Pojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego kłady złożone z elementów biernych Bierne elementy elektroniczne to : opór : u ( i( indukcyjność : di( u( dt i pojemność : q u ( i( dt ozważmy obwód złożony z tych elementów połączonych szeregowo, zasilany ze źródła napięciowego o zmiennej sile elektromotorycznej reprezentowanej przez część rzeczywistą wyrażenia: u( e jωt, gdzie oznacza amplitudę napięcia, a ωπν - częstość kołową. Natężenie prądu płynącego przez układ ma podobną postać: i(i e jωt. ~ u( Skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa : di( i( dt u( i( + + dt Podstawiając powyższe postaci natężenia oraz napięcia i dzieląc stronami przez I otrzymujemy: Z + jω+ I o jω Wielkość Z jest impedancją powyższego obwodu i jest wielkością zespoloną. Możemy w niej wyróżnić impedancje poszczególnych elementów: oporu: Z, indukcyjności: Z jω oraz pojemności: Z /jω. Dokonaliśmy w ten sposób uogólnienia prawa Ohma dla prądów zmiennych: napięcie u( jest liniowym funkcjonałem prądu i(. Nadal obowiązują prawa Kirchhoffa. W ogólności dla innych obwodów postać algebraiczna impedancji może być inną liczbą zespoloną. W powyższym przypadku, przy szeregowym połączeniu impedancji uzyskujemy wzór na impedancję wypadkową: Z W Z +Z +...+Z n, analogiczny jak przy łączeniu oporów. Przy równoległym połączeniu impedancji: /Z W /Z +/Z +...+/Z n. zęść uczestników zajęć powinna robić układ całkujący, a część różniczkujący. Tutaj j oznacza jednostkę urojoną, w odróżnieniu od prądu i.
Pracownia Wstępna - - styczeń 7 zęść rzeczywistą impedancji nazywa się rezystancją, część urojoną - reaktancją. Stosunek reaktancji do rezystancji jest równy tangensowi kąta przesunięcia fazowego ϕ między napięciem i natężeniem. eprezentacja impedancji na płaszczyźnie zespolonej: Z ezystancja opisuje zdolność obwodu do zamiany energii elektrycznej na ciepło: P I, natomiast pojemność i indukcyjność - zdolność do magazynowania energii elektrycznej, odpowiednio: E u() t - w polu elektrycznym pojemności oraz E i() t polu magnetycznym indukcyjności. W warunkach szkolnych możemy zamiast notacji zespolonej, przekształcić powyższy diagram, zaznaczając na poziomej osi opór opornika, natomiast pionowej w kierunku dodatnim impedancję indukcyjności ω, w ujemnym natomiast impedancję kondensatora. Definicja impedancji całkowitej układu oraz przesunięcia fazowego ω ϕ pozostaje niezmieniona. w Im(Z) φ e(z)
Pracownia Wstępna - 3 - styczeń 7 Filtr rezonansowy szeregowy. Szeregowy obwód, do którego dołączono napięciowe źródło sygnału przemiennego o częstości ω. Ze wzoru na dzielnik napięcia otrzymujemy, że napięcie wyjściowe : u we ( jω jωuwe () t u (, u () t, + jω + + jω+ jω jω u we ( u we ( uwy ( u ( + jω + jω u wy ( Stosunek amplitud napięcia wyjściowego do wejściowego (tzw. transmitancja obwodu) wynosi: wy, WY / WE we, + ω ω,8 a przesunięcie fazowe między sygnałem wejściowym i /,6 ω wyjściowym : ϕ arctan,4 ω kład ten nazywany jest filtrem rezonansowym, szeregowym. Pasmo jego przepuszczania zlokalizowane, jest w okolicach częstości ω. mh, nf 5 Ω 3 Ω 3 4 5 6 7 8 ν g ν g częstość [Hz] Pasmo przenoszenia filtru rozciąga się od ν g do ν g,, nazywanych częstościami granicznymi. Dla częstości granicznych zachodzi równość: wy, oraz: ϕ π 4. we faza [rad] π/ π/4 -π/4 mh, nf 3 Ω ν g 3 4 5 ν 6 7 g częstość [Hz] 5 Ω -π/
Pracownia Wstępna - 4 - styczeń 7 Obwód drgający ozważmy obwód złożony z szeregowo połączonych: indukcyjności, pojemności i oporu. Kondensator został naładowany do napięcia, po czym zamknięto wyłącznik. uch ładunku w obwodzie opisuje równanie : di( i( dt i( + +, dt które łatwo można przekształcić w liniowe równanie różniczkowe drugiego stopnia : d i( di( + + i(. dt dt Zakładamy, że rozwiązanie ma postać wykładniczą : it () α Ae t. Podstawiając je do powyższego równania różniczkowego otrzymujemy równanie algebraiczne: α + α +, którego + 4 4 pierwiastki mają wartość: α oraz α. ozwiązanie równania ruchu ładunku jest kombinacją liniową rozwiązań z α i α : αt α t it () Ae + Ae, przy czym wartości amplitud A i A możemy wyznaczyć z warunków początkowych : i( ) A + A, A A, di + i A( α α ), A natężenie [ma] dt α α Przypadki : t ( ) Jeżeli 4, wtedy 4 jest liczbą rzeczywistą i rozwiązania mają charakter t αt dwuwykładniczy : i ( t ) A ( e α e ), a więc po wzbudzeniu prąd w obwodzie zanika. Gdy < 4, wtedy 4 jest liczbą urojoną i rozwiązania mają charakter oscylacyjny: t i( e sin( ω x 3, gdzie częstotliwość ω x oscylacji ω x. 4 3 jx jx e e Skorzystaliśmy tutaj z tożsamości : sin x. j.5 - kład antyoscylacyjny mh, nf, 5kΩ 5 V 4 6 8 czas [µs] natężenie [ma] kład drgający : mh, nf, 3 Ω 5 V 3 czas [µs]
Pracownia Wstępna - 5 - styczeń 7 W szczególnym przypadku, gdy otrzymujemy drgania niegasnące [4]: it () sin( ω, gdzie częstotliwość oscylacji : ω. Dla częstotliwości ω / moduły napięć na poszczególnych elementach obwodu mają odpowiednio wartości :,,. a impedancja obwodu wynosi. Dla tej częstotliwości znika łączna impedancja elementów reaktancyjnych, a napięcia na kondensatorze i indukcyjności osiągają wartości maksymalne. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu, a ω to częstotliwość rezonansowa. W rezonansie amplitudy napięcia na indukcyjności lub na pojemności mogą przekroczyć amplitudę napięcia wejściowego. Wielkość: Q nazywana jest dobrocią obwodu [5]. Inna postać dobroci : Q j ω π I E π T I T P Ogólna definicja : Dobroć wyraża stosunek energii zmagazynowanej w układzie rezonansowym (E ) do mocy traconej w nim (P) w ciągu jednego okresu drgań (T)., Magazynowanie energii w elementach reaktancyjnych obwodu rezonansowego o wysokiej dobroci i wywołane przez nie podbijanie napięcia jest wykorzystywane do filtracji i transformowania sygnałów o określonej częstotliwości. 4 Ponieważ w rzeczywistym obwodzie zawsze występuje dodatnia rezystancja (np. pasożytnicza), aby uzyskać do obwodu należy wprowadzić rezystancję ujemną, którą jest np. wzmacniacz albo inny odpowiedni element elektroniczny. 5 Wykazać (to co widać na rysunkach na poprzedniej stronie), że Qω / ω, gdzie ω jest szerokością połówkową charakterystyki układu rezonansowego, czyli funkcji f(ω) u (ω,/u(ω,.
Pracownia Wstępna - 6 - styczeń 7 W systemach pomiarowych przy nieumiejętnym łączeniu aparatury elektrycznej pasożytnicze obwody mogą zniekształcać sygnały. Przykład. Połączenie wysokooporowego źródła z urządzeniem pomiarowym. źródło miernik (oscyloskop) wy kabel c k c m ezystancja wyjściowa źródła wy wraz z pojemnościami kabla i miernika ( k + m ) tworzą obwód całkujący, ograniczający od góry pasmo przenoszenia obwodu pomiarowego do częstości /(π wy ). Przykład. Sprzężenie typu A. źródło miernik (oscyloskop) s we Pojemność sprzężenia s wraz z rezystancją wejściową oscyloskopu tworzą obwód różniczkujący ograniczający od dołu pasmo pomiarowe. Przykład 3. Brak kontaktu kabla w gnieździe oscyloskopu jest równoważny pojemności, która wraz z rezystancją wejściową tworzy filtr górnoprzepustowy mogący powodować różniczkowanie sygnałów wejściowych. generator kabel oscyloskop pf przerwa WE
Pracownia Wstępna - 7 - styczeń 7 kłady elektroniczne o stałych rozłożonych. W układach o stałych rozłożonych wielkości takie jak rezystancja, indukcyjność i pojemność nie są zlokalizowane w konkretnych punktach, lecz są rozłożone w przestrzeni. Dotyczy to kabli koncentrycznych, linii paskowych, płyt laminowanych itd. W modelu takich obiektów : jednostka długości S D x opisuje indukcyjność linii, - jej pojemność, S - straty w przewodnikach, z których linia jest zbudowana, D - skończoną rezystancję dielektryka. Wszystkie te wielkości są wyznaczone na jednostkę długości linii przesyłowej, czyli odpowiednio w H/m, F/m i Ω/m (na jednostkę powierzchni w przypadku pły. Spadek napięcia wzdłuż linii przesyłowej 6 : uxt (, ) ixt (, ) ' + ' S i( x, x t Straty prądu : ixt (, ) uxt (, ) uxt (, ) ' + x t ' W warunkach laboratoryjnych, gdy możemy zaniedbać rezystancję materiału linii ( S ) oraz upływność izolatora ( D, / D ): D uxt (, ) x ixt (, ) ' t ixt (, ) uxt (, ) ' x t 6 Tzw. układ równań telegrafistów.
Pracownia Wstępna - 8 - styczeń 7 W linii wzbudzamy drgania o częstości ω. Dlatego funkcji reprezentującej napięcie będziemy poszukiwać w postaci u(x,f(x)e jωt. Natężenie prądu jest równe i(x, u(x,/z f(x)e jωt /Z, (Z jest impedancja układu). Po podstawieniu do powyższych równań różniczkowych otrzymujemy : df ( x) ' dx Z j f ( x df ( x) ω ) ' jω f ( x) Z dx Ponieważ oba równania dotyczą tej samej funkcji f(x), otrzymujemy, że impedancja linii przesyłowej Z ' ', a rozwiązaniem równania : df x dx ( ) ± jω ' ' f ( x) jest funkcja : f(x) Ae ±jγx, gdzie γ ω ' ' jest nazywana stałą propagacji 7. Wstawiając powtórnie obydwa rozwiązanie dla napięcia u(x, do równania telegrafistów znajdujemy znak impedancji ( ± ), jaki należy zastosować w obu przypadkach obliczając prąd i(x,. ozwiązaniem równania telegrafistów jest więc kombinacja liniowa : u(x,(a e -jγx +A e jγx )e jωt i(x, (A e -jγx -A e jγx )e jωt /Z gdzie: A oznacza amplitudę fali biegnącą zgodnie z kierunkiem osi X, A amplitudę fali biegnącej w kierunku przeciwnym, W przypadku, gdy nieskończenie długą linię połączono z generatorem : generator inia Z A w układzie nie istnieje fala propagująca się w kierunku przeciwnym do osi X, czyli : A. Wówczas : uxt (, ) Z ixt (, ). W tym doświadczeniu myślowym z nieskończenie długą linią impedancja falowa ' Z opisuje obciążenie, jakie taka linia stanowi dla ' generatora. Nieskończona linia jest równoważna oporowi o wartości Z. generato r Z ' ' 7 πc Zgodnie z ogólnym rozwiązaniem równania falowego stała propagacji γ πν ' ', λv gdzie λ oznacza długość propagującej się fali elektromagnetycznej w próżni, c - prędkość światła, a V - prędkość fali w linii przesyłowej. Wynika stąd, że V. ' '
Pracownia Wstępna - 9 - styczeń 7 Gdyby zmierzono omomierzem rezystancje nieskończenie długiej linii przesyłowej otrzymano by Z. Doświadczenie takie jest niemożliwe do przeprowadzenia, bo linie nieskończenie długie nie istnieją. W rzeczywistości zawsze mamy do czynienia z sygnałem odbitym od końca linii i interferującym z sygnałem wysłanym z generatora. Jednak nawet w przypadku skończonych linii w wielu doświadczeniach można pokazać, że linia zachowuje się analogicznie do rezystancji Z w czasie krótszym od podwójnego czasu propagacji sygnału przez nią. Impedancja falowa linii jest określona przez jej budowę i stanowi ważny parametr określający linię przesyłową. W technice stosuje się linie o ustalonych standardach, np. 5 Ω (układy pomiarowe), 55 Ω, Ω (układy transmisji danych), 75 Ω, 3 Ω (układy antenowe) i inne. W przypadku, gdy użyto kilku linii przesyłowych: Z Z Z3 Zn wypadkową impedancję falową oblicza się ze wzoru : + +... +. Z Z Z Z W n ozważmy doświadczenie, w którym linię przesyłową o impedancji falowej Z przedłużono nieskończoną linią o impedancji falowej Z : A A A generator Z Z Środek układu współrzędnych (x) ustalimy na złączu a rozważania prowadzimy dla chwili czasu t. Do linii wprowadzono falę z generatora o amplitudzie A. Możemy przypuszczać, że na styku linii następuje częściowe odbicie i wytworzenie fali powracającej o amplitudzie A, jednak część fali wniknie do linii Z wytwarzając amplitudę A. Ze względu na ciągłość, po obu stronach złącza napięcia i prądy są równe. Podstawiając odpowiednie rozwiązania równania telegrafistów : Z A + A A ' I A A A Z' Z ' I Z' Z Z'
Pracownia Wstępna - - styczeń 7 Stosunek amplitud A jest współczynnikiem odbicia fali na złączu dwóch linii : A A Z' Z A Z' + Z Na złączu dwóch linii odbicie fali nie nastąpi tylko wtedy, gdy ich impedancje są sobie równe : ZZ W przypadku, gdy linia zakończona jest zwarciem, Z i współczynnik odbicia wynosi : A /A -, co oznacza, że fala odbita od końca linii ma przeciwną fazę do fali wychodzącej z generatora i w wyniku ich interferencji po czasie równym czasowi podwójnego przebiegu sygnału przez linię nastąpi wygaszenie fali. Gdy linia jest rozwarta na końcu, Z i współczynnik odbicia wynosi : A /A. Oznacza to, że odbita fala ma tę samą fazę, co fala z generatora i w momencie ich spotkania nastąpi interferencja konstruktywna prowadząca do podwojenia amplitudy. Bezodbiciowe zakończenie linii można osiągnąć przez zakończenie jej oporem Z. kłady pomiarowe, w których następuje przesyłanie sygnałów o wielkiej częstości powinny być budowane tak, by nie następowały w nich odbicia sygnałów. Powstała w wyniku odbicia fala interferuje z falą wychodzącą z nadajnika, zniekształcając ją. W skrajnych przypadkach (sygnałów o dużej mocy) powstała w wyniku interferencji fala o dużej amplitudzie może zniszczyć układ. Odbicia sygnałów można uniknąć przez stosowanie dopasowania falowego: rezystancja wyjściowa nadajnika, impedancja falowa linii przesyłowej i rezystancja wejściowa odbiornika powinny być sobie równe.
Pracownia Wstępna - - styczeń 7 W przypadku braku dopasowania falowego : następuje seria odbić fali od końców linii, które interferują po czasie propagacji τ, zniekształcając przebiegi. Można to zaobserwować np. w źle zbudowanych telewizyjnych układach antenowych. W układach czułych na kształt sygnału (układy cyfrowe) zniekształcenia powstające przy propagacji w liniach lub płytach uniemożliwiają pracę.