10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures

10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 1 / 39

1 Instrumenty pochodne: wstęp 2 Założenia wyceny instrumentów pochodnych 3 Kontrakty terminowe forward/ futures 4 Wycena kontraktów terminowych forward/futures rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 2 / 39

Instrumenty pochodne - definicja Instrument pochodny Instrument pochodny (derywat) jest to umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji, najczęściej typu kupno-sprzedaż (choć może też to być wymiana lub pożyczka). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 3 / 39

Instrumenty pochodne - definicja Instrument pochodny Instrument pochodny (derywat) jest to umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji, najczęściej typu kupno-sprzedaż (choć może też to być wymiana lub pożyczka). Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszłości. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 3 / 39

Instrumenty pochodne - definicja Instrument pochodny Instrument pochodny (derywat) jest to umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji, najczęściej typu kupno-sprzedaż (choć może też to być wymiana lub pożyczka). Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszłości. Wartość instrumentu pochodnego zależy od obecnej i przyszłej ceny innego dobra takiego jak inny papier wartościowy, waluta, czy towar, na którego zakup ta umowa została zawarta. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 3 / 39

Instrumenty pochodne - definicja Instrument pochodny Instrument pochodny (derywat) jest to umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji, najczęściej typu kupno-sprzedaż (choć może też to być wymiana lub pożyczka). Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszłości. Wartość instrumentu pochodnego zależy od obecnej i przyszłej ceny innego dobra takiego jak inny papier wartościowy, waluta, czy towar, na którego zakup ta umowa została zawarta. Wynik finansowy instrumentu pochodnego nie jest znany z góry, bo zależy od przyszłych cen. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 3 / 39

Instrumenty pochodne - definicja Instrument pochodny Instrument pochodny (derywat) jest to umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji, najczęściej typu kupno-sprzedaż (choć może też to być wymiana lub pożyczka). Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszłości. Wartość instrumentu pochodnego zależy od obecnej i przyszłej ceny innego dobra takiego jak inny papier wartościowy, waluta, czy towar, na którego zakup ta umowa została zawarta. Wynik finansowy instrumentu pochodnego nie jest znany z góry, bo zależy od przyszłych cen. Dlatego wycena tych inwestycji wymaga innych niż dotychczas narzędzi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 3 / 39

Instrumenty pochodne - definicja W szczególności, warto pamiętać, że sam instrument pochodny nie jest papierem wartościowym (choć można nim handlować). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 4 / 39

Instrumenty pochodne - definicja W szczególności, warto pamiętać, że sam instrument pochodny nie jest papierem wartościowym (choć można nim handlować). Do transakcji dochodzi w określonym umową terminie wykonania. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 4 / 39

Instrumenty pochodne - definicja W szczególności, warto pamiętać, że sam instrument pochodny nie jest papierem wartościowym (choć można nim handlować). Do transakcji dochodzi w określonym umową terminie wykonania. Ciekawostką jest, że wartość instrumentu pochodnego może być zależna od zmiennej nieekonomicznej takiej jak np. liczba dni słonecznych w roku (tzw. derywaty pogodowe) - jednak takimi instrumentami nie będziemy się tu zajmować. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 4 / 39

Inne podstawowe pojęcia Instrument bazowy Instrument bazowy jest to przedmiot transakcji, o której przeprowadzeniu w przyszłości mówi instrument pochodny (np. papier wartościowy, indeks giełdowy, towar, waluta, inny instrument pochodny) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 5 / 39

Inne podstawowe pojęcia Instrument bazowy Instrument bazowy jest to przedmiot transakcji, o której przeprowadzeniu w przyszłości mówi instrument pochodny (np. papier wartościowy, indeks giełdowy, towar, waluta, inny instrument pochodny) Zawarcie kontraktu będącego instrumentem pochodnym nazywa się czasem otwarciem pozycji, przy czym: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 5 / 39

Inne podstawowe pojęcia Instrument bazowy Instrument bazowy jest to przedmiot transakcji, o której przeprowadzeniu w przyszłości mówi instrument pochodny (np. papier wartościowy, indeks giełdowy, towar, waluta, inny instrument pochodny) Zawarcie kontraktu będącego instrumentem pochodnym nazywa się czasem otwarciem pozycji, przy czym: Pozycje w instrumencie pochodnym Pozycję długą w instrumencie pochodnym ma posiadacz prawa lub obowiązku nabycia instrumentu bazowego, a pozycję krótką - posiadacz prawa lub obowiązku sprzedaży tego instrumentu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 5 / 39

Pozycje - uogólnienie Generalnie, dla dowolnych instrumentów finansowych mówi się, że pozycję krótką ma ten, kto osiąga zysk w przypadku spadku ceny danego instrumentu finansowego, a pozycję długą ten, kto osiąga zysk w przypadku wzrostu takiej ceny. Łatwo zauważyć, że ta definicja jest zgodna ze szczególnym jej zastosowaniem na poprzednim slajdzie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 6 / 39

Charakterystyki instrumentu pochodnego Każdy instrument pochodny musi mieć zdefiniowane następujące własności: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 7 / 39

Charakterystyki instrumentu pochodnego Każdy instrument pochodny musi mieć zdefiniowane następujące własności: rodzaj transakcji; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 7 / 39

Charakterystyki instrumentu pochodnego Każdy instrument pochodny musi mieć zdefiniowane następujące własności: rodzaj transakcji; instrument bazowy; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 7 / 39

Charakterystyki instrumentu pochodnego Każdy instrument pochodny musi mieć zdefiniowane następujące własności: rodzaj transakcji; instrument bazowy; termin wygaśnięcia umowy; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 7 / 39

Charakterystyki instrumentu pochodnego Każdy instrument pochodny musi mieć zdefiniowane następujące własności: rodzaj transakcji; instrument bazowy; termin wygaśnięcia umowy; obowiązki i prawa stron umowy; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 7 / 39

Charakterystyki instrumentu pochodnego Każdy instrument pochodny musi mieć zdefiniowane następujące własności: rodzaj transakcji; instrument bazowy; termin wygaśnięcia umowy; obowiązki i prawa stron umowy; sposób rozliczenia i realizacji kontraktu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 7 / 39

Podział instrumentów pochodnych Definicja pozycji zajmowanych w instrumentach pochodnych wymaga ich podziału na dwa typy, zależne od praw i obowiązków stron umowy: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 8 / 39

Podział instrumentów pochodnych Definicja pozycji zajmowanych w instrumentach pochodnych wymaga ich podziału na dwa typy, zależne od praw i obowiązków stron umowy: Instrumenty symetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla obu stron obowiązek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie (np. kontrakty terminowe); Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 8 / 39

Podział instrumentów pochodnych Definicja pozycji zajmowanych w instrumentach pochodnych wymaga ich podziału na dwa typy, zależne od praw i obowiązków stron umowy: Instrumenty symetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla obu stron obowiązek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie (np. kontrakty terminowe); Instrumenty niesymetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla jednej ze stron obowiązek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie, a drugiej stronie daje prawo jej wykonania (np. opcje). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 8 / 39

Podział instrumentów pochodnych - przykład Np. umowa z gospodarstwem rolnym na dostawę w dniu 15 sierpnia tego roku 2 ton żyta za cenę 1100 PLN może być instrumentem pochodnym dwojakiego typu: jeśli obie strony umowy muszą zawrzeć tę transakcję, to jest to instrument symetryczny, a jeśli kupujący może zdecydować o tym, czy wykona tę transakcję i może z niej zrezygnować - jest to instrument niesymetryczny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 9 / 39

Podział instrumentów pochodnych - przykład Np. umowa z gospodarstwem rolnym na dostawę w dniu 15 sierpnia tego roku 2 ton żyta za cenę 1100 PLN może być instrumentem pochodnym dwojakiego typu: jeśli obie strony umowy muszą zawrzeć tę transakcję, to jest to instrument symetryczny, a jeśli kupujący może zdecydować o tym, czy wykona tę transakcję i może z niej zrezygnować - jest to instrument niesymetryczny. Instrumentem bazowym jest tu rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 9 / 39

Podział instrumentów pochodnych - przykład Np. umowa z gospodarstwem rolnym na dostawę w dniu 15 sierpnia tego roku 2 ton żyta za cenę 1100 PLN może być instrumentem pochodnym dwojakiego typu: jeśli obie strony umowy muszą zawrzeć tę transakcję, to jest to instrument symetryczny, a jeśli kupujący może zdecydować o tym, czy wykona tę transakcję i może z niej zrezygnować - jest to instrument niesymetryczny. Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 9 / 39

Podział instrumentów pochodnych - przykład Np. umowa z gospodarstwem rolnym na dostawę w dniu 15 sierpnia tego roku 2 ton żyta za cenę 1100 PLN może być instrumentem pochodnym dwojakiego typu: jeśli obie strony umowy muszą zawrzeć tę transakcję, to jest to instrument symetryczny, a jeśli kupujący może zdecydować o tym, czy wykona tę transakcję i może z niej zrezygnować - jest to instrument niesymetryczny. Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 9 / 39

Podział instrumentów pochodnych - przykład Np. umowa z gospodarstwem rolnym na dostawę w dniu 15 sierpnia tego roku 2 ton żyta za cenę 1100 PLN może być instrumentem pochodnym dwojakiego typu: jeśli obie strony umowy muszą zawrzeć tę transakcję, to jest to instrument symetryczny, a jeśli kupujący może zdecydować o tym, czy wykona tę transakcję i może z niej zrezygnować - jest to instrument niesymetryczny. Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 9 / 39

Podział instrumentów pochodnych - przykład Np. umowa z gospodarstwem rolnym na dostawę w dniu 15 sierpnia tego roku 2 ton żyta za cenę 1100 PLN może być instrumentem pochodnym dwojakiego typu: jeśli obie strony umowy muszą zawrzeć tę transakcję, to jest to instrument symetryczny, a jeśli kupujący może zdecydować o tym, czy wykona tę transakcję i może z niej zrezygnować - jest to instrument niesymetryczny. Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący straci 200 PLN, a sprzedający tyle samo zyska, zaś w przypadku asymetrycznym rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 9 / 39

Podział instrumentów pochodnych - przykład Np. umowa z gospodarstwem rolnym na dostawę w dniu 15 sierpnia tego roku 2 ton żyta za cenę 1100 PLN może być instrumentem pochodnym dwojakiego typu: jeśli obie strony umowy muszą zawrzeć tę transakcję, to jest to instrument symetryczny, a jeśli kupujący może zdecydować o tym, czy wykona tę transakcję i może z niej zrezygnować - jest to instrument niesymetryczny. Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący straci 200 PLN, a sprzedający tyle samo zyska, zaś w przypadku asymetrycznym umowa będzie mieć wartość zerową, bo kupujący ze swojego prawa zakupu nie skorzysta. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typu Matematyka forward/futures finansowa 9 / 39

Podział instrumentów pochodnych - przykład Kupujący w tym kontrakcie zajmuje pozycję długą, gdyż dla niego korzystny jest wzrost cen żyta, zaś gospodarstwo zajmuje pozycję krótką, gdyż zyskuje na tej umowie, gdy cena żyta będzie spadać. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 10 / 39

Wypłata/funkcja wypłaty Po rozliczeniu instrumentu pochodnego (zazwyczaj w terminie jego wygaśnięcia) możemy obliczyć końcowy wynik finansowy każdej ze stron. Wynik ten zależy od ceny lub innych własności instrumentu bazowego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 11 / 39

Wypłata/funkcja wypłaty Po rozliczeniu instrumentu pochodnego (zazwyczaj w terminie jego wygaśnięcia) możemy obliczyć końcowy wynik finansowy każdej ze stron. Wynik ten zależy od ceny lub innych własności instrumentu bazowego. Jak zauważyliśmy na przykładzie, zysk jednej strony instrumentu pochodnego jest równy stracie drugiej strony, więc całość można analizować jako grę dwuosobową o sumie zerowej. Końcowy wynik każdej ze stron to jej wypłata lub funkcja wypłaty (jeśli jest dana jako zależność od ceny instrumentu bazowego). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 11 / 39

Wycena instrumentów pochodnych Przez wycenę instrumentu pochodnego rozumiemy obliczenie jego wartości w momencie otwarcia pozycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 12 / 39

Wycena instrumentów pochodnych Przez wycenę instrumentu pochodnego rozumiemy obliczenie jego wartości w momencie otwarcia pozycji. Sprawiedliwa wycena jest to ustalenie takich warunków instrumentu pochodnego, żeby żadna ze stron nie była uprzywilejowana. Wynikiem takiej wyceny jest sprawiedliwa cena. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 12 / 39

Wycena instrumentów pochodnych Przez wycenę instrumentu pochodnego rozumiemy obliczenie jego wartości w momencie otwarcia pozycji. Sprawiedliwa wycena jest to ustalenie takich warunków instrumentu pochodnego, żeby żadna ze stron nie była uprzywilejowana. Wynikiem takiej wyceny jest sprawiedliwa cena. Obliczanie ceny sprawiedliwej opiera się na znajomości podstawowych danych rynkowych obowiązujących na moment wyceny. Zmiany tych danych w przyszłości nie są brane pod uwagę. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 12 / 39

Założenia wyceny instrumentów pochodnych Dla wszystkich omawianych odtąd instrumentów pochodnych będziemy zakładać spełnienie pewnych założeń dotyczących rynku, które teraz pokrótce omówimy: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 13 / 39

Założenia wyceny instrumentów pochodnych Dla wszystkich omawianych odtąd instrumentów pochodnych będziemy zakładać spełnienie pewnych założeń dotyczących rynku, które teraz pokrótce omówimy: brak możliwości arbitrażu; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 13 / 39

Założenia wyceny instrumentów pochodnych Dla wszystkich omawianych odtąd instrumentów pochodnych będziemy zakładać spełnienie pewnych założeń dotyczących rynku, które teraz pokrótce omówimy: brak możliwości arbitrażu; możliwość krótkiej sprzedaży bez dodatkowych kosztów; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 13 / 39

Założenia wyceny instrumentów pochodnych Dla wszystkich omawianych odtąd instrumentów pochodnych będziemy zakładać spełnienie pewnych założeń dotyczących rynku, które teraz pokrótce omówimy: brak możliwości arbitrażu; możliwość krótkiej sprzedaży bez dodatkowych kosztów; istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej r; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 13 / 39

Założenia wyceny instrumentów pochodnych Dla wszystkich omawianych odtąd instrumentów pochodnych będziemy zakładać spełnienie pewnych założeń dotyczących rynku, które teraz pokrótce omówimy: brak możliwości arbitrażu; możliwość krótkiej sprzedaży bez dodatkowych kosztów; istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej r; równe oprocentowanie depozytów i kredytów; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 13 / 39

Założenia wyceny instrumentów pochodnych Dla wszystkich omawianych odtąd instrumentów pochodnych będziemy zakładać spełnienie pewnych założeń dotyczących rynku, które teraz pokrótce omówimy: brak możliwości arbitrażu; możliwość krótkiej sprzedaży bez dodatkowych kosztów; istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej r; równe oprocentowanie depozytów i kredytów; równy dostęp obu stron umowy do rynku; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 13 / 39

Założenia wyceny instrumentów pochodnych Dla wszystkich omawianych odtąd instrumentów pochodnych będziemy zakładać spełnienie pewnych założeń dotyczących rynku, które teraz pokrótce omówimy: brak możliwości arbitrażu; możliwość krótkiej sprzedaży bez dodatkowych kosztów; istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej r; równe oprocentowanie depozytów i kredytów; równy dostęp obu stron umowy do rynku; brak kosztów transakcyjnych, w tym opodatkowania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 13 / 39

Założenia wyceny instrumentów pochodnych Dla wszystkich omawianych odtąd instrumentów pochodnych będziemy zakładać spełnienie pewnych założeń dotyczących rynku, które teraz pokrótce omówimy: brak możliwości arbitrażu; możliwość krótkiej sprzedaży bez dodatkowych kosztów; istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej r; równe oprocentowanie depozytów i kredytów; równy dostęp obu stron umowy do rynku; brak kosztów transakcyjnych, w tym opodatkowania. doskonała podzielność wszystkich instrumentów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 13 / 39

Założenie braku arbitrażu Arbitraż to możliwość osiągnięcia pewnego zysku bez ponoszenia ryzyka. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 14 / 39

Założenie braku arbitrażu Arbitraż to możliwość osiągnięcia pewnego zysku bez ponoszenia ryzyka. Np. jeśli możemy pożyczyć pieniądze na r 1 % rocznie i złożyć je na lokacie o oprocentowaniu r 2 % rocznie (OK=rok) i r 1 < r 2 to bez inwestowania jakichkolwiek własnych pieniędzy możemy w ten sposób zarobić, korzystając z arbitrażu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 14 / 39

Założenie braku arbitrażu Arbitraż to możliwość osiągnięcia pewnego zysku bez ponoszenia ryzyka. Np. jeśli możemy pożyczyć pieniądze na r 1 % rocznie i złożyć je na lokacie o oprocentowaniu r 2 % rocznie (OK=rok) i r 1 < r 2 to bez inwestowania jakichkolwiek własnych pieniędzy możemy w ten sposób zarobić, korzystając z arbitrażu. Założenie braku arbitrażu zazwyczaj nie jest spełnione krótkoterminowo, ale może być spełnione długoterminowo, dzięki działaniom praw popytu i podaży na instrumenty o źle oszacowanych cenach (np. duży popyt na kredyt i lokatę z przykładu spowoduje wzrost ceny kredytu i spadek stopy na lokacie). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 14 / 39

Krótka sprzedaż Krótka sprzedaż to szczególny przypadek zajmowania krótkiej pozycji. Chodzi o sprzedaż papierów wartościowych, które nie są własnością sprzedającego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 15 / 39

Krótka sprzedaż Krótka sprzedaż to szczególny przypadek zajmowania krótkiej pozycji. Chodzi o sprzedaż papierów wartościowych, które nie są własnością sprzedającego. Papiery takie można pożyczyć od maklera, zobowiązując się do ich zwrotu, sprzedać je i odkupić tuż przed terminem zwrotu. Jeśli ich cena w momencie odkupienia jest mniejsza niż cena w momencie sprzedaży, to w ten sposób zyskujemy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 15 / 39

Krótka sprzedaż Krótka sprzedaż to szczególny przypadek zajmowania krótkiej pozycji. Chodzi o sprzedaż papierów wartościowych, które nie są własnością sprzedającego. Papiery takie można pożyczyć od maklera, zobowiązując się do ich zwrotu, sprzedać je i odkupić tuż przed terminem zwrotu. Jeśli ich cena w momencie odkupienia jest mniejsza niż cena w momencie sprzedaży, to w ten sposób zyskujemy. Oczywiście, w praktyce te zyski są pomniejszone o koszt tej pożyczki, jednak dla uproszczenia modelu zakładamy, że takich kosztów nie ma. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 15 / 39

Wolna od ryzyka stopa procentowa Wolna od ryzyka stopa procentowa to stopa zwrotu z inwestycji bezpiecznej, czyli niezagrożonej możliwością niewywiązania się drugiej strony transakcji z warunków umowy. Często za taką inwestycję uznaje się zakup renomowanych obligacji zerokuponowych lub bonów skarbowych. Zakładamy ponadto, ze ta stopa jest stała w czasie trwania instrumentu pochodnego. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 16 / 39

Równe oprocentowanie depozytów i kredytów Założenie o równym oprocentowaniu depozytów i kredytów jest sporym uproszczeniem ogólnie, ale w przypadku wiarygodnych inwestorów nie odbiega za bardzo od rzeczywistości. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 17 / 39

Równe szanse stron instrumentu pochodnego Założenie o równych możliwościach stron instrumentu pochodnego jest dość naturalne, gdy nic o nich nie wiemy z góry. Pozostałe założenia są czysto techniczne i wpływają tylko na matematyczną ścisłość obliczeń, a nie na końcowe rezultaty. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 18 / 39

Wycena instrumentów pochodnych - konwencje Dodatkowo przyjmujemy następujące konwencje: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 19 / 39

Wycena instrumentów pochodnych - konwencje Dodatkowo przyjmujemy następujące konwencje: Stopa r wolna od ryzyka jest roczną stopą zwrotu. Jednostką czasu jest rok. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 19 / 39

Wycena instrumentów pochodnych - konwencje Dodatkowo przyjmujemy następujące konwencje: Stopa r wolna od ryzyka jest roczną stopą zwrotu. Jednostką czasu jest rok. Jednocześnie, naturalnym modelem dla wyceny instrumentów pochodnych jest model oprocentowania ciągłego. Zatem używamy r = ln(1 + r), jako stopy rocznej w modelu oprocentowania ciągłego równoważnej stopie zwrotu r. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 19 / 39

Wycena instrumentów pochodnych - konwencje Dodatkowo przyjmujemy następujące konwencje: Stopa r wolna od ryzyka jest roczną stopą zwrotu. Jednostką czasu jest rok. Jednocześnie, naturalnym modelem dla wyceny instrumentów pochodnych jest model oprocentowania ciągłego. Zatem używamy r = ln(1 + r), jako stopy rocznej w modelu oprocentowania ciągłego równoważnej stopie zwrotu r. Wzory dotyczą jednostek instrumentu bazowego. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 19 / 39

Kontrakt terminowy forward - definicja Kontrakt terminowy forward Kontrakt terminowy forward jest to utworzony jednorazowo instrument pochodny zobowiązujący obie strony do dokonania transakcji typu kupno-sprzedaż instrumentu bazowego. Jedna ze stron umowy dostarcza przedmiot transakcji drugiej w terminie wykonania transakcji, w zamian za ustaloną cenę rozliczenia (dostawy). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 20 / 39

Kontrakt terminowy forward - definicja Kontrakt terminowy forward Kontrakt terminowy forward jest to utworzony jednorazowo instrument pochodny zobowiązujący obie strony do dokonania transakcji typu kupno-sprzedaż instrumentu bazowego. Jedna ze stron umowy dostarcza przedmiot transakcji drugiej w terminie wykonania transakcji, w zamian za ustaloną cenę rozliczenia (dostawy). W praktyce, strony mogą rozliczyć się bez fizycznej dostawy instrumentu bazowego, za pomocą gotówki. To jest czasem konieczne w wypadku instrumentów bazowych takich jak np. indeks giełdowy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 20 / 39

Kontrakt terminowy futures - definicja Kontrakt terminowy futures Kontrakt terminowy futures jest to umowa o takim samym działaniu jak kontrakt terminowy forward, będąca przedmiotem obrotu giełdowego i podlegająca tzw. standaryzacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 21 / 39

Kontrakt terminowy futures - definicja Kontrakt terminowy futures Kontrakt terminowy futures jest to umowa o takim samym działaniu jak kontrakt terminowy forward, będąca przedmiotem obrotu giełdowego i podlegająca tzw. standaryzacji. Z matematycznego punktu widzenia te dwa typy kontraktów terminowym są dokładnie takie same, więc w części dotyczącej wyceny będę mówił o kontraktach forward, mając na myśli obydwa typy kontraktów, o ile wyraźnie nie zaznaczę, że jest inaczej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 21 / 39

Różnice pomiędzy futures i forward Pomiędzy kontraktami terminowymi futures i forward występują następujące różnice instytucjonalne: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 22 / 39

Różnice pomiędzy futures i forward Pomiędzy kontraktami terminowymi futures i forward występują następujące różnice instytucjonalne: Kontrakty futures występują w obrocie giełdowym, a kontrakty forward w obrocie pozagiełdowym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 22 / 39

Różnice pomiędzy futures i forward Pomiędzy kontraktami terminowymi futures i forward występują następujące różnice instytucjonalne: Kontrakty futures występują w obrocie giełdowym, a kontrakty forward w obrocie pozagiełdowym. Kontrakt futures jest kontraktem standaryzowanym: dana giełda decyduje o możliwej ilości instrumentu bazowego przypadającego na kontrakt oraz o terminie dostawy. Kontrakt forward jest konstruowany za każdym razem na zamówienie obu stron tego kontraktu, które decydują o terminie i wielkości dostawy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 22 / 39

Różnice pomiędzy futures i forward Pomiędzy kontraktami terminowymi futures i forward występują następujące różnice instytucjonalne: Kontrakty futures występują w obrocie giełdowym, a kontrakty forward w obrocie pozagiełdowym. Kontrakt futures jest kontraktem standaryzowanym: dana giełda decyduje o możliwej ilości instrumentu bazowego przypadającego na kontrakt oraz o terminie dostawy. Kontrakt forward jest konstruowany za każdym razem na zamówienie obu stron tego kontraktu, które decydują o terminie i wielkości dostawy. Kontrakty futures określają termin dostawy na konkretny miesiąc, ale nie wskazują dokładnego dnia dostawy. W kontraktach forward terminem dostawy jest konkretny dzień. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 22 / 39

Różnice pomiędzy futures i forward Obie strony kontraktu futures muszą jako zabezpieczenie wnieść depozyt (margin) oraz posiadać na rachunku giełdowym ustaloną sumę (maintanance margin level). Strony kontraktu forward nie mają takich obowiązków. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 23 / 39

Różnice pomiędzy futures i forward Obie strony kontraktu futures muszą jako zabezpieczenie wnieść depozyt (margin) oraz posiadać na rachunku giełdowym ustaloną sumę (maintanance margin level). Strony kontraktu forward nie mają takich obowiązków. W kontrakcie forward płatność następuje po dostawie. Kontrakt futures jest rozliczany codziennie na zasadzie marking to market - stan rachunków obu stron jest codziennie korygowany o zmianę ceny rynkowej tego kontraktu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 23 / 39

Różnice pomiędzy futures i forward Obie strony kontraktu futures muszą jako zabezpieczenie wnieść depozyt (margin) oraz posiadać na rachunku giełdowym ustaloną sumę (maintanance margin level). Strony kontraktu forward nie mają takich obowiązków. W kontrakcie forward płatność następuje po dostawie. Kontrakt futures jest rozliczany codziennie na zasadzie marking to market - stan rachunków obu stron jest codziennie korygowany o zmianę ceny rynkowej tego kontraktu. Dla kontraktu forward niemal zawsze dochodzi do dostawy przedmiotu kontraktu lub jego równoważności. Ze względu na ciągłą wycenę kontraktu futures, prawie nigdy dostawa instrumentu bazowego nie występuje. Pozycje przyjmowane w kontrakcie przez inwestorów najczęściej są likwidowane przed terminem wykonania. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 23 / 39

Parametry kontraktu forward/futures We wszystkich zadaniach związanych z kontraktami terminowymi forward istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 24 / 39

Parametry kontraktu forward/futures We wszystkich zadaniach związanych z kontraktami terminowymi forward istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: T - termin wygaśnięcia kontraktu, jednocześnie termin rozliczenia. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 24 / 39

Parametry kontraktu forward/futures We wszystkich zadaniach związanych z kontraktami terminowymi forward istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: T - termin wygaśnięcia kontraktu, jednocześnie termin rozliczenia. K - cena rozliczenia. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 24 / 39

Parametry kontraktu forward/futures We wszystkich zadaniach związanych z kontraktami terminowymi forward istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: T - termin wygaśnięcia kontraktu, jednocześnie termin rozliczenia. K - cena rozliczenia. S t - cena instrumentu bazowego w momencie t [0, T ]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 24 / 39

Parametry kontraktu forward/futures We wszystkich zadaniach związanych z kontraktami terminowymi forward istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: T - termin wygaśnięcia kontraktu, jednocześnie termin rozliczenia. K - cena rozliczenia. S t - cena instrumentu bazowego w momencie t [0, T ]. U - zaktualizowane na moment 0 zyski (ze znakiem plus) lub straty (ze znakiem minus) zajmującego pozycję krótką (sprzedającego) wynikające z posiadania przez czas T instrumentu bazowego (dywidendy z akcji, koszty przechowywania towaru itp.). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 24 / 39

Parametry kontraktu forward/futures We wszystkich zadaniach związanych z kontraktami terminowymi forward istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: T - termin wygaśnięcia kontraktu, jednocześnie termin rozliczenia. K - cena rozliczenia. S t - cena instrumentu bazowego w momencie t [0, T ]. U - zaktualizowane na moment 0 zyski (ze znakiem plus) lub straty (ze znakiem minus) zajmującego pozycję krótką (sprzedającego) wynikające z posiadania przez czas T instrumentu bazowego (dywidendy z akcji, koszty przechowywania towaru itp.). Wycena kontraktu forward polega na obliczeniu jego sprawiedliwej ceny rozliczenia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 24 / 39

Baza, backwardation, contango Różnicę pomiędzy ceną instrumentu bazowego w danym momencie a ceną rozliczenia S t K nazywa się bazą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 25 / 39

Baza, backwardation, contango Różnicę pomiędzy ceną instrumentu bazowego w danym momencie a ceną rozliczenia S t K nazywa się bazą. Sytuację, w której baza jest dodatnia nazywa się backwardation, a gdy jest ujemna - contango. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 25 / 39

Cena forward Ponadto istotne jest jeszcze jedno pojęcie: Cena forward Dla kontraktu forward, ceną forward (lub futures) K t w momencie t [0, T ] nazywamy wielkość która byłaby sprawiedliwą ceną rozliczenia, gdyby kontrakt zawierano w momencie t z terminem dostawy w T. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 26 / 39

Cena forward Ponadto istotne jest jeszcze jedno pojęcie: Cena forward Dla kontraktu forward, ceną forward (lub futures) K t w momencie t [0, T ] nazywamy wielkość która byłaby sprawiedliwą ceną rozliczenia, gdyby kontrakt zawierano w momencie t z terminem dostawy w T. Cena rozliczenia w kontrakcie forward po ustaleniu w momencie zawarcia umowy jest stała, ale cena forward się zmienia w czasie. Różnica między tymi cenami K t K jest sprawiedliwą ceną rezygnacji przez inwestora w pozycji długiej z praw do tego kontraktu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 26 / 39

Cena rynkowa futures Kontrakty terminowe futures są notowane na giełdzie, więc w szczególności poza ceną wynikającą z wyceny istnieje też cena rynkowa, kształtowana przez popyt i podaż, po której taki kontrakt jest aktualnie sprzedawany. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 27 / 39

Cena rynkowa futures Kontrakty terminowe futures są notowane na giełdzie, więc w szczególności poza ceną wynikającą z wyceny istnieje też cena rynkowa, kształtowana przez popyt i podaż, po której taki kontrakt jest aktualnie sprzedawany. Da się wykazać, że przy przyjętych przez nas założeniach (w szczególności braku arbitrażu i istnienia oraz stałości wolnej od ryzyka stopy procentowej) w całym okresie [0, T ] cena rynkowa futures nie różni się od ceny futures zdefiniowanej na poprzednim slajdzie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 27 / 39

Metoda portfela replikującego Instrumenty pochodne najczęściej wycenia się tzw. metodą portfela replikującego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 28 / 39

Metoda portfela replikującego Instrumenty pochodne najczęściej wycenia się tzw. metodą portfela replikującego. Polega ona na określeniu funkcji wypłaty dla inwestora z pozycją długą i skonstruowaniu w chwili t = 0 portfela składającego się z A > 0 jednostek instrumentu bazowego oraz B jednostek kapitału pieniężnego (B może być dodatnie lub ujemne - wtedy symbolizuje zaciągnięcie długu). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 28 / 39

Metoda portfela replikującego Instrumenty pochodne najczęściej wycenia się tzw. metodą portfela replikującego. Polega ona na określeniu funkcji wypłaty dla inwestora z pozycją długą i skonstruowaniu w chwili t = 0 portfela składającego się z A > 0 jednostek instrumentu bazowego oraz B jednostek kapitału pieniężnego (B może być dodatnie lub ujemne - wtedy symbolizuje zaciągnięcie długu). Liczby A i B muszą być dobrane tak, by niezależnie od ceny instrumentu podstawowego w momencie T wartość portfela była równa wartości funkcji wypłaty, zaś w chwili t = 0 wartość portfela jest równa wartości kontraktu (tj. cenie, którą trzeba zapłacić za zawarcie kontraktu). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 28 / 39

Wypłata i wartość początkowa kontraktu forward Dla kontraktu forward, wypłata inwestora w pozycji długiej w momencie T wynosi: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 29 / 39

Wypłata i wartość początkowa kontraktu forward Dla kontraktu forward, wypłata inwestora w pozycji długiej w momencie T wynosi: S T K. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 29 / 39

Wypłata i wartość początkowa kontraktu forward Dla kontraktu forward, wypłata inwestora w pozycji długiej w momencie T wynosi: S T K. Wartość kontraktu forward w chwili zawarcia umowy po sprawiedliwej cenie powinna wynosić 0. Jako, że ten kontrakt jest równie korzystny dla obu stron transakcji, żadna z nich nie musi do niego dopłacać. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 29 / 39

Wartość portfela replikującego Z drugiej strony, wartość portfela replikującego w momencie 0 wynosi: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 30 / 39

Wartość portfela replikującego Z drugiej strony, wartość portfela replikującego w momencie 0 wynosi: A(S 0 U) + B, bo wartość jednostki instrumentu pierwotnego trzeba pomniejszyć o dochody, których inwestor z długą pozycją nie uzyska za jego posiadanie w czasie [0, T ] (lub zwiększyć o straty, których nie poniesie). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 30 / 39

Wartość portfela replikującego Z drugiej strony, wartość portfela replikującego w momencie 0 wynosi: A(S 0 U) + B, bo wartość jednostki instrumentu pierwotnego trzeba pomniejszyć o dochody, których inwestor z długą pozycją nie uzyska za jego posiadanie w czasie [0, T ] (lub zwiększyć o straty, których nie poniesie). Wartość portfela replikującego w momencie T wyniesie wtedy: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 30 / 39

Wartość portfela replikującego Z drugiej strony, wartość portfela replikującego w momencie 0 wynosi: A(S 0 U) + B, bo wartość jednostki instrumentu pierwotnego trzeba pomniejszyć o dochody, których inwestor z długą pozycją nie uzyska za jego posiadanie w czasie [0, T ] (lub zwiększyć o straty, których nie poniesie). Wartość portfela replikującego w momencie T wyniesie wtedy: AS T + Be rt. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 30 / 39

Układ równań portfela replikującego W ten sposób otrzymujemy układ równań: A(S 0 U) + B = 0, AS T + Be rt = S T K. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 31 / 39

Układ równań portfela replikującego W ten sposób otrzymujemy układ równań: A(S 0 U) + B = 0, AS T + Be rt = S T K. Skoro parametry A i B nie zależą od wartości S T, to współczynnik przy S T po obu stronach drugiego równania musi być taki sam. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 31 / 39

Układ równań portfela replikującego W ten sposób otrzymujemy układ równań: A(S 0 U) + B = 0, AS T + Be rt = S T K. Skoro parametry A i B nie zależą od wartości S T, to współczynnik przy S T po obu stronach drugiego równania musi być taki sam. Zatem A = 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 31 / 39

Układ równań portfela replikującego W ten sposób otrzymujemy układ równań: A(S 0 U) + B = 0, AS T + Be rt = S T K. Skoro parametry A i B nie zależą od wartości S T, to współczynnik przy S T po obu stronach drugiego równania musi być taki sam. Zatem A = 1. Wtedy, z pierwszego równania otrzymujemy B = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 31 / 39

Układ równań portfela replikującego W ten sposób otrzymujemy układ równań: A(S 0 U) + B = 0, AS T + Be rt = S T K. Skoro parametry A i B nie zależą od wartości S T, to współczynnik przy S T po obu stronach drugiego równania musi być taki sam. Zatem A = 1. Wtedy, z pierwszego równania otrzymujemy B = U S 0, a drugie równanie przyjmuje postać: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 31 / 39

Układ równań portfela replikującego W ten sposób otrzymujemy układ równań: A(S 0 U) + B = 0, AS T + Be rt = S T K. Skoro parametry A i B nie zależą od wartości S T, to współczynnik przy S T po obu stronach drugiego równania musi być taki sam. Zatem A = 1. Wtedy, z pierwszego równania otrzymujemy B = U S 0, a drugie równanie przyjmuje postać: (U S 0 )e rt = K K = (S 0 U)e rt. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 31 / 39

Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward K = (S 0 U)e rt. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 32 / 39

Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward K = (S 0 U)e rt. Czasem zyski/straty z posiadania instrumentu bazowego przez inwestora z pozycją krótką w czasie [0, T ] są liczone jako odsetki od wartości tego instrumentu obliczane według kapitalizacji ciągłej i stałej stopy u (lub w sposób równoważny np. dywidendy od akcji, kupony od obligacji, opłata za przechowywanie wartościowego depozytu). Wtedy powyższy wzór przyjmuje postać: Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward K = S 0 e (r u)t. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 32 / 39

Przykład Zadanie Załóżmy, że roczna stopa wolna od ryzyka wynosi r = 5%. Obliczyć sprawiedliwą cenę wykonania następujących kontraktów: a) Zakupu 10 obligacji bezkuponowych 5-letnich, o terminie rozliczenia za 2 lata i aktualnej cenie rynkowej pojedynczej obligacji równej 100 jp. b) Zakupu akcji, z dywidendami w wysokości 5 jp płatnymi co pół roku (najbliższa płatność za 3 miesiące), o terminie rozliczenia za rok i aktualnej cenie rynkowej 150 jp. c) Zakupu kilograma złota o terminie rozliczenia za rok i aktualnej cenie rynkowej 1000 jp za kilogram, przy czym koszt przechowywania kilograma złota jest naliczany według kapitalizacji ciągłej i stopy nominalnej 1% od wartości rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 33 / 39

Przykład Zadanie Załóżmy, że roczna stopa wolna od ryzyka wynosi r = 5%. Obliczyć sprawiedliwą cenę wykonania następujących kontraktów: (...) d) Zakupu za jp 100 dukatów tiutiurlistańskich (TD) o terminie rozliczenia za rok, gdy aktualny kurs jp/td wynosi 2:1, a wolna od ryzyka stopa zwrotu na rynku instrumentów dłużnych denominowanych w TD wynosi ũ = 7% rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty Krakowie) pochodne: kontrakty terminowe typumatematyka forward/futures finansowa 34 / 39