Mikro II: Użyteczność, Ograniczenie budżetowe i Wybór Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 49
Użyteczność Wst ep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wsz edzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych w krzywej popytu. Kogo to interesuje: firmy (funkcja popytu), regulatorzy, dostarczyciele dóbr publicznych (w ladze). Preferencje nie sa wygodne do analizy zachowania konsumenta, jest to niewygodny w obs ludze obiekt matematyczny. Dlatego wprowadzamy funkcj e użyteczności, które opisuje preferencje. Zastanowimy sie też czy dla każdych preferencji istnieje funkcja użyteczności opisujaca te preferencje. Powoli zbliżamy sie do optymalnego wyboru, po użyteczności bedziemy mówić o ograniczeniu budżetowym, a potem przejdziemy do wyboru. 2 / 49
Użyteczność Funkcja użyteczności I Funkcja użyteczności opisuje preferencje, nie jest miara szcześcia, lub zadowolenia. Funkcja użyteczności uporzadkowuje koszyki dóbr, w ten sam sposób co preferencje (ordynalna). Pamietajmy preferencje sa pierwotne, funkcja użyteczności jest wtórna. Definicja. Mówimy, że u(x 1, x 2 ) opisuje preferencje, gdy dla dowolnych (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) u(x 1, x 2 ) u(y 1, y 2 ) wtedy i tylko wtedy (x 1, x 2 ) u(y 1, y 2 ) Dla dowolnych preferencji istnieje wiele funkcji użyteczności opisujacych je, w szczególności dokonanie monotonicznej transformacji nie zmienia preferencji. 3 / 49
Użyteczność Funkcja użyteczności II Monotoniczna transformacja - funkcja f (u) jest monotoniczna transformacja jeżeli u 1 > u 2 implikuje f (u 1 ) > f (u 2 ). 4 / 49
Użyteczność Funkcja użyteczności III Twierdzenie. Jeżeli u(x 1, x 2 ) jest funkcja użyteczności opisujac a preferencje, oraz f (u) jest dowolna monotoniczna transformacja, to f [u(x 1, x 2 )] opisuje te same preferencje. Dowód. Jeżeli u(x 1, x 2 ) opisuje preferencje, wówczas u(x 1, x 2 ) u(y 1, y 2 ) wtedy i tylko wtedy gdy (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ). Ponadto jeżeli f (u) jest monotoniczna transformacja, to u(x 1, x 2 ) u(y 1, y 2 ) wtedy i tylko wtedy gdy f [u(x 1, x 2 )] f [u(y 1, y 2 )]. Z powyższych otrzymujemy f [u(x 1, x 2 )] f [u(y 1, y 2 )] wtedy i tylko wtedy gdy (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) co oznacza, że f [u(x 1, x 2 )] opisuje preferencje. 5 / 49
Użyteczność Funkcja użyteczności IV Każda funkcja rosnaca jest monotoniczna transformacja. Patrz Rysunek 4.1. 6 / 49
Rysunek: Monotoniczna transformacja.
Użyteczność Użyteczność kardynalna. Sa różne sposoby definiowania użyteczności kardynalnej. Wspólnym mianownikiem, różnych definicji jest możliwość stwierdzenia, że jeden koszyk jest dwa razy lepszy niż drugi. W naszych analizach nie jest to nam potrzebne, wobec czego funkcja użyteczności s luży nam tylko i wy l acznie do opisania, że jakiś koszyk jest nie gorszy od innego koszyka. Nie s luży nam do opisania że coś jest ileś razy lepsze niż coś innego. 8 / 49
Użyteczność Czy pieniadze daja szczeście? I Pomimo, że wartość funkcji użyteczności nie pozwala nam odpowiedzieć na powyższe pytanie ekonomiści próbuja mierzyć sie z powyższym pytaniem. Jednym ze sposobów jest pytanie respondentów - w wykorzystaniem numerycznej skali - jak bardzo sa szcześliwi, co sie okazuje (Easterlin R.A., 2001, Income and Happiness: Towards a Unified Theory The Economic Journal 111, 465 484) ludzie o wyższych dochodach raportuja że sa bardziej szcześliwi, niż ci o niższych dochodach zadowolenie zależy pozytywnie od dochodów ale negatywnie od aspiracji na poczatku doros lego życia aspiracje sa podobne dla wszystkich grup dochodowych, wiec ci o wyższych dochodach sa bardziej zadowoleni z życia 9 / 49
Użyteczność Czy pieniadze daja szczeście? II wzrost dochodów nie poprawia zadowolenia z życia (wzrost aspiracji w pe lni niweluje efekt wzrostu dochodów) 10 / 49
Użyteczność Czy pieniadze daja szczeście? III Tematy do zastanowienia: Wyższe dochody oznaczaja, że moge wiecej kupić wiec moje zadowolenie z życia wzrośnie, czy to nie jest oczywiste? Czy gdyby dochody wzros ly wszystkim dwukrotnie to byliby wszyscy dwa razy szcześliwsi? (Easterlin, R.A., 1995. Will raising the incomes of all increase the happiness of all?, Journal of Economic Behavior & Organization, 27(1), 35-47.) 11 / 49
Użyteczność Budowa funkcji użyteczności. Każdej krzywej obojetności przypisujemy liczbe rzeczywista. Patrz Rysunek 4.2. Czy dla każdych preferencji istnieje funkcja użyteczności opisujaca je? Odpowiedź brzmi nie, patrz poniższy przyk lad. 12 / 49
powrót Rysunek: Konstruowanie funkcji użyteczności z preferencji.
Użyteczność Preferencje leksykograficzne. Przyk lad. Rozważmy leksykograficzne preferencje zdefiniowane dla dwóch dóbr konsumpcyjnych. Leksykograficzne preferencje maja nastepuj ac a postać. Dla dowolnych dwóch koszyków x i y. Mówimy że x y jeżeli x 1 y 1 lub x 1 = y 1 i x 2 y 2. Czyli konsument woli ten koszyk, który ma wiecej dobra 1, a jeżeli dwa koszyki maja tyle samo dobra 1 to woli ten, który ma wiecej dobra 2. Ta relacja preferencji jest zupe lna, zwrotna, przechodnia, ściśle monotoniczna i ściśle wypuk la. Te preferencje sa ciekawe, bo krzywe obojetności maja postać punktu (rysunek na wyk ladzie). Można udowodnić że nie istnieje funkcja użyteczności która by ja opisywa la. Intuicyjnie rzecz ujmujac, nie da sie przypisać każdej krzywej obojetności coraz wiekszej i wiekszej liczby rzeczywistej.. 14 / 49
Użyteczność Niektóre przyk lady funkcji użyteczności. Dobra doskonale substytucyjne: u(x 1, x 2 ) = ax 1 + bx 2. Dobra doskonale komplementarne: u(x 1, x 2 ) = min{ax 1, bx 2 } Preferencje quasi-liniowe: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2. Patrz Rysunek 4.4. Preferencje Cobba-Douglasa: u(x 1, x 2 ) = x1 αxβ 2. Patrz Rysunek 4.3. Zauważ, że dowolne preferencje Cobba-Douglasa można wyrazić za pomoca takiej funkcji użyteczności Cobba-Douglasa, dla której wyk ladniki dodaja sie do 1. Udowodnij to. 15 / 49
powrót Rysunek: Preferencje quasi-liniowe.
Rysunek: Preferencje opisane przez funkcj e użyteczności Cobba-Douglasa. powrót
Użyteczność Krańcowa użyteczność. Krańcowa użyteczność dobra x 1 mówi o ile wzrośnie użyteczność, jeżeli konsumpcja dobra x 1 wzrośnie o 1. Matematycznie jest to pochodna. MU 1 = U(x 1, x 2 ) x 1 MU 2 = U(x 1, x 2 ) x 2 Krańcowa użyteczność przydaje si e do policzenia MRS. 18 / 49
Użyteczność Krańcowa użyteczność a stopa substytucji Krańcowa stope substytucji w punkcie ( x 1, x 2 ) liczymy z nastepuj acego wzoru (pami etamy o minusie). MRS ( x1, x 2 ) = MU 1( x 1, x 2 ) MU 2 ( x 1, x 2 ) 19 / 49
Użyteczność Użyteczność z dojazdów I Autobus czy samochód? Domenich i McFadden (1975) Przypuśćmy, że x reprezentuje n cech dojazdu samochodem, a y wartości tych samych cen przy dojeździe autobusem. Przypuśćmy, że funkcja użyteczności ma nastepuj ac a postać U(x 1, x 2,..., x n ) = β 1 x 1 + β 2 x 2 +... + β n x n. Korzystajac z metod statystycznych możemy oszacować parametry tej funkcji, badanie Domenicha i McFaddena dostarcza nam nastepuj acego oszacowania U(TW, TT, C) = 0.147TW 0.0411TT 2.24C gdzie TW czas dojścia do autobusu lub samochodu, TT czas podróży w minutach, C ca lkowity koszt podróży w dolarach. Ponadto autorzy raportuja, że powyższa funkcja użyteczności poprawnie opisuje wybór miedzy transportem samochodowym a autobusowym w 93% gospodarstw domowych. 20 / 49
Użyteczność Użyteczność z dojazdów II Takie oszacowania sa bardzo przydatne przy projektowaniu zmian w systemie transportu miejskiego. Np. pozwoli odpowiedzieć na pytanie o ile wzrośnie przychód (czyli czy op laca sie), gdy, ponoszac pewne koszty, w ladze zakupia wiecej autobusów, aby zredukować czas podróży. Co wiecej możemy oszacować ile dany konsument jest w stanie zap lacić za skrócenie czasu przejazdu. W cytowanym badaniu oszacowano że przecietny podróżujacy jest gotów zap lacić 1,10 dolara, za skrócenie czasu dojazdu o godzine. 21 / 49
Użyteczność Podsumowanie. Funkcja użyteczności a preferencje. Preferencje kardynalne a ordynalne. Niektóre przyk lady funkcji użyteczności. Formu la na krańcowa stopa substytucji. Lektura: Varian rozdz. 4. 22 / 49
Użyteczność Przyk ladowe pytania. Wyjaśnij do czego s luży funkcja użyteczności. Jaka jest relacja pomiedzy funkcja użyteczności i preferencjami? Wyjaśnij pojecie użyteczności kardynalnej. Pokaż w jaki sposób konstruujemy funkcj e użyteczności, czy dla każdej relacji preferencji istnieje funkcja użyteczności, która je reprezentuje (jeżeli tak wyjaśnij, jeżeli nie podaj kontrprzyk lad). Podaj przyk ladowe funkcje użyteczności i krótko je scharakteryzuj. 23 / 49
Ograniczenie budżetowe Wprowadzenie. Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wsz edzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych w krzywej popytu. Kogo to interesuje: firmy (funkcja popytu), regulatorzy, dostarczyciele dóbr publicznych (w ladze). Poprzednio zajmowaliśmy sie checiami konsumentów, tutaj zajmiemy sie możliwościami. Potem to po l aczymy co nam da wybory konsumentów. Wybór konsumentów to jest to co nas najbardziej interesuje. 24 / 49
Ograniczenie budżetowe Poj ecie ograniczenia budżetowego. Na ogó l wystarcza dwa dobra. Drugie dobro może reprezentować wszystko inne. Ograniczenie budżetowe lub inaczej p 1 x 1 + p 2 x 2 = m x 2 = p 1 p 2 x 1 + m p 2 Nachylenie linie budżetu = p 1 p 2, przeciecie z osia pionowa = m p 2, przeciecie z osia pozioma = m p 1. Patrz Rysunek 2.1. 25 / 49
Rysunek: Ograniczenie budżetowe.
Ograniczenie budżetowe Jak si e zmienia linia budżetu? Ograniczenie budżetowe lub inaczej Wzrost dochodu. Rysunek 2.2. Wzrost ceny. Rysunek 2.3. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m x 2 = p 1 p 2 x 1 + m p 2 27 / 49
powrót Rysunek: Wzrost dochodu.
powrót Rysunek: Wzrost ceny.
Ograniczenie budżetowe Numeraire. Możemy, zrównać cen e jednego dobra z 1, wówczas nazywamy to dobro numeraire. 30 / 49
Ograniczenie budżetowe Podsumowanie. Budżet rysunek plus równanie. Wzrost dochodu a linia budżetu. Wzrost ceny a linia budżetu. Numeraire. Lektura: Varian rozdz. 2 bez 2.6. 31 / 49
Ograniczenie budżetowe Przyk ladowe pytania. Zapisz formu l e na lini e budżetu. Określ jego nachylenie. Podaj intuicyjne wyt lumaczenie nachylenia. Określ jak zmienia si e linia budżetu po zmianie ceny dobra 1, ceny dobra 2 oraz dochodu. 32 / 49
Wybór Wprowadzenie. Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wsz edzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych w krzywej popytu. Kogo to interesuje: firmy (funkcja popytu), regulatorzy, dostarczyciele dóbr publicznych (w ladze). Poprzednio zajmowaliśmy sie checiami konsumentów i możliwościami. Teraz po l aczymy te analizy żeby opisać wybór konsumenta. Wybór konsumentów to jest to co nas najbardziej interesuje. 33 / 49
Wybór Optymalny wybór. Jeżeli po l aczymy preferencje z ograniczeniem budżetowym uzyskamy optymalny wybór. Patrz Rysunek 5.1. Dwie podstawowe cechy: leży na ograniczeniu budżetowym (monotoniczność) jeden punkt styczności (wypuk lość). Zauważmy, że nie zawsze zachodzi warunek styczności. Dobra doskonale komplementarne sa przyk ladem optymalnego wyboru w punkcie, w którym nie ma styczności. Patrz Rysunek 5.2. Innym przyk ladem, gdyż nie zachodzi styczność, jest optimum brzegowe. Patrz Rysunek 5.3. Możliwy jest też wi ecej niż jeden punkt styczności (brak wypuk lości preferencji). Patrz Rysunek 5.4. 34 / 49
powrót Rysunek: Optymalny wybór.
powrót Rysunek: Brak styczności, dobra doskonale komplementarne.
powrót Rysunek: Optimum brzegowe.
powrót Rysunek: Wiele punktów styczności.
Wybór Popyt konsumpcyjny. Funkcja popytu na dobro x 1 : x 1 (p 1, p 2, m) oraz na dobro x 2 : x 2 (p 1, p 2, m). 39 / 49
Wybór Kilka przyk ladów. Dobra doskonale substytucyjne. Patrz Rysunek 5.5. Dobra doskonale komplementarne. Patrz Rysunek 5.6. Preferencje wkl es le. Patrz Rysunek 5.8. 40 / 49
powrót Rysunek: Dobra doskonale substytucyjne.
powrót Rysunek: Dobra doskonale komplementarne.
powrót Rysunek: Preferencje wkl es le.
Wybór Szacowanie funkcji użyteczności. Jeżeli dane sa dostepne, wówczas można oszacować funkcje użyteczności. Taki szacunek jest bardzo przydatny do szacowania zmian różnych polityk, np. polityki państwa, polityki cenowej przedsi ebiorstwa. Takie szacunki dokonuje si e przy wykorzystaniu technik statystycznych, przy pewnych za lożeniach. Jest to obecnie powszechnie stosowana metoda zarówno w przedsi ebiorstwach, jak i w urz edach publicznych (no może nie w polskich urz edach). 44 / 49
Wybór Implikacje warunku dotyczacego MRS. Ponieważ w punkcie optymalnym mamy MRS = p 1 p 2, a także każdy obserwuje takie same ceny, w gospodarce doskonale konkurencyjnej, każdy konsument ma taki sam MRS, który jest równy stosunkowi cen. Wobec tego ceny wzgledne niosa ważna informacje. One nas informuja jaka jest wzgledna wartość jednego dobra wzgledem drugiego, w danym spo leczeństwie (jak porównać jab lka i samochody). Idea, że ceny nie sa arbitralne, ale odzwierciedlaja wartości (krańcowe) jakie spo leczeństwa przypisuja różnym dobrom, jest jedna z fundamentalnych idei w ekonomii. 45 / 49
Wybór Pozycjonowanie produktów w marketingu I Praktycznym zastosowaniem teorii użyteczności jest pozycjonowanie produktów w marketingu. Każdy produkt możemy wyrazić jako zbiór charakterystyk (np. w przypadku samochodu ważne sa: komfort jazdy, przyspieszenie, klimatyzacja, zużycie paliwa, design, itp). Metody numeryczne - przy wykorzystaniu cen hedonicznych - pozwalaja wyprowadzić z charakterystyk pojazdu popyt na niego (sa to metody ekonometryczne wykorzystujace teorie mikroekonomii). Ceny hedoniczne dane sa równaniem P = f (x 1, x 2,.., x n ), gdzie f może być liniowa lub nieliniowa a x i oznacza charakterystyke i produktu. Dok ladne pozycjonowanie produktu na rynku wymaga wiedzy o potrzebach konsumentów, kosztach dostarczenia poszczególnych charakterystyk oraz produktu. 46 / 49
Wybór Pozycjonowanie produktów w marketingu II Producenci musza wiedzieć jakie charakterystyki powinien mieć produkt i jak je wycenić. Tematy do zastanowienia: w jaki sposób analiza za pomoca MRS może być przydatna dla ustalania w lasności produktu (pomyśl o p latkach śniadaniowych posiadajacych dwie charakterystyki: s lodkość i chrupkość) czy nie lepiej by loby gdyby producenci samochodów zamiast oferować pakiety dodatkowe pozwolili wybrać konsumentom dok ladnie to co oni chca? 47 / 49
Wybór Podsumowanie. Optymalny wybór. Optymalny wybór a styczność. Kilka przyk ladów. Popyt konsumpcyjny. Szacowanie funkcji użyteczności. Informacja zawarta w MRS. Lektura: Varian, rozdzia l 5 bez 5.6, dobra neutralne i niechciane, dobra policzalne, preferencje Cobba-Douglasa. 48 / 49
Wybór Przyk ladowe pytania. Podaj formu l e na optymalny wybór, pokaż go na rysunku. Podaj intuicyjne wyt lumaczenie warunku optymalności. Wskaż przypadki w których powyższa formu la nie jest spe lniona. Jakie sa implikacje warunku optymalności dotyczacego MRS? 49 / 49