z tych przekrojów. Krok 5. Sporządzić wykres rozkładu sił wewnętrznych po długości pręta. 4
4. Przykład obliczeniowy nr - temat Dla pręta okrągłego obciążonego siłami zewnętrznymi P P P R (rys..) wyznaczyć rozkład sił wewnętrznych po długości pręta gdy P 60 k P 0 k P 0 k. 4.. Krok Sprawdzić wartości algebraiczne sił zewnętrznych ze względu na warunki równowagi statycznej pręta. 4... Objaśnienia do kroku a). Wartości algebraiczne liczby dodatnie i ujemne b). Warunki równowagi statycznej pręta (z płaskim układem sił zewnętrznych): suma rzutów wszystkich sił zewnętrznych na oś x pręta jest równa zero suma rzutów wszystkich sił zewnętrznych na oś y pręta jest równa zero suma momentów obliczonych dla wszystkich sił zewnętrznych wobec tego samego bieguna (dowolnie wybranego punktu pręta) jest równa zero. 4... Obliczenia dotyczące kroku R P + P P 0 Fx R 60 + 0 0 0 R 60 k Fy 0 M 0. 5 Schemat pręta z rys.. po oznaczeniu przekrojów myślowych Strona przekroju Siła k 4. Przykład obliczeniowy nr krok Oznaczyć na schemacie pręta z rys.. wybrane przekroje myślowe. Zalecenie dla kroku (uniwersalny sposób oznaczania przekrojów myślowych pręta). a schemacie obciążeń zewnętrznych pręta oznacza się literą skrajny lewy punkt jego osi należący do materiału pręta a taki sam skrajny prawy punkt oznacza się literą B po czym nadaje się kolejne litery alfabetu innym punktom osi pręta do których są przyłożone jego obciążenia zewnętrzne. 4. Przykład obliczeniowy nr krok Sporządzić szablon tablicy dla obliczanych sił przekrojowych. Zalecenie dla kroku (uniwersalny szablon dla każdego przypadku sił przekrojowych). Szablon tablicy sił przekrojowych dla pręta z rys.. B C D B Każdy przekrój myślowy oznacza się przez dwa dwuliterowe symbole jeden dla lewej strony tego przekroju drugi dla strony prawej. Pierwsza litera symbolu oznacza punkt na osi pręta (np. B C D) z kolei druga litera - to albo - gdy symbol dotyczy lewej strony przekroju albo B - gdy symbol należy do strony prawej.
Strona przekroju Siła k B C 4.4 Przykład obliczeniowy nr krok 4 D B Obliczyć wartości algebraiczne sił przekrojowych dla wybranych przekrojów myślowych za pomocą równań sumy sił dla lewej i prawej strony każdego z tych przekrojów Równania sumy sił dla lewej i prawej strony przekroju myślowego to uniwersalny sposób obliczania algebraicznych wartości sił przekrojowych dla każdego ich przypadku. Dla pręta obciążonego układem sił osiowych formułuje się takie równania następująco: suma sił dla lewej strony przekroju myślowego tj. siła przekrojowa L plus rzuty na oś z L sił zewnętrznych przyłożonych na lewo od analizowanego przekroju ale bez siły zewnętrznej zaczepionej w punkcie osi pręta należnym do tego przekroju - jest równa zero suma sił dla prawej strony przekroju myślowego tj. siła przekrojowa P plus rzuty na oś z P sił zewnętrznych przyłożonych na prawo od analizowanego przekroju ale bez siły zewnętrznej zaczepionej w punkcie osi pręta należnym do tego przekroju - jest równa zero składniki sumy sił zarówno dla lewej jak i prawej strony przekroju myślowego są dodatnie gdy mają zwroty zgodne ze zwrotem osi przypisanej do strony przekroju. 4.4 Przykład obliczeniowy nr krok 4 ciąg dalszy ). Równania sumy sił dla lewych stron przekrojów myślowych w punktach C D i B: R 50 k P 70 kp 40 kp 0 k C D B + R 0 + R P 0 + R P + P B 0 k C R D 0 50 k R + P B C D R + P P 0 k Strona przekroju B C D B Siła k 0-0 ). Równania sumy sił dla prawych stron przekrojów myślowych w punktach C i D: B + P P + P 0 B P + P P B 50 k P + P 0 P P 0 k + P 0 P 0 k. Strona przekroju Siła k B C 0 D 0-0 B -0 8 4
Jo k 4.5. Przykład obliczeniowy nr krok 5 Sporządzić wykres rozkładu sił przekrojowych pręta wzdłuż jego osi Strona przekroju Tablica sił przekrojowych pręta B C D B Wykres rozkładu sił przekrojowych pręta wzdłuż jego osi Siła k 0 0-0 -0 Z wykresu odczytuje się że: analizowany pręt jest odcinkowo ściskany oraz rozciągany ściskanie występuje na odcinkach wzdłuż których siły przekrojowe są ujemne (odcinek C i odcinek ) z kolei rozciąganie ma miejsce na odcinku sił przekrojowych dodatnich tj. na odcinku CD ekstremalna siła przekrojowa ma wartość k i dotyczy przekrojów na odcinku C. Koniec przykładu nr 9 Część druga tematu wykładowego : Obliczanie naprężeń w materiale prętów rozciąganych i ściskanych bez wyboczenia.. Co to jest naprężenie W ogólnym przypadku jest to wektor zaczepiony w analizowanym punkcie materiału przynależnym do objętości pręta mający alternatywnie następujące cechy:.. Wartość obliczaną jako matematyczna pochodna po powierzchni myślowego przekroju do którego przynależy analizowany punkt materiału w objętości pręta obliczona dla funkcji rozkładu po tym przekroju albo jego siły przekrojowej - albo jego momentu przekrojowego... Oś kierunkową - albo prostopadłą - albo styczną do płaszczyzny myślowego przekroju jw... azwę - naprężenie normalne - i symbol σ (sigma) gdy ma oś kierunkową prostopadłą do przekroju myślowego jw..4. azwę - naprężenie styczne - i symbol τ (tał) - gdy ma oś kierunkową styczną do przekroju myślowego jw. 0 5
. Jakie cechy ma naprężenie w materiale pręta rozciąganego iściskanego bez wyboczenia.. Ma wartość σ która będąc matematyczną pochodną po powierzchni myślowego przekroju do którego przynależy analizowany punkt materiału pręta obliczoną dla funkcji rozkładu po tym przekroju jego siły przekrojowej normalnej - jest określona przez wzór: σ... Ma oś kierunkową prostopadłą do płaszczyzny myślowego przekroju jw... Ma nazwę - naprężenie normalne - i symbol σ przy czym: gdy symbol σ jest stosowany z indeksem zawierającym literę c (ściskanie) lub literę r ( rozciąganie) to wartość naprężenia normalnego jest liczbą bez znaku w innym przypadku wartość naprężenia normalnego jest liczbą z takim znakiem jaki ma siła przekrojowa normalna dla której obliczono to naprężenie.. Przykład obliczeniowy nr - temat Dla pręta okrągłego mającego rozkład sił wewnętrznych po długości pręta jak na rys..4 obliczyć maksymalne naprężenie ściskające i rozciągające oraz ekstremalne wartości naprężenia normalnego w przekrojach C i D tego pręta jeżeli ma on średnice: d B d C 0 mm d d D 0 mm d d B 6 mm... Przykład obliczeniowy nr krok - tablica danych d B d C d d D d d B B C D B mm mm mm k k k 0 0 0 0-0.. Przykład obliczeniowy nr - krok - szablon tablicy wyników B C D B σ cmax σ rmax σ CE σ DE cm cm cm 6
.. Przykład obliczeniowy nr - krok obliczenie powierzchni B B.... Wzory... Dane... Obliczenia..4. Wyniki B B 0 5 π d 0 5 π d 0 5 π d B B. d B d B d mm mm mm 0 6 0 B B 05 4 707 cm B B 05 4 6 5cm cm cm cm 05 4 4 cm. 707 5 4.4. Przykład obliczeniowy nr krok 4 obliczenie naprężeń σ cmax σ rmax.4.. Wzory.4.. Dane B B σc max max σrmax B B.4.. Obliczenia B cm 707 B cm 5 cm 4 B 50 7 707 Pa 707 4 B 707 B 0 7 77 Pa 77 4 B 5 0 7 67 Pa 67. 4 4 B B k k k -0 0.4.4. Wyniki : σ c 707 max σ r 67. max.5. Przykład obliczeniowy nr - krok 5 - obliczenie naprężeń σ CE σ DE..5.. Wzory.5.. Dane do obliczeń σ σ CE DE C C D D C D cm cm 707 4 cm 5 C k k 0 D k 0 k -0.5.. Obliczenia: C C D 707 67-77 67. D.5.4. Wyniki obliczeń tablica wyników przykładu nr B C D B σ cmax σ rmax σ CE σ DE cm cm cm 707 4 5 707 67-707 67-67 67 Koniec przykładu nr 4 7
Część trzecia tematu wykładowego : Obliczanie zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia.. Jakich zmian geometrycznych doznaje pręt wskutek rozciągania i ściskania bez wyboczenia Taki pręt doznaje zmiany swojej objętości tzn. zmieniają się wymiary wszystkich swobodnych krawędzi pręta.. Jakie założenia warunkują możliwość obliczania zmian jw. za pomocą prostych zależności algebraicznych wynikających z prawa Hooke a naprężenie w materiale pręta nie przekracza wartości nazywanej granicą proporcjonalności materiału pręta każdy z analizowanych odcinków pręta ma stały przekrój oraz ma materiał o stałych parametrach sprężystości (moduł Younga i liczba Poissona). 5. Prosta zależność algebraiczna wynikająca z prawa Hooke a przydatna do obliczania zmiany długości L pręta spowodowanej jego rozciąganiem i ściskaniem bez wyboczenia: L j n j L j j j E j gdzie: j numer kolejny przypisany każdemu odcinkowi pręta mającemu taki sam przekrój j taki sam moduł Younga E J taką samą siłę przekrojową normalną j oraz długość początkową L j. 4. Przykład obliczeniowy nr - temat Dla pręta który ma rozkład sił wewnętrznych po długości jak na rys..6 obliczyć przemieszczenie przekroju B tego pręta względem jego przekroju spowodowane przez te siły. Materiał pręta jest taki sam na jego całej długości oraz ma stały moduł Younga równy E 0 5. 6 8
4.. Przykład obliczeniowy nr krok podział pręta na odcinki mające stały przekrój oraz stałe siły przekrojowe normalne. 4.. Krok - tablica danych i wyników. j j cm 7 5 E j j k L j mm L j mm 0 5 500 0 5 0 500 0 5-0 400 4.. Krok - obliczenie przemieszczeń cząstkowych ( 50 ) L 500 6 L 677 m 07 mm E 5 6 4 7 L 500 0 6 L 56 m 05 mm E 5 6 4 L 400 L E 5 6 4 5 ( 0 ) 6 79 m 007 mm 4.4. Krok wynik końcowy L L + L + L 07 + 05 007 L -009 mm. Koniec przykładu nr 7 5. Przykład obliczeniowy nr 4 - temat Pręt obustronnie utwierdzony jak na rys..7 uległ podgrzaniu od temp. 0 do temp. 0. Obliczyć reakcje R więzów tego pręta oraz naprężenie w jego materiale pręta jeżeli pręt ma przekrój 5 cm długość L 05 m a materiał pręta ma współczynnik rozszerzalności liniowej α 0-5 K - oraz moduł Younga E 0 5. 5.. Krok Dobór wzorów do obliczeń gdyby pręt nie był obustronnie utwierdzony to wskutek podgrzania powodującego przyrost temperatury T swobodny przekrój pręta doznałby względem swojego przekroju utwierdzonego przemieszczenia L T określonego przez wzór (): ponieważ pręt jest obustronnie utwierdzony takie przemieszczenie nie wystąpi bo w utwierdzeniu pojawi się siła reakcji R która skompensuje przemieszczenie L R poosiowymściśnięciem L R pręta wyrażonym zależnością (): na tej podstawie dla siły R uzyskuje się wzór () a dla naprężeściskającego w materiale pręta wzór (4): R R E α T () σt E α T (4) L T α L T () L R L R E 8 () 9
5.. Przykład obliczeniowy nr 4 krok tablica danych i wyników cm 5 E 0 5 α K - 0 5 T K 00 R k σ T 5.. Krok Obliczenia R E α T 5-5 - 6 0 6 6 k T 5 6 σ E α T - 5 0 5 6 Pa 5. 5.. Przykład obliczeniowy nr 4 krok wyniki E α cm K - σ T T R K k 5 0 5 0 5 00-6 -5 Koniec przykładu 4 9 Część czwarta tematu wykładowego : Sprawdzanie warunków wytrzymałości prętów rozciąganych i ściskanych bez wyboczenia. a czym polega sprawdzanie warunków wytrzymałości prętów W ogólnym przypadku polega na porównaniu największych naprężeń obliczonych dla pręta np. σ c max σ r max τ max - z naprężeniem dopuszczalnym dla materiału tego pręta oznaczonym np. jako k c k r k t. Wynik sprawdzenia jest pozytywny jeżeli spełnione są nierówności algebraiczne nazywane warunkami bezpieczeństwa mające postaci: σ cmax k c σ rmax k r max natomiast jest negatywny gdy jest inaczej. τ kt 0 0
. Co to jest naprężenie dopuszczalne W ogólnym przypadku jest to taka wartość naprężenia normalnego i stycznego która z prawdopodobieństwem 00% nie spowoduje zniszczenia materiału pręta w warunkach normalnej pracy tego pręta jako elementu użytkowanego urządzenia. ajczęściej określa się naprężenia dopuszczalne jako iloraz tzw. granicy plastyczności materiału do tzw. wymaganego współczynnika bezpieczeństwa.. Co to jest granica plastyczności materiału Jest to - empirycznie wyznaczona oraz opublikowana w normach - wartość naprężenia charakteryzująca każdy znormalizowany gatunek materiału konstrukcyjnego której przekroczenie spowoduje - z prawdopodobieństwem bliskim 00% - trwałe odkształcenie materiału uznawane zwykle za zniszczenie tego materiału. 4. Co to jest wymagany współczynnik bezpieczeństwa Jest to liczba określana w różny sposób ale zawsze jako nie mniejsza niż która ma skompensować ewentualność wystąpienia w warunkach normalnej pracy sprawdzanego pręta - jako elementu użytkowanego urządzenia - takiej sytuacji że największe naprężenie obliczone okaże się mniejsze niż naprężenie rzeczywiste. Wymagany współczynnik bezpieczeństwa jest zwykle podawany arbitralnie np. w aktach prawnych nazywanych przepisami bezpieczeństwa określonych urządzeń. 5. Jaki jest podział materiałów konstrukcyjnych ze względu na ich naprężenia dopuszczalne Jest to podział na dwie główne grupy tj. na materiały sprężysto-plastyczne oraz na materiały sprężysto-kruche. Materiał sprężysto plastyczny charakteryzuje się tym że przy wystąpieniu naprężenia równego granicy plastyczności dozna ten materiał trwałych odkształceń które spowodują duże zmiany geometrii pręta. Są te zmiany bardzo ważnym sygnałem przekroczenia naprężeń dopuszczalnych otrzymywanym przez użytkownika urządzenia zanim pręt utraci ciągłość geometryczną tzn. ulegnie np. rozerwaniu złamaniu lub pęknięciu. Do materiałów sprężysto-plastycznych należą np. stale i staliwa różnego rodzaju stopy metali nieżelaznych i wiele tworzyw sztucznych. Z kolei materiał sprężysto kruchy nie ma zdolności do dużych odkształceń trwałych w związku z czym elementy z takiego materiału nie sygnalizują przekroczenia naprężenia dopuszczalnego przed utratą ciągłości geometrycznej. Do materiałów sprężysto-kruchych należy np. żeliwo beton kamień szkło ceramika i niektóre tworzywa sztuczne.
6. Jak najprościej stwierdzić czy materiał konstrukcyjny jest sprężysto - plastyczny czy sprężysto - kruchy Przez odczyt własności mechanicznych z normy materiału. Gdy materiał jest sprężysto plastyczny to w normie jego własności mechanicznych jest podana granica plastyczności oznaczona zwykle jako R e lub R 0. Ponieważ własności wytrzymałościowe materiału sprężysto - plastycznego przy jego rozciąganiu i ściskaniu bez wyboczenia są zbliżone to do sprawdzenia naprężeń takiego materiału przyjmuje się zwykle jednakową wartość naprężenia dopuszczalnego dla rozciągania i ściskania bez wyboczenia. atomiast materiał sprężysto - kruchy nie ma granicy plastyczności dlatego jego norma podaje tylko wytrzymałość tego materiału na rozciąganie R r lub na ściskanie R c albo też obydwie z tych wytrzymałości. Ponieważ ważną cechą materiałów sprężysto kruchych jest znacząco większa wytrzymałość tych materiałów na ściskanie względem ich wytrzymałości na rozciąganie to naprężenia dopuszczalne na rozciąganie takich materiałów są zwykle mniejsze niż ich naprężenia dopuszczalne na ściskanie. Z tego powodu elementy z materiałów sprężysto - kruchych należy sprawdzać zarówno na naprężenia rozciągające jak i na naprężenia ściskające. Sprawdzić warunki wytrzymałości prętów z przykładów nr i 4 jeżeli oba pręty mają wykazywać wymagany współczynnik bezpieczeństwa n w przy czym pręt z przykładu nr jest wykonany z materiału sprężysto -kruchego o wytrzymałości R c 00 i R r 50 a pręt z przykładu nr 4 ma materiał o wytrzymałości R e 55. 7. Przykład obliczeniowy nr 5 - temat 7.. Krok Dobór wzorów do obliczeń Warunki wytrzymałości dla pręta z przykładu nr : Rc Rr σcmax k c σrmax kr kc kr. nw nw Warunki wytrzymałości dla pręta z przykładu nr 4: Re σcmax k c kc. nw 7.. Krok tablica danych i wyników σ c max σ r max R c Pręt z przykładu nr R r n w k c k r σ c max k c R e Pręt z przykładu nr 4 n w 00 50 707 67 55 5
7.. Przykład obliczeniowy nr 5 krok obliczenia dla pręta z przykładu nr k c R n c w 00 00 Rr kr n 50 50. 7.4. Przykład obliczeniowy nr 5 krok 4 obliczenia dla pręta z przykładu nr 4 R r n w k R n σ c max 55 e c w σ r max k c w 8. 7.5. Przykład obliczeniowy nr 5 krok 5 wyniki obliczeń oraz wyniki sprawdzenia warunków wytrzymałości prętów z przykładów nr i 4 Pręt z przykładu nr Pręt z przykładu nr 4 R c k r R e n w σ c max k c 00 50 707 67 00 50 55 5 8 Zarówno pręt z przykładu nr jak i pręt z przykładu nr 4 nie spełnia warunków wytrzymałości ponieważ: w przypadku pręta z przykładu nr w przypadku pręta z przykładu nr 4 σr max 67 > kr 50 σ Koniec przykładu nr 5 5 > kc 8. c max 5