WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH

Dorota Sasiuk WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH WSTĘP... WIADOMOŚCI WSTĘPNE... 3. DEFINICJA FUNKCJI:... 3. DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA FUNKCJACH:... 3.3 ZŁOŻENIE FUNKCJI:... 3.4 FUNKCJA ODWROTNA:... 4.5 FUNKCJA ROSNĄCA:... 4.6 FUNKCJA NIEROSNĄCA:... 4.7 FUNKCJA MALEJĄCA:... 4.8 FUNKCJA NIEMALEJĄCA:... 4.9 FUNKCJA MONOTONICZNA:... 4.0 FUNKCJA STAŁA:... 5. ODWROTNOŚĆ DODATNIEJ FUNKCJI MALEJĄCEJ:... 5 3 PODSTAWOWE WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH... 6 3. SUMA FUNKCJI NIEMALEJĄCYCH... 6 3. SUMA FUNKCJI NIEROSNĄCYCH... 8 3.3 ILOCZYN DODATNICH FUNKCJI ROSNĄCYCH... 9 3.4 MNOŻENIE FUNKCJI MONOTONICZNEJ PRZEZ LICZBĘ DODATNIĄ... 0 3.5 ZŁOŻENIE FUNKCJI NIEMALEJĄCYCH... 3.6 ROSNĄCY CIĄG FUNKCJI... 3.7 KILKA INNYCH WŁASNOŚCI... 3 3.8 RÓŻNICA FUNKCJI ROSNĄCEJ I MALEJĄCEJ... 4 3.9 ILORAZ DODATNICH FUNKCJI ROSNĄCYCH... 5 4 LITERATURA... 7

Wstęp Pracując z uczniami w szkole spotykamy się z pojęciem funkcji już w gimnazjum. Na początku są to przykłady wzięte prosto z życia codziennego. Mówi się o funkcji jako o przyporządkowaniu każdemu elementowi z jednego zbioru dokładnie jednego elementu ze zbioru drugiego. Później wprowadzane jest pojęcie funkcji liniowej określonej pewnym wzorem ogólnym. Omawiając własności funkcji liniowej wprowadzamy pojęcie funkcji rosnącej, malejącej i stałej. Wspominamy, że takie funkcje są monotoniczne, jednak nie definiujemy ich. Uczniowie ustalają na podstawie tabeli, wykresu, wzoru, czy opisu słownego jaki typ monotoniczności posiada dana funkcja liniowa, gdyż nauczyciel już wcześniej podał im regułę według której należy to rozpoznawać. Uczniowie poznają parabolę i hiperbolę jako przykłady innych funkcji, ich wykresy i własności, które można z niego odczytać. Na poziomie gimnazjum nie podaje się matematycznych definicji funkcji monotonicznych. Definicje te pojawiają się w szkole średniej. Uczniowie na ich podstawie sprawdzają, czy dana funkcja jest rosnąca, malejąca, czy stała. Poznają także inne funkcje oprócz liniowych: trygonometryczne, logarytmiczne, wykładnicze, potęgowe, wielomianowe, wymierne. Badając własności danej funkcji zauważają, że nie musi być ona monotoniczna lub na przykład, że w pewnym przedziale jest rosnąca, a w innym malejąca... Praca ta zawiera pewne wybrane własności funkcji monotonicznych, które można pokazać uczniom zarówno w szkole średniej, jak też w gimnazjum. Są one przedstawione jak twierdzenia. Każda własność jest udowodniona oraz poparta przykładem. Temat ten nie jest objęty programem nauczania, ale dla ucznia zainteresowanego matematyką na pewno będzie ciekawy. Na niższym etapie edukacyjnym nie trzeba dowodzić podanych własności. Można je zilustrować na wykresie dobierając takie typy funkcji, które uczniowie w gimnazjum już znają. Uczniowie, których wiedza matematyczna jest już bardziej zaawansowana sami będą potrafili sprawdzić poprawność danej własności oraz podać przykłady takich funkcji, które daną własność obrazują.

Wiadomości wstępne W rozdziale tym wprowadzę kilka ogólnych pojęć dotyczących funkcji o wartościach liczbowych, które będą wykorzystane w dalszej części pracy.. Definicja funkcji: Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y spełniający warunki: ( x, y) f x X y Y x X y Y y Y (( x, y ) f ( x y ) f y = y ), nazywamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y ( f X Y ) f jest funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y. :. Zapis f : X Y oznacza, że. Działania arytmetyczne na funkcjach: Jeśli f : E R i g E R :, gdzie E jest dowolnym zbiorem, to przez g f +, f g, a f (gdzie f a R jest liczbą), f g, g oznaczamy funkcje określone wzorami: ( f g)( x) = f ( x) + g( x) +, ( f g)( x) = f ( x) g( x) ( a f )( x) = a f ( x), ( f g)( x) = f ( x) g( x), f g ( x) f ( x) g( x) = i nazywamy je odpowiednio sumą (lub różnicą), iloczynem funkcji przez liczbę, iloczynem funkcji oraz ich ilorazem (w przypadku ilorazu zakładamy oczywiście, że g ( x) 0 dla każdego x )..3 Złożenie funkcji: Jeżeli dane są funkcje f : X Y i g Y Z :, to istnieje funkcja h : X Z określona wzorem: h ( x) ( g f )( x) = g( f ( x)) = o zwana złożeniem funkcji f z funkcją g. 3

.4 Funkcja odwrotna: Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa [ ] x x f ( x) f ( x ) x X x X i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, to funkcję f : Y X określoną następująco: dla dowolnego y y wartością f ( ) jest jedyny element x taki, że f ( x) = y, nazywamy odwrotną do funkcji f..5 Funkcja rosnąca: Niech E R. Funkcję f : E R nazywamy rosnącą (w zbiorze E swojej dziedzinie), jeśli: ( x < x f ( x ) < f ( x )). x E x E.6 Funkcja nierosnąca: x E x E Niech E R. Funkcję f : E R nazywamy nierosnącą (w zbiorze E) jeśli: ( x < x f ( x ) f ( x ))..7 Funkcja malejąca: x E x E Niech E R. Funkcję f : E R nazywamy malejącą (w zbiorze E) jeśli: ( x < x f ( x ) > f ( x ))..8 Funkcja niemalejąca: x E x E Niech E R. Funkcję f : E R nazywamy niemalejącą (w zbiorze E) jeśli: ( x < x f ( x ) f ( x ))..9 Funkcja monotoniczna: Bezpośrednio z czterech poprzednich definicji wynika, że jeśli funkcja jest rosnąca to jest niemalejąca, a jeśli jest malejąca to jest nierosnąca. 4

Funkcję, która jest nierosnąca lub niemalejąca nazywa się monotoniczną..0 Funkcja stała: Funkcja f : X Y jest funkcją stałą jeżeli: f ( x) = c. c Y x X Jedynie funkcja niemalejąca i nierosnąca jednocześnie jest funkcją stałą.. Odwrotność dodatniej funkcji malejącej: Niech funkcja f ( x) będzie dodatnią funkcją malejącą. Wówczas odwrotność dodatniej funkcji malejącej f ( x) jest dodatnią funkcją rosnącą. 5

3 Podstawowe własności funkcji monotonicznych Zmiana wartości funkcji w zależności od zmiany wartości argumentu widoczna jest we wzorze określającym tę funkcję. Elementarnymi rachunkami można ze wzoru dość łatwo zorientować się co do monotoniczności funkcji, a więc czy funkcja rośnie lub czy maleje, a gdy mamy jej wykres, to potrafimy jeszcze ocenić czy rośnie lub maleje szybko, czy też powoli. Wniosek z twierdzenia Lagrange`a pozwala algebraicznie sprawdzić monotoniczność danej funkcji: Twierdzenie: Jeśli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a, ma pochodną dodatnią (ujemną) w całym przedziale (a,, to jest w tym przedziale rosnąca (malejąca). Dowód: (dla funkcji malejącej dowód jest analogiczny) Niech f : ( a, R Przypuśćmy, że f nie jest funkcją rosnącą, czyli f ( x) > 0 dla ( a, Wówczas istnieją liczby ( a, ) Funkcja (, x ) f : ( x, x ) R x takie, że: x b i ( a, x. x takie, że x x f x ) f ( ) < ( x. spełnia założenia twierdzenia Lagrange`a, czyli istnieje ξ w przedziale f ( x ) ( ) ( ) f x f ξ = 0, co jest sprzeczne z założeniem. x x W dalszej części pracy przytoczę kilka ciekawych własności funkcji monotonicznych. Będą one poparte dowodami i przykładami. 3. Suma funkcji niemalejących Suma dwóch funkcji niemalejących jest funkcją niemalejącą. Dowód Niech funkcje f :( a, R oraz g ( a, R : będą funkcjami niemalejącymi. 6

Dowiedziemy, że ( f + g) jest też funkcją niemalejącą. Niech x i x będą dowolnymi elementami przedziału (a,. Wtedy ( x ) = f ( x ) + g( x ) f ( x ) + g( x ) f ( x ) + g( x ) = ( f g)( ). ( f + g) + x Z dowolności wyboru punktów x i x wynika, że )( x ) ( f + g)( x )). ( x < x ( f + g x ( a, x ( a, Oznacza to, że funkcja f + g jest niemalejąca. Przykład Weźmy dwie funkcje liniowe rosnące: f ( x) = x oraz ( x) = x g. Funkcja ( + g)( x) = 3x f jest też funkcją rosnącą. Sporządźmy wykresy tych funkcji: Suma funkcji rosnących 8 6 4 0-3 - - - 0 3-4 -6-8 -0 f ( x) = x g ( x) = x ( f + g)( x) = 3x 7

3. Suma funkcji nierosnących Suma dwóch funkcji nierosnących jest funkcją nierosnącą. Dowód Analogiczny do poprzedniego. Przykład Weźmy dwie funkcje malejące: f ( x) = x 6x + 8, gdzie f ( 0,3) R g ( x) = x +, gdzie g :( 0,3) R Funkcja ( + g)( x) = x 7x + 0 : oraz f też jest funkcją malejącą. Sporządźmy wykresy tych funkcji: Suma funkcji malejących 9 7 5 3-0 0,5,5,5 3-3 f ( x) = x 6x + 8 g ( x) = x + ( f + g)( x) = x 7x + 0 8

3.3 Iloczyn dodatnich funkcji rosnących Iloczyn dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą, ale tylko wtedy, gdy obie są dodatnie. Dowód + + Niech funkcje f : ( a, R oraz g ( a, R Dowiedziemy, że ( f g) jest też funkcją rosnącą. : będą funkcjami rosnącymi. Niech x i x będą dowolnymi elementami przedziału (a,. Wtedy ( x ) = f ( x ) g( x ) < f ( x ) g( x ) < f ( x ) g( x ) = ( f g)( ). ( f g) x Z dowolności wyboru punktów x i x wynika, że )( x ) < ( f g)( x )). ( x < x ( f g x ( a, x ( a, Oznacza to, że funkcja f g jest rosnąca. Przykład Weźmy dwie funkcje rosnące. + + Niech f ( x) = x i f : ( 0, ) R oraz g( x) = x i g ( 0, ) R + Wówczas: ( f g)( x) = x i f g ( 0, ) R :. : jest też funkcją rosnącą. Iloczyn funkcji rosnących 8 7 6 5 4 3 0 0 0,5,5 f ( x) = x g( x) = x ( f g)( x) = x 9

0 5 0 5 0-4 -3 - - -5 0 3 4-0 -5-0 f(x)=/x g(x)=3/x 0

3.5 Złożenie funkcji niemalejących Złożenie dwóch funkcji rosnących (niemalejących) jest funkcją rosnącą (niemalejącą). Dowód Niech funkcje f : ( a, ( c, d ) oraz g ( c, d ) R : będą funkcjami rosnącymi (niemalejącymi). Dowiedziemy, że g o f : ( a, b ) R jest też funkcją rosnącą (niemalejącą). Niech x, x będą dowolnymi elementami przedziału (a,. Wtedy: ( x ) f ( ) f < z uwagi na to, że funkcja f jest rosnąca. x Ponieważ funkcja g też jest rosnąca, zatem: ( f ( x )) g( f ( )) g < czyli x )( x ) ( g o f )( ). ( g o f < x Przykład f, gdzie : (,5 ) ( 0,6) Niech ( x) = x + g ( x) = x, gdzie g ( 0,6) R f oraz :. Wówczas ( g o f )( x) = ( x +) i g f : (, 5) R o też jest funkcją rosnącą. Złożenie funkcji rosnących 40 30 0 0 0 - -0 0 3 4 5 f ( x) = x + g ( x) = ( g o f )( x) = ( x +) x

3.6 Rosnący ciąg funkcji Jeśli ( f n ) jest ciągiem funkcji rosnących i f n f, to funkcja f jest niemalejąca. Dowód Niech x < x. Ciąg ( f n ) jest ciągiem funkcji rosnących czyli prawdziwa jest nierówność: f ( x ) fn ( x ) Ale f n ( x ) f ( ) i f n ( x ) f ( ). x x Więc f ( x ) f ( ), czyli f jest funkcją niemalejącą. x n <. Przykład Weźmy ciąg funkcji określonych wzorem ( x) Niech : ( 0,) ( 0,) f. n 00 n n f n = x +, gdzie 0 < n < 00. 00 00 Wówczas f n f, gdzie f(x)= jest funkcją stałą czyli także niemalejącą. Ciąg funkcji rosnących 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8

3.7 Kilka innych własności 3.7. Jeżeli funkcja f jest funkcją rosnącą, a > 0, b R, to funkcja g = af + b też jest rosnąca. Dowód Niech funkcja f ( a, R : będzie funkcją rosnącą. Wówczas dla x > x ( x ) f ( x ) > 0 f. Należy pokazać, że ( x ) g( x ) 0 g >. Niech g ( x ) = a f ( x) + b i g ( x ) = a f ( x ) + b Wówczas ( x ) g( x ) = a f ( x ) + b a f ( x ) b = a [ f ( x ) f ( x )] 0. g >. Przykład Niech f ( x) = x + jest funkcją rosnącą, = 3 a, b = 7. Wówczas g( x) = 3x jest również funkcją rosnącą. Sporządźmy wykresy tych funkcji: 5 9 6 3 0-7 -5-3 --3 3 5 7-6 -9 - -5 f ( x) = x + g ( x) = 3x Podobnie można zapisać, że: 3

3.7. Jeżeli funkcja f jest funkcją rosnącą, a < 0, b R, to funkcja g = af + b jest malejąca. 3.7.3 Jeżeli funkcja f jest funkcją malejącą, a > 0, b R, to funkcja g = af + b też jest malejąca. 3.7.4 Jeżeli funkcja f jest funkcją malejącą, a < 0, b R, to funkcja g = af + b jest rosnąca. 3.7.5 Niech f będzie funkcją f : R R, a b. Można wykazać, że jeżeli f ( a) = b i f () b = a, to f nie jest funkcją rosnącą. 3.7.6 Można wykazać, że jeżeli f jest rosnąca na przedziale A i f jest rosnąca na przedziale B oraz A B 0, to f jest rosnąca na przedziale A B. 3.8 Różnica funkcji rosnącej i malejącej Jeżeli funkcja f : R R jest funkcją rosnącą, g R R określona wzorem h( x) = f ( x) g( x) jest funkcją rosnącą. : jest funkcją malejącą, to funkcja h Dowód Niech funkcja f : R R będzie funkcją rosnącą oraz funkcja g R R : będzie funkcją malejącą. Wówczas dla x > x f ( x ) f ( x ) > 0 oraz ( x ) g( x ) < 0 Należy pokazać, że jeśli funkcja h określona jest wzorem h( x) = f ( x) g( x), to ( x ) h( x ) 0 g. h >. Mamy: h( x ) h( x ) = f ( x ) g( x ) [ f ( x ) g( x )] = f ( x ) g( x ) f ( x ) + g( x ) = f ( x ) f ( x ) ( g( x ) g( x )) 0 > 4

Przykład Niech f ( x) = x będzie funkcją rosnącą, g ( x) = x + - funkcją malejącą. Wówczas h ( x) = 3x jest funkcją rosnącą. Różnica funkcji rosnącej i malejącej 0 8 6 4 0-3,5-3 -,5 - -,5 - -0,5-0 0,5,5,5 3 3,5-4 -6-8 -0 ( x) = x g ( x) = x + h ( x) = 3x f 3.9 Iloraz dodatnich funkcji rosnących Iloraz dodatniej funkcji rosnącej i dodatniej funkcji malejącej jest funkcją rosnącą. Dowód Niech funkcja f : ( a, R + będzie dodatnią funkcją rosnącą oraz funkcja g : ( a, R + będzie dodatnią funkcją malejącą. Wówczas g jest dodatnią funkcją rosnącą. Niech x będzie dowolnym elementem przedziału (a,. f Funkcja ( ) ( x) h x = = f ( x) jest iloczynem dwóch funkcji rosnących dodatnich. Czyli g( x) g( x) funkcja h ( x) jest funkcją rosnącą, gdyż jak to zostało pokazane wcześniej, iloczyn dwóch funkcji rosnących dodatnich jest zawsze funkcją rosnącą. 5

Przykład Niech f ( x ) = x + i f : R + R + będzie dodatnią funkcją rosnącą. 4 Niech g( x) g : R + R będzie dodatnią funkcją malejącą. = i + x f ( x) x + 3 h x = = x + x g( x) 4 4 x Wówczas ( ) = dla x > 0 jest funkcją rosnącą. Iloraz dodatniej funkcji rosnącej i dodatniej funkcji malejącej 0 5 0 5 0 0 0,5,5,5 3 3,5 4 f ( x ) = x + g( x) = h( x) 4 x = f g ( x) ( x) = x 3 + 4 x Z pewnością nie są to wszystkie własności funkcji monotonicznych. Przedstawione zostały tutaj przede wszystkim te, które zachowują monotoniczność. Na ich podstawie można tworzyć swoje prawidłowości i sprawdzać, czy są one prawdziwe. Z wszystkich powyżej przytoczonych przykładów wynika jedna ważna własność: jeżeli f jest funkcją rosnącą (malejącą), to f jest funkcją różnowartościową. Ale z faktu, że f jest funkcją różnowartościową nie wynika, że jest funkcją rosnącą lub funkcją malejącą. Np. f ( x) x dla x 0 lub = x dla 0 < x < x 6

4 Literatura Birkholc Andrzej - Analiza matematyczna dla nauczycieli, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 977, Bryński Maciej, Dróbka Norbert - Matematyka podręcznik dla klasy pierwszej liceum i technikum, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 998, Cewe Alicja, Nahorska Halina, Pancer Irena Tablice matematyczne, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 999, Dobrowolska Małgorzata Matematyka 3 podręcznik dla klasy trzeciej gimnazjum, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 00, Fudali Stanisław - Analiza matematyczna, wybrane podstawowe zagadnienia, Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 974, Grabowski Mirosław Ćwiczenia z analizy matematycznej dla nauczycieli, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 980, Stachowski Edward, Szurek Michał I ty zostaniesz Euklidesem zbiór zadań nie tylko dla asa do klasy pierwszej szkół średnich, Oficyna Wydawniczo Poligraficzna Adam, Warszawa 7