Ekonometria (semestr letni 013 014) RP &P K 1 Ekonometria. Zadania regresja prosta. 1. W pewnej sieci sklepów analizowano skuteczność akcji promocyjnych (obniżania cen O) na podstawie indeksu przyrostu wartości sprzedaży (W ) wybranych artykułów. Wielkość obniżki cen podano w procentach, wyniki poniżej. obniżka O 10 10 15 15 0 0 5 5 indeks przyrostu W 1.076 1.08 1.148 1.089 1.16 1.161 1.8 1.185 Obliczenia pomocnicze: o i = 140, w i = 9.19, o i = 700, w i = 10.438055, o i w i = 161.88 Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wysokością obniżki i wzrostem sprzedaży. O ile procent zwiększy się sprzedaż batoników MniamMniam na skutek obniżki ceny o 1%? Podaj wyniki w dwóch wariantach pesymistycznym i optymistycznym.. Na rynku motoryzacyjnym pojawił się nowy produkt Duraxel polepszający spalanie paliwa przez silnik samochodu i tym samym zwiększający ilość kilometrów jaką można przejechać na jednym litrze paliwa. Ten genialny wynalazek wzbudził podejrzenia FOZ (Federacja Ochrony Zmotoryzowanych), która zleciła przeprowadzenie badań skuteczności Duraxelu przy różnych dawkach (D). Wielkości dawek stosowanych podczas testu (w ml preparatu na litr paliwa) oraz ilość kilometrów (K) przejechanych na jednym litrze paliwa podano poniżej. dawka D 0 0 5 5 10 10 15 15 liczba kilometrów K 16.11 14.965 14.06 16.861 16.3 15.65 16.008 16.643 Obliczenia pomocnicze: d i = 60, k i = 16.587, d i = 700, k i = 009.145463, d i k i = 963.9 Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wielkością dawki Duraxelu a ilością kilometrów, które da się przejechać na jednym litrze paliwa. O ile kilometrów zwiększy się dystans przejechany na jednym litrze paliwa jeżeli zwiększymy dawkę Duraxelu o jeden mililitr? Podaj wyniki w dwóch wariantach pesymistycznym i optymistycznym. 3. W pewnej sieci sklepów analizowano wpływ wysokości ekspozycji towarów (E) w dziale słodyczy na wartość sprzedaży (W ) wybranych artykułów w ciągu tygodnia. Wysokość ekspozycji podano w centymetrach, zaś wielkość sprzedaży w tysiącach złotych. wysokość ekspozycji E 60 100 140 180 0 60 100 140 180 0 wartość sprzedaży W 1.5 10.97 5.359.76.09 10.768 10.785 5.78.488 1.56 Obliczenia pomocnicze: e i = 1400, w i = 64.019, e i = 8000, w i = 576.190463, e i w i = 673.4 Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wysokością ekspozycji i wartością sprzedaży. Jakiej sprzedaży tygodniowej pasty do zębów Biały Kieł możemy oczekiwać jeżeli wyeksponujemy ją na wysokości 160 centymetrów? Podaj wyniki w dwóch wariantach pesymistycznym i optymistycznym. 4. Firma samochodowa przed wprowadzeniem na rynek nowego modelu samochodu XXL przeprowadzała testy sprawdzające bezpieczeństwo jazdy nowym modelem. Jeden z takich testów miał na celu sprawdzenie zależności skracania się samochodu czyli zgniatania (Z) w momencie uderzenia w nieruchomą przeszkodę od prędkości (P ) w momencie uderzenia. Szybkość (P ) podano w kilometrach na godzinę, zaś zgniatanie się samochodu (Z) w centymetrach. prędkość P 40 50 60 70 80 40 50 60 70 80 skrócenie Z 34.344 40.0 55.45 49.007 65.08 38.717 7.76 41.955 54.408 77.474 Obliczenia pomocnicze: p i = 600, z i = 484.01, p i = 38000, z i = 546.61108, p i z i = 30786.91 Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy szybkością samochodu i zgniataniem się pojazdu w momencie uderzenia w nieruchomą przeszkodę? O ile centymetrów skróci się samochód XXL jeżeli w momencie uderzenia poruszał się z prędkością 00 kilometrów na godzinę? Podaj wyniki w dwóch wariantach minimalnym i maksymalnym. 5. W sieci sklepów Anakonda analizowano skuteczność sezonowych obniżek cen (O) na podstawie indeksu przyrostu ilości sprzedaży (I) różnych ubrań zimowych. Wielkość obniżki cen podano w procentach, wyniki poniżej. obniżka O 10 10 15 15 0 0 5 5 indeks przyrostu I 1.076 1.08 1.148 1.089 1.16 1.161 1.8 1.185 Obliczenia pomocnicze: o i = 140, i i = 9.19, o i = 700, i i = 10.438055, o i i i = 161.88 Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wysokością obniżki i wzrostem ilości sprzedaży. O ile procent wzrośnie sprzedaż na skutek zwiększenia obniżki ceny o jeden punkt procentowy? Jakiego wzrostu sprzedaży płaszczy zimowych Yeti możemy oczekiwać jeżeli obniżymy cenę o 5%? Podaj wyniki w dwóch wariantach pesymistycznym i optymistycznym. 6. Przed wprowadzeniem na rynek nawozu nowej generacji Tomatoza zalecanego przy uprawie pomidorów. Nawóz ten przechodził różnorodne testy. Jeden z tych testów miał na celu sprawdzenie wpływu dawki (D) nawozu na stężenie pewnych szkodliwych związków (Z) wyrażone w ppm. Wyniki testu poniżej. dawka D w kg 0 0 5 5 10 10 15 15 st. związków Z 16.11 14.965 14.06 16.861 16.3 15.65 16.008 16.643 Obliczenia pomocnicze: d i = 60, z i = 16.587, d i = 700, z i = 009.145463, d i z i = 963.9 Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wielkością dawki Tomatozy a stężeniem szkodliwych związków? Jakie przeciętnie zwiększenia stężenia szkodliwych związków spowodujemy zwiększając dawkę o kilogram? Podaj wyniki w dwóch wariantach pesymistycznym i optymistycznym.
Ekonometria (semestr letni 013 014) RP &P K 7. W pewnej firmie analizowano związek wielkości produkcji (P ) i kosztów jednostkowych (K) produkcji pewnego artykułu. Wielkość dziennej produkcji podano w sztukach, zaś koszty jednostkowe w złotych. wielkość produkcji P 60 100 140 180 0 60 100 140 180 0 koszt jednostkowy K 1.5 10.97 5.359.76.09 10.768 10.785 5.78.488 1.56 Obliczenia pomocnicze: p i = 1400, k i = 64.019, p i = 8000, k i = 576.190463, p i k i = 673.4 Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wielkością produkcji a kosztami jednostkowymi. Jakie będą roczne koszty przy produkcji dziennej na poziomie 160 sztuk (zakładamy że rok ma 365 dni)? Podaj wyniki w dwóch wariantach pesymistycznym i optymistycznym. 8. W pewnej firmie analizowano związek wielkości produkcji (P ) i kosztów całkowitych (K) produkcji pewnego artykułu. Wielkość dziennej produkcji podano w tysiącach sztuk, zaś koszty w tysiącach złotych. wielkość produkcji P 40 50 60 70 80 40 50 60 70 80 koszt całkowity K 34.344 40.0 55.45 49.007 65.08 38.717 7.76 41.955 54.408 77.474 Obliczenia pomocnicze: p i = 600, k i = 484.01, p i = 38000, k i = 546.61108, p i k i = 30786.91 Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wielkością produkcji a kosztami całkowitymi. Na jakie koszty produkcji należy się przygotować jeżeli dzienna produkcja została zaplanowana na poziomie 60 tysięcy sztuk? Podaj wyniki w dwóch wariantach minimalnym i maksymalnym. 9. W dziesięciu gospodarstwach wiejskich badano przeciętne dzienne spożycie ziemniaków w kg (X) i wielkość spożycia artykułów zbożowych w kg (Y ) przypadającą na jednego członka rodziny. x i 0.70 0.60 0.80 0.85 0.55 0.65 0.90 1.00 0.75 0.50 y i 0.50 0.70 0.50 0.40 0.75 0.60 0.30 0.0 0.55 0.70 Zbadać, czy istnieje zależność między cechami X oraz Y. Jeżeli zależność istnieje, to opisać ją za pomocą liniowej funkcji regresji. 10. Spośród studentów pewnego wydziału wylosowano niezależnie dziesięciu studentów IV roku i otrzymano dla nich następujące średnie oceny uzyskane na I roku oraz na IV roku. I rok 3.5 4.0 3.8 4.6 3.9 3.0 3.5 3.9 4.5 4.1 IV rok 4. 3.9 3.8 4.5 4. 3.4 3.8 3.9 4.6 4.0 Zbadać, czy istnieje zależność między wynikami studiów na I i na IV roku. Jeżeli taka zależność istnieje, to opisać ją za pomocą liniowej funkcji regresji. 11. W pewnym regionie Polski przeprowadzano badania nad zależnością między wielkością bezrobocia (w procentach) oraz wynikiem wyborczym partii WKK. Wyniki dla dziesięciu wylosowanych okręgów podano poniżej. bezrobocie B,9 14,17 7,17 8,75 4,19 14,3 19,60 10,67 5,97 30,59 wyniki wyborów W 1,37 8,09 0,69 18,57 14,49 8,7 19,18 5,99 8,0,77 Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wynikiem partii WKK i bezrobociem. Jakiego wyniku wyborczego może się spodziewać zarząd WKK w okręgu, w którym na 10 tysięcy mieszkańców zdolnych do pracy jest 3000 bezrobotnych? Uzasadnij dlaczego próba uogólnienia uzyskanych wyników na cały kraj jest mało wiarygodna. 1. Wylosowano 10 rodzin i zbadano miesięczny dochód przypadający na jednego członka rodziny - cecha X, oraz wyrażoną w procentach część budżetu rodzinnego przeznaczoną na zakup artykułów żywnościowych - cecha Y. Otrzymano następujące wyniki: x 1000 1500 750 115 875 1750 750 150 165 150 y 80 70 95 75 90 60 80 65 50 85 Obliczenia pomocnicze: x i = 1534375, y i = 58000, xi = 11875, yi = 750, yi x i = 85315. Interesuje nas czy istnieje zależność pomiędzy miesięcznym dochodem przypadającym na jednego członka rodziny a wyrażoną w procentach częścią budżetu rodzinnego przeznaczoną na zakup artykułów żywnościowych. Jeśli taka zależność jest istotna proszę wyznaczyć równanie regresji. Jakie są przewidywane wydatki na artykuły żywnościowe, gdy dochód na jednego członka rodziny będzie wynosił 1000 zł? 13. Prowadzono badania sprawdzające zależność pomiędzy grubością włókna konopi hodowlanych (w mm) - cecha X, a ich ciężarem mierzonym w gramach - cecha Y. Otrzymano następujące wyniki: x 9.5 9.5 8.5 9.0 10.5 10.5 9.5 8.75 9.0 9.5 9.75 9.5 9.5 8.75 8.0 9.5 8.5 10.0 10.5 10.5 y 7.8 9.6 6.7 7.6 7.8 9. 7.4 6.3 6.4 7.0 6.6 8. 8. 7.0 6.8 9.7 8.4 6.8 9.3 1.0 Pomocnicze obliczenia: x i = 1776, 375, y i = 1300,, xi = 188, yi = 158, 8, yi x i = 150, 875. Interesuje nas czy istnieje zależność pomiędzy ciężarem włókna, a grubością włókna konopi hodowlanych. Jeśli taka zależność jest istotna proszę wyznaczyć równanie regresji. Jaki jest przewidywany przyrost ciężaru włókna jeżeli jego grubość zwiększy się o 1 mm?
Ekonometria (semestr letni 013 014) RP &P K 3 14. Prowadzono badania sprawdzające zależność pomiędzy ilorazem inteligencji matki - cecha X, a ilorazem inteligencji najstarszego dziecka - cecha Y. Otrzymano następujące wyniki: y 100 90 80 75 95 10 140 106 110 91 x 96 10 90 60 105 110 150 10 100 80 Obliczenia pomocnicze: yi = 104767, x i = 111741, yi = 1007, xi = 1031, yi x i = 10775. Interesuje nas czy istnieje zależność pomiędzy inteligencją matki i dziecka. Jeśli taka zależność jest istotna proszę wyznaczyć równanie regresji. Jaki jest przewidywany iloraz inteligencji dziecka jeżeli dla matki wynosił on 100? 15. Badano zawartość pewnego składnika w glebie (ppm). Podana niżej tabela zawiera dane dotyczące zawartości tego składnika w glebie X i przeciętne ciężary masy zielonej jednej rośliny w gramach Y, uprawianej w pewnym okresie czasu: x 1.1.1 3.0 3.8 5.3 6.1 7.0 8.0 y.6 4.4 3.9 6.1 5.8 7.1 6.6 7.1 Obliczenia pomocnicze: x i = 07.36, y i = 56.56, xi = 36.4, yi = 43.6, yi x i = 4.03. Zbadać istnienie zależności. Opisać badaną zależność ilościowo. Jaki jest przeciętny przyrost ciężaru zielonej masy, gdy ilość składnika X wzrośnie o 1.0 ppm? 16. W pewnym regionie Polski przeprowadzano badania nad zależnością między wielkością bezrobocia (w procentach) oraz udziałem procentowym osób z wykształceniem wyższym. Wyniki dla dziesięciu wylosowanych gmin podano poniżej. wykształcenie W 4.94 0.48 3.17 6.59 5.45 6.60 1.83 3.09 5.54 0.8 bezrobocie B 10.46 55.94 33.47 16.91 14.38 10.78 34.65 4.76 7.13 43.03 Obliczenia pomocnicze: wi = 195.0405, b i = 8683.9749, wi = 37.97, bi = 51.51, wi b i = 637.0459. Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wykształceniem i bezrobociem. Jakiego bezrobocia możemy się spodziewać w gminie, w której na 10 tysięcy mieszkańców zdolnych do pracy jest 00 osób posiadających wykształcenie wyższe? Uzasadnij dlaczego próba uogólnienia uzyskanych wyników na cały kraj jest mało wiarygodna. 17. W pewnym regionie Polski przeprowadzano badania nad zależnością między udziałem ilości osób zatrudnionych w rolnictwie (w procentach) oraz udziałem procentowym absolwentów szkół średnich decydujących się na studia wyższe (badania nawiązywały do opinii o małym udziale wśród studentów osób z terenów wiejskich). Wyniki dla dziesięciu wylosowanych gmin podano poniżej. studia S 4.94 0.48 3.17 6.59 5.45 6.60 1.83 3.09 5.54 0.8 rolnictwo R 10.46 55.94 33.47 16.91 14.38 10.78 34.65 4.76 7.13 43.03 Obliczenia pomocnicze: s i = 195.045, r i = 8683.9749, si = 37.97, ri = 51.51, si r i = 637.1783. Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy zatrudnieniem w rolnictwie i decyzją studiowania (procentem obsolwentów). Jakiej przeciętnie ilości absolwentów decydujących się na studia wyższe możemy się spodziewać w gminie, w której na 10 tysięcy mieszkańców zdolnych do pracy 000 jest zatrudnionych w rolnictwie? Uzasadnij dlaczego próba uogólnienia uzyskanych wyników na cały kraj mało wiarygodna. 18. W pewnym regionie Polski przeprowadzano badania nad zależnością między wielkością bezrobocia (w procentach) oraz wynikiem wyborczym partii TTD. Wyniki dla dziesięciu wylosowanych okręgów podano poniżej. bezrobocie B 4,38 8,18 0,81 14,14 19,6 8,99 16,70 11,64 7,81,67 wyniki wyborów W 3,85 5,00 14,63 15,53 7,8 11,3 10,78 11,57 15,50 1,79 Obliczenia pomocnicze: b i = 53.365, w i = 1647.433, bi = 134.58, wi = 117.70, wi b i = 111.713. Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy wynikiem partii TTD i bezrobociem. Czy partia TTD przekroczy próg wyborczegy w okręgu, w którym na 10 tysięcy mieszkańców zdolnych do pracy jest 3000 bezrobotnych? Jaką przeciętną zmianę poparcia zaobserwujemy przy zmniejszeniu bezrobocia o jeden procent. 19. Przeprowadzano badania nad zależnością między odległością od centrum miasta (Warszawa) w kilometrach i ceną metra kwadratowego działki rekreacyjnej w PLN. W tym celu wylosowano kilka ogłoszeń dotyczących sprzedaży działek. odleglość O 35 34 33 0 4 4 0 36 30 6 cena C 18.96 8.7 19.3 9.83 19.18 1.54 6.47 1.18 15. 30.97 Obliczenia pomocnicze: Oi = 894, C i = 456.0487, Oi = 8, Ci = 0.33, Oi C i = 5507.8. Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy ceną metra kwadratowego i odleglością działki od centrum miasta. Jakiej ceny działki możemy się spodziewać jeżeli odleglość od centrum miasta wynosi 30 kilometrów? Jaką przeciętną zmianę ceny zaobserwujemy przy wzroście odległości od centum o jeden kilometr. 0. Podobne badania jak w poprzednim opisane w poprzednim zadaniu przeprowadzano w Olsztynie. Wyniki poniżej. odleglość O 6 9 1 1 9 4 16 0 0 17 cena C 8.88 6.44 10.99 10.63 5.65 7.5 9.4 8.85 8.76 10.48 Obliczenia pomocnicze: Oi = 4864, C i = 795.9044, Oi = 14, Ci = 87.6, Oi C i = 1797.68. Interesuje nas jaka jest zależność pomiędzy ceną metra kwadratowego i odleglością działki od centrum miasta. Jakiej ceny działki możemy się spodziewać jeżeli odleglość od centrum miasta wynosi 30 kilometrów? Jaką przeciętną zmianę ceny zaobserwujemy przy wzroście odległości od centum o jeden kilometr.
Ekonometria (semestr letni 013 014) RP &P K 4 1. W firmie handlowej Sprzedam Wszystko analizowano związek pomiędzy popytem na pewien towar i jego ceną. Dane oraz wstępne wyniki analizy poniżej. Które z rozważanych modeli dobrze opisują badaną zależność? Przy jakiej cenie osiągany jest maksymalny przychód? 1 35.969 1 41.550 1 39.13 1 5.014 1 38.579 5 16.068 5.141 5.81 5 3.705 5 18.344 9 7.918 9 8.439 9 8.47 9 11.780 9 9.83 13 4.09 13 4.99 13 4.1 13 4.503 13 4.10 17 1.904 17 1.53 17 1.53 17.489 17 1.545 1 0.950 1 0.849 1 1.078 1 1.09 1 0.7 Wyniki dopasowania modeli. f. regresji β 1 x + β 0 β 1 /x + β 0 β 0 x β1 β 1 ln(x) + β 0 exp (β 1 x + β 0 ) ˆβ 1 1.885 39.83 1.174 13.911 0.19 ˆβ 0 33.819 3.164 4.0 41.484 3.940 S β1 0.187.971 0.103 0.544 0.004 S 48.871 30.50 0.33 9.31 0.07 F emp 101.774 179.804 130.546 653.077 1939.484 D 0.784 0.865 0.83 0.959 0.986 RSS 1368.390 854.563 9.93 60.736 0.749 V arb.cz. 08.666 08.666 0.667 08.666 0.667 V arb.d. 1159.74 645.897 8.66 5.070 0.08 F b.d. 18.57 1.497 0.735 Reszty: e i = ln(y i ) ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x i ).. Reszty: e i = Y i ( ˆβ 0 + ˆβ 1 ln(x i ))
Ekonometria (semestr letni 013 014) RP &P K 5. W firmie handlowej Sprzedam Wszystko analizowano związek pomiędzy popytem na Przydasie i ich ceną. Dane oraz wstępne wyniki analizy poniżej. Należy określić, które z proponowanych modeli mogą posłużyć do opisu zależności popytu od ceny. Bazując na wybranych modelach określ przy jakiej cenie osiągany jest maksymalny zysk przyjmując, że koszty produkcji i zbytu wynoszą łącznie 3 na sztukę. 1 3.186 1 37.180 1 35.089 1 46.544 1 34.5 5.86 5 3.944 5 4.065 5 4. 5 3.68 9 1.300 9 1.385 9 1.391 9 1.934 9 1.614 13 0.861 13 1.051 13 0.888 13 0.948 13 0.863 17 0.596 17 0.477 17 0.477 17 0.780 17 0.484 1 0.48 1 0.431 1 0.547 1 0.614 1 0.367 Wyniki dopasowania modeli. f. regresji β 1 x + β 0 β 1 /x + β 0 β 0 x β1 β 1 ln(x) + β 0 exp (β 1 x + β 0 ) ˆβ 1 1.379 39.187 1.448 1.041 0.199 ˆβ 0.544.38 36.86 31.961.837 S β1 0.67 1.47 0.09 1.014 0.017 S 100.037 5.380 0.07 3.344 0.404 F emp 6.600 987.69 480.737 140.871 137.090 D 0.487 0.97 0.989 0.834 0.830 RSS 801.044 150.636 0.744 905.641 11.308 V arb.cz. 15.780 15.780 0.667 15.780 0.667 V arb.d. 675.64 4.856 0.077 779.861 10.641 F b.d. 17.616 1.186 0.693 37.01 95.70 Reszty: e i = ln(y i ) (â + ˆβ 1 ln(x i )); a = ln(β 0 )... Reszty: e i = Y i ( ˆβ 0 + ˆβ 1 1 x i )
Ekonometria (semestr letni 013 014) RP &P K 6 3. Poniżej zaprezentowane zostały reszty z zadania dla dwóch modeli: potęgowego i hiperbolicznego. Czy można uznać, że założenia o losowości i stabilności reszt jest spełnione dla obydwu modeli? X Rp Rh 1-0.135-4.619 1 0.010 0.375 1-0.048-1.716 1 0.34 9.739 1-0.065 -.84 5-0.4 -.594 5 0.097-1.51 5 0.17-1.391 5 0.165-1.33 5-0.091 -.188 9-0.16-0.674 9-0.098-0.587 9-0.094-0.58 9 0.36-0.039 9 0.055-0.359 13-0.041 0.8 13 0.158 0.418 13-0.010 0.56 13 0.055 0.315 13-0.038 0.30 17-0.00 0.673 17-0.43 0.553 17-0.43 0.554 17 0.48 0.856 17-0.9 0.560 1 0.074 0.998 1-0.038 0.947 1 0.00 1.063 1 0.315 1.19 1-0.00 0.88