Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechnika Warszawska 1
Założenia wstępne Pod hasłem podstawy robotyki może kryć się szeroki wachlarz zagadnień związanych z robotami. Jednakże opracowując przedmiot skupiono się przede wszystkim na problematyce związanej z mechaniką manipulatorów. Inne zagadnienia, dotyczące m.in. napędów, sterowania, programowania oraz konstruowania podzespołów robotów, są bowiem omawiane na innych przedmiotach. Studenci uczęszczający na przedmiot są zaznajomieni z odpowiednimi działami matematyki i z podstawami mechaniki. Jednakże wiadomości z mechaniki wymagają uzupełnienia w zakresie dotyczącym przestrzennego ruchu członu i układu członów, a także macierzowego zapisu równań mechaniki. Zagadnieniom tym poświęcono pierwszą część wykładu. Wykład jest podzielony na trzy części. Pierwsza dotyczy matematycznego opisu ruchu członów w przestrzeni, druga poświęcona jest kinematyce, a trzecia dynamice manipulatorów. W zapisie wzorów konsekwentnie stosowana będzie notacja macierzowa, dzięki czemu wykonywane obliczenia będzie można łatwo oprogramować. W treść wykładu wplecione będą liczne przykłady obliczeniowe, ilustrujące omawiane zagadnienia (nie są one jednak sygnalizowane w zamieszczonym poniżej konspekcie). W trakcie prac nad preskryptem zawartość merytoryczna oraz układ treści mogą podlegać modyfikacjom. Konspekt wykładu 1. Ruch członów w przestrzeni 1.1. Algebraiczna reprezentacja wektorów Geometryczna i algebraiczna reprezentacja wektorów, działania na wektorach (dodawanie, mnożenie przez skalar, iloczyn skalarny i wektorowy). Pokazanie analogii pomiędzy działaniami na wektorach w obu reprezentacjach. 1.2. Zapis wektora w różnych układach odniesienia Wyprowadzenie zależności pomiędzy współrzędnymi wektora zapisanego w różnych układach odniesienia. Wprowadzenie pojęcia kosinusów kierunkowych i definicja macierzy kosinusów kierunkowych. 1.3. Macierz kosinusów kierunkowych 1.3.1. Własności macierzy kosinusów kierunkowych Macierz kosinusów kierunkowych jako złożenie trzech wersorów osi układu odniesienia. Ortogonalność macierzy kosinusów i jej konsekwencje. 1.3.2. Macierze kosinusów dla elementarnych obrotów Wyprowadzenie wzorów opisujących macierze kosinusów dla elementarnych obrotów (obrotów wokół osi układu odniesienia). Wykazanie, że składanie obrotów elementarnych nie jest operacją przemienną. 1.3.3. Kąty Eulera i inne układy kątów Kąty Eulera wyprowadzenie wzorów pozwalających na obliczenie macierzy kosinusów dla zadanych kątów oraz wzorów odwrotnych. Omówienie 2
osobliwości zapisu orientacji w kątach Eulera. Kąty Bryanta i inne układy kątów. Obroty względem osi ruchomych i osi stałych. 1.3.4. Parametry Eulera Obroty wokół dowolnej osi. Parametry Eulera i macierz kosinusów wyrażona w parametrach Eulera wyprowadzenie wzorów. Wyprowadzenie wzorów odwrotnych. Dyskusja braku osobliwości opisu orientacji w parametrach Eulera. 1.4. Prędkość i przyspieszenie kątowe; pochodne macierzy rotacji 1.4.1. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe Związek pomiędzy pochodną macierzy kosinusów kierunkowych a prędkością kątową równania Poissona. Składanie prędkości kątowych. Obliczanie przyspieszenia kątowego. 1.4.2. Prędkość i przyspieszenie kątowe w funkcji kątów Eulera Wyprowadzenie zależności pomiędzy wektorem prędkości kątowej a pochodnymi parametrów Eulera. Wyprowadzenie związków dla przyspieszeń. 1.4.3. Pochodne macierzy elementarnych obrotów Różniczkowanie macierzy kosinusów dla elementarnych obrotów. Zastępowane operacji różniczkowania mnożeniem przez stałą macierz i skalarną wartość prędkości. 1.5. Ruch złożony członu 1.5.1. Położenie i orientacja członu Obliczanie współrzędnych punktu i orientacji członu. Transformacje współrzędnych pomiędzy układami odniesienia. Porównanie wzorów wykorzystujących zapis macierzowy ze wzorami w reprezentacji geometrycznej wektorów. 1.5.2. Prędkość liniowa punktu i kątowa członu Obliczanie prędkości liniowej punktu i kątowej członu wyprowadzenie wzorów w zapisie macierzowym i porównanie ze wzorami w reprezentacji geometrycznej. 1.5.3. Przyspieszenie liniowe punktu i kątowe członu Obliczanie przyspieszenia liniowego punktu i kątowego członu wyprowadzenie wzorów w zapisie macierzowym i porównanie ze wzorami w reprezentacji geometrycznej. 1.5.4. Obliczenia rekurencyjne Rekurencyjne obliczanie położeń, prędkości i przyspieszeń liniowych punktów oraz kątowych członów w otwartym łańcuchu kinematycznym. 1.6. Transformacje jednorodne 1.6.1. Zapis wzorów we współrzędnych jednorodnych Jednorodny zapis wzorów. Budowa macierzy transformacji i interpretacja jej elementów. Wyznaczanie macierzy odwrotnej. Zalety i wady zapisu jednorodnego. 3
1.6.2. Parametry Denavita-Hartenberga Parametry Denavita-Hartenberga definicja, reguła wprowadzania lokalnych układów odniesienia. Macierz transformacji jednorodnych wyrażona w parametrach D-H. Różniczkowanie macierzy transformacji, wyznaczanie prędkości i przyspieszeń. 2. Kinematyka manipulatorów 2.1. Pojęcia podstawowe Człon para kinematyczna, łańcuch kinematyczny (otwarty i zamknięty), stopnie swobody, manipulator, przestrzeń robocza, manipulator redundantny. Struktura manipulatory szeregowe i równoległe. Współrzędne wewnętrzne (konfiguracyjne), zewnętrzne (kartezjańskie) i napędowe. 2.2. Zadania kinematyki 2.2.1. Uwagi wstępne Definicja prostego i odwrotnego zadania kinematyki, omówienie ich praktycznego znaczenia. Zalety i wady analitycznego i numerycznego rozwiązywania zadań kinematyki. 2.2.2. Zadanie proste kinematyki dla manipulatora szeregowego Algorytm rozwiązywania zadania prostego dla manipulatorów szeregowych. Jednoznaczność rozwiązania. Niemacierzowy zapis wzorów. 2.2.3. Zadanie odwrotne kinematyki dla manipulatora szeregowego Sformułowanie zadania odwrotnego, wybór zadawanych parametrów kinematycznych i dodatkowych warunków (dla robotów redundantnych). Dyskusja braku rozwiązań lub występowania rozwiązań wielokrotnych. Wybór konfiguracji manipulatora. Brak gwarancji istnienia rozwiązania analitycznego. Dobór metody rozwiązywania zadania (analitycznej lub numerycznej). 2.2.4. Zadania kinematyki dla manipulatorów równoległych Typowe łańcuchy napędowe manipulatorów równoległych. Zadanie odwrotne kinematyki dyskusja istnienia rozwiązania analitycznego i występowania wielokrotnych rozwiązań. Zadanie proste kinematyki częsty brak rozwiązań analitycznych, wielość rozwiązań, nieistnienie rozwiązań. 2.2.5. Rozwiązywanie zadań kinematyki metodami numerycznymi Przypomnienie wiadomości o metodach numerycznego rozwiązywania układów nieliniowych równań algebraicznych. Omówienie zagadnienia zbieżności obliczeń do poszukiwanego rozwiązania (konfiguracji manipulatora) i doboru przybliżenia startowego. Zalety i wady stosowania metod numerycznych. 2.3. Zadania kinematyki o prędkości i przyspieszeniu 2.3.1. Jakobian manipulatora Wykazanie istnienia liniowej zależności pomiędzy prędkością liniową i kątową końcówki manipulatora a prędkościami złączowymi. Definicja jakobianu manipulatora. Analiza jakobianu i informacji o właściwościach manipulatora zawartych w jakobianie. Konfiguracje osobliwe i ich geometryczna interpretacja. 4
Wzory na kolumny jakobianu odpowiadające typowym parom kinematycznym w manipulatorze szeregowym. Jakobian manipulatora równoległego i wzór na wiersze jakobianu odpowiadające typowym łańcuchom napędowym. 2.3.2. Zadanie kinematyki o prędkości Sformułowanie zadania prostego i odwrotnego o prędkości. Wykorzystanie jakobianu manipulatora w rozwiązywaniu zadań o prędkości. Dyskusja istnienia rozwiązania. Możliwość gwałtownego wzrostu prędkości w okolicach konfiguracji osobliwej. 2.3.3. Zadanie kinematyki o przyspieszeniu Sformułowanie zadania prostego i odwrotnego o przyspieszeniu. Wyprowadzenie niezbędnych wzorów. Dyskusja istnienia rozwiązania. 2.4. Planowanie trajektorii Ruch liniowy i quasiliniowy. Planowanie ruchu końcówki manipulatora wzdłuż zadanej trajektorii. Kształtowanie profilu prędkości. 3. Dynamika manipulatorów 3.1. Uwagi wstępne Sformułowanie zadania prostego i odwrotnego dynamiki. Omówienie kolejności prezentowania zagadnień. 3.2. Równowaga statyczna członu sztywnego i manipulatora 3.2.1. Równowaga statyczna członu. Oddziaływania w parach kinematycznych Wypadkowa siła i moment. Warunki równowagi statycznej członu. Obliczanie reakcji i sił napędowych działających w parach kinematycznych. 3.2.2. Równowaga statyczna manipulatora Warunki równowagi manipulatora. Zasada mocy chwilowych i jej związek z jakobianem manipulatora. Siły reakcji w pobliżu konfiguracji osobliwej. 3.3. Dynamika członu sztywnego 3.3.1. Rozkład masy członu Momenty statyczne i środek masy. Macierz bezwładności. Uogólnienie twierdzenia Steinera. 3.3.2. Pęd i energia kinetyczna członu Pęd, kręt i energia kinetyczna członu. Twierdzenie Koeniga. 3.3.3. Równania ruchu członu Równania Newtona-Eulera wyprowadzenie i omówienie. Zapis równania Eulera w ruchomym układzie odniesienia. 3.4. Zadania dynamiki Zadanie proste i odwrotne dynamiki dla manipulatorów, sformułowanie, metody rozwiązywania. 5