Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera
Równanie ruchu dla cząstki o masie m (elektron- cząstka elementarna o masie ~9.1 10-31 kg) Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa 1. Druga zasada dynamiki Newtona: pęd, operator, potencjał, energia kinetyczna, energia potencjalna 2. Równanie Schrodringera - swobodny elektron - elektron w studni potencjału: potencjał!!! Fizyczna realizacja studni (jamy) potencjału
Numeryczne metody rozwiązania równania Schrodringera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi - metody macierzowe znane również jako metody globalne - metody strzałów (metoda Numerowa) Metody wariacyjne Metody elementów skończonych Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.
Operator drugiej pochodnej w postaci numerycznej
Równanie Schrodingera z numerycznym operatorem drugiej pochodnej
Idea rozwiązania równania Schrodingera metodą strzałów (Numerowa) Warunki brzegowe: Przykładowe warunki startowe:
Postać bezwymiarowa równania Schrodringera Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.
Bezwymiarowa postać równania Schrodingera z numerycznym operatorem drugiej pochodnej Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.
Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.
Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej Algebraiczne zagadnienie własne dla dyskretnego operatora energii Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, PWN Warszawa 2002.
Kwantowanie energii elektronów nieskończona studnia potencjału (przypomnienie) 0 d Z Funkcja próbna: Z warunków brzegowych mamy:
Kwantowanie energii elektronów skończona studnia potencjału (przypomnienie) W barierze funkcja falowa zanika wykładniczo Funkcja falowa praz jej pierwsza pochodna jest ciągłą na całym obszarze Brak rozwiązania analitycznego dla tego zagadnienia Do tego zagadnienia powrócimy na laboratorium
Ruch elektronu w ciele stałym masa efektywna 1. Struktura krystalograficzna (twierdzenie Blocha) 2. Struktura pasmowa ciała stałego: metale, półprzewodniki (dielektryki?) 3. Pojęcie masy efektywnej
Plan wykładu Ogólna klasyfikacja przyrządów półprzewodnikowych: - podział przyrządów półprzewodnikowych ze względu na zasadę ich działania (zjawisko fizyczne), - zastosowanie we współczesnym życiu, - parametry przyrządów półprzewodnikowych, kryteria ich doboru oraz ich ograniczenia fizyczne. Zjawiska fizyczne w przyrządach półprzewodnikowych i ich modelowanie: - równanie Schrodingera, stany związane, - samouzgodnione rozwiązanie równania Schrodingera i Poissona, - równanie transportu. Podstawowe materiały półprzewodnikowe: - półprzewodniki grupy IV, III-V, II-VI i inne, - technologie ich otrzymywania, - domieszkowanie półprzewodników, naturalne defekty, - położenie pasm względem poziomu próżni, energia stabilizacji poziomu Fermiego.
Równanie Schrodingera ze zmienna masą efektywną M(Z) const. Dla M(Z)=const.: Dla M(Z) const. trzeba poprawnie zdefiniować operator energii kinetycznej T. Operator ten musi być hermitowski T = T, np. postaci: Dlatego i równ. Schrodringera ze zmienna masa ma postać: Zarówno funkcja falowa oraz musi być ciągła.
Wyznaczanie wybranych wartości i wektorów własnych trójdiagonalnej macierzy symetrycznej przy pomocy metody Martina-Deana Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrodingera, Rozdział 3, PWN Warszawa 2002.
Algorytm Martina-Deana dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej
Problem obliczeniowy Architektura struktury półprzewodnikowej: składy studni i barier; szerokości studni i barier; poziom domieszkowania; Parametry materiałowe: masy efektywne, potencjały hydrostatyczne, itd. Naprężenia Efekty polaryzacyjne W celu korekcji potencjału V(z): rozwiązanie równania Poisona tj. obliczenia samouzgodnione Podejście teoretyczne: model jednopasmowy, przybliżenie masy efektywnej, V(z) Obliczenie stanów własnych: (energie i funkcje falowe) Struktura energetyczna dla studni kwantowej
Program zaliczeniowy i sprawozdanie Zagadnienie do rozwiązania w programie zaliczeniowym: Zaprojektowanie studni kwantowej dla emitera światła o zadanej długości fali Przykładowe długości fali oraz ich zastosowanie: - Niebieski laser do zapisu danych w DVD - Zielony laser wykorzystywany do pointerach - Czerwony laser wykorzystywany w komputerowych myszach optycznych - Laser emitujący światło o długości fali 1.3 m do transmisji danych w II oknie światłowodowym - Laser emitujący światło o długości fali 1.55 m do transmisji danych w III oknie światłowodowym - Lasery emitujące światło w zakresie 3.0-3.5 m wykorzystywane do detekcji metanu i podobnych gazów - Diody elektroluminescencyjne o różnych barwach od czerwonej do niebieskiej