AKSYALIZACJA PRZEPŁYWÓW PIEIĘŻYCH DLA PROBLEU HAROOGRAOWAIA PROJEKTU W WARUKACH IEPEWOŚCI arcin KLIEK, Piotr ŁEBKOWSKI Streszczenie: W artykule analizowane jest zagadnienie aksyalizacji przepływów pieniężnych dla projektu realizowanego w warunkach niepewności przy wykorzystaniu ograniczonych zasobów RCPSP (ang. Resource-Constrained Project Scheduling Proble). Opisane są wybrane podejścia do planowania prac projektowych w warunkach niepewności i odele optyalizacji przepływów pieniężnych dla RCPSP. Zaproponowany jest odel etapowych rozliczeń zadań projektowych (z kaieniai ilowyi): wydatki wykonawcy przypisane są do wykonywanych zadań, a wpływy są uzyskiwane po zrealizowaniu etapów projektu. Dla proponowanego odelu zaprezentowane są etody jego rozwiązania zilustrowane dla przykładowego projektu. Słowa kluczowe: haronograowanie projektu z ograniczonyi zasobai w warunkach niepewności, proaktywno-reaktywne haronograowanie, aksyalizacja przepływów pieniężnych, kaienie ilowe. Wprowadzenie Proble haronograowania projektu z ograniczonyi zasobai RCPSP jest jedny z ważnych i przydatnych w praktyce zagadnień optyalizacyjnych. W pracach badawczych stosowanych jest wiele odeli optyalizacyjnych (ich analizę ożna znaleźć w pracach przeglądowych [-2]), w których definiowane są różne funkcje celu, kategorie zasobów czy sposoby realizacji zadań itd. Przy ocenie rozwiązań RCPSP najczęściej wykorzystywane są kryteria czasowe np. inializacja czasu trwania, dotrzyanie terinów realizacji projektu lub jego etapów itp. Coraz częściej jednak przy planowaniu prac projektowych uwzględnia się kryteria ekonoiczne, które są istotne przy realizacji praktycznych przedsięwzięć. Przy haronograowaniu projektu uwzględniane są przepływy pieniężne związane z jego realizacją. W wielu badaniach stosowana jest funkcja celu tj. aksyalizacja suy zdyskontowanych przepływów pieniężnych RCPSP-DC (ang. RCPSP with Discounted Cash flows). W odelach RCPSP-DC przepływy pieniężne związane z przedsięwzięcie są dyskontowane tzn. obliczana jest ich bieżąca wartość PV (ang. et Present Value) przy przyjętej stopie dyskontowej. Dyskontowanie przepływów pieniężnych jest uzasadnione zwłaszcza dla projektów długotrwałych, dla których podczas wykonania prac występują istotne ziany wartości pieniądza. Pierwszy rozpatrywany odel aksyalizacji PV projektu to odel ax-pv [3]. Aktualnie powstaje wiele prac, w których aksyalizowana jest sua zdyskontowanych przepływów pieniężnych. Są one szerzej oówione w pracach przeglądowych [,4]. Przy wyznaczaniu wartości PV projektu uwzględniane są wszystkie przepływy pieniężne związane z przedsięwzięcie, zarówno wpływy (dodatnie przepływy pieniężne) jak i wydatki (ujene przepływy pieniężne). Przepływy ujene to np. wydatki wykonawcy
powiązane z wykonywanie zadań i z wykorzystanie zasobów, a przepływy dodatnie to z reguły wpłaty klienta na rzecz wykonawcy za zrealizowanie prac projektowych. Płatności klienta na rzecz wykonawcy ogą być wykonywane jednokrotnie po ukończeniu prac projektowych LSP (ang. Lup-Su Payent) lub wielokrotnie [-9] np.: wpłaty powiązane ze zdarzeniai tj. ukończenie etapu projektu lub zakończenie czynności odel PAC (ang. Payents at Activities Copletion ties), wpłaty realizowane w stałych odstępach czasu odel ETI (ang. Equal Tie Intervals) lub PP (ang. Progress Payents). Stosowane są różne odele haronograowania płatności PPS (ang. Payent Project Scheduling) [-]. W raach PPS ustalane są np. całkowita kwota płatności klienta za zrealizowanie projektu i sposób jej rozłożenia na transze z określenie ich liczby, wysokości i terinów wykonania itp. Poszczególne transze płatności ogą uwzględniać np. koszty realizacji zadań, stopień zaawansowania prac itp. Występują rozbieżne interesy klienta i wykonawcy dotyczące rozliczeń projektu: dla wykonawcy opłacalne są jak najwcześniejsze wpłaty klienta (wyższe PV płatności), natoiast dla klienta wskazane jest odraczanie płatności. Haronogra płatności jest optyalizowany z punktu widzenia wykonawcy [8-9], klienta [] lub szukane jest rozwiązanie satysfakcjonujące zarówno klienta jak i wykonawcę [-]. W rozliczeniach projektu iędzy kliente a wykonawcą wprowadzany jest również syste kar i nagród [2-8]. Definiowane są dokładne teriny lub okna czasowe, w których zakończenie zadań lub etapów projektu nie jest ani nagradzane ani karane. Wykonawca jest karany za przekroczenie uownych terinów ukończenia projektu lub jego etapów a nagradzany za wcześniejsze wykonanie projektu lub jego etapów. Syste kar i nagród jest tak konstruowany, aby obilizować wykonawcę do jak najszybszego realizowania czynności: korzyści z nagród powinny przekraczać koszty wykonawcy ponoszone w związku z szybszy wykonywanie prac (etapów), a kary za opóźnioną realizację prac powinny przewyższać korzyści z późniejszego realizowania czynności. Z punktu widzenia klienta, koszt nagród dla wykonawcy za szybsze wykonanie prac nie powinien być wyższy niż korzyści klienta z szybszej realizacji zadań, a kara za nieterinowość powinna przewyższać utracone korzyści klienta osiągane przy terinowej realizacji prac. Autorzy proponują etapowy syste rozliczeń (z kaieniai ilowyi) przedsięwzięcia [4-8], w który klienci ustalają z wykonawcą uowne etapy projektu i definiują dla nich teriny realizacji oraz wysokości płatności za ukończenie zadań etapowych. Przy opóźnieniach w wykonaniu prac etapowych, stosowane są kary zniejszające wysokość wpłat klienta. Zastosowanie etapowego systeu rozliczeń oże być jednak korzystne dla wykonawcy, ponieważ daje ożliwość wcześniejszego pozyskiwania środków pieniężnych za zrealizowane zadania, które ożna przeznaczyć na realizację nowych zadań, zakup ateriałów, wypłatę wynagrodzeń dla pracowników itp. Klient w proponowany systeie rozliczeń usi dokonywać wcześniejszych płatności, ale w zaian dostaje ożliwość większej kontroli nad przebiegie prac i uzyskiwania rekopensat przy opóźnieniach w realizacji przedsięwzięcia. Etapowy syste rozliczeń z określonyi kaieniai ilowyi dla projektu, oże znaleźć zastosowania w praktyce. Podczas realizacji praktycznych przedsięwzięć stosowana jest technika kaieni ilowych (koniec etapu to kaień ilowy) [9], punktów koordynacyjnych i kontrolnych, ających szczególne znaczenie ze względu na: wagę cząstkowych rezultatów projektu dla rezultatów jego następnych etapów i kroków oraz dla rezultatu końcowego (tzw. odbiór końcowy) [2]. Definiowanie kaieni
ilowych jest ważny eleente planowania projektu. Ich liczba jest zależna od specyfiki przedsięwzięcia, ale nie powinno ich być zbyt dużo aby była zachowana ich wyjątkowość [8]. Przy haronograowaniu najczęściej przyjuje się, że kaienie ilowe ają zerowy czas i koszt, nie są i przypisywane zasoby, ale są określane teriny ich wykonania oraz powiązane z nii czynności. Planowanie projektu jest wspoagane przez systey koputerowe tj. icrosoft Project, które często udostępniają ożliwość zastosowania techniki kaieni ilowych w haronograowaniu prac, która ułatwia zarządzanie przedsięwzięcie i kontrolę terinowości jego realizacji. Przy rozwiązywaniu probleów haronograowania coraz częściej uwzględnia sie praktyczne aspekty realizacji zadań, tj. planowanie prac w warunkach niepewności. Przedsięwzięcia często cechuje innowacyjność i unikalność realizowanych czynności z czy wiąże się trudność szacowania czasów trwania poszczególnych zadań. Innyi źródłai niepewności oże być np. występowanie nieprzewidywalnych zdarzeń, zakłóceń tj. awarie aszyn (czasowa niedostępność zasobów), niekorzystne warunki atosferyczne itp. Zakłócenia występujące podczas prac w rzeczywistych projektach sprawiają, że czasy realizacji czynności różnią się od tych przyjętych podczas planowania, a uszeregowania wygenerowane za poocą tradycyjnych etod haronograowania projektu odbiegają od faktycznie realizowanych haronograów. Wskazane jest uwzględnianie niepewności przy planowaniu aby np. zapobiec zniejszeniu suy przepływów pieniężnych związanych z projekte. W tej pracy analizowany jest odel RCPSP z niepewnyi, stochastycznyi czasai trwania zadań, ze zdefiniowanyi uownyi etapai przedsięwzięcia z aksyalizacją suy zdyskontowanych przepływów pieniężnych z punktu widzenia wykonawcy: z płatnościai klienta za ukończone etapy projektu, z karai za ich nieterinową realizację oraz z wydatkai ponoszonyi z tytułu realizowanych czynności. odel uwzględnia dodatkowo wpływ niepewności prac projektowych na stabilność prac projektowych opóźnione rozpoczynanie czynności generuje dla wykonawcy dodatkowe koszty (niestabilności) związane np. z koniecznością agazynowania ateriałów itp. W badaniach dla RCPSP uwzględniających kryteria ekonoiczne odel z kaieniai ilowyi w tej postaci, poza pracai autorów, nie był rozpatrywany. Etapowe rozliczanie projektu jest analizowane dla probleu z wieloa sposobai wykonywania zadań RCPSP (ang. ulti-ode RCPSP) [2, 2]. W pracy kolejno opisane są wybrane podejścia stosowane w haronograowaniu projektu w warunkach niepewności. astępnie sforułowany jest rozważany proble i opisany proponowany sposób jego rozwiązania. a końcu przedstawiony jest przykład ilustrujący zagadnienie. 2. Haronograowanie projektu w warunkach niepewności Praktyczne projekty realizowane są w warunkach niepewności. in. przy zieniających się wyaganiach klientów, przy nieprzewidywalnych zakłóceniach np. awariach aszyn oraz przy trudnych do oszacowania czasach trwania czynności itp. W związku z praktyczny zapotrzebowanie powstaje coraz więcej prac z haronograowania projektu w warunkach niepewności, których przegląd ożna znaleźć w pracach [22-26]. ajczęściej podejowane jest zagadnienie, w który zakłada się, że niepewność dotyczy czasów trwania czynności wiele innych nieprzewidywalnych zdarzeń (np. niedostępność zasobów, awarie, opóźnienia w dostawach ateriałów, niekorzystne warunki pogodowe itp.) przyczyniają się do zian czasów trwania zadań.
Analizowane są ożliwe wahania w czasach realizacji czynności, które ogą być spowodowane przez niekontrolowane czynniki, bez rozpatrywania źródeł zian tych czasów. Do opisania niepewności czasów trwania zadań stosowane są podejścia: rozyte (ang. fuzzy scheduling) oraz stochastyczne (ang. stochastic scheduling). owoczesne etody z zakresu planowania projektu tj. etoda łańcucha krytycznego CCP (ang. Critical Chain Project anageent) [27], haronograowanie proaktywne (ang. proactive scheduling) [22-26, 28-32] przy haronograowaniu przyjują estyaty agresywne czasów trwania czynności co daje ożliwość rozdysponowania, uzyskanej dzięki niejszy planowany czaso trwania zadań, rezerwy czasowej na zabezpieczenie haronograu (np. przez alokację buforów czasowych i/lub zasobowych) w iejscach najbardziej narażonych na zakłócenia i/lub w iejscach, w których koszt zakłóceń byłby wysoki. W praktycznych projektach wdrażana jest etoda łańcucha krytycznego, która koncentruje się na zabezpieczaniu terinowości realizacji całego przedsięwzięcia. Bufory czasowe, zasobowe nie są wstawiane dla poszczególnych zadań, tworzone są wspólne bufory, zabezpieczające terinowość realizacji zadań z łańcucha krytycznego, co a się przyczynić do szybkiej realizacji całego przedsięwzięcia. W pracach projektowych, poza dotrzyanie terinu wykonania przedsięwzięcia, często istotna jest stabilna realizacja planowanego haronograu. Stabilne wykonanie planowanego haronograu ułatwia koordynację wewnętrznych zasobów przedsiębiorstwa (odpowiednie przygotowanie pracowników, przezbrojenie aszyn, transfery zasobów iędzy projektai), realizację dostaw (ateriałów, podzespołów itp.), dokładnie na czas JIT (ang. Just-In-Tie) itp., co oże w znaczący sposób wpływać na efekt finansowy przedsięwzięcia [29-3]. Aby ograniczyć negatywny wpływ nieprzewidywalnych zdarzeń (skutkujących np. ziennością czasów trwania zadań) na stabilność realizacji uszeregowania stosowane jest haronograowanie proaktywne, zwane też odporny, w który opracowuje się haronogra cechujący się jak najniejszą podatnością na zakłócenia, inializujący negatywne skutki wahań czasów trwania zadań. Planowanie prac projektowych w warunkach niepewności jest etapowe: początkowo tworzony jest haronogra noinalny uwzględniający kryteria optyalizacyjne przy założeniu deterinistycznych paraetrów (np. czasów trwania czynności), który następnie jest odyfikowany w haronogra proaktywny, odporny na zienność paraetrów (np. czasów trwania czynności). Do uodparniania uszeregowania najczęściej stosowane są techniki redundancji alokacja buforów czasowych i/lub zasobowych w iejscach uszeregowania najbardziej narażonych na zakłócenia [22-26]. Analizowanych w badaniach jest wiele procedur alokacji buforów np. rozieszczających bufory w pierwszej kolejności dla czynności o największy prawdopodobieństwie zakłócenia, realizowanych przy użyciu awaryjnych aszyn, o największy koszcie niestabilności itp. Podczas alokacji wykorzystywana jest np. statystyczna wiedza o zienności czasów trwania wykryta podczas analizy ukończonych projektów. io zastosowania technik proaktywnych w trakcie realizacji haronograu pojawiają się nieprzewidywalne zakłócenia, które powodują, że planowany haronogra wyaga stałej korekty, reharonograowania, w etapie haronograowana reaktywnego (ang. reactive scheduling). Haronograowanie proaktywno-reaktywne rozważane jest z reguły dla zagadnienia zabezpieczenia terinowości realizacji całego projektu oraz probleu inializacji
ważonego kosztu niestabilności realizacji zadań [22-26, 28-32]. Liczba prac badawczych dla zagadnienia aksyalizacji przepływów pieniężnych w warunkach niepewności jest niewielka: analizowane są odele z stochastycznyi [33-3] lub rozytyi [36] czasai trwania czynności z aksyalizacją oczekiwanych wartości przepływów pieniężnych EPV (ang. Expected Present Value) wyznaczonyi dla różnych scenariuszy czasów trwania zadań. W tej pracy, podobnie jak we wcześniejszych pracach autorów [4-8], analizowany jest proble aksyalizacji przepływów pieniężnych dla przedsięwzięcia rozliczanego etapowo, ze zdefiniowanyi kosztai niestabilności rozpoczynania poszczególnych czynności. Proponowane jest podejście proaktywno-reaktywne dla probleu ze ziennyi, niepewnyi czasai trwania zadań. 3. Sforułowanie probleu Rozważany jest proble haronograowania projektu (przedsięwzięcia), w który wykonywane są, przy wykorzystaniu ograniczonych, odnawialnych zasobów tj. pracownicy, aszyny, czynności niepodzielne o jedny sposobie realizacji (ang. nonpreeptive, single ode resource-constrained project scheduling proble). Projekty przedstawiane są w reprezentacji czynność na węźle AO (ang. Activity-On-ode) w postaci acyklicznego, spójnego, prostego grafu skierowanego oznaczonego G(V, E), w który V to zbiór węzłów opisujących czynności projektowe a E to zbiór łuków przedstawiających relacje kolejnościowe iędzy czynnościai. Jako funkcja celu stosowana jest aksyalizacja zdyskontowanych przepływów pieniężnych projektu (patrz: wzory, 6) przy uwzględnieniu ograniczeń zasobowych (patrz: wzory 2, 7) i kolejnościowych (patrz: wzory 3, 8) oraz etapowego rozliczania prac przy założeniu niepewnych czasów trwania zadań [7-8]. W fazie planowania haronograu: A CFAi CF aksyalizacja F = FA + F = +, () STi T ( + ( i= = + Przy następujących ograniczeniach: R ik Ak, t : t =,..., ST, k =,..., K, (2) A + i J ( t) STi + Di ST j, ( i, j) E, (3) T = ax ( FT ), : =,..., (4) i A i CF = P C ax( T D,), : =,...,, () W fazie realizacji haronograu: A A CFAi RCF CFSi aksyalizacja RF = FA + RF + RFS = + +, (6) STi RT RSTi ( + ( + ( i= = i= + Przy następujących ograniczeniach:
R ik Ak, t : t =,..., RST A, k =,..., K, (7) + i J ( t) RT RST + RD RST, ( i, j) E, (8) i i A i i j = ax ( RFT ), : =,..., CF = P C ax( T D,), : =,...,, () CFS i = CLi ax( RSTi STi,), n : n =,..., A. () gdzie: F A składowa funkcji celu F wyznaczana na podstawie wydatków wykonawcy ponoszonych przy wykonywaniu zadań, a taką saą wartość w fazie planowania jak i realizacji haronograu, F składowa funkcji celu F wyznaczana na podstawie wpłat klienta wykonywanych za zrealizowane etapy projektu, RF składowa funkcji celu RF wyznaczana na podstawie wpłat klienta wykonywanych za zrealizowane etapy projektu, RF S składowa funkcji celu RF wyznaczana na podstawie kosztów niestabilności ponoszonych w wyniku opóźnionego rozpoczynania zadań, w fazie planowania RF S =, A liczba czynności, liczba uownych etapów (kaieni ilowych), CFA i koszty (płatności) wykonawcy związane z realizacją zadania i (wydatki z punktu widzenia wykonawcy), CF płatności klienta na rzecz wykonawcy za wykonanie -tego etapu projektu (wpływy z punktu widzenia wykonawcy), α stopa dyskontowa, dla uproszczenia przyjęto, że rzeczywista stopa dyskontowa nie różni się od przyjętej podczas planowania, ST i planowany, najbardziej prawdopodobny, czas rozpoczęcia zadania i, T planowany (w aktualny haronograie) terin realizacji -tego etapu projektu, J(t) zbiór zadań wykonywanych w okresie [t-, t], K liczba typów zasobów, R ik zapotrzebowanie zadania i na zasób typu k, A k dostępność zasobów typu k, FT i planowany (w aktualny haronograie) czas zakończenia zadania i, D i planowany, najbardziej prawdopodobny, czas trwania czynności i, D uowny terin realizacji -tego etapu projektu, A zbiór zadań realizowanych w -ty etapie o uowny terinie ich zakończenia D, P płatność klienta na rzecz wykonawcy za realizację -tego etapu projektu, C jednostkowy koszt opóźnień, związany z nieterinową realizacją -tego etapu projektu. RST i rzeczywisty (lub ustalony dla czasów trwania zadań wygenerowanych etodą onte Carlo) czas rozpoczęcia zadania i, RFT i rzeczywisty (lub ustalony dla czasów trwania zadań wygenerowanych etodą onte Carlo) czas zakończenia zadania i, RD i rzeczywisty (lub wygenerowany etodą onte Carlo) czas trwania czynności i, (9)
RT rzeczywisty (lub ustalony dla czasów trwania zadań wygenerowanych etodą onte Carlo) terin realizacji -tego etapu projektu, CL i koszt związany z jednostkowy opóźnienie rozpoczęcie zadania i, związany z dodatkowyi kosztai organizacyjnyi, z kosztai agazynowania ateriałów itp.; przyjęto, że koszt ten jest ponoszony w oencie rzeczywistego czasu rozpoczęcia czynności. W proponowanych odelach optyalizacyjnych stosowane jest etapowe rozliczanie projektu (ze zdefiniowanyi kaieniai ilowyi) iędzy kliente a wykonawcą, które oże być przydatne w rzeczywistych przedsięwzięciach. Kaienie ilowe to grupy zadań, które należy ukończyć w dany etapie rozliczeniowy przedsięwzięcia, w określony uowny terinie, którego przekroczenie przez wykonawcę prowadzi do zniejszenia transferów pieniężnych klienta za wykonanie danego etapu (naliczane są kary uowne). Wpłaty klienta na rzecz wykonawcy występują po zakończeniu etapów przedsięwzięcia, dokładnie w rzeczywisty terinie ich ukończenia. Wszystkie wydatki wykonawcy ożna powiązać z realizowanyi czynnościai w celu ich rozpoczęcia konieczne jest uruchoienie środków finansowych na zakup i transport ateriałów, wykorzystanie zasobów itp. Dla uproszczenia założono, że wydatki te są ponoszone przez wykonawcę w oencie planowanego rozpoczęcia zadań w haronograie bazowy. W etapie planowania, podczas haronograowania noinalnego, oże być stosowany odel optyalizacyjny określony wzorai -. Jako czasy trwania czynności przyjowane są oczekiwane ich wartości D i. Podczas haronograowania proaktywnego uwzględniane są niepewne, zienne czasy realizacji czynności. Generowane są scenariusze czasów trwania zadań i dla każdego z nich wyznaczana jest wartość funkcji celu RF (wzory 6-). Spośród sprawdzanych uszeregowań proaktywnych (z rozieszczonyi buforai czasowyi) wybierane jest to, dla którego średnia wartość RF dla wszystkich analizowanych scenariuszy jest najwyższa. Przy wyznaczaniu funkcji celu RF przyjęto, że nieterinowe rozpoczęcie czynności (opóźnione w porównaniu do bazowego haronograu) generuje dodatkowe obciążenia finansowe tzw. koszty niestabilności dla wykonawcy związane np. z koniecznością agazynowania ateriałów. 4. Proponowany sposób rozwiązania probleu Budowa haronograu przebiega w etapach. a początku tworzony jest haronogra noinalny, bez buforów czasowych, przy założeniu aksyalizacji funkcji celu F (patrz: wzór ) dla probleu deterinistycznego z założonyi najbardziej prawdopodobnyi czasai trwania zadań (przyjętyi estyatai) D i, bez uwzględniania niepewności. astępnie szukane jest rozwiązanie z buforai czasowyi dla zadań dobieranyi w celu aksyalizacji eksperyentalnie wyznaczanej funkcji celu RF (patrz: wzór 6) dla wygenerowanych scenariuszy czasów trwania czynności przy założeniu, że znane są ich rozkłady statystyczne. Haronogra noinalny dla RCPSP, który jest zagadnienie P-trudny [37], generowany jest przy użyciu algorytów przybliżonych tj. etaheurystyki syulowanego wyżarzania, algoryty genetyczne itp. Porównanie efektywności poszczególnych algorytów heurystycznych ożna znaleźć w pracy [38]. Rozwiązanie RCPSP w reprezentacji bezpośredniej jest z reguły wektor czasów rozpoczęcia zadań. W algorytach lokalnych poszukiwań stosowane jest najczęściej kodowanie rozwiązań w postaci listy czynności (ciąg nuerów kolejnych zadań uwzględniający relacje
kolejnościowe), dla której znane są skuteczne techniki przeszukiwania otoczenia [38]. Lista czynności dekodowana jest, przy uwzględnieniu relacji kolejnościowych i ograniczeń kolejnościowych, do reprezentacji bezpośredniej przy użyciu scheatów generowania haronograu SGS (ang. Schedule Generation Schee), do których zaliczyć ożna równoległy i szeregowy SGS [39]. Znaleziony haronograu noinalny podlega odyfikacjo podczas planowania proaktywnego, w który uwzględniana jest niepewność np. wiedza o zienności czasów trwania zadań [4]. W tej pracy cele haronograowania proaktywnego jest aksyalizacja przewidywanych wartości skuulowanych przepływów pieniężnych ierzona funkcją celu RF. Szukana jest alokacja buforów czasowych dla zadań. W fazie proaktywnej ogą być stosowane dwa etapy optyalizacyjne: ) alokacja zasobów do zadań [4-42], która ułatwia przeprowadzenie odpornej alokacji buforów i uożliwia wykorzystanie prostej procedury reharonograowania z przesunięciai prawostronnyi (ang. right-shift rescheduling) [7-8, 23], 2) alokacja buforów czasowych. Rozwiązanie analizowanego probleu z wykorzystanie odpornej alokacji zasobów jest rozważane we wcześniejszych pracach autorów [7-8]. W tej pracy proponowana jest procedura alokacji buforów stosowana dla uszeregowania noinalnego bez ustalonego przydziału zasobów do czynności. Opis ożliwych do zastosowania procedur alokacji buforów przedstawiony jest w pracach [22-24, 26]. Autorzy do rozwiązania zagadnienia proponują procedurę, która wstawia bufory jednostkowe aż do oentu braku poprawy jakości rozwiązań ierzonych średnią wartością funkcji celu RF wyznaczoną dla wygenerowanych scenariuszy czasów trwania zadań. W kolejnych iteracjach sprawdzane jest wstawienie jednostkowego buforu czasowego dla zadań analizowanych w kolejności alejących czasów ich rozpoczęcia w haronograie noinalny. Przy generowaniu rozwiązania z buforai czasowyi stosowane są procedury haronograowania reaktywnego. Przy tworzeniu haronograu proaktywnego zakłada się, że aktualnie buforowane zadanie trwa o jednostkę dłużej a pozostałe ają niezienione czasy trwania w stosunku do planu. Przy opracowywaniu procedur haronograowania reaktywnego, reharonograowania przyjęto, że rozpoczynanie czynności przed planowany terine nie jest ożliwe (ang. railway scheduling), ze względu na konieczność np. dostarczenia ateriałów niezbędnych do ich wykonania, dostarczanych dokładnie na czas JIT [43]. Algoryty haronograowania reaktywnego działają następująco: w kolejnych oentach t z zakresu <... RFT n+ > (od początku do zakończenia przedsięwzięcia), podejowana jest reakcja na zakłócenia występujące w chwili t, w celu inializacji zian w porównaniu do planowanego haronograu (np. inializacji kosztów niestabilnej realizacji czynności). Dla analizowanego w tej pracy probleu decyzje o reharonograowaniu wykonywane są przy wykorzystaniu dostępnej wiedzy w chwili t, opracowywany jest taki haronogra projektowany, aby zaksyalizować oczekiwaną wartość funkcji celu RF. Dąży się do planowego rozpoczynania każdego zadania. Przy braku zakłóceń w chwili t realizowany jest haronogra projektowany ustalony w chwili t-. Przy braku zakłóceń haronogra zrealizowany jest identyczny jak początkowy. Do generowania haronograu projektowanego wykorzystywane są zodyfikowane procedury dekodujące: odporny szeregowy SGS (ang. robust serial SGS) lub odporny równoległy SGS (ang. robust parallel SGS) [44], których działanie jest zbliżone jak procedur dla probleu deterinistycznego, przy wykorzystaniu dodatkowych inforacji
o założony haronograie proaktywny nie rozpoczyna się czynności przed ich planowany czase rozpoczęcia. Procedury reaktywne korzystają z SGS do ustalania haronograu projektowanego w kolejnych chwilach t, przy uwzględnieniu wszystkich dostępnych inforacji w t, dla zadań jeszcze nie rozpoczętych rozpatrywanych w kolejności ustalonej np. na podstawie przyjętej reguły priorytetowej takiej jak: EBST (ang. Earliest Baseline activity Starting Tie) czynności w kolejności niealejących ich czasów rozpoczęcia w haronograie proaktywny lub EPST (ang. Earliest Projected Starting Ties) czynności w kolejności niealejących ich czasów rozpoczęcia w haronograie projektowany ustalony w chwili t-. W badaniach dla probleu inializacji ważonego kosztu niestabilności rozważane są algoryty lokalnych poszukiwań i procedury próbkowania rozwiązań, które w każdy punkcie decyzyjny próbkują np. różne reguły priorytetowe i procedury SGS w celu znalezienia haronograu projektowanego z inialny ważony koszte niestabilności [22-23, 44]. Jako procedury reharonograowania stosowane są następujące etody naprawy rozwiązań : przy ustalonej w fazie planowania, alokacji zasobów do zadań: reharonograowanie z przesuwanie prawostronny zadań na wykresie Gantt a tych, które nie ogą być przetwarzane z powodu np. awarii aszyny lub dłuższego czasu realizacji czynności poprzedzających, przy braku alokacji zasobów do zadań: reharonograowanie częściowe (ang. partial rescheduling) odyfikacja haronograu tylko dla tych czynności, które są bezpośrednio lub pośrednio zakłócone przy założeniu jak najniejszych zian w szeregowaniu lub reharonograowanie całkowite (ang. coplete regeneration) czynności nie rozpoczęte, są poddawane procesowi ponownego haronograowania przy przyjętych deterinistycznych kryteriach oceny. Przegląd ożliwych do zastosowania procedur reharonograowania i podejść reaktywnych ożna znaleźć w pracach [22-23, 44]. W tej pracy proponowane jest zastosowanie odpornych procedur SGS i reharonograowania na podstawie reguł priorytetowych, dedykowanych dla rozważanego probleu.. Przykład ilustracyjny Przykładowy projekt przedstawiony jest jako sieć czynności na węźle na rysunku. Składa się z 8 czynności (węzły i 9 to czynności pozorne, przedstawiające wierzchołek początkowy i końcowy grafu) realizowanych przy wykorzystaniu jednego typu zasobu o dostępności równej. Dla każdego zadania i określone są najbardziej prawdopodobne czasy ich trwania D i, zapotrzebowanie na zasoby R i oraz przepływy finansowe z ni związane. W projekcie zdefiniowane są trzy etapy projektu z uownyi terinai realizacji D = 4, D = 8, D = i z ustalonyi uownyi rozliczeniai finansowyi. W obliczeniach przyjęto stopę dyskontowej α =..
Rys.. Sieć czynności AO dla przykładowego przedsięwzięcia W celu rozwiązania probleu na początku szukany jest haronogra noinalny S, bez buforów czasowych, o najwyższej wartości funkcji celu F (patrz: wzór ). Przykładowe takie uszeregowanie z F = 8.23 przedstawione jest na rysunku 2a. Dla haronograu S wstawiane są bufory czasowe w celu zwiększenia oczekiwanej wartości funkcji celu RF (patrz: wzór 6) dla różnych scenariuszy czasów trwania czynności generowanych ze skuulowanego rozkładu β, który jest używany do opisywania zienności czasów realizacji zadań zwłaszcza wykonywanych przez ludzi [22-23]. Dla każdego zadania i (i =,.., ) czas jego realizacji w syulacji losowany jest ze zdyskretyzowanego, prawoskośnego rozkładu β o paraetrach 2 i, ze średnią równą planowaneu czasowi realizacji D i przy założeniu wartości inialnej.7 D i i aksyalnej.62 D i. Rys. 2. Haronogray: 2a) noinalny, 2b) proaktywny. Losujey scenariuszy czasów trwania zadań. Dla tych scenariuszy średnia wartość RF wyliczona dla haronograu S z rys. 2a bez buforów czasowych wynosi 4.37. W wyniku iteracyjnego wstawiania jednostkowych buforów czasowych i ustalania wpływu tych operacji na jakość haronograu proaktywnego (średnią wartość funkcji celu RF ustaloną dla wygenerowanych scenariuszy) ustalono, że dla tych scenariuszy korzystne jest wstawienie jednostkowego bufora czasowego przed zadanie 3 (w wyniku
tej operacji w prawo o jednostkę przesunięte są również zadania i 7) i następnie przed zadanie. ajlepsze rozwiązanie proaktywne jest przedstawione na rysunku 2b. Dla tego uszeregowania proaktywnego średnia wartość funkcji celu RF jest równa 4. i jest wyższa o.4 od RF dla haronograu noinalnego z rys, 2a, dzięki wstawieniu buforów czasowych. W celu zilustrowania sposobu wyznaczania funkcji celu RF oraz przedstawienia w jaki sposób realizowany jest planowany haronogra, przeanalizujy jeden scenariusz realizacji przedsięwzięcia. w który rzeczywiste czasy trwania RD i różnią się od oczekiwanych D i dla czynności, 2 oraz : RD = 4 (D = 3), RD 2 = 2 (D 2 = 3), RD = 3 (D = 2). Ziany haronograu są wykonywane w fazie haronograowania reaktywnego, w oentach kończenia zakłóconych zadań. Ustalany jest haronogra projektowany przy zastosowaniu odpornej szeregowej procedury SGS z reharonograowanie na podstawie reguły priorytetowej EBST uwzględniającej kaienie ilowe projektu przy założeniu, że zadania rozpoczynane są nie wcześniej niż w planowany czasie ich rozpoczęcia w planowany uszeregowaniu. Czynności do reharonograowania za poocą SGS rozpatrywane są w kolejności niealejących ich czasów rozpoczęcia w planowany haronograie, przy równych czasach rozpoczęcia wcześniej rozważane zadania o niejszy najpóźniejszy czasie zakończenia czynności EFT (ang. Earliest Finish Tie) wyznaczony na podstawie uownych terinów realizacji etapów przedsięwzięcia. Dla przyjętego scenariusza czasów trwania zadań i uszeregowania noinalnego z rysunku 2a haronogra zrealizowany zaprezentowany jest na rysunku 3a, natoiast dla uszeregowania proaktywnego z rys. 2b haronogra zrealizowany zaprezentowany jest na rysunku 3b. Rys. 3. Zrealizowany haronogra przy przyjęty scenariuszu rzeczywistych czasów trwania zadań: 3a) dla haronograu noinalnego z rys. 2a, 3b) dla haronograu proaktywnego z rys. 2b.
Dla haronograu z rysunku 3a funkcja celu RF wynosi: 9 FA = RF RF = == A i= RFS = CFAi ( + 2 4 + + 8 STi + = 6 9 2 6 = 7.64; 3 3 8 CF ( + RT 4 = 84.7;.6 3 6 + A i= CFSi ( + RSTi Dla haronograu z rysunku 3b funkcja celu RF wynosi: 9 FA = RF RF = == A i= CFAi ( + 2 4 + + 8 STi + = CF ( + 4 RT 6 3 7 + = 84.7; A i= CFSi ( + RSTi.2 6 = 7.64 + 84.7 2.66 =.4. 9 2 6 = 7.32 + 84.7 = 3.43. 6 8 8 = 2.66; = 7.32; W haronograie z rysunku 3b brak jest kosztów niestabilności dzięki zastosowaniu podejścia proaktywnego. Funkcja celu RF dla haronograu z rysunku 3b wynosi 3.43 i jest większa od wartości RF =.4 dla zrealizowanego uszeregowania przy przyjęty planowany haronograie noinalny. Przy realizacji haronograu noinalnego, bez buforów czasowych, pojawiają się dodatkowe koszty niestabilności dla zadań 3,, 7 oraz 8 w związku z późniejszy niż planowany ich rozpoczęcie. Przyjęcie innej strategii reharonograowania, bez uwzględniania uownych etapów projektu, oże przynieść gorsze rezultaty. Dla reharonograowania na podstawie reguły priorytetowej EBST, takiej jak dla probleu inializacji ważonych kosztów niestabilności [22-23,44], w której zadania rozpatrywane są w kolejności niealejących ich czasów rozpoczęcia w planowany haronograie, przy równych czasach rozpoczęcia wcześniej reharonograowane jest zadanie o niższy nuerze, zrealizowany haronogra dla planowanego uszeregowania z rys. 2a przedstawiony jest na rys. 4. Rys. 4. Zrealizowany haronogra przy przyjęty scenariuszu rzeczywistych czasów trwania zadań i zastosowaniu reharonograowania na podstawie listy priorytetowej EBST bez uwzględniania uownych etapów projektu
Dla haronograu z rysunku 4 funkcja celu RF wynosi: 9 FA = RF RF = == A i= RFS = CFAi ( + 2 4 + + 9 STi + = CF ( + 3 RT 3 + = 78.83; A i= 3 6 4 CFSi ( + RSTi 9.9 2 6.2 6.6 = 7.64 + 78.83 3. = 3.69. 6 8 = 7.64; 9 = 3.; Funkcja celu RF dla haronograu z rysunku 4 wynosi 3.69 i jest znacznie niższa niż dla zrealizowanych haronograów z rys. 3a i 3b przede wszystki w związku z późniejszy niż w planie ukończenie drugiego etapu przedsięwzięcia i poniesienie kary uownej za przekroczenie uownego terinu realizacji tego etapu D 2 = 8. W probleach planowania projektu w warunkach dla celów porównawczych opracowuje się uszeregowanie ex post, które charakteryzuje się największą ożliwą wartością stosowanej funkcji celu przy założeniu wiedzy o rzeczywistych czasach trwania zadań. Takie uszeregowanie zaprezentowane jest na rys.. Rys.. Haronogra ex post o aksyalnej wartości funkcji celu F przy przyjęty scenariuszu czasów trwania zadań Dla haronograu z rysunku funkcja celu RF wynosi: 9 2 6 9 2 6 FA = = 7.99; 3 7 7 8 RF == + + = 84.7; 4 8 A A CFAi CF CFSi RF = + + = 7.99 + 84.7 = 3.76. STi RT RSTi i= ( + = ( + i= ( + Wartość funkcji celu dla zrealizowanego haronograu proaktywnego RF = 3.43 jest nieznacznie niejsza (o.33) od najlepszego ożliwego uszeregowania znalezionego ex post przy założeniu przy planowaniu rzeczywistych czasów trwania zadań. W haronogra ex post występują niższe zdyskontowane wydatki związane z późniejszy planowany rozpoczęcie zadań 2, 3,, 7. Przykład potwierdza zasadność stosowania podejścia proaktywno-reaktywnego dla analizowanego probleu.
6. Podsuowanie W artykule analizowany jest proble aksyalizacji przepływów gotówkowych dla projektu z etapowyi rozliczeniai, realizowanego w warunkach niepewnych ziennych czasów trwania zadań. Proponowany jest sposób rozwiązania tego zagadnienia za poocą podejścia proaktywno-reaktywnego. W fazie proaktywnej tworzony jest haronogra odporny z odpowiednio alokowanyi buforai czasowyi, dobranyi dla wygenerowanych scenariuszy czasów trwania zadań. W fazie reaktywnej podejowane są działania, aby ożliwie najdokładniej zrealizować planowane uszeregowanie proaktywne przez zastosowanie strategii reharonograowania dedykowanej dla rozpatrywanego zagadnienia. Rozważany proble i proponowany sposób jego rozwiązania zilustrowane są dla przykładowego przedsięwzięcia ze zdefiniowanyi kaieniai ilowyi. Podjęta teatyka jest aktualna. Proponowany odel nie był, w tej postaci, rozważany w innych pracach badawczych, a oże według autorów, znaleźć praktyczne zastosowania. Przediote dalszych prac będzie.in. opracowanie efektywnych reguł priorytetowych na potrzeby reharonograowania, eksperyentalna analiza proponowanych algorytów i porównanie ich z procedurai wcześniej analizowanyi przez autorów [7-8]. Literatura. Hartann S., Briskorn D.: A Survey of Variants and Extensions of the Resource- Constrained Project Scheduling Proble, European Journal of Operational Research, 27(), 22, -4. 2. Kolisch R., Padan R.: An integrated survey of deterinistic project scheduling, OEGA The International Journal of anageent Science, 29, 2, 249-272. 3. Russell A.H.: Cash flows in networks, anageent Science, 6, 97, 37-373. 4. Herroelen W., Reyck B. D., Deeuleeester E.: Project network odels with discounted cash flows: A guided tour through recent developents, European Journal of Operational Research,, 997, 97-2.. Dayanand., Padan R.: Project contracts and payent schedules: The client s proble, anageent Science, 47, 2, 64-667. 6. Dayanand., Padan R.: On odelling payents in projects, Journal of the Operational Research Society, 48, 997, 96-98. 7. Leyan P., Vanhoucke.: Payent odels and net present value optiization for resource-constrained project scheduling, Coputers & Industrial Engineering 9, 26, 39-3. 8. ika., Waligóra G., Węglarz J.: Siulated annealing and tabu search for ulti-ode resource-constrained project scheduling with positive discounted cash flows and different payent odels, European Journal of Operational Research, 2, vol. 64, no. 3 639-668. 9. Ulusoy G., Sivrikaya-Serifoglu F., Sahin S.: Four Payent odels for the ulti-ode Resource Constrained Project Scheduling Proble with Discounted Cash Flows, Annals of Operations Research, 2, 2, 237-26.. Bahrai F., oslehi G.: Study of payent scheduling proble to achieve client contractor agreeent, International Journal of Advanced anufacturing Technology, 64(), 23, 497-.. Ulusoy G., Cebelli S.: An equitable approach to the payent scheduling proble in project anageent. European Journal of Operational Research 27(2), 2, 262-278.
2. He Z. W., Xu Y.: ulti-ode project payent scheduling probles with bonus penalty structure, European Journal of Operational Research, 89, 28, 9-27. 3. Khoshjahan Y., ajafi A., adjafi B.: Resource constrained project scheduling proble with discounted earliness tardiness penalties: atheatical odeling and solving procedure, Coputers & Industrial Engineering 66, 23, 293-3. 4. Kliek., Łebkowski P.: Robustness of schedules for project scheduling proble with cash flow optiisation, Bulletin of the Polish Acadey of Sciences Technical Sciences, Vol. 6, o. 4, 23, -.. Kliek., Łebkowski P.: A Two-Phase Algorith for Resource Constrained Project Scheduling Proble with Discounted Cash Flows, Decision aking in anufacturing and Services, Vol. 7, o. -2, 23, 49-66. 6. Kliek., Łebkowski P.: Heuristics for project scheduling with discounted cash flows optiization, Bulletin of the Polish Acadey of Sciences Technical Sciences, Vol. 63, o. 3, 2, 63-622. 7. Kliek., Łebkowski P.: etoda onte Carlo dla probleu haronograowania projektu z aksyalizacją przepływów pieniężnych w warunkach niepewności, W: Innowacje w zarządzaniu i inżynierii produkcji, T. / red. Ryszard Knosala, Oficyna Wydawnicza Polskiego Towarzystwa Zarządzania Produkcją, Opole, 2, 79-9. 8. Kliek. Łebkowski P.: Haronograowanie projektu rozliczanego etapowo, onografia Wydawnictw AGH, Kraków, 2. 9. Stabryła A.: Zarządzanie projektai ekonoicznyi i organizacyjnyi, Wydawnictwo aukowe PW, Warszawa, 26. 2. Trocki.: owoczesne zarządzanie projektai, Polskie Wydawnictwo Ekonoiczne, Warszawa, 22. 2. He Z., Wang., Jia T., Xu Y.: Siulated annealing and tabu search for ultiode project payent scheduling. European Journal of Operational Research 98 (3), 29, 688-696. 22. Herroelen, W., Leus, R.: Project scheduling under uncertainty: Survey and research potentials, European Journal of Operational Research, 6, s. 289-36, 2. 23. Herroelen W., Leus R.: Robust and reactive project scheduling: a review and classification of procedures, International Journal of Production Research 42(8), 24, 99-62. 24. Józefowska J., Węglarz J. (red.): Perspectives in odern Project Scheduling, Springer 26. 2. Kliek.: Predyktywno-reaktywne haronograowanie produkcji z ograniczoną dostępnością zasobów, Praca doktorska, AGH Kraków, 2. 26. Van De Vonder S., Deeuleeester E., Herroelen W.: A classification of predictivereactive project scheduling procedures, Journal of Scheduling,, 27, 9-27. 27. Goldratt E..: Critical chain. Great Barrington: The orth River Press, 997. 28. Deblaere F., Deeuleeester E.L., Herroelen W.S.: Proactive policies for the stochastic resource-constrained project scheduling proble, European Journal of Operational Research, 24(2), 2, 38-36. 29. Leus R, Herroelen W.: Stability and resource allocation in project planning, IIE Transactions, 36(7), 24, 667 682. 3. Van de Vonder S., Deeuleeester E., Herroelen W., Leus R.: The use of buffers in project anageent: The trade-off between stability and akespan, International Journal of Production Econoics, 97, 2, 227-24.
3. Van De Vonder S, Deeuleeester E., Herroelen W., Leus R.: The trade-off between stability and akespan in resource-constrained project scheduling, International Journal of Production Research, 44(2), s. 2-236, 26. 32. Van De Vonder S., Deeuleeester E., Herroelen W.: Proactive heuristic procedures for robust project scheduling: An experiental analysis, European Journal of Operational Research, 89(3), 28, 723-733. 33. Benati S.: An optiization odel for stochastic project networks with cash flows, Coputational anageent Science, 3 (4), 26, 27-284. 34. Sobel. J., Szerekovsky J. G., Tilson V.: Scheduling projects with stochastic activity duration to axiize expected net present value, European Journal of Operational Research, 98, 29, 697-7. 3. Wieseann W., Kuhn D., Ruste B.: axiizing the net present value of a project under uncertainty, European Journal of Operational Research, 22, 2, 36-367. 36. aravas A., Pantouvakis J.-P.: Project cash flow analysis in the presence of uncertainty in activity duration and cost, International Journal of Project anageent, 3 (3), 22, 374-384. 37. Błażewicz J., Lenstra J., Kan A. R.: Scheduling subject to resource constraints - classification and coplexity. Discrete Applied atheatics,, 983, -24. 38. Hartann S., Kolisch R., Experiental evaluation of state-of-the-art heuristics for the resource-constrained project scheduling proble. European Journal of Operational Research, 27, 2, 394-47. 39. Kolisch R.: Serial and parallel resource-constrained project scheduling ethods revisited: Theory and coputation, European Journal of Operational Research, 9, 996, 32-333. 4. Sobaszek Ł., Świć A., Gola A.: Koncepcja zastosowania narzędzi predykcji w projektowaniu haronograów odpornych, Zarządzanie przedsiębiorstwe, Vol. 9, nr 2, 26, 2-26. 4. Deblaere F., Deeuleeester E.L., Herroelen W.S., Van De Vonder S.: Robust resource allocation decisions in resource-constrained projects, Decision Sciences, 38(), 27, -37. 42. Kliek., Łebkowski P.: Resource allocation for robust project scheduling. Bulletin of the Polish Acadey of Sciences Technical Sciences, Vol. 9, o., 2, -. 43. Tian W., Deeuleeester, E.: Railway scheduling reduces the expected project akespan, Raport badawczy 4, K.U. Leuven, 2. 44. Van de Vonder S., Ballestin F., Deeuleeester E., Herroelen W.: Heuristic procedures for reactive project scheduling, Coputers & Industrial Engineering, 2(), 27, -28. Dr inż. arcin KLIEK Zakład Inforatyki, Katedra auk Technicznych, Wydział auk Ekonoicznych i Technicznych, Państwowa Szkoła Wyższa i. Papieża Jana Pawła II 2- Biała Podlaska, ul. Sidorska 9/97 e-ail: arcin_kli@interia.pl Dr hab. inż. Piotr ŁEBKOWSKI, prof. AGH AGH, Katedra Badań Operacyjnych, Wydział Zarządzania 3-67 Kraków, ul. Graatyka e-ail: plebkows@zarz.agh.edu.pl