ODSTAWOWE ROZKŁADY SKOKOWE Rozatruy dowyarow rozłady soow. rzyo. Za losowa a rozład soowy dysrty gdy a sończoy lub rzlczaly zbór wartośc. Rozłady soow aczęśc orślay rzz oda fuc rawdoodobństwa. arostsza z względu a lczbość zboru wartośc fuca rawdoodobństwa a doltowy zbór wartośc. Rozład doutowy Orślay: = c = gdz c ustaloa lczba. Wtdy Wartość oczwaa E = c; Waraca D = tylo t rozład a zrową waracę!!! robl. a łyc uładu cyfrowgo st 6 utów otrolych. W cztrch z ch st sta w ozostałych sta. Wybray losowo d z 6-tu utów, a st rawdoodobństwo trafa a sta? robly tgo tyu obsrwuy do z dwóch zdarzń odluy rozład dwuutowy. Rozład dwuutowy zrodyowy ch, będz ustaloą lczbą. Orślay: = =, = = ; gdz =. Uowa: - oraża, - rawdoodobństwo oraż, - sucs, - rawdoodobństwo sucsu, Wartość oczwaa Waraca oty zwył E =, D = oty ctral, Wsółczy asytr a
Kurtoza Fuca charatrystycza t t, Rozwąza roblu: Szua rawdoodobństwo to rawdoodobństwo sucsu. Oblczay stosuąc lasyczą dfcę rawdoodobństwa = /6 =,5. Rozład t st wyorzystyway. w statystycz otrol aośc. oża. rzyąć, ż = gdy wyrób dobry, = gdy wyrób st wadlwy, wtdy = = tratuy ao wadlwość wyrobu. robl. rawdoodobństwo uszodza outra rzd uływ gwarac wyos,. Fra zauła 6 daowych outrów. Oblczyć rawdoodobństwo, ż rzd uływ gwarac outry ulgą uszodzu. Jaa st abardz rawdoodoba lczba uszodzoych outrów rzd uływ gwarac?. Załaday, ż outry t są sloatowa w tych saych waruach suą sę zalż. robly tgo tyu owtarzay wlorot, zalż dośwadcz w tych saych waruach - róby Broullgo odluy rozład dwuaowy. Rozład dwuaowy Dla daych,, orślay fucę rawdoodobństwa gdz = wzór Broullgo =,,,...,. Zauważy, ż gdy = to rozład dwuaowy st rozład zrodyowy. Srawdz orawośc: Jśl rzyy, ż ozacza lczbę zalżych dośwadczń z tórych ażd ończy sę dy z dwóch wyów: sucs" z rawdoodobństw w ażdy dośwadczu lub orażą za losowa ozacza lczbę sucsów to owyższy wzór wyzacza rawdoodobństwo uzysaa doład sucsów w dośwadczach róbach. Własość Rozład dwuaowy st suą zalżych rozładów zrodyowych o ty say aratrz.
Jaub Broull 65-75 - szwacars ataty fzy. Wyrsy fuc rawdoodobństwa rozładu dwuaowgo dla =. Dla =,5 - Sra, Dla =,5 - Sra, Dla =,5 - Sra, Dla =,75 - Sra, Dla =,95 - Sra 5,
Wartość oczwaa E =, Waraca D = oty zwył 6 7 oty ctral, Wsółczy asytr Kurtoza Fuca charatrystycza a 6 t t, Własość Dla rozładu dwuaowgo zachodz zalżość rurcya Rozwąza roblu: rzyuy, ż sucs st uszodz outra rzd uływ gwarac. lczba uszodzoych outrów rzd uływ gwarac,,,,,, 6 8 5 96 576 Fucę rawdoodobństwa z losow oża rzdstawć w tablc: x 5 6,6,9,58,89,5,5, Zauważy, ż abardz rawdoodobą lczba uszodzoych outrów st. rzyład Rzucay razy ostą szścą. Ja st rawdoodobństwo, ż w co a rzutach lczba ocz będz odzla rzz? Szua rawdoodobństwo to = = + =, gdz sucs st uzysa lub 6 ocz, węc = /.
5 Zat 8 8 8 8 8 9 8 8 8 rzyład Oblczyy wartość oczwaą rozładu dwuaowgo. E!!!!!! II sosób. Rozład dwuaowy st suą zalżych rozładów zrodyowych o ty say aratrz zat E E E Aalogcz oblczyy waracę rozładu dwuaowgo orzystay z zalżośc. D D D robl. Rzucay sytryczą otą. Oblczyć rawdoodobństwo, ż w trzch rwszych rzutach wyad orzł a w czwarty rzuc rsza. Jst to robl wyzacza rawdoodobństwa lczby rób orzdzaących rwszy sucs, robly tgo tyu odluy rozład gotryczy. Rozład gotryczy - lczba rób Broullgo orzdzaących rwszy sucs = - =,,,... Srawdz orawośc
Wyrsy fuc rawdoodobństwa rozładu gotryczgo. Dla =,5 - Sra, Dla =,5 - Sra, Dla =,75 - Sra, Wartość oczwaa Waraca oty zwył oty ctral E = /, D = /, 7 Wsółczy asytr Kurtoza a 9 Fuca charatrystycza 6
t, t Własość Dla rozładu gotryczgo zachodz zalżość rurcya rzyład Oblczyy wartość oczwaą waracę rozładu gotryczgo. Dla szrgu gotryczgo ay x x o zróżczowau t rówośc otrzyay o oly zróżczowau otrzyay Korzystaąc z rówośc ay E Korzystaąc z rówośc ay E x x x x D E E Wtdy Rozwąza roblu: rzyuy, ż sucs st wyrzuc rsz. - lczba rzutów orzdzaących rwszy sucs,5,5,5,65 rzyład Odbray wlorot sygał bary z satlty. rawdoodobństwo, ż sygał będz załócoy wyos,. Ja st rawdoodobństwo, ż rwszy załócoy sygał odbrzy wśród oczątowych odbraych sygałów. rzyuy, ż sucs st odbra załócogo sygału. - lczba załócoych sygałów orzdzaących rwszy załócoy sygał. 99 99,99 99 99,99,,,99,86667,99 7
robl. Syst oczty ltrocz WAT a śrdo awar a wartał. Oblczyć rawdoodobństwo, ż w cągu rou będz awar tgo systu. Załadaąc długotrwałą dorodość śrd lczby awar oży odlować t robl rozład ossoa. Rozład ossoa Dla > orślay fucę rawdoodobństwa =,,,...! wartośc tych rawdoodobństw zawra tablca rozładu ossoa Séo Ds osso 78 8, fracus cha torty, fzy ataty. W atatyc zaował sę cała ozaczoy, rówaa różcowy różczowy oraz torą rawdoodobństwa. Srawdz orawośc!! 8
Wyrsy fuc rawdoodobństwa rozładu ossoa. Dla =,5 - Sra, Dla = - Sra, Dla = - Sra, Wartość oczwaa Waraca oty zwył oty ctral Wsółczy asytr Kurtoza Fuca charatrystycza E =, D = 7 6, a t t, rzyład Oblczyy wartość oczwaą waracę rozładu ossoa. E!! 9
!!! E Wtdy E E D Własość Dla rozładu ossoa zachodz zalżość Własość dla > 9 rozład ossoa oża rzyblżać rozład,, zachodz wtdy 5,,5 gdz - dystrybuata rozładu, Rozwąza roblu: W cągu rou śrdo będz = awar. - lczba awar w cągu rou.,7! odczyt z tablcy rozładu ossoa Rozład ossoa ożlwość odczytu w tablcy oż dla dużych ratycz ałych ratycz, rzyblżać rozład dwuaowy rzyblż ossoa gdz! Uzasad.!...!!! odstaway!...!...
Gdy sło są założa, to - rwszy ostat czy dążą do, - trzc czy dąży do, Stąd! rzyład W udłu st żarów. Ja st rawdoodobństwo, ż wśród ch st 5 żarów wadlwych, śl wadlwość roduc tach żarów wyos,5%? Jaa st abardz rawdoodoba lczba uszodzoych żarów w ty udłu? Zastosuy rzyblż ossoa,, 5. W tablcy rozładu ossoa tablca I odczytay, ż: = 5 =,6 Rówż w tablcy rozładu ossoa odczytay, ż abardz rawdoodoba lczba uszodzoych żarów w ty udłu to lub dla obu tych lczb rawdoodobństwo st rów,77. Rozład ossoa - tablca wartośc fuc rawdoodobństwa.! \ 5 6 7 8 9,,,,,5,6,7,8,9,,5,,5,,5,,5 5, 6, 7, 8, 9,,,98 887 78 67 665 588 966 9 66 679 5 8 98 8 67 5 9,95 67 68 9 76 595 659 679 7 77 5 9 57 7 5 7 9 6 7 5,5 6 56 758 988 7 8 66 89 5 77 565 85 65 5 8 6 7 5, 7 6 98 8 8 9 6 55 8 8 58 95 687 89 5 86 5 76 7 6 5 77 5 7 9 6 68 888 95 898 755 9 9 57 7 89 7 6 668 8 56 78 755 66 77 96 67 78 5 5 78 5 77 8 6 66 9 9 6 8 99 6 85 595 8 77 9 96 7 9 9 8 69 98 6 65 96 8 6 9 7 66 6 688 8 5 8 5 8 7 99 86 5 7 9 8 5 5 7 97 7
\ 5 6 7 8 9,,,,,5,6,7,8,9,,5,,5,,5,,5 5, 6, 7, 8, 9,,, 6 6 6 8 78 98 6 5 96 5 79 5 7 69 5 9 9 9 7 5 9 7, 6 58 8 9 9 7, 7 6 9, 9, robl. Gra olga a srślu 6 lczb sośród 9. Uczst gry wygrywa gdy wśród wylosowaych rzz orgazatora 6 lczb są co a wytyowa rzz gracza. Oblczyć rawdoodobństwo, ż gracz wygra?. robly tgo tyu losowa bz zwracaa gdy wśród ltów st w wyróżoy odzbór odluy rozład hrgotryczy. Rozład hrgotryczy Dla da lczby obtów z tórych a orśloą własość losuy ltów bz zwracaa. - lczba wylosowaych obtów o orślo własośc orślay fucę rawdoodobństwa gdz,, to lczby całowt u,,, ax, + -, Srawdz orawośc: Korzystay z twrdza Vadroda a b a b wtdy
Wartość oczwaa E = /, Waraca D = oty zwył 7 6 oty ctral, 6 6 Wsółczy asytr a Kurtoza 6 6 5 6 6 Własość Dla rozładu hrgotryczgo zachodz zalżość Rozwąza roblu: W ty rzyadu = 6, = 9, =6. lczba odgadętych lczb,
wtdy rawdoodobństwa dla od do 6 oża rzdstawć w tablc: 5 6,765867,968697 899 75 Sua tych rawdoodobństw wyos ooło,86755 st to szua rawdoodobństwo.. rzyład Oblczyy wartość oczwaą waracę rozładu hrgotryczgo. E Ostata rówość wya z rzytoczogo wyż twrdza Vadroda. Oblczyy waracę rozładu hrgotryczgo. E E E E E D E Ostata rówość wya tż z rzytoczogo wyż twrdza Vadroda. Wtdy D
robl. Rzucay sytryczą ostą szścą. Rzuty wyouy aż wyad 6 ocz dwa razy ocz olo. Oblczyć rawdoodobństwo, ż uda a sę to w ęcu rzutach a uda w szósty rzuc. Jst to robl wyzacza rawdoodobństwa gdy wyouy cąg rób Broullgo lcz arzucay z góry lczby rób lcz lczbę ożądaych sucsów, robly tgo tyu odluy rozład uy dwuaowy. Rozład uy dwuaowy. ch - lczba ożądaych sucsów. - lczba rób Broullgo orzdzaących sucsów. Dla daych,, orślay fucę rawdoodobństwa gdz = =,,,... Zauważy, ż gdy = to rozład uy dwuaowy st rozład gotryczy. Uwaga. Orślaąc uogól sybolu wtoa c c c c... c c c R, oraz! oży wrost udowodć, ż zasać fucę rawdoodobństwa rozładu ugo dwuaowgo w ostac Srawdz orawośc: Chcy udowodć, ż Korzystaąc z twrdza dwuaowgo r r r x x y x y, gdz r R, y, y ay ożąc ob stroy rzz otrzyay otrzbą rówość. Własość Rozład uy dwuaowy st suą zalżych rozładów gotryczych o ty say aratrz. 5
Wartość oczwaa Waraca oty zwył oty ctral Wsółczy asytr Kurtoza Fuca charatrystycza E = /, D = / 6, a 6 6 7 t, t Własość Dla rozładu ugo dwuaowgo zachodz zalżość rzyład Oblczyy wartość oczwaą rozładu dwuaowgo. Rozład uy dwuaowy st suą zalżych rozładów gotryczych o ty say aratrz zat E E E Aalogcz oblczyy waracę rozładu ugo dwuaowgo orzystay z zalżośc. D D D Rozwąza roblu: rawdoodobństwo sucsu wyos /6, chcy uzysać dwa sucsy doro w szósty rzuc. 5 5 5 Zat 5,6698 5 6 6
rzyład. Zada Baacha o zaałach. w ataty do zaalaa arosów osługwał sę dwoa udła zaał do w lw sz do w raw sz, wycągaąc a chybł-trafł. o wy czas stwrdzł, ż do st ust. Ja st rawdoodobństwo, ż w drug udłu st wtdy zaał, żl oczątowo w ażdy udłu było zaał? rzyy, ż sucs st wybór lw sz, =,5. Zat - oraż orzdza + sucs. To sao stosu sę do drug sz, zat szua rawdoodobństwo wyos,5,5. gdy = 5 = to szua rawdoodobństwo wyos,86. robl. Sośród ourowaych losów wybray d. Ja st rawdoodobństwo, ż zosta wybray los o urz?. Jst to robl wyzacza rawdoodobństwa gdy losuy d lt bz rfrc, tz. wybór ażdgo ltu st ta sao rawdoodoby. robly tgo tyu odluy rozład dysrty dostay. Rozład dysrty dostay. Fuca rozładu rawdoodobństwa. c, - całowt; > = c, c +, c +,..., c + - aratry: Wartość oczwaa Waraca Odchyl stadardow oty zwył E = c + - /; D = - / D 7 - c c c 6 c 6c 6c c c,5c,5 6 5c 6c 6c cc c c c c oty ctral Wsółczy asytr a = 7
Kurtoza Fuca charatrystycza. =,8 -,/ - ct t t t Rozwąza roblu: - ur wylosowago losu. Zbór wartośc st ltowy węc ażdy los oż być wybray z rawdoodobństw,. Zat,. ytaa otrol.. Szczgóly rzyad rozładu dwuaowgo st rozład..... Szczgóly rzyad rozładu ugo dwuaowgo st rozład..... Rozład dwuaowy st sytryczy dla =..... Zbór wartośc z losow o rozładz ossoa to zbór.... 5. Fuca rawdoodobństwa rozładu gotryczgo a awęszą wartość dla =... ytaa tstow.. Rozatruy zdarz < < 5. Dla tórgo z rozładów ossoa z aratr rawdoodobństwo tgo zdarza st asz: A = B =,5 C =,5 D =,5. Fuca rawdoodobństwa z losow a ostać 5 5 5 5 =,,..., 5. Wartość oczwaa E wyos: A 5 B / C 5 D /. Rozatruy zdarz - < <. Dla tórgo z rozładów dwuaowych z aratr = rawdoodobństwo tgo zdarza st asz: A =,8 B =,85 C =,95 D =,9. Rozatruy zdarz - < <. Dla tórgo z rozładów gotryczych z aratr rawdoodobństwo tgo zdarza st asz: A =, B =,5 C =,75 D =,9 5. Wartość oczwaa rozładu dwuaowgo z aratr = wyos. Wtdy dystrybuata tgo rozładu st rów: A, B C,6 D L.Kowals..6 8