Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego pokładu węgla

Transkrypt

1 Mat. Symp. str Joanna KURZEJA Główny Instytut Górnictwa, Katowice Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego pokładu węgla Streszczenie Celem pracy jest przedstawienie i analiza podstawowych pojęć z zakresu sejsmoakustycznej prognozy zagrożenia sejsmicznego w oparciu o postulat jedności emisji sejsmologicznej i sejsmoakustycznej. Począwszy od definicji zagrożenia sejsmicznego kolejno przedstawiono podstawy teorii prognozy, stosowane w niej metody oraz modele ze szczególnym uwzględnieniem teorii wienerowskiej prognozy. 1. Wstęp 1.1. Struktura i cel pracy Praca ta zaprojektowana została jako część pierwsza dwuczęściowego cyklu opisującego podstawy oraz wyniki stosowania najprostszych, klasycznych metod prognozy szeregów czasowych w zagadnieniu bieżącej (sekwencyjnej, realizowanej co t, na przykład co godzinę) prognozy energii (AE + wstrząsów, dalej zwanej energią łączną) emitowanej z obserwowanego obszaru (S) górotworu. Część drugą stanowi towarzyszący tej pracy artykuł J. Kornowskiego (dalej określany jako Cz. ) gdzie przedstawiono wyniki stosowania opisanych tu metod. Zadanie, które rozwiązujemy nie jest wprawdzie identyczne z klasyczną prognozą miejsca, czasu i energii nadchodzącego wstrząsu, lecz jest od niej niezbyt odległe, użyteczne (informacja o tym, że w nadchodzącej godzinie, w obserwowanej ścianie, ze znacznym prawdopodobieństwem nastąpi emisja łącznej energii E 1 4 J jest niemal równie użyteczna jak informacja o nadchodzącym wstrząsie 1 4 J) i znacznie łatwiejsze. Nim przejdziemy do zagadnienia prognozy celowy jest jeszcze krótki komentarz o energii i jej związku z zagrożeniem, przy czym energią łączną określoną w przedziale czasu t nazywana jest sumaryczna energia emisji sejsmoakustycznej i wstrząsów w t. 1.. Zagrożenie Będące przedmiotem naszego zainteresowania zagrożenie w literaturze z zakresu geofizyki górniczej pojawia się z dodatkowymi określeniami takimi jak tąpania, wstrząsy, a od kilkunastu lat powszechnie używa się pojęcia zagrożenie sejsmiczne i jest ono jednym z zagrożeń naturalnych związanych z eksploatacją podziemną. W sejsmologii górniczej najogólniej definicję zagrożenia sejsmicznego Z [(t, t + t), (E 1, E ), SI t ] w ramach teorii 45

2 J. KURZEJA Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego... procesów punktowych z energią przedstawia się jako prawdopodobieństwo wystąpienia w przedziale czasu i przestrzeni [(t, t + t), S], zdarzenia o energii E 1 < E < E, określone biorąc pod uwagę całą dostępną, a dotyczącą tego zagadnienia informację I t. Definicja ta jednak nie umożliwia obliczeń (nie jest konstruktywna) dopóki nie określimy dokładniej zbioru I t. W praktyce sejsmologicznej ciąg wstrząsów traktowany jest jako proces punktowy bez istotnej autokorelacji i wówczas posługujemy się: warunkową intensywnością zagrożenia ( zagrożenie chwilowe ): [t, (E 1, E ), S] = [1 - F(t)] -1 g(t) (1.1) F(t) jest dystrybuantą, a g(t) gęstością rozkładu prawdopodobieństwa odstępów czasu T dla ciągów zdarzeń w przedziale energii E 1 < E < E. Dla procesu Poissona, gdzie jest intensywnością procesu punktowego: [t, (E 1, E ), S] = [t, (E 1, E ), S] (1.) zagrożeniem przedziałowym Z [(t, t+δt), (E 1, E ), S], określonym na podstawie dostępnej w chwili t, informacji (że T t) zdefiniowanym jako warunkowe prawdopodobieństwo wystąpienia w [(t, t+δt), S] zdarzenia o energii E 1 < E < E : przy czym dla procesu Poissona: t Δt Z[(t, t+δt), (E 1, E ), S] = [1 F(t)] -1 g(t)dt (1.3) t Z[(t, t+δt), (E 1, E ), S] = 1 e -λ Δt (1.4) Definicje powyższe są użyteczne w sytuacji gdy brak jest istotnej korelacji w badanych ciągach zdarzeń co jest typowe dla wystarczająco silnych wstrząsów górniczych (Lasocki 1995 stwierdza, że Rozkład częstości występowania wstrząsów... jest rozkładem Poissona ). Równocześnie jednak obserwacje nasze (Kornowski i Kurzeja ) prowadzą do wniosku, że w przypadku ścian niezbyt silnie zagrożonych godzinowe ciągi energii łącznej są skorelowane (tzn. autokorelacja r() jest istotnie różna od zera dla > ) co umożliwia odmienne podejście do zagadnienia. Wychodząc z założenia jedności oraz addytywności energii zdarzeń AE i wstrząsów sformułowano sejsmoakustyczną definicję zagrożenia sejsmicznego (Kornowski ) w następujący sposób: zagrożeniem sejsmicznym ZAE [(t, t + t), E1, S] określonym metodą sejsmoakustyczną, czyli na podstawie dostępnej w chwili t informacji o historii procesu emisji (łącznej) oraz, być może innych, skorelowanych z emisją procesów nazywamy prawdopodobieństwo przewyższenia w [(t, t + t), S] poziomu E1 przez łączną energię AE i lokalnych wstrząsów: Z AE [(t, t + t), E 1, S] = P [E(t, t+t, S) E 1 ] 1 (1.5) t jest jednostką czasu dyskretnego, a wartość E1 jest narzucana przez wymogi bezpieczeństwa i ekonomiki produkcji. 46

3 Od sejsmologicznych definicji zagrożenia definicja ta różni się tylko inną postacią informacji I t należy jednak pamiętać, że prognoza dotyczy zagrożenia, które jest zmienną ciągłą a nie punktowego zdarzenia (wstrząsu).w ten sposób zdefiniowane zagrożenie jest możliwe do optymalnej estymacji wraz z przedziałami ufności na podstawie przyjętego modelu szeregu czasowego i dostępnej informacji (zawartej w autokorelacji obserwowanych wartości energii łącznej). Zauważmy, że Z AE z definicji dotyczy (skończonego lub nieskończonego) przedziału energii. Prognoza punktowa, choćby najbardziej wiarygodna, zrealizuje się z prawdopodobieństwem zerowym, jest więc użyteczna tylko w badaniach porównawczych Energia sejsmiczna Energia sejsmiczna jest w geofizycznej (sejsmologicznej i sejsmoakustycznej) ocenie zagrożenia istotnym parametrem fizycznym. Charakteryzuje ona procesy niszczenia struktury górotworu oraz przemiany energetyczne zachodzące w ognisku wstrząsu. Jest ona jedyną mierzalną formą energii związanej z procesem niszczenia struktury ośrodka skalnego i stanowi od około 1% do około,1% całkowitej wydzielonej energii (Dubiński i Konopko ). Mówiąc o energii AE mamy na myśli energię tak zwanego dalekiego pola falowego (Kaliski 1966; Aki i Richards 198). Sposób estymacji energii zdarzeń sejsmoakustycznych został przyjęty z sejsmologii (np. Dubiński i Wierzchowska 1973). Energia, którą bezpośrednio mierzy się czujnikiem to używając poprawnego określenia gęstość powierzchniowa energii (energia przepływająca przez jednostkę powierzchni) czyli scałkowana po czasie powierzchniowa gęstość strumienia mocy. Całkując tę wielkość po powierzchni otrzymujemy wzór na energię w jednostkach mianowanych czyli dżulach. W ośrodku jednorodnym bez absorbcji możemy przyjąć, że t E = 4 πr ςv u (t)dt (J) (1.6) t1 r,, v, u to odpowiednio odległość od źródła, gęstość ośrodka, prędkość fali, chwilowa prędkość drgającej cząstki), a w pokładzie o miąższości h, między warstwami odbijającymi. t E = πrhςv u (t)dt (J) (1.7) Rejestrowana przez systemy geofizyki górniczej energia w określonej jednostce czasu T (np. energia godzinowa ) jest sumą energii zdarzeń zaobserwowanych w tej jednostce czasu i stanowi aproksymację intensywności energii, którą definiujemy jako: t1 e(t) = lim T -1 e(i) (1.8) it T tzn. granicę ilorazu długości przedziału T i sumarycznej energii zdarzeń zaobserwowanej w tym przedziale czasu. W praktyce najmniejszą jednostką czasu T jest jedna godzina, ale używa się też T = 8 godzin i wówczas mówimy o energii zmianowej. 47

4 J. KURZEJA Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego.... Prognoza podstawy.1. Najważniejsze pojęcia Teoria prognozy (przewidywania) zakłada, że zjawiska (przyrodnicze, ekonomiczne) zawsze mają swe przyczyny i niektóre objawy tych przyczyn mogą być zaobserwowane i wykorzystane do prognozy. Stąd teoria prognozy chętnie zajmuje się ciągami zjawisk usiłując na podstawie zjawisk minionych wnioskować o zjawiskach przyszłych. Modele i związane z nimi metody prognozy można podzielić na (np. Kornowski ): matematyczno statystyczne, usiłujące możliwie wiernie opisać przebieg procesu, bez wnikania w jego fizyczne znaczenie, posługując się metodami teorii procesów punktowych lub szeregów czasowych (zwykle tak zwanymi modelami Boxa-Jenkinsa (Box i Jenkins 197)), objaśniające (strukturalne, fizycznie motywowane), często postulujące, iż proces obserwowany składa się z trendu, składowych cyklicznych/sezonowych (nie muszą one być okresowe w sensie matematycznym) i składowej nieregularnej lub wykorzystujące tak zwane równanie stanu, które (w uproszczony sposób) opisują fizyczny mechanizm prognozowanego procesu. Istnieją również metody powstałe z połączenia powyższych np. najpierw stosuje się usunięcie trendu i składowych cyklicznych, a następnie do prognozy tak przygotowanego szeregu stosuje się model Boxa-Jenkinsa. Ze względu na częstość/równomierność występowania zdarzeń zbiór obserwacji możemy traktować albo jako proces punktowy albo jako szereg czasowy. Rozróżnienie tych pojęć stanowi wyjście do stosowania odpowiednich metod prognozy. Proces losowy punktowy występuje wtedy gdy zdarzenia nie są częste w porównaniu z czasem prognozy oraz występuje brak istotnej korelacji. Teorią procesów punktowych zajmuje się Cox i Lewis (Cox i Lewis 1966) oraz Vere-Jones (Vere-Jones 197), który przedstawia jej zastosowanie do badania trzęsień ziemi. Typowym przykładem procesu punktowego jest ciąg czasów wystąpienia wstrząsów górniczych o którym wiadomo, że autokorelacja jest nieistotna tzn. prawie zerowa (co wykazano między innymi w publikacjach Kornowski i Kurzeja ). Zatem jak wspomniano poprzednio stacjonarny proces Poissona jest najprostszym modelem ciągu wstrząsów sejsmicznych. Przykładem szeregu czasowego jest ciąg utworzony z rejestracji sejsmoakustycznych bądź aktywności bądź energii [w kopalniach prowadzi się obserwacje sejsmoakustyczne w oknie jedno- i ośmiogodzinowym (zmianowym)]. Badając autokorelacje tak sformułowanych szeregów czasowych (aktywności oraz energii) otrzymano wyniki potwierdzające występowanie istotnej autokorelacji. Posługiwanie się procesem emisji łącznej wymaga uprzedniego wprowadzenia pojęcia ciągłego procesu emisji (CPE) będącego sumą (logarytmicznych) energii emisji sejsmoakustycznej (AE) i wstrząsów. Jest to równoznaczne z uznaniem jedności emisji sejsmoakustycznej i sejsmicznej (Kornowski ) nazywa to postulatem jedności emisji, która w określonym obszarze czasu i przestrzeni wymuszana jest jednym wspólnym polem naprężenia (tzn. to samo pole naprężenia wymusza proces niszczenia skały zatem zarówno AE jak i wstrząsy, patrz rys..1.). CPE może być widziany zarówno jako proces zdarzeń dyskretnych jak i jako proces ciągły: dla naszych celów wygodna jest interpretacja CPE jako procesu ciągłego, gdyż umożliwia to (w praktyce górniczej) traktowanie okresowo (np. co godzinę) otrzymywanych wartości aktywności lub energii jako okresowo próbkowanych 48

5 wartości ciągłego CPE. Umożliwia to wygodne posługiwanie się metodami teorii szeregów czasowych (np. prognozą liniową, modelem autoregresji itp.). pole naprężenia modyfikowane procesem wydobycia lepkosprężysto kruchy górotwór w którym wzrastają pęknięcia gdy l > kr ciągły proces emisji (AE + wstrząsy) Rys..1. Emisja łączna (AE + wstrząsów) jako odpowiedź górotworu na wymuszenie (l oznacza naprężenie lokalne) Fig..1. AE and mining tremors activity as a rock mass response on stress Rysunek.1. przedstawia najprostszy ale i najważniejszy w sejsmoakustyce model którym jest górotwór generujący emisję (CPE) w odpowiedzi na wymuszenie naprężeniem przy czym pole naprężenia jest modyfikowane przesuwającym się frontem eksploatacji zatem procesem skrawania. Oczywistym warunkiem użyteczności pojęcia emisji łącznej i CPE jest addytywność energii wstrząsów i zdarzeń AE. Energie te muszą być wyrażane w tych samych jednostkach fizycznych (dżulach, J). Obserwowane w praktyce szeregi czasowe (godzinowej aktywności i/lub energii łącznej) mogą być traktowane jako realizacje procesu stochastycznego. W każdej dyskretnej chwili t i = i Δt (i = 1,, 3...) proces ten określony jest rozkładem gęstości prawdopodobieństwa a w praktyce parametrami tego rozkładu. Zakładając [co nie jest odległe od rzeczywistości patrz (Kornowski )] rozkład normalny wokół wartości prognozowanej i dysponując algorytmem prognozy liniowej, który w każdej chwili t i = i Δt (i = 1,, 3...) określa zarówno punktową wartość prognozowaną, ~ x(t 1), jak i wariancję błędu prognozy, s (i+1), mamy pełny opis probabilistyczny prognozowanej zmiennej losowej x(i+1) na przykład energii emisji łącznej [ ~ x(t 1) jest wartością średnią rozkładu (wartości prognozowanej) i najbardziej prawdopodobną punktową wartością zmiennej losowej x(i+1)]. Jest oczywiste, że w przypadku rozkładu normalnego, znając średnią i wariancję możemy określić dowolne przedziały ufności dla prognozy [dla wartości x(i+1)] a także prawdopodobieństwo przekroczenia przez energię x(i+1), dowolnego progu energetycznego E1 określającego ZAE zgodnie z definicją w p. 1.. W ten sposób model skorelowanego CPE umożliwia formalną prognozę dobrze zdefiniowanego zagrożenia sejsmicznego Z AE, a przykłady przedstawiono w Cz.. Kolejnym warunkiem użyteczności CPE (i sejsmoakustyki) jest stopniowy charakter procesu niszczenia skały taki, w którym pęknięcie główne (wstrząs) poprzedzone jest licznymi (na ogół znacznie mniejszymi) pęknięciami poprzedzającymi, obserwowalnymi właśnie jako AE. Jak przyjmuje się w literaturze (np. Mogi 1967; Kwaśniewski 1996 a, b; Takuska-Węgrzyn 1) emisja akustyczna poprzedza pęknięcie główne przede wszystkim w skałach wysoce niejednorodnych a taką właśnie jest węgiel. Fakt ten dobrze rokuje metodom sejsmoakustycznym stosowanym w pokładzie węgla. Zagadnienie autokorelacji r() w ciągach obserwacji (godzinowej) energii wstrząsów sejsmicznych, a także w ciągach (godzinowej) energii łącznej ilustrują rysunek.. i.3. Na rysunku.. pokazano dwa pięciotygodniowe ciągi godzinowych (logarytmicznych) energii wstrząsów (wiersz 1 z rejonu słabo zagrożonego i wiersz 3 z rejonu silnie zagrożonego 49

6 J. KURZEJA Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego... tąpaniami), a pod każdym z nich (od lewej): funkcję autokorelacji r(), histogram energii N(log E), oraz widmo S(T) = S(1/f) gęstości mocy ciągu godzinowych energii. Należy zauważyć, że: zarówno dla obserwacji z rejonu słabo zagrożonego jak i silnie zagrożonego, autokorelacja godzinowych log energii wstrząsów jest nieistotna a widma są płaskie, skąd wynika, że prognozowanie godzinowej energii sejsmicznej (tzn. wstrząsów) na podstawie jej minionych wartości jest niecelowe; w rejonie słabo zagrożonym energia wstrząsów nie przekracza wartości 1 4 J, a intensywność procesu wstrząsów wartości 1/dobę; w rejonie silnie zagrożonym zarówno energia pojedynczego wstrząsu jak i intensywność ciągu wstrząsów są (średnio) o rząd większe. Na rysunku.3. pokazano odpowiadające ciągom wstrząsów z rysunku.. pięciotygodniowe ciągi godzinowej logarytmicznej energii łącznej {log (E AE + E WS +1), przy czym 1 dodaje się by uniknąć - gdy E AE + E WS = } z rejonu słabo zagrożonego (wiersz 1) i silnie zagrożonego (wiersz 3), pod każdym z tych ciągów pokazując jak w przypadku rysunku.., autokorelację, histogram i widmo. 6 loge 4 t[h] r() 1 S(T)[dB] N(logE) loge T[h] loge 4 t[h] r() 1 S(T)[dB] N(logE) loge -5 T[h] Rys... Dwa pięciotygodniowe ciągi godzinowych (logarytmicznych) energii wstrząsów wiersz 1 z rejonu słabo zagrożonego ZG Piekary ść. 331/51, wiersz 3 z rejonu silnie zagrożonego tąpaniami KWK Wesoła ść. 37/51. Pod każdym z nich (od lewej): funkcję autokorelacji r(), histogram energii N(log E), oraz widmo S(T) = S(1/f) gęstości mocy ciągu godzinowych energii Fig... Two five-weeks of hourly observations of tremors energy Zauważyć należy, że: ciąg obserwacji (CPE) z rejonu słabo zagrożonego wykazuje zdecydowaną autokorelację, w której odnaleźć można okres tygodniowy (168 godz.) jak i 1 godzinny; te same okresy odnaleźć można w widmie zapewnia to możliwość liniowej prognozy (godzinowych 5

7 wartości) energii CPE na podstawie ich minionych wartości, a przykłady pokazano w Cz.. Ciąg energii (CPE) z rejonu silnie zagrożonego wykazuje znikomą autokorelację tylko o okresie tygodniowym, co źle rokuje próbom liniowej prognozy; w rejonie słabo zagrożonym godzinowa logarytmowana energia AE oscyluje wokół wartości (tzn. średnia godzinowa energia AE wynosi około 11 J), a w rejonie silnie zagrożonym mieści się miedzy wartościami a 3 (tzn. średnia godzinowa energia AE wynosi około 51 J) jest więc co najmniej o pół rzędu większa. 6 loge 4 t[h] r() 1 N(logE) S(T)[dB] loge -5 T[h] loge 4 t[h] r() N(logE) 5 loge S(T)[dB] T[h] Rys. 3.. Dwa pięciotygodniowe ciągi godzinowych (logarytmicznych) energii wstrząsów + AE wiersz 1 z rejonu słabo zagrożonego ZG Piekary ść. 331/51, wiersz 3 z rejonu silnie zagrożonego tąpaniami KWK Wesoła ść. 37/51. Pod każdym z nich (od lewej): funkcję autokorelacji r(), histogram energii N(log E), oraz widmo S(T) = S(1/f) gęstości mocy ciągu godzinowych energii Fig. 3.. Two five weeks of hourly observations of AE and tremors energy.. Rozdzielczość w czasie oraz błąd statystyczny W literaturze spotykamy się z podziałem prognozy zagrożenia sejsmicznego metodą sejsmologiczną w zależności od przyjętego horyzontu czasowego (Lasocki 1994; Dubiński i Konopko ) na: długookresową dotyczy określania sejsmiczności na etapie prac projektowych, średniookresową prowadzona w trakcie prac eksploatacyjnych i związania jest często z jednym wyrobiskiem, krótkookresową podobnie jak średniookresowa z tym, że dotyczy jeszcze krótszego odcinka czasu, alarm ostrzega przed wystąpieniem zjawiska niszczącego, może doprowadzić do ewakuacji załogi. 51

8 J. KURZEJA Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego... Przedmiotem zainteresowania sejsmoakustyki są tylko te dwa ostatnie przypadki. Choć w teorii może być dłuższy, w praktyce horyzont użytecznej prognozy Z AE ograniczony jest zwykle do jednej jednostki czasu dyskretnego i taka też jest granica rozdzielczości czasowej tej metody. Oznacza to, że obserwując, analizując i prognozując CPE okresowo co t (np. co godzinę) mamy znikome szanse zauważenia lub wyprognozowania zjawisk, których obserwowalny czas rozwoju (np. czas narastania AE przed wstrząsem) jest znacznie krótszy od t. Mimo, że skrócenie t (np. do 15 minut) zwiększa pracochłonność obsługi systemów sejsmoakustycznych zatem wzbudza zrozumiałą niechęć zainteresowanych, w miarę rozwoju metod i programów automatycznej analizy i prognozy zagadnienie to w nieuchronny sposób nabierać będzie coraz większej wagi. Kolejnym ważnym zagadnieniem, które musi być tu wspomniane jest różnica pomiędzy optymalnością, a użytecznością prognozy. Jest zrozumiałe, że użytkownicy naszych prognoz (np. górnicy) chcieliby otrzymywać prognozy dokładne, czyli po prostu takie, które się dokładnie sprawdzają. Niestety sama natura procesów stochastycznych (do których należy proces emisji, CPE) powoduje, że możliwa jest tylko prognoza probabilistyczna (prognozą probabilistyczną nazywamy prognozę, której wynik x(i+1) jest zmienną losową określoną rozkładem prawdopodobieństwa): na najbliższą jednostkę czasu t prognozować można tylko parametry rozkładu gęstości prawdopodobieństwa (i przedziały ufności, które stąd wynikają) dla energii, która wyemitowana zostanie w tym okresie. Prognoza punktowa jak wspomniano ma zerową szansę realizacji. Zagadnienie to łatwo zilustrować można na przykładzie szumu białego N(, s ) mimo, że użytkownik chciałby otrzymać prognozę, która się sprawdzi, najlepsze co może zrobić to podać prognozę optymalną (którą jest zero) i użyteczne procentowe przedziały ufności. Niestety, niezadowolenie użytkownika lub zmiana metody nic tu dać nie może..3. Fundamentalny charakter postulatu jedności emisji Postulat jedności emisji (Kornowski ) wiąże emisję sejsmoakustyczną (AE) z sejsmiczną (tzn. ze wstrząsami), uzasadniając to wspólnym wymuszeniem () działającym na ten sam, pękający (albo w formie rozwoju małych pęknięć co generuje AE albo w formie dużych, czasem wielkich szczelin co obserwowane jest jako wstrząsy) górotwór. Należy więc bardzo wyraźnie podkreślić, że postulat ten niezbędny dla logicznego uzasadnienia związku AE z sejsmologią wymaga by obserwowana emisja AE i obserwowane wstrząsy pochodziły z tego samego, jak najmniejszego obszaru. Im mniejszy jest ten obszar tym bardziej prawdopodobny jest związek między AE i wstrząsami. Im odleglejsze są źródła AE od źródeł wstrząsów tym bardziej wątpliwy staje się związek między nimi, a zatem i możliwość prognozy zagrożenia sejsmicznego na podstawie obserwowanej AE. W praktyce oznacza to, że prędzej czy później niezbędna okaże się jakaś forma lokalizacji lub rejonizacji (Pilecki 199) źródeł sejsmoakustycznych. Jak się wydaje w przypadku sejsmoakustycznej obserwacji za pomocą czujników umieszczonych w pokładzie, zdecydowana większość obserwowanych impulsów (zdarzeń AE) pochodzi z tego pokładu (z obserwowanej ściany, ograniczonej frontem eksploatacji i chodnikami przyścianowymi). Nie potrafimy obecnie powiedzieć jak daleko w pionie od pokładu mogą być źródła wstrząsów by można było mówić o ich związku z obserwowaną w pokładzie emisją AE. Być może nieco inna jest sytuacja gdy emisję AE wykorzystać chcemy do oceny zagrożenia sejsmicznego (bez prognozy lub utożsamiając prognozę z oceną) od sytuacji gdy 5

9 celem naszym jest autentyczna prognoza (której realność wymaga by AE była co najmniej objawem przyczyn wstrząsu). Zagadnienia te stanowią trudny lecz ważny temat badawczy..4. Model procesu a prognoza optymalna Teoria procesów stochastycznych rozróżnia wiele modeli szeregów czasowych przyjmując jako kryterium losowość oraz autokorelację procesu. Dla szczególnych przypadków teoria umożliwia wprowadzenie optymalnych sposobów prognozy w postaci filtru predykcyjnego, i tak: szum biały (nieskorelowany, stacjonarny proces losowy): optymalny filtr predykcyjny ma postać: x~ (t 1) x (.1) czyli predyktor stanowi wartość średnią procesu (średnia z dotychczasowych obserwacji); nie skorelowany, niestacjonarny proces losowy (np. ruchy Browna), optymalny predyktor ma postać: ~ x(t 1) x(t) (.) czyli prognoza na następną jednostkę czasu jest tożsama z oceną w mijającej jednostce czasu (taki sposób znalazł zastosowanie w biernej metodzie sejsmoakustycznej); proces skorelowany i stacjonarny [np. ciągły proces emisji łącznej (CPE), co najmniej w przypadku ścian niezbyt silnie zagrożonych] najlepszym predyktorem wykorzystującym autokorelację zdarzeń jest filtr Wienera (opisany w p.3); proces będący sumą składowej okresowej o znanym okresie i szumu białego: wielkość prognozowaną przedstawić można jako sumę składowej deterministycznej/sezonowej e d oraz składowej stochastycznej/losowej e s: e(t) = e d(t) + e s(t) (.3) e s(t) jest słabo skorelowana tzn. jej funkcja autokorelacji r(τ) przyjmuje dla τ > wielkości które nie są w istotny sposób różne od zera. Można wówczas uważać, że prognozowana przyszła wartość e ~ (t+1) jest sumą: e ~ (t+1) = e~ d (t+1) + e ~ s (t+1) (.4) e~ d (t+1) to deterministyczna wartość, wyznaczalna z jakiegoś (być może nieznanego i poszukiwanego) równania/prawa natomiast e~ s (t+1) to zmienna losowa określona swym rozkładem [np. N( es, s ) lub jeszcze krócej parametrami tego rozkładu ( es, s )]. Jeśli e s(t) jest zmienną nie skorelowaną (np. szumem białym) i es to najbardziej prawdopodobna prognoza ma postać: e ~ (t+1) = e ~ d(t+1) (.5) 53

10 J. KURZEJA Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego... Przykłady te ilustrują zależność prognozy od modelu procesu i wynika z nich, że przed przystąpieniem do prognozy niezbędna jest analiza procesu, umożliwiająca wyrobienie sobie co najmniej przybliżonej opinii o typie/formie modelu, który powinien być użyty do prognozy. Rzecz jasna, jeśli będący przedmiotem zainteresowania proces jest typowym przedstawicielem rodziny procesów (np. emisja AE ze ściany X jest przedstawicielem emisji AE ze ścian o zbliżonym zagrożeniu) o znanej już formie modelu to analiza taka jest zbędna. 3. Prognoza metody i modele 3.1. Jednokanałowa prognoza i model autoregresji W najprostszym przypadku, gdy obserwacje przedstawiane są w formie szeregu czasowego [x( t i ), gdzie i = 1,,...], którego przyszłe wartości prognozowane mają być na podstawie (tylko i wyłącznie) informacji zawartej w jego minionych wartościach, zmienną prognozowaną x t+1 można przedstawić jako funkcję jej własnych, minionych wartości, określając w ten sposób model: x t+1 = a x t + a 1 x t a k x t-k + t+1 (3.1) t+1 jest szumem białym lub równoważnie, jako tak zwany filtr predykcyjny: xt 1 = a ox t + a 1x t a kx t-k (3.) Równania powyższe nazywamy równaniami autoregresji (lub modelami autoregresji). Tak sformułowany model autoregresji umożliwia liniową estymację parametrów i (zwykle) stosunkowo dobrą prognozę. Osiągalna jakość prognozy liniowej zależy od funkcji autokorelacji r xx() gdzie -1 r xx() 1 dla < k, obserwowanych wartości x t, t = 1,,..., szeregu czasowego (np. log - energii emisji łącznej) a wskaźnikiem dopasowania jest wielkość R nazwana współczynnikiem determinacji wielokrotnej, który określa się jako: gdzie, dla t = 1,..., N: R = sreg /s 1 (3.3) tot ss tot (xt x ) (3.4) ss reg (axt x ) (3.5) ss tot ssreg ssres (3.6) Optymalny rząd modelu k określić można stosując jedną z metod oznaczonych skrótami FPE(k) Final Prediction Error oraz AIC(k) Akaike Information Criterion: FPE(k) = sres (N k 1)/(N k 1) (3.7) AIC(k) = ln s res + k/n (3.8) 54

11 s res to estymowana wariancja błędu dopasowania modelu do zbioru x t. Estymacja parametrów A = (a 1,...,a k) modelu wymaga rozwiązania układu N równań z k niewiadomymi czyli tzw. układu równań normalnych. Rozwiązanie to ma postać: A = [a 1,..., a k] T. A = [X T X] -1 X T X (3.9) X = [x k+1,..., x k+n] T xk,xk 1,...,x 1 X = xk 1,xk,...,x..... xk N,...,x N przy czym X T X tworzy macierz autokorelacji stąd związek prognozy liniowej z autokorelacją. W praktyce układ równań normalnych może być rozwiązywany jedną z wielu metod numerycznych wykorzystujących specyficzną budowę macierzy autokorelacji (jest to tzw. macierz Teoplitza). Otrzymany filtr predykcyjny często zwany jest filtrem Wienera choć faktycznie jest tylko jego przybliżeniem. Splatając szereg prognozujący (czyli wartości obserwowane) x(t i) z wyznaczonym filtrem otrzymujemy wartość wyprognozowaną dla przyszłej jednostki czasu. 3.. Szczególny przypadek modelu autoregresji Obliczenie liniowego filtru predykcyjnego wymaga rozwiązania k równań normalnych (3.9). W niektórych przypadkach, na podstawie wizualnej inspekcji procesu lub jego autokorelacji, a priori zakładać można bardzo szczególna budowę modelu. Na przykład czasami oczekiwać można bardzo znacznego udziału (w obserwowanych wartościach x i i = 1,, 3...) składowej okresowej: jeżeli zakładamy, że proces eksploatacji w istotny sposób wpływa na emisję łączną to oczekiwać można występowania okresowości tygodniowej (T = 168 godzin) w danych. Wówczas najprostszy model predykcyjny ma postać: x~ (t 1) x(t ) (3.1) Można jednak założyć coś zupełnie innego, dopuszczając że emisja łączna jest procesem nieskorelowanym i niestacjonarnym, na przykład jednowymiarowym procesem Browna. Wówczas optymalny predyktor ma postać określoną równaniem (.). Można wreszcie z tych dwóch przypadków zbudować mieszany model parametryczny: ~ x(t 1) αx(t) ( 1 α)x(t 1-168) (3.11) zdolny do użytecznej prognozy gdy obserwacje x t są sumą składowej cyklicznej i składowej losowej. 55

12 J. KURZEJA Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego... Estymacja wartości, która minimalizuje błąd prognozy dostarcza nam również informację o budowie badanego procesu (o budowie ciągu obserwacji x(t)): małe wartości wskazują na proces niemal okresowy, wartości bliskie 1 sugerują proces nieskorelowany. Model E(t+1) = E(t) + (1-) E k umożliwia więc prostą prognozę ciągu wartości log energii łącznej, dostarczając nam dodatkowo gdy wartość α estymujemy (na podstawie minionych obserwacji) minimalizując średniokwadratowy błąd prognozy - informację zawartą w parametrze. Za sezonowość informacji jest odpowiedzialny składnik E k = E(t-T) gdzie w przypadku emisji sejsmicznej T = 168 godzin, natomiast to stopień losowości zbioru danych i jego zakres to < < 1. Ze względu na wielkość możemy rozróżnić następujące przypadki szczególne: = to E(t+1) = E k otrzymujemy predyktor okresowy, = 1 to E(t+1) = E(t) predyktor dla procesów niestacjonarnych, nieskorelowanych. O jakości prognozy dowiemy się z wartości znormalizowanej wariancji błędów prognozy. VARNOR S / S (3.1) S b to wartość błędu predykcji, S obs to wartość ciągu obserwacji. Im mniejsza wartość tego parametru VARNOR tym lepszą uzyskaliśmy prognozę. Normalizacja błędu prognozy (czyli podzielenie S b przez wariancję obserwacji) umożliwia porównywanie wyników prognozy dla dowolnych zbiorów danych. Zauważmy, że równanie (3.11) określa bardzo szczególny model autoregresji rzędu 168, w którym a 1 = α, α 168 = 1-α oraz a = a 3 =... = a 167 = Metoda Holta-Wintersa b obs Prognoza metodą Holta-Wintersa (Winters 196; Chatfield 1978) należy do metod objaśniających gdzie w szeregu prognozowanym rozróżnia się trzy składowe (trend, sezonowość, składową nieregularną tzw. poziom) przedstawione poniższymi równaniami: predyktor: y t ( k ) = L t + kt t + I t-s + k (3.13) poziom: L t = ( y t - I t - s ) + ( 1 - ) ( L t-1 + T t-1) (3.14) trend: T t = ( L t - L t-1 ) + ( 1 - ) T t-1 (3.15) sezonowość: I t = ( y t - L t ) + ( 1 - ) I t-s (3.16) Ponieważ w poprawnie (czyli zgodnie z obowiązującą Instrukcją) prowadzonych obserwacjach energii sejsmoakustycznej (i energii łącznej) nie obserwuje się występowanie trendu, równania (3.13, 3.14, 3.15, 3.16) uprościć można do postaci: ~ E(t 1) L(t) I(t 1 168) (3.17) L(t) = α{e(t) I(t 168)} + (1-α) L(t-1) (3.18) 56

13 E(t) to obserwowane wartości energii łącznej. I(t) = γ{e(t) L(t)} + (1-γ) I(t-168) (3.) Przy czym wartości α oraz γ należy okresowo (np. raz w tygodniu) optymalizować tzn. znajdywać stosując odpowiedni algorytm, np. Neldera-Meada ich wartości minimalizujące błąd prognozy w odpowiednim oknie obejmującym pewien przedział (np. tydzień) minionych obserwacji. Należy także przyjąć odpowiednie wartości początkowe. Procedura Holta-Wintersa zyskała sobie dużą popularność szczególnie w badaniach ekonometrycznych i związanych z zarządzaniem głównie ze względu na prostotę interpretacji i obliczeń. Zauważyć należy, że obowiązująca Instrukcja metody sejsmoakustycznej wymaga korygowania obserwacji ze względu na odległość tylko w przypadku estymacji energii. Oznacza to, że w poprawnie prowadzonych obserwacjach energii trendy (wzrostowe gdy ściana zbliża się do czujnika) nie powinny występować, lecz mogą i powinny występować w obserwowanej aktywności sejsmoakustycznej Zlinearyzowane sejsmoakustyczne równania stanu ściany skrawanej kombajnem i ich zastosowanie do prognozy emisji W publikacji (Kornowski 1994) Kornowski wprowadził model reologiczny ze sprężystokruchym polem (MRSK), który ulegać może procesowi stopniowego niszczenia (pod wpływem obciążenia, σ) generując przy tym emisję (sejsmo-)akustyczną. Uproszczona (zlineryzowana) wersja tego modelu oznaczona została skrótem MSSE i umożliwia ona wyprowadzenie (przybliżonych) sejsmoakustycznych równań stanu czyli równań opisujących emisję sejsmoakustyczną dla ściany skrawanej kombajnem (Kornowski ). W przypadku wymuszenia stałym naprężeniem σ o+, MSSE określony jest równaniem zapisanym w postaci: n(t-t o) = C 1σ o+ exp[-α(t-t o)] 57 imp m s (3.1) C 1 = (C o/τ σ) [(E H ) -1 (E H + E M ) -1 ] (3.) t o jest to moment przyłożenia wymuszenia σ o+, natomiast α jest odwrotnością stałej czasowej τ σ i ma wymiar [s -1 ]. Równania powyższe stanowią sejsmoakustyczną odpowiedź skokową i wraz z założeniami dotyczącymi rozszerzenia MSSE na przypadek ściany skrawanej kombajnem umożliwiają wyprowadzenie równań zwanych sejsmoakustycznymi (energetycznymi) równaniami stanu ściany skrawanej kombajnem. E 3 i e i 1 B 1 /α ceσ i Vi G 1 /α ψ 4i [J] (3.3) e 3 i e i 1 Bo ceσ Vi B 1 /α Ψ 5i i [J/s] (3.4) c e σ3 3 i ceσ Ψ i 1 6i [J/m s] (3.5)

14 J. KURZEJA Podstawy sejsmoakustycznej prognozy energii emitowanej z eksploatowanego... Równania stanu rozwiązują proste zadanie sejsmoakustyki umożliwiające symulację AE, gdy znane jest wymuszenie. Można je wykorzystać stosując filtr Kalmana do rozwiązania zadania odwrotnego tzn. wyznaczenia wymuszenia (zatem i zagrożenia) na podstawie obserwowanej emisji AE. Na tej podstawie powstał algorytm (bayesowski) estymacji i prognozy wartości stanu i obserwacji korzystający z równań stanu i dotychczasowych obserwacji. Proces prognozy przedstawia się jako propagację rozkładów gęstości prawdopodobieństwa zmiennych stanu i obserwacji z aktualizacją (parametrów tych rozkładów) po nadejściu każdej nowej porcji informacji np. co godzinę. Szczegółowo zagadnienie wraz z algorytmem prognozy i estymacji przedstawia Kornowski (Kornowski ). Literatura [1] Aki K,. Richards P. G. 198: Quantitative Seismology. Theory and Methods., Freeman, San Francisco. [] Box G. E. P., Jenkins G. M. 197: Time Series Analysis, Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco. [3] Chatfield C. 1978: The Holt-Winters Forecasting Procedure. Appl. Statist. Vol. 7, No. 3, [4] Cox D. R., Lewis P. A. W. 1966: The Statistical Analysis of Series of Events. Methuen and Co., London. [5] Dubiński J., Konopko W. : Tąpania: ocena, prognoza, zwalczanie. GIG, Katowice. [6] Dubiński J., Wierzchowska Z. 1973: Metody obliczania energii wstrząsów górotworu na Górnym Śląsku. Prace GIG, Komunikat Nr 591, Katowice. [7] Kaliski S. (red.) 1966: Drgania i fale w ciałach stałych. PWN, Warszawa. [8] Kornowski J. 1994: Podstawy aktywnych sejsmoakustycznych metod oceny zagrożenia lokalnym zniszczeniem górotworu. Prace Naukowe GIG, No. 793, Katowice. [9] Kornowski J., Kurzeja J. : Korelacja energii wstrząsów górniczych z emisją sejsmoakustyczną i ocena możliwości jej wykorzystania w matematycznych modelach prognozy, W: Mat. XXIII Zimowej Szkoły Mechaniki Górotworu, Wyd.: Katedra Geomech. Górn. i Geotech., AGH, Kraków. [1] Kornowski J. : Podstawy sejsmoakustycznej oceny i prognozy zagrożenia sejsmicznego w górnictwie. GIG, Katowice. [11] Kwaśniewski M. 1986a: Dylatancja jako zwiastun zniszczenia skały. Cz. I: Fizykalna istota zjawiska dylatancji, Przegląd Górniczy, T. 4, Nr. [1] Kwaśniewski M. 1986b: Dylatancja jako zwiastun zniszczenia skały. Cz. II: Mechanizm zjawisk poprzedzających zniszczenie, Przegląd Górniczy, T. 4, Nr 6. [13] Lasocki S. 1994: Średnio- i krótkookresowa predykcja zagrożenia sejsmicznego na podstawie danych sejsmologicznych, W: Tąpania 94: Rozwiązania inżynierskie w problematyce tąpań, Wyd. GIG, Katowice. [14] Lasocki S. 1995: Predykcja zagrożenia sejsmicznego. Rozdz. 7. W: Poradnik geofizyka górniczego. Tom, Bibl. Szkoły Ekspl. Podz., Wyd.: CPPGSMiE PAN, Kraków. [15] Mogi K. 1967: Earthquakes and fractures, Tectonophysics, Vol. 5, No. 1. [16] Pilecki Z. 199: Metoda rejonowej obserwacji sejsmoakustycznej do kontroli stanu zagrożenia tąpaniami w kopalniach węgla kamiennego. GIG, Katowice (Praca doktorska). [17] Takuska - Węgrzyn E. X. 1: Zjawiska prekursorowe niszczenia skał w badaniach sejsmoakustycznych w warunkach quasinaturalnych, laboratoryjnych i in situ. Praca zbiorowa Badania geofizyczne w kopalniach, Wyd. IGSMiE PAN, Kraków, [18] Vere-Jones D. 197: Stochastic Models for Earthquake Occurence. J. Roy. Statist. Soc., Ser. B, Vol. 3, No. 1, 1 6. [19] Winters P. R. 196: Forecasting sales by exponentially weighted moving averages. Management Science, Vol. 6,

15 Basis of seismoacoustic prediction of energy emission emitted from mining coal bed The purpose of this paper was to present and analyze the basic notions of seismoacoustic prediction of seismic hazard based on the postulate of seismic and seismoacoustic coupled emission. At first the seismic hazard definition was presented then the fundamentals of prediction theory and the related methods and models with special regard to the Wiener s prediction theory. Przekazano: 5 marca 59