OPTYKA INSTRUMENTALNA

OPTYKA INSTRUMENTALNA Wykłady 2 i 3: ABERRACJE: odwzorowanie stygmatyczne; eikonał; aberracje geometryczne III rzędu (Seidla): sferyczna, koma, astygmatyzm i krzywizna pola; dystorsja; aberracje chromatyczne: położenia i powiększenia, korekcja (dublet achromatyczny, apochromat); ocena jakości odwzorowania (aberracje aperturowe i polowe; diagram śladowy) Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ Pokój 18/11 bud. A-1

Wprowadzenie Warunki zaliczenia: - Dwa terminy egzaminów w sesji. Pozytywna ocena z ćwiczeń jako WARUNEK przystąpienia do egzaminu oraz korekta oceny ( 0,5) - OBECNOŚCI! (min. 8) Kartkówki? Aktywność?! Oba egzaminy w godz.11-13 sala 322 A-1

Wprowadzenie W poprzednim odcinku: - Wprowadzenie, warunki zaliczenia, literatura; - Światło: Fala? Fotony? Promienie?! => Optyka geometryczna; - Promienie charakterystyczne, przysłony, źrenice, luki; otwór względny; winietowanie; - Powiększenia; - Głębia ostrości; - Zdolność rozdzielcza: definicje, kryteria.

Odwzorowanie stygmatyczne Rozważając odbicie i załamanie światła na powierzchni zwierciadła/soczewki zakładaliśmy, że kąty, jakie tworzą promienie świetlne z osią optyczną są małe można stosować tzw. przybliżenie paraksjalne, zastępując sinus kąta jego wartością (oczywiście, w radianach!). Korzystając z praw załamania można pokazać, że istnieje zależność położenia obrazu od położenia przedmiotu, która to zależność jest funkcją (stałych) parametrów układu (promień krzywizny, współczynniki załamania) ale też kątów, jakie tworzą promienie świetlne z osią optyczną: Aby położenie obrazu NIE zależało od tych kątów (czyli: aby WSZYSTKIE promienie skupiły się w tym samym punkcie!), musi być spełniony warunek:

Odwzorowanie stygmatyczne Okazuje się, że powyższy warunek spełniony jest tylko w 3 sytuacjach: a) punkt przedmiotowy leży w środku sfery wtedy obrazem jest również środek sfery; b) punkty leżą na powierzchni sferycznej ich obrazami są te same punkty; c) punkty leżą na sferze opisanej równaniem: Wtedy ich obrazy leżą na sferze opisanej równaniem: c a b Rybie oko Maxwella!?

Odwzorowanie stygmatyczne Takie właśnie odwzorowanie gdy punkt w przestrzeni przedmiotowej odwzorowany jest dokładnie w jeden punkt w przestrzeni obrazowej, niezależnie od tego, które promienie świetlne rozważamy, nazywane jest odwzorowaniem stygmatycznym (bezaberracyjnym). Ostatni z warunków : c) punkty leżą na sferze opisanej równaniem: i wtedy ich obrazy leżą na sferze opisanej równaniem: wykorzystywany jest np. przy konstrukcji obiektywów mikroskopowych punkty P i P to punkty aplanatyczne.

Powierzchnia fali świetlnej, rozchodzącej się z punktu P w przestrzeni przedmiotowej jest sferą. Czoło tej fali po przejściu przez układ optyczny (oprócz tego, że jest obcięte stąd właśnie wspomniane wcześniej ograniczenie dyfrakcyjne!) nie ma już kształtu sfery. Przedmiot odwzorowany jest w tzw. plamkę aberracyjną, której kształt i rozmiary zależą od układu optycznego i położenia przedmiotu. P* - obraz stygmatyczny; i - aberracje podłużne promienia; P i -P* - aberracje poprzeczne promienia;

Bieg promienia przez układ optyczny oznaczenia: Biegunowy układ współrzędnych (dlaczego taki?): xy płaszczyzna przedmiotowa; - płaszczyzna źrenicy wejściowej; - to współrzędne biegunowe; - płaszczyzna źrenicy wyjściowej; x y płaszczyzna obrazowa obrazu bezaberracyjnego (płaszczyzna Gaussa); l aberracja poprzeczna (jej składowe to x i y ); P* - obraz bezaberracyjny; P obraz aberracyjny.

KOMPUTERY = możliwość śledzenia biegu promienia świetlnego (tzw. ray tracing). ALE: - Kiedyś komputerów nie było, a ludzie jakoś dobre układy optyczne konstruowali; - Warto mieć jakieś możliwości obliczeń wstępnych. PIERWSZA (historycznie) metoda przybliżonego wyznaczania aberracji metoda Seidla (Seidela) = teoria aberracji trzeciego rzędu. Skąd taka nazwa? Współcześnie teoria aberracji służy tylko do obliczeń wstępnych i przybliżenie trzeciorzędowe wystarcza do właściwego projektowania układów optycznych, a w szczególności ich optymalizacji, służą wyspecjalizowane programy komputerowe.

W przypadku potrzeby uwzględnienia następnych wyrazów rozwinięcia, posługujemy się pojęciem eikonału = funkcji opisującej drogę optyczną promienia poprzez układ optyczny, który to eikonał rozwija się również w szereg potęgowy. Jeżeli obraz jest bezaberracyjny, to wszystkie promienie zbiegają się w jednym punkcie a ponadto drogi optyczne, liczone wzdłuż każdego promienia, są jednakowe. Matematycznie oznacza to, że pochodne eikonału względem zmiennych, określających punkt przebicia źrenicy wejściowej przez dany promień, są równe zeru. Rozwinięcie Seidla jest parametryzowane biegunowymi współrzędnymi źrenicy wejściowej, dogodnymi w przypadku pełnej symetrii kołowej. Oko nie ma takiej symetrii tam stosować można np. wielomiany Zernike a.

Wzory Seidla na aberrację poprzeczną: A,B,C,D,E współczynniki, zależne od parametrów układu (promieni krzywizn, współczynników załamania, położenia przysłon, źrenic.

ABERRACJA SFERYCZNA A 0, pozostałe współczynniki równe zeru. Aberracja sferyczna nie zależy od położenia przedmiotu względem osi optycznej (inaczej: odległości od niego, y). Wiązka promieni przebijająca źrenicę wejściową w punktach o tej samej odległości od osi optycznej (stałe ) przecina płaszczyznę obrazu w punktach również leżących na okręgu o środku w punkcie P* (obraz gaussowski).

ABERRACJA SFERYCZNA P* - obraz gaussowski wyznaczony przez promienie przyosiowe; Aberracja sferyczna jest największa, gdy promienie przechodzą przez brzegi źrenicy wejściowej. Linia przerywana miejsce, w którym plamka aberracyjna jest najmniejsza; można pokazać, że płaszczyzna ta znajduje się w odległości ¾ s max a jej średnica wynosi ¼ średnicy plamki w płaszczyźnie Gaussa 1. 1 Błąd na rysunku w podręczniku! Bieg promieni w płaszczyźnie merydionalnej

ABERRACJA SFERYCZNA

ABERRACJA SFERYCZNA Zbiór punktów wzajemnego przecięcia się sąsiednich promieni w przestrzeni obrazowej tworzy diakaustykę. Jej odpowiednikiem przy odbiciu promieni od zwierciadła jest katakaustyka. Kaustyka (powierzchnia kaustyczna, z gr. καυστικός, żrący) hiperpowierzchnia będąca obwiednią wiązki promieni świetlnych rozchodzących się z ustalonego, punktowego źródła światła (lub w szczególności z punktu w nieskończoności, któremu odpowiada równoległa wiązka promieni), odbitych od innej hiperpowierzchni (mówimy wtedy o kaustyce refleksyjnej lub katakaustyce) lub załamanych przez pewien układ optyczny (diakaustyka). {Wikipedia} Zwróćmy uwagę, że na pokazanej symulacji celowo wybrano za dużą średnicę przysłony aperturowej i w rezultacie część promieni ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu wewnątrz soczewki no i co z tego?

ABERRACJA SFERYCZNA Przykład: pojedyncza soczewka cienka, wykonana z materiału o współczynniku n, znajdująca się w powietrzu, ma zawsze aberrację sferyczną najmniejszą, jeżeli stosunek promieni krzywizn powierzchni sferycznych soczewki wynosi: Dla n=1,5 mamy r 2 /r 1 = -6 soczewka dwuwypukła. Można całkowicie skorygować aberrację sferyczną w pojedynczej soczewce jeśli jest ona niesferyczna w przypadku soczewki płasko-wypukłej, wypukłą powierzchnią musi być hiperboloida obrotowa.

ABERRACJA SFERYCZNA W zwierciadle sferycznym aberracja sferyczna występuje zawsze. Można ją zlikwidować tylko asferyzując powierzchnię: - Dla przedmiotu leżącego w nieskończoności (fala płaska) paraboloida; - Dla przedmiotu w skończonej odległości elipsoida lub hiperboloida.

KOMA B 0, pozostałe współczynniki równe zeru. δx 2 + δy 2Byρ 2 2 = Byρ 2 2 Koma zależy liniowo od odległości przedmiotu od osi y (wielkość pola widzenia) oraz drugiej potęgi promienia apertury, występuje więc tylko dla przedmiotów leżących poza osią optyczną.

KOMA B 0, pozostałe współczynniki równe zeru. δx 2 + δy 2Byρ 2 2 = Byρ 2 2 Gdy punkt przedmiotowy znajduje się na osi y, koma jest zbiorem okręgów rozmieszczonych wzdłuż osi y płaszczyzny obrazu doskonałego. Jeden okrąg tworzą promienie, które wychodzą z punktu P odległego o y od osi i przechodzą przez źrenicę wejściową w jednakowej odległości od osi optycznej układu. Promienie okręgów w komie rosną z kwadratem odległości. Zbiór wszystkich okręgów dla danej wartości y, ale różnych wartości, tworzy stożek o rozwartości 60º, zwany komą. Oznaczenie: r=

KOMA B 0, pozostałe współczynniki równe zeru. δx 2 + δy 2Byρ 2 2 = Byρ 2 2

KOMA B 0, pozostałe współczynniki równe zeru. δx 2 + δy 2Byρ 2 2 = Byρ 2 2 Gdy przedmiot P oddala się od osi, koma rośnie, bo proporcjonalnie do y rosną promienie okręgów i rośnie ich odległość od obrazu doskonałego. Koma występuje na ogół razem z aberracją sferyczną. Zniekształcenie okręgów czystej komy w dwóch różnych płaszczyznach obrazowych, utworzonych przez układ optyczny z komą i aberracją sferyczną.

KOMA B 0, pozostałe współczynniki równe zeru. δx 2 + δy 2Byρ 2 2 = Byρ 2 2 Układy optyczne, wolne od aberracji sferycznej i komy, nazywają się aplanatami. Układy aplanatyczne spełniają warunek sinusów Abbego: ynsin(u) = y n sin(u )

KOMA B 0, pozostałe współczynniki równe zeru. δx 2 + δy 2Byρ 2 2 = Byρ 2 2

ASTYGMATYZM I KRZYWIZNA POLA C 0 oraz D 0, pozostałe współczynniki równe zeru. Aberracje te są proporcjonalne do drugiej potęgi pola widzenia (y 2 ) i pierwszej potęgi promienia apertury ( ). Plamka aberracyjna jest elipsą.

ASTYGMATYZM I KRZYWIZNA POLA C 0 oraz D 0, pozostałe współczynniki równe zeru. Rozpatrzmy bieg promieni w płaszczyźnie merydionalnej (przechodzącej przez y; równoległej do osi ; =0 albo 180, ale wtedy formalnie ). Wtedy: δx = 0 δy = Dy 2 ρ Promień główny wyznacza obraz bezaberacyjny P*. Każdy inny promień przecina ten promień w punkcie P m, a płaszczyznę Gaussa w punkcie P 1. Wszystkie promienie, wychodzące z jednego punktu przedmiotu (to samo y) i leżące w płaszczyźnie merydionalnej (niezależnie od ) przetną się w ognisku merydionalnym. Z - powiększenie w źrenicach

ASTYGMATYZM I KRZYWIZNA POLA C 0 oraz D 0, pozostałe współczynniki równe zeru. Teraz rozpatrzmy bieg promieni w płaszczyźnie sagitalnej (prostopadłej do y; równoległej do osi ; =90 albo 270, ale wtedy formalnie ). Wtedy: δx = Cy 2 ρ δy = 0 Promień główny wyznacza obraz bezaberacyjny P*. Każdy inny promień przecina ten promień w punkcie P s, a płaszczyznę Gaussa w punkcie P 1. Wszystkie promienie, wychodzące z jednego punktu przedmiotu (to samo y) i leżące w płaszczyźnie sagitalnej (niezależnie od ) przetną się w ognisku sagitalnym. Z - powiększenie w źrenicach

ASTYGMATYZM I KRZYWIZNA POLA C 0 oraz D 0, pozostałe współczynniki równe zeru. Ogniska wiązki astygmatycznej Przebieg wiązki merydionalnej i sagitalnej: Najmniejsza plamka kołowa, w połowie odległości miedzy ogniskami

ASTYGMATYZM I KRZYWIZNA POLA C 0 oraz D 0, pozostałe współczynniki równe zeru. Dla różnych punktów przedmiotowych (różne y) ogniska merydionalne i sagitalne leżą na powierzchniach, które w ogólnym przypadku są paraboloidami obrotowymi zwykle aproksymujemy je sferami. Promienie krzywizn odpowiednich sfer zależą od współczynników Seidla: Zbiór najmniejszych plamek aberracyjnych leży na pośredniej powierzchni, stanowiącej w przybliżeniu sferę. Jej promień krzywizny równy jest: Wielkość 1/R to średnia krzywizna pola. Za miarę krzywizny pola przyjmuje się też średnią z K m i K s.

ASTYGMATYZM I KRZYWIZNA POLA C 0 oraz D 0, pozostałe współczynniki równe zeru. Wielkość K m - K s to astygmatyzm. Astygmatyzm poosiowy to nie aberracja, ale celowo wprowadzany do układu optycznego astygmatyzm, którego zadaniem jest skorygowanie astygmatyzmu wadliwego układu optycznego (np. oka), który wprowadza astygmatyzm również dla punktów na osi! Można tego dokonać np. za pomocą soczewki cylindrycznej. Układ optyczny, który składa się z wielu soczewek, może mieć skorygowaną krzywiznę pola, jeżeli spełniony jest tzw. warunek Petzvala:

ASTYGMATYZM I KRZYWIZNA POLA C 0 oraz D 0, pozostałe współczynniki równe zeru. CZYSTA KRZYWIZNA POLA Niech jeszcze C=D δl = δx 2 + δy 2 = Cy 2 ρ Astygmatyzm z krzywizną pola W płaszczyźnie obrazu doskonałego są teraz okręgi zamiast elips; zbiegają się one do punktów (nie odcinków!), ale punkty te leżą na powierzchni (w przybliżeniu) sferycznej.

DYSTORSJA E 0, pozostałe współczynniki równe zeru. δx = 0 δy = Ey 3 Aberracje te nie zależą od apertury ( ) natomiast mocno zależą od wielkości pola (y 3 ). Aberracja ta nie psuje ostrości obrazu (obrazem punktu jest punkt) ale zniekształca go. Miarą dystorsji może być: a) Obraz wolny od dystorsji; b) dystorsja beczkowata; c) dystorsja poduszkowata.

DYSTORSJA

ABERRACJE NIEMONOCHROMATYCZNE (czyli chromatyczne ) Geneza Dyspersja właściwość materiałowa: zależność prędkości fali (a więc również współczynnika załamania) od częstotliwości, długości fali albo wektora falowego. Efektem jest Dyspersja zjawisko rozszczepienia światła polichromatycznego na monochromatyczne. Ale Dyspersja to też liczba parametr, określający liczbowo dyspersję materiału.

ABERRACJE CHROMATYCZNE

ABERRACJE NIEMONOCHROMATYCZNE (czyli chromatyczne ) Najczęściej w odwzorowaniu optycznym stosuje się światło białe, będące mieszaniną fal o różnych długościach. Współczynnik załamania szkieł jest wielkością dyspersyjną stąd w odwzorowaniu, wykorzystującym soczewki, pojawiają się aberracje chromatyczne. Nie ma ich w odwzorowaniach zwierciadlanych! Aberracje chromatyczne soczewek: skupiającej i rozpraszającej.

ABERRACJE CHROMATYCZNE Korygowanie aberracji chromatycznych zmierza do uzyskania obrazów dla wszystkich długości fal w jednej płaszczyźnie. Czy to możliwe? NIE Achromaty nakładają się na siebie obrazy utworzone przez dwie długości fal; Apochromaty nakładają się na siebie obrazy utworzone przez trzy długości fal; Superachromaty ciekawe, co też one robią Aberracje chromatyczne dzielimy na: - Aberrację chromatyczną położenia; - Aberrację chromatyczną powiększenia.

ABERRACJA CHROMATYCZNA POŁOŻENIA Jeżeli światło tworzące obraz składa się z kilku długości fal, to położenie źrenic wyjściowych i położenie obrazy będzie dla tych długości fal różne. Miarą chromatycznej aberracji podłużnej jest: Miarą chromatycznej aberracji poprzecznej jest: u jest kątem aperturowym w przestrzeni obrazowej.

ABERRACJA CHROMATYCZNA POŁOŻENIA Pojedyncza soczewka zawsze obarczona jest aberracją chromatyczną. Korygować aberracje chromatyczne można stosując układy wielosoczewkowe, gdzie soczewki wykonane są ze szkieł różnych gatunków.

ABERRACJA CHROMATYCZNA POŁOŻENIA Pojedyncza soczewka zawsze obarczona jest aberracją chromatyczną. Korygować aberracje chromatyczne można stosując układy wielosoczewkowe, gdzie soczewki wykonane są ze szkieł różnych gatunków. Achromat (korekcja dla dwóch długości fali) da się wykonać za pomocą tzw. dubletu czyli dwóch soczewek, o przeciwnych mocach optycznych, zrobionych ze szkieł o wyraźnie różnych dyspersjach, a więc kronu i flintu.

DUBLET ACHROMATYCZNY Dla pojedynczej soczewki różnica zdolności zbierających dla dwóch długości fali jest równa: Indeksy F i C oznaczają wybrane długości fal, zwykle ze skrajów widma, w tym przypadku są to linie widmowe wodoru F=486 nm i C= 656 nm. Jeżeli dla podstawowej długości fali zdolność zbierająca wynosi: (Jaka to podstawowa? Co oznacza d?) to można pokazać, że: gdzie to liczba Abbego: Dublet będzie achromatyczny, gdy: albo inaczej:

DUBLET ACHROMATYCZNY Łączna zdolność zbierająca dubletu: liczba Abbego Wtedy zdolności zbierające składników takiego dubletu wynoszą: Achromatyczny dublet składa się więc z jednej soczewki skupiającej i jednej rozpraszającej. Im większa jest różnica w wartościach liczby Abbego dla tych soczewek, tym mniejsze będą wartości bezwzględne ich zdolności zbierających (korzystne ze względu na inne aberracje). Chromatyzm można też skorygować w dublecie wykonanym z tego samego szkła, ale soczewki muszą być rozsunięte o odległość: albo inaczej:

APOCHROMAT Apochromat to układ, w którym zbiegowe obrazowe trzech długości fal są jednakowe. Można zbudować apochromat również jako dublet (dwie soczewki), ale jedno ze szkieł musi być szkłem specjalnym o bardzo nietypowej dyspersji współczynnika załamania. Przypomnienie: (a może nie było?): - krony to szkła o n d >1,6 i >50 ALBO n d <1,6 i >55 (czyli mała dyspersja!); - flinty to reszta.

ABERRACJE CHROMATYCZNE POWIĘKSZENIA Obrazy przedmiotu utworzone przez światło o różnej długości fali leżą w różnych miejscach i mają różne wielkości!

ABERRACJE CHROMATYCZNE POWIĘKSZENIA W rzeczywistości obraz obserwujemy w jednej płaszczyźnie, dla pewnej środkowej długości fali. Przez chromatyzm powiększenia rozumiemy wielkość: albo: Można pokazać, że: A więc dla np. dubletu, w którym skorygowano aberrację chromatyczną położenia, nie ma również aberracji chromatycznej powiększenia.

ABERRACJE CHROMATYCZNE

ABERRACJE CHROMATYCZNE - MIARY

Ocena jakości odwzorowania Podstawowe parametry optyczne układu (ogniskowe, zbiegowe, powiększenia itp.) wyznacza się z obliczeń paraksjalnych. Aby oszacować rzeczywistą jakość odwzorowania układu (poprzez np. aberracje) wyznacza się rzeczywisty przebieg promieni świetlnych przez układ metodą tzw. raytracingu, korzystając np. ze schematu Federa obecnie realizowanym na komputerach. Ze względu na zależność aberracji od odległości punktu od osi, sposobu przebicia przez promień świetlny przesłony aperturowej (źrenicy wejściowej/wyjściowej) i kątów, które tworzą promienie z osią optyczną, dzielimy aberracje na: - Aberracje aperturowe gdy przedmiot znajduje się na osi ( ważne, nieważne y ): aberracja sferyczna, chromatyzm położenia, odstępstwo od warunku sinusów; - Aberracje polowe gdy przedmiot leży poza osią, zależą one od kąta polowego: koma, krzywizna pola i astygmatyzm, chromatyzm powiększenia.

Ocena jakości odwzorowania ABERRACJE APERTUROWE Liczymy zbiegowe obrazowe i punkty przecięcia wybranych promieni aperturowych z płaszczyzną obrazu gaussowskiego. Należy zadbać o równy podział pola źrenicy wejściowej (CZEMU?).

Ocena jakości odwzorowania ABERRACJE APERTUROWE J. Nowak, M. Zając: Wykres podłużnej aberracji sferochromatycznej:? Można także przedstawić aberrację poprzeczną, korzystając ze wzoru: Odstępstwo od warunku sinusów również można wyliczyć obserwując przebieg promieni aperturowych:

Ocena jakości odwzorowania ABERRACJE POLOWE Koma merydionalna liczbowo definiowana jako: Trzeba dla kilku zadanych kątów pola widzenia (czyli dla różnych zadanych wielkości przedmiotu) przeliczyć bieg trzech wybranych promieni polowych (rysunek): Wykres komy merydionalnej: (w to kąt widzenia)

Ocena jakości odwzorowania ABERRACJE POLOWE Krzywizna pola i astygmatyzm: Trzeba przeliczyć bieg promienia głównego. Dla pojedynczej powierzchni łamiącej wyznaczamy formuły na położenie ognisk sagitalnego i merydionalnego a następnie liczymy pożądane wielkości K m i K s. Rzeczywiste układy optyczne mają więcej powierzchni łamiących wielkości t m i t s trzeba przeliczać kolejno. Wykres astygmatyzmu i krzywizny pola.

Ocena jakości odwzorowania DIAGRAM ŚLADOWY Przepuszczamy przez układ optyczny duuużą ilość promieni wychodzących z punktowego przedmiotu, dbając o jednorodny (jak?) rozkład promieni w źrenicy wejściowej. Rozkład energii w plamce aberracyjnej: Można też policzyć różne MOMENTY rozkładu Ale trzeba wiedzieć, co one opisują!