1. WSTĘP DO MECHANIKI Mechanika jest działem fizyki, w jakim analizuje się stany materii w przestrzeni i czasie używając d teg elementarnych praw. W gruncie rzeczy, materiał kreślany jak wstęp d mechaniki, jest jedncześnie wstępem d fizyki, gdyż wprwadza się tu zastaw pjęć wykrzystywanych we wszystkich działach, zarówn fizyki klasycznej, jak i współczesnej. W dydaktyce fizyki dział mechanika pzstaje w pdziale na dwa główne pddziały: statykę i dynamikę. Statyka, t analiza zachwań materii, na jaką działają siły; przy czym siły te równważą się! Na przykład dwie sprężyny widczne na rys. 1.1 pdpierają kulę ciężarze F g. Ow pdpieranie, t nacisk dwóch sił F 1 i F, jakie składają się na siłę wypadkwą, równważącą siłę ciężaru F g. a Rys. 1.1. Przykład statyczny (a) raz jeg matematyczna idea w graficznym zbrazwaniu (b). Czytelnik mże sprawdzić metdą graficzną, czy suma sił F 1, F i F 3 rzeczywiście równa jest zeru. b Dynamika, t analiza zachwań materii, na jaką działają siły niezrównważne. Alb inaczej: jest t sytuacja, w jakiej na kreślną masę działa (niezerwa) siła i, w wyniku jej działania, masa ta prusza się ruchem zmiennym. Na przykład na rys. 1. jabłk prusza się ruchem jednstajnie zmiennym, pnieważ działa na nie stała siła przyciągania ziemskieg (wart pszukać w na strnach internetwych infrmacji pjawiających się w następstwie zestawienia haseł: Twer f Pisa + Galile/Galileusz). W rzeczywistści ruch jednstajnie zmienny - t tylk idea, pnieważ, przede wszystkim, pminięty zstał pór pwietrza, a także wiatr i jeg zawirwania, nierównmiernść przestrzenneg rzkładu pla grawitacyjneg, elektryzwanie pdczas tarcia pwietrze, itd. Dygresja W przyrdzie nie ma zjawisk, których przebieg w pełni dpwiadałby wybrażeniu idealnemu (jak że swim przebiegiem c najwyżej zbliżają się d idei). Pwiedzmy t inaczej: w fizyce psługujemy się ideami, czyli uprszcznymi pisami zjawisk pszukujemy mianwicie prstych zasad (idei), jakie w zadwalającym stpniu pzwlą przewidywać przebieg zjawisk. Jeżeli pjawiają się trudnści - wprwadza się także fenmenlgiczne pisy zjawisk i dpaswuje d nich frmuły matematyczne (przykładem frmuły fenmenlgicznej mże być 11-letni cykl aktywnści słnecznej).
a Rys. 1.. Przykład dynamiczny (a) raz jeg idea (b). Czy jakieś elementy brazka p lewej dpwiadają przypadkwi statycznemu? b Uwaga! Materię w stanie ruchu jednstajneg należy również traktwać jak przypadek statyczny, pnieważ w układzie pruszającym się z prędkścią tej materii, materia wa trwa w bezruchu (pzstaje w spczynku). Wart rzważyć przykłady na rys. 1.3 i ustalić, które z nich przedstawiają sytuację statyczną, a które dynamiczną. a b c d e f Rys. 1.3. Przykłady statyczne i dynamiczne. D statycznych należą te, w jakich suma przyłżnych sił jest równa zeru. Np. dm sti w nieruchm (nie zapada się), b jeg ciężar zrównważny jest przez ddlny nacisk gruntu, a kulka w cieczy pada ruchem jednstajnym, pnieważ ciężar zrównważny jest siłą wyprnści i siłą Stkesa. Tylk sytuacje a i e zaliczają się d dynamicznych. W przypadku a jest t ruch jednstajnie zmienny prstliniwy, a w przypadku b - ruch zmienny, pnieważ przyśpieszenie (tzw. przyśpieszenie dśrdkwe) cały czas się zmienia (c d kierunku i zwrtu). Dm i mst na rys 1.3d i 1.3f są dla bserwatra związaneg z pwierzchnią Ziemi sytuacjami statycznymi. Natmiast Księżyc krążący wkół Ziemi (rys. 1.3e), dla każdeg bserwatra stanwi przypadek dynamiczny (pnieważ grawitacyjna siła przyciągania dśrdkweg w tym ruchu stale się zmienia, i t zarówn c d kierunku jak i zwrtu). Spadchrniarz (rys. 1.3b) t także sytuacja statyczna, pnieważ siła przyciągania grawitacyjneg jest zrównważna siłą pru pwietrza działającą na czaszę spadchrnu (siła pru pwietrza jest prprcjnalna d szybkści ruchu spadchrnu). Kulka padająca w cieczy (rys. 1.3c) t klejna sytuacja statyczna, pnieważ siła grawitacyjna działająca na kulkę jest zrównważna dwiema siłami:
- tzw. siłą Stkesa, czyli siłą, która działa na kulkę w tym samym kierunku, ale ze zwrtem przeciwnym d zwrtu padania (siła Stkesa jest prprcjnalna d prmienia kulki i szybkści jej padania); - siłą Archimedesa (siła Archimedesa - zwana siłą wyprnści - jest równa ciężarwi cieczy bjętści kulki, kierunku pinwym, ze zwrtem d góry). W pczątkwej chwili padania kulki siły nie są jeszcze zrównważne (sytuacja dynamiczna). Dpier p siągnięciu przez kulkę dpwiedniej szybkści mamy d czynienia z sytuacją statyczną. A klcek zsuwający się z równi pchyłej (rys. 3a)? Otóż, jeżeli składwa siły grawitacyjnej wzdłuż równi jest większa d siły tarcia mamy d czynienia z sytuacją dynamiczną. Ale mże się zdarzyć, że siła tarcia jest równa sile zsuwającej. Wtedy klcek jest nieruchmy względem równi, alb prusza się ruchem jednstajnym będzie t sytuacja statyczna (ale mał w tym przypadku prawdpdbna). Nawiązując jeszcze raz d rys. a zauważymy, że gdyby przedstawina na tym rysunku the Pisa Twer była duż wyższa (mże jak biblijna wieża Babel ;-) jabłk rzpędził by się tak dalece, że siła grawitacyjna zrównałaby się z siłą pru pwietrza (pdbnie jak w przypadku kulki spadającej w cieczy na rys. 3c). Jest mżliwe sfrmułwanie kinematycznej zasady, wg jakiej ustalamy, czy materia jest w stanie statycznym, czy nie. Ot wa zasada: jeżeli mżna bserwatra umieścić w układzie współrzędnych pruszającym się ruchem jednstajnym tak, że bserwatr widzi materię w bezruchu t na pewn jest t sytuacja statyczna. Dlateg uwaga! T, że widzimy, że materia przemieszcza się, wcale nie jest dwdem, że nie znajduje się na w sytuacji statycznej! W mechanice, prócz pjęcia statyka i dynamika funkcjnuje pjęcie kinematyka (pdkreślenia wskazują miejsce akcentu pdczas wypwiadania tych wyrazów). Kine-ma-tyka t dział fizyki zajmujący się pisywaniem ruchu bez rzważań nad tym, jakie siły ten ruch wywłują. Jednakże t, c zaliczamy d kinematyki zawarte jest także w dy-na-mice, gdzie pisuje się ruch, ale na pdstawie znajmści sił działających na materię. W zasadzie, jeśli rzpatrywać pis matematyczny kreślneg ruchu, t i statykę mżna uważać za szczególny (trywialny) przypadek dynamiki; mianwicie, jest t przypadek dynamiczny, w jakim wypadkwa siła działająca na materię przyjmuje wartść zerwą. 1.1. Jakie zagadnienia matematyczne nie stwarzają trudnści abslwentwi szkły średniej? Tytuł teg rzdziału sfrmułwany jest w niec przewrtny spsób, gdyż należałby pwiedzieć, że chdzi tu raczej apel d abiturientów, aby zechcieli przypmnieć sbie niektóre szklne zagadnienia matematyczne, a w szczególnści te, które są wskazane pniżej. 1.1.1. Funkcja a równanie Wyrażenia (frmuły) matematyczne w fizyce t funkcje lub równania. W mechanice sptykamy się najczęściej z funkcjami czasu. Najprstszą z nich jest zależnść współrzędnej (na danej si) d czasu. Na przykład, rzpczynający się na kreślnej wyskści pinwy rzut kamieniem d góry wart rzważać jak zmiany współrzędnej na pprwadznej pinw si. Osią tą pwinna być prsta równległa d ruchu kamienia. Oś musi mieć pczątek (czyli punkt zerwy), i musi być skierwana (tzn. należy arbitralnie ustalić w jakim kierunku dłżne są wartści ddatnie, a w jakim ujemne a następnie zaznaczyć t strzałką). Przyjmijmy pczątek współrzędnej w miejscu rzutu kamienia (w miejscu rzpczęcia jeg ruchu), a ś skierujmy d góry (rys. 1.4). Ruch rzpczyna się na wyskści h, przez chwilę dbywa się d góry, p czym rzpczyna się spadanie w dół. Prszę zauważyć, że współrzędna pczątkwa y nie wynsi tutaj h, ale zer! Natmiast w mmencie uderzenia w ziemię, współrzędna będzie wynsiła h (minus h). Idea ruchu teg kamienia, t
przemieszczanie się punktu (np. śrdka masy kamienia) wzdłuż prstej pinwej. Dzięki wprwadzeniu si y, idea ta przybiera kształt matematyczny w pstaci funkcji (1.1): gt y(t) = vt (1.1) gdzie: v szybkść pczątkwa kamienia t zmienna niezależna, czyli czas g - przyspieszenie ziemskie Rys. 1.4. Funkcja i równanie. Graficznym zbrazwaniem funkcji jest tutaj parabla (wyrażenie 1.1), a zbrazwaniem równania jest punkt współrzędnych t 1,-h. Jeżeli d funkcji wstawimy jej wartści w kreślnym punkcie trzymamy równanie. Graficznym zbrazwaniem funkcji jest linia, natmiast zbrazwaniem równania jest punkt na tej linii. 1.1.. Skalar a wektr Jeżeli d scharakteryzwania kreślnej wielkść fizycznej,, knieczna jest infrmacja jej ukierunkwaniu w przestrzeni (prócz pdania jej wartści), t na pewn mamy d czynienia z wielkścią wektrwą. Na przykład prędkść jest wektrem, a szybkść skalarem; b, np. plicjant wypisuje mandat za przekrczenie szybkści (nie prędkści). Chyba, że kierwca pruszał się pd prąd na jezdni jednkierunkwej... Wtedy pjazd miał niewątpliwie, niewłaściwą prędkść (jej wektr psiadał zwrt niezgdny ze zwrtem prędkści uczestników ruchu respektujących znaki drgwe). Czyli: niewłaściwa prędkść t prędkść w niedbrym kierunku i zwrcie, niewłaściwa szybkść za duż na liczniku (pprawnie należałby pwiedzieć: wskaźniku szybkści, lub tachmetrze ). Pwiedzmy zatem wyraźnie: wektr psiada trzy cechy (skalar tylk jedną: wartść): - wartść, - kierunek,
- zwrt. Wektr nie zmienia się, jeżeli jest przemieszczany translacyjnie (c znaczy, że każdy jeg punkt przemieszczany jest tak sam). Dlateg punkt przyłżenia wektra nie jest cechą wektra (!), ale w kreślnych przypadkach fizykalnych pdanie punktu przyłżenia mże być niezbędne. Wektry pdlegają działanim zwanym sumwaniem i mnżeniem. Przy czym mnżenie dbywa się w dwjaki spsób: skalarny i wektrwy. Graficzne sumwanie wektrów Przed graficznym sumwaniem wektrów przemieszczamy je tak, żeby ich pczątki znalazły się w tym samym punkcie. Następnie twrzymy równległbk (jak na rys. 1.5) i łączymy punkt pczątków wektrów z przeciwległym wierzchłkiem równległbku. Rys. 1.5. Graficzne sumwanie wektrów. Mnżenie skalarne wektrów Wynik mnżenia skalarneg t ilczyn wartści wektrów pmnżny przez ksinus kąta pmiędzy nimi. Rys. 1.6. Ilczyn skalarny. Wynik mnżenia graficzneg jest wielkścią skalarną, a w dniesieniu d interpretacji graficznej jest t pwierzchnia równległbku, któreg bki twrzą wymnażane wektry. Mnżenie wektrwe wektrów Wynik mnżenia wektrweg t, w przeciwieństwie d mnżenia skalarneg, wielkść wektrwa. Wartścią wyniku mnżenia wektrweg jest ilczyn wartści wektrów pmnżny przez sinus kąta pmiędzy nimi. Kierunek i zwrt ilczynu wektrweg kreślany jest za pśrednictwem tzw. reguły śruby prawskrętnej (rys. 1.7).
Rys. 1.7. Ilczyn wektrwy. Wynik mnżenia wektrweg jest zgdny z kierunkiem wkręcania wyimaginwanej śruby prawskrętnej. 1.1.3. Funkcje trygnmetryczne W rzwiązywaniu prblemów mechanicznych niezbędna jest znajmść pdstaw trygnmetrii. Oprócz szybkieg kjarzenia bków i kątów w trójkątach z dpwiednimi funkcjami trygnmetrycznymi, knieczny jest nawyk psługiwania się twierdzeniem sinusów i twierdzeniem ksinusów. Spśród tzw. wzrów trygnmetrycznych najważniejsza jest jedynka trygnmetryczna. Praktyka dydaktyczna pkazuje, że nie są t wcale zagadnienia trywialne, dlateg pwtórzmy je jeszcze raz. I tak: przyprstkątna przyległa i przyprstkątna przeciwległa, t terminy na kreślenie bków w stsunku d kreślneg kąta streg. W stsunku d drugieg kąta streg w trójkącie prstkątnym - ich nazwy wystąpią na dwrót. W tabeli 1.1 umieszczne są definicje funkcji trygnmetrycznych jak stsunki dpwiednich bków w trójkącie prstkątnym. Ale t jest tylk wstęp d zdefiniwania funkcji trygnmetrycznych, bwiem w celu gólneg zdefiniwania funkcji trygnmetrycznych psługujemy się tzw. prmieniem wdzącym i jeg rzutami na sie x-ów i y-ów (tab. 1.). W trójkącie argument funkcji trygnmetrycznych zamyka się w dziedzinie d 0 d 90. Natmiast w definicji gólnej d 0 d nieskńcznści. Tab. 1.1. sinus (sin) ksinus (cs) tangens (tg) ktangens (ctg) przyprstkątna przeciwległa, d przeciwprstkątnej przyprstkątna przyległa, d przeciwprstkątnej przyprstkątna przeciwległa, d przyprstkątnej przyległej przyprstkątna przyległa, d przyprstkątnej przeciwległej a/c b/c a/b b/a
Tab. 1.. sinus (sinα) y/r ksinus (csα) x/r tangens (tgα) y/x ktangens (ctgα) x/y Rys. 1.8. Oznaczenia bków i kątów w trójkącie prstkątnym. W trójkącie na rys. 1.8 zgdnie z prawem Pitagrasa: Jedynka trygnmetryczna: sin α + cs α = 1 raz sin β + cs β = 1 c = a + b (1.) Rys. 1.9. Oznaczenia bków i kątów w trójkącie dwlnym. W trójkącie dwlnym (rys. 1.9) bwiązują tzw. twierdzenie sinusów i twierdzenie csinusów. Twierdzenie sinusów: sinα sinβ sinγ = = (1.3) a b c Twierdzenie ksinusów: a = c + b cb csα c b = a = a + b + c ab csγ ac csβ (1.4)
Znając pwyższe zasady mżna rzwiązać każdy prblem trygnmetryczny, a inne, przydatne w pewnych sytuacjach, związki trygnmetryczne łatw wyszukać w tablicach matematycznych. 1.1.4. Pchdna funkcji Pdstawwym pjęciem zmierzającym d zdefiniwania pchdnej funkcji jest ilraz różnicwy. Ilraz różnicwy funkcji pisującej płżenie (współrzędną) punktu w zależnści d czasu t prędkść średnia (rys. 1.10). Rys. 1.10. Rysunek d definicji ilrazu różnicweg. Ilraz różnicwy v(t t) w mmencie t dla przedziału czasweg t wyraża funkcja 1.5 x(t + t) x(t) v(t t) = (1.5) t Na rys. 1.10 przedstawin wykres funkcji raz sieczną przechdzącą przez punkty współrzędnych dpwiadających wartścim funkcji dla dwlneg mmentu t raz dla mmentu t późniejszeg. Nachylenie tej siecznej t matematycznie: ilraz różnicwy funkcji, fizycznie prędkść średnia w czasie d t d t+ t. Przy kazji uwaga: nachylenie prstej, t nie tangens kąta (!) pmiędzy tą prstą a sią dciętych t, pnieważ figura ARC t nie trójkąt! Każdy bk ma inną jednstkę: przyprstkątna przyległa sekundy, przyprstkątna przeciwległa metry. A przeciwprstkątna? Otóż w zbirze znanych nam pjęć w góle nie ma pjęcia jednstki dla niej! Uwaga! Żadna przeciwprstkątna! t p prstu sieczna punktów A i B. Nachylenie tej siecznej (ilraz różnicwy) t wynik pdzielenia BC (w tym przypadku wyrażneg w metrach) przez AC (wyrażneg w sekundach). Zatem nachyleniu siecznej na wykresie x = f(t) będzie przyprządkwana jednstka m/s. Jest t czywiste, b przecież nachylenie w tym przypadku jest prędkścią (prędkścią średnia w czasie t). Pchdna t również ilraz różnicwy, ale w sytuacji, gdy przedział czaswy t jest nieskńczenie mały (mówi się: dąży d zera ). Wtedy sieczna staje się styczną w punkcie współrzędnych (t, x(t)). Nachylenie tej stycznej t pchdna (rys. 1.11). Prszę zawsze zwracać uwagę na t, żeby nie mówić, że pchdna w punkcie t tangens nachylenia stycznej w tym punkcie (wykreślamy t również z pamięci!), pnieważ zbrazwanie graficzne pchdnej w danym punkcie funkcji (punkcie na wykresie funkcji), t nachylenie stycznej w tym punkcie.
Rys. 1.11. Rysunek d definicji pchdnej funkcji. Pchdną v(t) w mmencie t wyraża funkcja 1.6. x(t + t) x(t) v(t) = lim (1.6) t 0 t Wartści pchdnej funkcji w pszczególnych jej punktach mżna wyznaczać graficznie, tak jak pkazan na rys. 1.11, dzieląc BC przez AC (wartść t jest tutaj dwlna). Pchdną mżna wyznaczać numerycznie i analitycznie. Numerycznie, czyli z ilrazu różnicweg przy bardz małym t, a analitycznie z definicji (wyrażenie 1.6). Dla przykładu pliczmy pchdną funkcji x=+3t+4t. x(t + t) x(t) + 3(t + t) + 4(t + t) ( + 3t + 4t ) v(t) = lim = lim = t 0 t t 0 t + 3t + 3 + 4t + 8t t + t 3t 4t = lim = lim (3 + 8t + t) = 3 + 8t t 0 t t 0 Uwaga! Pchdne typwych funkcji (funkcji elementarnych) pdawane są w frmie wzrów w tablicach matematycznych. Na przykład pchdna względem czasu funkcji x = a t n t v = a n t n-1, funkcji x = a sinbt t v = ab csbt, funkcji x = a e bt t v = a b e bt. Pchdna sumy funkcji t suma pchdnych, ale już pchdna ilczynu dwóch funkcji t NIE (!) ilczyn pchdnych. Krzystając z definicji pchdnej mżna wyprwadzić wzór na pchdną ilczynu, a także na pchdną ilrazu. Wzry te, wraz ze wzrem na pchdną funkcji złżnej, mżna znaleźć w większści tablic matematycznych. 1.1.5. Całka nieznaczna Całkwanie jest działaniem dwrtnym d znajdwania pchdnej (różniczkwania). Inaczej mówiąc, całkwanie danej funkcji, t znajdwanie funkcji pierwtnej (funkcja pierwtna t taka funkcja, której pchdna jest funkcją całkwaną). Jednakże, jeżeli pliczymy pchdną pewnej funkcji x(t), czyli trzymamy funkcję v(t), t całkując funkcję v(t) trzymamy funkcję x(t) + dwlna stała. W fizyce stała ta zawsze psiada znaczenie fizyczne. Aby kreślić wartść tej stałej, trzeba znać tzw. warunek brzegwy (np. jaka jest wartść całki w zerze, w nieskńcznści bądź przy jakiejś innej wartści zmiennej niezależnej t).
Rys. 1.1. Funkcja a(t) i jej całka (całki). Całki wybranych funkcji elementarnych: n+ 1 e t dt = e t n t ; sint dt = cst ; cst dt = sint ; t dt = n + 1 1.1.6. Całka znaczna Przykład (całka w granicach d d 3 z funkcji sześć t kwadrat plus jeden, p dt): 3 (6t + 1)dt = [3t 3 + t] 3 = (3 3 3 + 3) (3 3 + ) = 4 Wynikiem całki znacznej jest liczba (w przeciwieństwie d całkwania nieznaczneg, gdzie wynikiem jest funkcja). Interpretacja graficzna całki znacznej przedstawina jest na rys. 1.13; jest t pwierzchnia pd wykresem graniczna sią dciętych i prstymi t=t 1 i t=t (gdzie t 1 i t t tzw. granice całki). Rys. 1.13. Całka znaczna.
1.. Statyka U pdstaw statyki znajdują się pjęcia śrdka masy i śrdka gemetryczneg. Jeżeli w danej bryle rzkład masy jest jednrdny (gęstść jest w każdym punkcie jest taka sama), t śrdek masy znajduje się w tym samym miejscu, c śrdek masy. Pjęcie śrdka masy bryły łatw zrzumieć w dniesieniu d grawitacji. Jeżeli w punkcie tym umieścimy zaczep, wtedy bryła niezależnie d rientacji w przestrzeni nie będzie się pruszać (bracać). Jest t sytuacja statyczna, pnieważ wszystkie siły i mmenty sił równważą się. W szkle mawia się trzy rdzaje równwagi są t: - równwaga statyczna - równwaga bjętna - równwaga chwiejna. Oczywiście w każdej z tych trzech równwag suma sił jest równa zer (równwaga translacyjna) i suma mmentów sił też jest równa zer (równwaga rtacyjna). Przy czym w równwadze bjętnej usytuwanie i rientacja materii nie wpływa na zmianę warunków równwagi, natmiast w równwadze stałej i chwiejnej wpływa. Ale w przypadku równwagi stałej, niezrównważenie sił i mmentów sił ma charakter taki, że materia stale pwraca d pierwtneg płżenia i rientacji (c najwyżej przez jakiś czas mgą zachdzić scylacje wkół płżenia (rientacji) równwagi. Na rys. 1.14 znajdują się ikngramy symblizujące różne rdzaje równwagi. Rys. 1.14. Przykłady równwagi: chwiejnej, bjętnej i stałej. Istnieje wiele sytuacji, w jakich równwaga translacyjna i rtacyjna mże nie występwać jedncześnie. Na przykład na rys. 1.15 pływający przedmit p próbie brócenia pwróci d równwagi (b wytwrzy się niezrównważny mment siły wypru), p przemieszczeniu pinwym też pwróci d równwagi (b zmniejszy lub zwiększy się siła wypru), natmiast p przesunięciu w praw lub w lew przedmit pzstaje na miejscu. Rys. 1.15. Przykład równwagi translacyjnie bjętnej, ale rtacyjnie stałej. 1.3. Dynamika W dziale tym rzpatruje się ruch zachdzący pd wpływem kreślnych sił lub mmentów sił. U pdstaw dynamiki leży praw dynamiki. Mówi się w nim, że materia prusza się z przyspieszeniem prprcjnalnym d siły, jaka na nią działa. Chdzi tu tzw. dynamikę nwżytną (kreśla się ją jak klasyczną, newtnwską). D czasów Newtna (XXVII wiek) bwiązywała mechanika arystteleswska, w której zakładał się, że materia prusza się, dpóki działa na nią siła (warunkiem ruchu jest działanie siły). Obecnie wiemy, że ruch mże dbywać się bez działania siły. Siedemnastwieczny system nauki Newtna bciążny był wcześniejszym,
ale na ówczesne czasy i tak awangardwym, spsbem myślenia. Mianwicie, Newtn zakładał, że materia prusza pd wpływem swjej wewnętrznej właściwści, którą mżna nazwać impetem lub bezwładnścią. Dziś wiemy, że t, czy materia prusza się czy pzstaje w spczynku, zależy d układu współrzędnych, w jakim ten ruch jest rzpatrywany. Natmiast wielkść zwana siłą, jest sprawcą ruchu przyśpieszneg. Przyśpieszenie jest prprcjnalne d siły Pwyższe zdanie t pdstawwe praw dynamiki klasycznej. W szkle rzpatruje się dwa przypadki ruchu wynikająceg z działania następujących sił: 1. Siła wynsi zer. Siła ma stałą wartść, kierunek i zwrt W pierwszym przypadku mamy d czynienia z ruchem jednstajnym, w drugim z ruchem jednstajnie zmiennym. Ruch jednstajny t ruch taki, w jakim w jednakwych przedziałach czasu następują jednakwe zmiany płżenia, natmiast w ruchu jednstajnie zmiennym w jednakwych przedziałach czasu następują jednakwe zmiany prędkści. Jeden i drugi ruch jest ruchem prstliniwym. Jest jeszcze jeden przypadek ruchu zmienneg rzpatrywany w szkle jest nim ruch harmniczny. Jednak rzadk ujawnia się ucznim, jaki rdzaj siły wyknuje ten ruch. Przypadki ruchu rzpatrywane w szkle sklasyfikwać trzeba ze względu na rdzaj siły pwdującej dany ruch raz ze względu na kształt tru. Klasyfikacja ze względu na kształt tru Ruch prstliniwy Ruch krzywliniwy Przy czym mawiane są tylk dwa przypadki ruchu krzywliniweg: ruch p kręgu i rzut. Odnśnie rzutu trzeba zauważyć t, że w szkle mawia się, nie d kńca słusznie, sbn rzut ukśny i rzut pzimy. Klasyfikacja ze względu na rdzaj siły Rdzaj ruchu Siła wynsi zer Siła jest stała c d wartści, kierunku i zwrtu Siła zmienia się w czasie Charakter ruchu Ruch krzywliniwy Ruch jednstajnie zmienny Ruch zmienny (nieskńczenie wiele mżliwści) Przy czym, jeżeli chdzi ruch zmienny - t w szkle rzpatrywany jest tylk jeden przypadek, czyli ruch harmniczny. Ale przemilcza się fakt, że jest t ruch pwstały w wyniku przyłżenia d kreślnej masy siły prprcjnalnej d współrzędnej ze znakiem przeciwnym. Mówi się natmiast, że jest t ruch stanwiący rzut ruchu p kręgu na prstą. Jest t prawdą, ale nie t jest isttą ruchu harmniczneg. Pwtórzmy: isttą ruchu harmniczneg jest t, że dbywa się pd wpływem siły prprcjnalnej d współrzędnej ze znakiem przeciwnym. Na pzimie matematyki szklnej mżliwe jest pisanie ruchu jednstajnie zmienneg raz jeg szczególneg przypadku ruchu jednstajneg. Pdkreślmy t: pd względem matematycznym ruch jednstajny jest szczególnym przypadkiem ruchu jednstajnie zmienneg. Znany jest bwiem wzór szklny na drgę w ruchu jednstajnie zmiennym :
gdzie v t prędkść pczątkwa, natmiast a przyśpieszenie. at s = v t + (1.7) Wzór 1.6 ma bardz graniczną przydatnść. Jest dbry, jeżeli pzstajemy w kręgu pjęć wczesngimnazjalnych takich jak ruch jednstajnie przyspieszny i ruch jednstajnie późniny. Najlepiej byłby w góle zapmnieć istnieniu w fizyce wzrów, które istnieją tylk w inżynierii, chć w większści przypadków są przez fizykę wytwarzane. Jak już wcześniej wspmnian, w fizyce występują tylk funkcje i równania. Tak sam wzry na drgę w ruchu jednstajnie przyśpiesznym i jednstajnie późninym... Nie istnieją takie rdzaje ruchu! Jest ruch jednstajnie zmienny! Ruch jednstajnie zmienny, jak każdy ruch, rzpatrujemy w dwlnie branym układzie współrzędnych. W tym przypadku układ ów mże być zredukwany d jednej si kierunku zgdnym z kierunkiem ruchu, ale dwlnym zwrcie i pczątku. Zwróćmy uwagę na rys. 1.4. Widczny na nim ruch kamienia pisany jest funkcją ruchu jednstajnie zmienneg dnszącą się d współrzędnej x skierwaną pinw, zwrcie d góry, z pczątkiem w miejscu rzpczęcia ruchu. Funkcja ruchu jednstajnie zmienneg x(t) zawiera w sbie infrmację całej histrii ruchu kamienia, która przebiega d mmentu wyrzutu, d mmentu upadku. Matematycznie dziedziną tej funkcji jest przedział d - d +. Natmiast fizycznie d mmentu wyrzutu, d mmentu upadku. Rzważmy, jak wygląda funkcja ruchu kamienia w przypadkach różnych układów współrzędnych. Na rys. 1.16 znajduje się zestawienie kilku przykładów układów współrzędnych zastswanych przy pisie teg sameg zagadnienia, czyli tzw. spadku swbdneg. Wart zwrócić uwagę na ścisły związek kształtu funkcji ruchu z układem współrzędnych. Ustalając kształt funkcji ruchu kierujemy się funkcją wzrcwą (w dalszej części niniejszeg rzdziału znajduje się jej wyprwadzenie) dla ruchu jednstajnie zmienneg: gdzie: x współrzędna pczątkwa v szybkść pczątkwa a - przyśpieszenie at x(t) = x + vt + (1.8) Przy ustalaniu kształtu funkcji ruchu (wykrzystując funkcję wzrcwą) należy zwracać uwagę na znaki przed symblami kreślającymi pszczególne wielkści (są t parametry funkcji: współrzędna pczątkwa x, szybkść pczątkwa v i przyspieszenie a). Prszę zwrócić uwagę jak t uczynin na rys. 1.16. Chcąc uniknąć błędneg używania słwa wzór dbrze jest uświadmić sbie jeg właściwe znaczenie. Wzór t wyrażenie algebraiczne pkazujące jak wyknać bliczenia liczbwe pdczas wyliczania wartści danej wielkści. Na przykład wzór na bjętść stżka pdstawie kłwej: V = πr H pkazuje, jak wzrując się na nim wyznacza się wartść bjętści przy znajmści wartści prmienia pdstawy R i wartści wyskści stżka H. Wzrem mżna także kreślać algebraiczną kńcówkę rzwiązania zadania (p jeg rzwiązaniu na liczbach gólnych), bwiem wzrując się na tym kńcwym wzrze pdstawiamy dane liczbwe i wyknujemy rachunek już na liczbach. Częstą pmyłką jest kreślanie wzrami dwlnych wyrażeń algebraicznych. Zapamiętajmy: najczęściej występujące w fizyce wyrażenia t funkcja i równanie, także definicja, a wzór prawie nigdy! Najważniejszym mawianym w szkle zagadnieniem w zakresie dynamiki t zagadnienie ruchu jednstajnie zmienneg, a właściwie wyprwadzenia wyrażeń na szybkść i współrzędną w funkcji czasu w takim ruchu.
Najpierw zapznajmy się z definicjami... Szybkść w ruchu jednstajnym: czyli wartść drgi przebytej w jednstce czasu. s v = (1.9) t Przyśpieszenie w ruchu jednstajnie zmiennym: v a = (1.10) t czyli zmiana szybkści w jednstce czasu. Przy czym zmiana szybkści mże być ddatnia (kiedy narasta) lub ujemna (kiedy maleje).
Rys. 1.16. Opis rzutu w różnych układach współrzędnych.
Definicja szybkści w ruchu jednstajnym (1.9) mże być przekształcna tak, że pwstanie funkcja przebytej drgi d czasu s = v t. Na rys. 1.17 jest t prsta, której współczynnikiem kierunkwym jest właśnie szybkść. Ale prszę uważać; współczynnik kierunkwy t nie tangens nachylenia wykresu (już t wcześniej mawialiśmy!). Wart tym pamiętać, pnieważ widywan już - brzydk ale brazw kreślając - sbników biedzących się przy wyznaczaniu współczynnika kierunkweg z kątmierzem w ręku, z zamiarem zmierzenia kąta pmiędzy linią wykresu a sią dciętych c, najdelikatniej kreślając, jest widkiem smutnym i marnym, a delikwent kiepsk rkuje...! Trzeba, p prstu, zwrócić uwagę na t, że wielkści na siach p pierwsze mają zwykle inne jednstki (tangens przecież nie psiada jednstki) p drugie nawet gdyby na siach były te same jednstki, t nie zawsze są zastswane takie same skale na siach. Rys. 1.17. Zależnść przebytej drgi d czasu w ruchu jednstajnie zmiennym. Na rys. 1.18 pkazan, że na wykresie v(t) pwierzchnia pd wykresem stanwi miarę przebytej drgi. Rys. 1.18. Interpretacja graficzna przebytej drgi. Również w każdym innym ruchu miarą przebytej drgi jest pwierzchnia pd wykresem. Wiedząc tym, łatw trzymać zapis funkcji ruchu jednstajnie zmienneg licząc pwierzchnię na wykresie v(t). Wykres taki przedstawin na rys. 1.19. Pdsumwując wiedzę ruchu jednstajnie zmiennym należy stwierdzić, że jeżeli na pewną masę działa stała siła, t masa ta prusza się ruchem jednstajnie zmiennym pisanym funkcją 1.7. Natmiast, jak znaleźć pis ruchu w przypadku, gdy przyłżna siła zmienia się w czasie? Otóż w gólnym przypadku nie daje się teg zrbić przy pmcy zwykłej matematyki gemetrycznej, i w szkle takich przypadków nie rzpatruje się, pnieważ ptrzebna jest d teg biegła znajmść rachunku różniczkweg i całkweg. W ruchu zmiennym prędkść definiuje się jak pchdną współrzędnej, a przyśpieszenie jak pchdną prędkści.
Rys. 1.19. Gemetryczna interpretacja drgi przebytej w ruchu jednstajnie zmiennym. Rzważmy przykład ruchu jednstajnie zmienneg: D masy m, w mmencie gdy miała prędkść v i znajdwała się na współrzędnej x, przyłżn stałą siłę F. Wyznaczyć funkcję pisującą prędkść raz funkcję pisującą zmiany współrzędnej tej masy. Rzwiązanie: Dane: Szukane: m v(t)=? F x(t)=? v x a dv = dt dv = a dt Pwyższe równanie całkujemy bustrnnie, trzymując: v = at + C Pszukujemy fizyczneg znaczenia stałej całkwania C (przez zastswanie warunku brzegweg t=0 v=v ): v = a 0 + C v = a t + v C = v
P bustrnnym scałkwaniu: Wyznaczamy C: v dx = dt dx = v dt dx = (a t + v ) dt at x = + v t + C x a 0 = a t x = + v + v 0 + C t + x C = x Odpwiedź: = a t v x(t) = + v t + x v(t) + a t W taki sam spsób mżna rzwiązać dwlny przypadek dynamiczny. Trzeba tylk znać funkcję pisującą zależnść siły d czasu raz tzw. warunki brzegwe, czyli prędkść pczątkwą i współrzędną pczątkwą. Przypadek działania na masę stałej siły, czyli ruch jednstajnie zmienny, a szczególnie matematyczny pis teg ruchu, t d czasów sir Newtna najważniejsze w dydaktyce fizyki zagadnienie. Z jednej strny wprwadza n ucznia w zagadnienia mechaniki gólnej, ale z drugiej strny jest ciekawe sam w sbie, pnieważ pis teg ruchu mieści w sbie pis ruchu jednstajneg i pis stanu nieruchmeg. Mżna t łatw sprawdzić wstawiając d funkcji v(t) i x(t) zer w miejsce przyśpieszenia w przypadku ruchu jednstajneg raz wstawiając zer w miejsce prędkści pczątkwej w przypadku trwania w spczynku. Dlateg nauczyciel bezwzględnie wymaga zapamiętania zapisów funkcji v(t) i x(t) w ruchu jednstajnie zmiennym. Prawie wszystkie przypadki dynamiczne rzpatrywane w szkle dtyczą ruchu jednstajnie zmienneg i jeg szczególneg przypadku ruchu jednstajneg. Jedynym innym rdzajem ruchu rzpatrywanym w szkle jest, jak już wspmnian, ruch harmniczny. Ruch harmniczny należy d kategrii ruchów zmiennych. Wszystkie ruchy pd względem dynamicznym mżna sklasyfikwać pd względem rdzaju działającej siły, czyli: - kiedy siła wynsi zer (wtedy występuje ruch jednstajny, w tym bezruch jeśli dpwiedni dbrać układ współrzędnych), - kiedy siła jest stała (wtedy ruch jednstajnie zmienny), - kiedy siła jest zmienna (wtedy ruch zmienny). Przypadków ruchu zmienneg jest nieskńczenie wiele, ale jak już wspmnian, w szkle rzpatrywany jest tylk jeden przypadek ruchu zmienneg, czyli ruch harmniczny.
1.4. Kinematyka ruchu krzywliniweg Ruch krzywliniwy jest złżeniem ruchów prstliniwych. Najbardziej znanym przypadkiem ruchu krzywliniweg jest tzw. rzut, czyli sytuacja, kiedy znamy wyskść, na jakiej rzpczyna się rzut, szybkść pczątkwą i kąt rzutu względem pzimu. Zakłada się pnadt, że ruch dbywa się tuż przy pwierzchni Ziemi (wtedy mżna pminąć zmiany przyśpieszenia ziemskieg zachdzące z wyskścią), a także t, że szybkść jest na tyle mała, że mżna pminąć pór pwietrza. Rys. 1.0. Rzut swbdny. W ruchu tym d pisu współrzędnej pinwej y(t) wykrzystujemy wiedzę ruchu jednstajnie zmiennym, a d pisu współrzędnej pzimej x(t) wiedzę ruchu jednstajnym. W kierunku pinwym działa cały czas stała siła grawitacyjna, w następstwie teg przedmit na tym kierunku prusza się ruchem jednstajnie zmiennym z przyspieszeniem g (ze znakiem ujemnym, b ś y ma zwrt d góry). W kierunku pzimym żadne siły nie działają stąd ruch jednstajny. Rezultat wykrzystania wyżej wspmnianej wiedzy t następujący układ funkcji (uwaga! układ funkcji, a nie układ równań).
x(t) = v csα t v x (t) = v csα y(t) = h + v gt sinα t v y (t) = v sinα - gt Rys. 1. Układ funkcji pisujących rzut. Jeżeli w miejsce zmiennej niezależnej t wstawimy czas rzutu t z, a także knsekwentnie dpwiadające mu wartści zmiennej zależnej, trzymamy układ równań, z któreg wyznaczymy zasięg z, czas rzutu t z i składwe prędkści kńcwej v xk i v yk. Natmiast, jeżeli w miejsce t wstawimy czas wznszenia d płżenia najwyższeg t w, t w miejsce v y (t) trzeba wstawić zer, i wtedy z pwstałeg układu równań jesteśmy w stanie wyliczyć wyskść maksymalneg wzniesienia h. z = v v xk = csα t z v 0 = h + v v = v yk csα sinα t sinα - gt z z gtz x v h w x = w = v v csα t csα = h + v w sinα t 0 = v sinα - gt w w gt w Mżna również wyznaczyć kształt tru p zapisaniu układu funkcji x(t) i y(t), traktując g jak tzw. układ równań parametrycznych krzywej. P wyrugwaniu parametru t trzymamy funkcję y(x), której wykres stanwi tr, p jakim prusza się rzucny przedmit, w tym przypadku parablę. x(t) = v csα t y(t) = h + v gt sinα t t = v x csα
y = h + v sinα v g y = x v cs α g( x v csα x ) csα + tgα x + h Wyskść maksymalneg wzniesienia mżna także kreślić wyznaczając maksimum pwyższej funkcji. Oczywiście zasięg t także jedn z miejsc zerwych ( ddatniej wartści) tejże funkcji. Mżliwe jest również wyznaczenie drgi, jaką przebywa rzucny przedmit. W tym celu mżna psłużyć się matematyczną prcedurą wyznaczania tzw. długści łuku krzywej danej równaniami parametrycznymi. W tym przypadku będzie t długść parabli w przedziale zmian parametru t d t=0 d t=t z. Drugim przypadkiem ruchu krzywliniweg mawianym jeszcze w szkle jest ruch p kręgu. W ruchu tym przedmit przemieszcza się p kręgu ze stałą szybkścią (ale zmienną prędkścią, b cały czas zmienia się jej kierunek). W celu łatwiejszeg pisania teg ruchu wprwadzn pjęcie prmienia wdząceg R raz szybkści kątwej ω (rys. ). Prmień wdzący t wektr, któreg pczątek umieszczny jest w pczątku układu współrzędnych, natmiast kniec teg wektra bracający się jak wskazówka zegara wytycza tr, p jakim prusza się przedmit. Naturalnie w tym przypadku jest t krąg. Prędkść kątwa t kąt, jaki braca się prmień wdzący w jednstce czasu. W ruchu p kręgu kąt ϕ pmiędzy sią x a wektrem wdzącym jest liniwą funkcją czasu: ϕ = ω t. Rys. 1.. Ruch p kręgu. Składwe ruchu p kręgu łatw ustalić psługując się rys. 1.: x(t) = R csωt y(t) = R sinωt
Mżna też sprawdzić, czy p wyrugwaniu parametru t na pewn trzymamy równanie kręgu: x= R csωt y= R sinωt P bustrnnym pdniesieniu d kwadratu i ddaniu strnami x = R cs ωt y = R sin ωt x + y = R (cs ωt + sin ωt) raz p uwzględnieniu jedynki trygnmetrycznej, rzeczywiście trzymujemy równanie kręgu: x + y = R Prmień wdzący w ruchu p kręgu daje się algebraicznie zapisać jak wektr stanwiący sumę swich rzutów na współrzędną x i na współrzędną y. Aby t siągnąć, trzeba psłużyć się pjęciem wersr. Wersr, t tzw. wektr jednstkwy, czyli mdule jeden i niepsiadający jednstki. Wersr kreślneg wektra t ów wektr pdzielny przez jeg mduł (na przykład wersr prędkści t ilraz prędkści i szybkści). Wersrwi w kierunku współrzędnej x nadajmy nazwę, a wersrwi w kierunku y -. î ĵ Zatem ruch p kręgu będzie pisany następującym wektrem: r = (R csωt) ˆ i + (R sinωt) ˆj W pdbny spsób mżna pstąpić z ruchem-rzutem: r = (v csα t) ˆi + (h + v gt sinα t )j ˆ (1.11) (1.1) Wektr pisujący ruch w taki spsób, kreślany jest nazwą płżenie. W każdym przypadku ruchu, czy w najbardziej skmplikwanym, czy też w jednstajnym prstliniwym, płżenie zawiera pełną infrmację ruchu b, i prędkści, i szybkści, drdze, przemieszczeniu, prędkści średniej, szybkści średniej, przyśpieszeniu, równaniu tru, przebytej drdze. Przykładw: prędkść t pchdna płżenia, szybkść - mduł z prędkści (szybkść t także pchdna drgi), przyśpieszenie pchdna prędkści, składwa styczna przyśpieszenia pchdna szybkści. Drga całka znaczna z szybkści.
Pzstając przy szklnych zagadnieniach rzutu swbdneg i ruchu p kręgu pliczmy niektóre wielkści kinematyczne: r = (v Rzut csα t) ˆi + (h + v r r dr v = = (v csα) ˆi + (v dt r r dv a = = ( g) ˆj dt gt sinα t )j ˆ sinα gt) ˆj Pwiemy: rzucny przedmit prusza się cały czas ze stałym przyśpieszeniem skierwanym prstpadle w dół (chciaż prędkść cały się zmienia c d kierunku i wartści, a tr jest parablą). Ruch p kręgu r = (R csωsi ˆ + (R sinωt) ˆj r v = ( Rω csωsi ˆ + (Rω sinωt) ˆj v = Rω r a = ( Rω csωsi ˆ + (Rω sinωt) ˆj = ω a = Rω r Zauważmy, że przyśpieszenie ma kierunek taki sam jak płżenie, tylk zwrt przeciwny, czyli ku śrdkwi kręgu. Dlateg mówi się również na nie przyśpieszenie dśrdkwe. Pwiemy: przedmit pruszający się p kręgu ulega przyśpieszeniu cały czas skierwanemu w kierunku d śrdka kręgu (prędkść jest cały czas prstpadła d przyśpieszenia). A jaką drgę przebywa przedmit w czasie równym kreswi? r T T π s = v dt = Rω dt = R ω T = R T = πr T 0 0 1.5. Ogólna zasada dynamiki Mechanikę w szkle rzpatruje się w rzłżeniu na trzy zasady. Pierwsza zasada dtyczy sytuacji, w jakiej mamy d czynienia ze spczynkiem lub ruchem jednstajnym, druga gdy mamy d czynienia z ruchem jednstajnie zmiennym i trzecia która wymusza przyprządkwanie każdej sile siły d niej przeciwnej. Z trzecią zasadą w przypadku ruchu zmienneg byłyby prblemy, gdyby nie wprwadzn pjęcia siły bezwładnściwej. Siła bezwładnściwa t siła właściwa dla danej masy, gdy ta prusza się ruchem zmiennym z kreślnym przyśpieszeniem. Siła ta jest prprcjnalna d przyspieszenia, ale działa w kierunku przeciwnym. Wymienine trzy szczegółwe prawa dynamiki są dbrze reprezentwane następującym stwierdzeniem, czyli prawem dynamiki: a r = F (1.13) m 1 r Przyśpieszenie kreślneg przedmitu jest prprcjnalne d przyłżnej d nieg siły. Współczynnikiem tej prprcjnalnści jest dwrtnść masy. Zgdnie z zasadą dynamiki (1.13) kierunek i zwrt przyśpieszenia jest taki sam jak przyłżna siła. Ale prędkść skierwana jest zazwyczaj w kierunku innym niż przyśpieszenie. Prszę zwrócić uwagę chciażby na przykład z rys. 1.4. Mianwicie, w przykładzie tym w pczątkwej fazie ruchu
prędkść jest skierwana d góry (w zastswanym układzie współrzędnych ddatnia), a p siągnięciu maksymalnej wyskści skierwana jest na dół (jest ujemna). Natmiast przyspieszenie w tym przykładzie jest skierwane cały czas na dół (jest ujemne). Zasadę przedstawiną wyrażeniem 1.13 mżna przekształcić d pstaci (1.14), jaką zwykł stswać Isaac Newtn: r r m a - F = 0 (1.14) Wyrażenie 1.14 t bilans sił; przy czym pierwsza siła jest siłą bezwładnściwą (zwana również siłą pzrną), druga - siłą zewnętrzną (zwana również siłą rzeczywistą). Frma 1.14, jest atrakcyjna ze względu na estetykę. Jednak bardziej zrzumiałą, intuicyjnie czywistą, zapewniająca mniejsze prawdpdbieństw ppełnienia błędu, jest frma 1.13. W każdym z tych zapisów, w płączeniu z warunkami brzegwymi (prędkścią pczątkwą v r i płżeniem pczątkwym r ) zawarta jest histria ruchu. Wystarczy, bwiem, w miejsce przyśpieszenia wstawić drugą pchdną płżenia, a w miejsce siły - sumę sił zewnętrznych działających na masę, aby trzymać równanie różniczkwe, któreg rzwiązanie przynsi wyrażenie na płżenie r r, z któreg, jak już wspmnian, mżna wyznaczyć kmpletny garnitur wielkści kinematycznych. Pzstaje tylk kwestia umiejętnści rzwiązania równania różniczkweg... Rzwiązywanie równań różniczkwych t dziedzina matematyki wyższej. Zagadnienie t w dydaktyce matematyki na uczelniach wyższych wprwadzane jest w przedmicie matematyki p uprzednim dbrym panwaniu przez słuchaczy rachunku różniczkweg i całkweg. Przykład zastswania gólnej zasady dynamiki ruch harmniczny W sytuacji, gdy siła przyłżna d kreślnej masy jest prprcjnalna d współrzędnej ze znakiem przeciwnym, wystąpi ruch zmienny zwany harmnicznym. Siłę tę wyrazimy następując: F = -kx. Litera k reprezentuje tu współczynnik prprcjnalnści, który jedncześnie prządkuje jednstki (F musi być wyrażne w niutnach, x w metrach, zatem wymiar współczynnika k t N/m, c zapiszemy następując: [k]=n/m). Wzrując się na wyrażeniu 1.13 zapiszemy: a = -k x m, a p wstawieniu definicji przyspieszenia d x = -kx dt m. Ta druga pstać jest rzpznawana jak równanie różniczkwe, któreg rzwiązaniem jest funkcja x = Asin(ωt+ϕ). W funkcji tej argument sinusa t tzw. faza, która jest liniwą funkcja czasu (faza = ωt+ϕ). Litera ϕ reprezentuje tzw. fazę pczątkwą, ω - częstść, czyli π razy częsttliwść f, która, z klei, jest dwrtnścią kresu T (f = 1/T). Pdsumwanie Mechanika dzieli się na statykę i dynamikę. W brębie statyki twrzy się równania ze zbilanswania sił i mmentów sił. Ruch dzielimy na jednstajny i zmienny. Ruch jednstajny danej masy wystąpi wówczas, gdy siły przyłżne d tej masy równważą się. W szkle zapamiętaliśmy gólny kształt algebraiczneg wzrca na współrzędną w ruchu jednstajnym: x = x + v t. Ruch zmienny wystąpi wówczas, gdy siły nie są zrównważne. Zapamiętaliśmy w szkle wzrzec na współrzędną w ruchu jednstajnie zmiennym: x = x + v t + at /. Ruch jednstajnie zmienny jest szczególnym przypadkiem ruchu zmienneg, mianwicie wtedy, gdy wypadkwa siła jest stała w czasie. Ruchów zmiennych mże być nieskńczenie wiele, ale tylk jeden był mawiany w szkle ruch harmniczny. Ruch
harmniczny rzpcznie się wtedy, kiedy siła przyłżna d masy jest prprcjnalna d wartści współrzędnej ze znakiem przeciwnym. Dwa przykłady ruchu krzywliniweg mawian w szkle: rzuty (pzimy i ukśny) raz ruch p kręgu. Czytelnik mże czuć się dbrze przygtwany d wykładów akademickich, jeżeli ptrafi samdzielnie zbudwać (zbudwać! - nie dtwrzyć z pamięci) wyrażenie na płżenie w rzucie ukśnym na kreślnej wyskści raz na płżenie w ruchu jednstajnym p kręgu. Natmiast jak abslwent szkły średniej zasługuje na cenę bardz dbrą, jeżeli ptrafi wyprwadzić wspmniane wzrce algebraiczne na ruch jednstajny i jednstajnie zmienny, a na cenę celującą jeśli zdła matematycznie wykazać, że przyspieszenie w ruchu jednstajnym p kręgu jest cały czas skierwane d śrdka kręgu. Rys. 1.3. Arkusz excela z rzwiązaniem rzutu ukśneg. W celu przećwiczenia niektórych zagadnień prszę twrzyć ich rachunkwe rzwiązania (w excelu) na strnie http://kepler.am.gdynia.pl/ kryjące się za przyciskiem Secndary schl dwnlads. Na rys. 1.3 znajduje się karta excela, gdzie widczne jest rzwiązanie rzutu ukśneg. Zmieniając ręcznie wartści danych mżna tam zabserwwać jak zmieniają się wyniki.