7. Analiza instrumentów pochodnych

Transkrypt

1 7. Analiza instrumentów pochodnych 7.1. Wycena instrumentów pochodnych - wprowadzenie Ten rozdział poświęcony jest analizie i wycenie trzeciej grupy instrumentów finansowych (obok instrumentów dłużnych i udziałowych), mianowicie instrumentom pochodnym. Metody analizy tych instrumentów, historycznie rzecz biorąc, rozwijały się mezaieznie od metod analizy akcji i metod analizy instrumentów dłużnych i dlatego istotnie się od mch różmg. Inna jest przede wszystkim sama koncepcja Jeżąca u podstaw wyceny instrumentów pochodnych. Na wstępie jednak należy zaznaczyć, że w przypadku części instrumentów pochodnych, a dotyczy to instrumentów symetrycznych, czyli kontraktów terminowych (fulures >forward) oraz kontraktów swap, pojawia się kwestia dwóch możliwych sposobów rozumienia pojęcia wycena instrum entu. Kwestia ta nie istniała w przypadku instrumentów dłużnych oraz akcji, me istnieje rówmez w przypadku opcji. W odniesieniu do tych instrumentów pojęcie wycena oznacza określenie wartości, tzn. jaka powinna być cena instrumentu na rynku. Nie ma przy tym znaczenia, czy: * wycena dokonywana jest przed transakcją, na potrzeby identyfikacji niedowartościowanego czy przewartościowanego instrumentu, gdzie głównym celem wyceny jest określenie, czy właściwe jest kupno, czy sprzedaz; wycena dokonywana jest po zawarciu transakcji, np. w celu określenia wartości instrumentu na potrzeby sprawozdania finansowego. W obu tych sytuacjach wycena odnosi się do samego instrumentu. W pierwsze] sytuacji chodzi po prostu o określenie ceny rynkowej, w drugiej zaś o określenie wartości pozycji zajętej w transakcji; przy tym wartość pozycji długiej równa jest cenie, a wartość pozycji krótkiej równa jest cenie wziętej ze znakiem ujemnym. Z kolei w przypadku instrumentów pochodnych symetrycznych, czyli kontraktów fulures, forward oraz swap, istnieją dwa rozumienia pojęcia wycena 1. Wycena rozumiana jako określenie ceny rynkowej instrumentu. W tym przypadku jest to kwotowame ceny instrumentu na tynku. Jest to oczywiście zawsze wartość dodatnia. Przy tym: 262

2 jeśli instrument jest sprzedawany na giełdzie, jest to cena giełdowa, taka sama n ie z a le z m e od tego, czy zajmowana pozycja jest długa, czy krótka; jeśli instrument jest oferowany w obrocie pozagiełdowym, np. w ofercie banku, to zazwyczaj mamy do czynienia z kwotowamem dwustronnym; oznacza to, ze bank podaje cenę kupna (bid) i cenę sprzedazy (ask); jeśli podmiot, który korzysta z oferty banku, chce zająć pozycję długą, obowiązuje cena sprzedazy (wyzsza), a gdy chce zająć pozycję krótką, obowiązuje cena kupna (niższa). 2. Wycena rozumiana jako określenie wartości pozycji w instrumencie. W tym przypadku jest to dzisiejsza wartość instrumentu, w którym pozycja została zajęta w wyniku zawartej wcześniej transakcji. W tej transakcji jedna strona zajmuje pozycję diugą, druga strona zaś pozycję krótką. W artość pozycji krótkiej jest to wartość pozycji diugiej wzięta ze znakiem minus. Wynika z tego, ze suma wartości długiej i krótkiej pozycji wynosi 0. Zazwyczaj występuje jedna z dwóch następujących sytuacji: «wartość pozycji długiej jest dodatnia (np. 100), a wartość pozycji krótkiej jest ujemna (w tym przykładzie -100); wtedy strona zajmująca pozycję długą traktuje w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako element aktywów, a strona zajmująca pozycję krótka traktuje w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako zobowiązanie; wartość pozycji długiej jest ujemna (np. -200), a wartość pozycji krótkiej jest dodatnia (w tym przykładzie 200); wtedy strona zajmująca pozycję długą traktuje w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako zobowiązanie, a strona zajmująca pozycję krótką traktuje w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako element aktywów. Należy jeszcze dodać, ze w momencie zawarcia kontraktu jego cena jest ustalona na takim poziomie, ze wartość długiej i krótkiej pozycji wynosi 0, dlatego strony zawierające ten kontrakt z reguły nie dokonują żadnej płatności. W dalszych rozważaniach na temat wyceny symetrycznych instrumentów pochodnych pokażemy szczegółowe rozwiązania dotyczące obu rodzajów wyceny, tzn. określenia ceny rynkowej instrumentu i określenia wartości pozycji w tym instrumencie. Obecnie skoncentrujmy się na ogólnych uwagach dotyczących wyceny instrumentów pochodnych, rozumianej jako określenie ceny rynkowej instrumentu. W tej wycenie dominująca jest koncepcja wyceny arbitrażowej (arbitrage pricing). Jak pamiętamy, arbitraż jest to strategia, w której nie występuje nakład początkowy, która jest wolna od ryzyka i która przynosi w efekcie dodatni przepływ pieniężny. Podobnie, arbitraż jest to strategia, która jest wolna od ryzyka, przynosi efekt w postaci dodatniego przepływu pieniężnego na początku i w której nie występują żadne dodatnie am ujemne przepływy pieniężne. Koncepcja wyceny arbitrażowej instrumentu pochodnego (a także innego instrumentu finansowego) ma u podstaw załozeme, ze cena instrumentu pochodnego ustalona jest na takim poziomie, iż me jest możliwe skonstruowanie strategii arbitrażowej, w której występowałby ten instrument finansowy. Przedstawimy teraz ogólny przykład ilustrujący zastosowanie koncepcji wyceny arbitrażowej, w którym występują hipotetyczne dłużne instrumenty finansowe. 263

3 Przykład. Dane sa trzy instrumenty diuzne: instrument A - roczna obligacja zerokuponowa o wartości nominajnej 100 zi, instrument B - dwuletnia obligacja zerokuponowa o wartości nominalnej 100 zi, instrument C - dwuletnia obligacja o wartości nominalnej 100 zi i oprocentowaniu 10%, w której odsetki płacone są raz w roku. Zaióżmy, ze cena instrumentu A wynosi 90,91 zi, a cena instrumentu B wy~ nosi 82,645 zi, przy czym instrumenty te sa dobrze wycenione na rynku. Pojawia się pytanie o wartość instrumentu C. Okazuje się, ze w wyniku zastosowania koncepcji wyceny arbitrażowej otrzymujemy wartość równa 100 zi. W celu uzasadnienia tego stwierdzenia rozpatrzymy dwie sytuacje, w których możliwe jest skonstruowanie strategii arbitrażowej. Sytuacja 1, Zaióżmy, ze cena instrumentu C na rynku wynosi 97 zi. Oznacza to, ze instrument ten jest niedowartościowany, czyli warto go kupić. W tym wypadku możliwa jest następująca strategia arbitrażowa: zakup (długa pozycja) 10 instrumentów C, sprzedaz (krótka pozycja) i instrumentu A oraz 11 instrumentów B. Zauważmy, ze strategia ta pr2ynosi w momencie jej skonstruowania przychód netto: 90,91 zi (sprzedaz 1 instrumentu A) + 909,09 zi (sprzedaz 11 instrumentów B) zi (zakup 10 instrumentów C), co daje 30 zi. Suma ta wynika z różnicy między wartością instrumentu C równa 100 zi a ceną równa 97 zi, po uwzględnieniu, ze zakup dotyczy 10 instrumentów. Zauważmy, ze realizacja tej strategii w ciągu 2 lat me wymaga żadnych dodatkowych przepiywów pieniężnych - jest to strategia samofinansująca się. Dodatnie przepiywy pieniężne otrzymywane z tytuiu zakupu 10 instrumentów C sa następujące: po pierwszym roku 100 zi, po drugim roku 1100 zi. Jest to dokładnie równe zobowiązaniom, czyli ujemnym przepiywom pieniężnym z tytuiu sprzedazy 1 instrumentu A i 11 instrumentów B. Skoro strategia jest samofinansująca się, a na początku generowany jest dodatkowy przepiyw pieniężny równy 30 zi, wynika z tego możliwość arbitrażu. To zaś nie jest zgodne z koncepcją wyceny arbitrażowej, zakładającej brak możliwości dokonania arbitrażu. Sytuacja 2. Zaióżmy, ze cena instrumentu C na rynku wynosi 104 zi. Oznacza to, ze instrument ten jest przewartościowany, czyli warto go sprzedać. W tym wypad- / ku możliwa jest następująca strategia arbitrażowa: sprzedaz (krótka pozycja) 10 instrumentów C, zakup (długa pozycja) 1 instrumentu A oraz 11 instrumentów B. Zauważmy, ze strategia ta przynosi w momencie jej skonstruowania przychód netto: 1040 zi (sprzedaz 10 instrumentów C) - 90,91 zi (zakup 1 instrumentu A) ,09 zi (zakup 11 instrumentów B), co daie 40 zi. 264

4 Suma ta wynika z różnicy miedzy ceną instrumentu C równa 104 zi a wartością równą 100 zi, po uwzględnieniu, ze sprzedaż dotyczy 10 instrumentów. Zauważmy, ze realizacja tej strategii w ciągu 2 lat nie wymaga żadnych dodatkowych przepiywów pieniężnych - jest to strategia samofinansująca się. Dodatnie przepływy pieniężne otrzymywane z tytuiu zakupu 1 instrumentu A i 11 instrumentów g sa następujące: po pierwszym roku 100 zi, po drugim roku 1100 zi. Jest to dokładnie równe zobowiązaniom, czyli ujemnym przepływom pieniężnym z tytuiu sprzedazy 10 instrumentów C. Skoro strategia jest samofinansująca się, a na początku generowany jest dodatkowy przepiyw pieniężny równy 40 zi, wynika z tego możliwość arbitrażu. To zaś nie jest zgodne z koncepcją wyceny arbitrażowej, zakładającej brak możliwości dokonania arbitrażu. Wynika z tego, ze w koncepcji wyceny arbitrażowej wartość instrumentu C wynosi 100 zi. Przy tej cenie me jest możliwe skonstruowanie strategii arbitrażowej. W kolejnych punktach rozdziaiu szczegółowo omówione zostaną zagadnienia zwigzane z wycena instrumentów pochodnych, analizą ryzyka tych instrumentów oraz ich zastosowaniem Wycena opcji - wprowadzenie Jako pierwszy instrument pochodny rozwazymy opcję. W tym przypadku wycena jest rozumiana przede wszystkim jako określenie wartości opcji. Z drugiej jednak strony, jest to również określenie wartości pozycji. Konkretnie wartość długiej pozycji w opcji, czyli pozycji posiadacza opcji, to mc innego, jak wiaśme określenie wartości opcji. Z kolei wartość krótkiej pozycji w opcji, czyli pozycji wystawcy opcji, jest równa wartości opcji ze znakiem ujemnym. Rozumienie wyceny opcji jest zawsze takie samo, niezależnie od tego, czy wycena dokonywana jest w momencie zawierania transakcji, czy t.ez jakiś czas po jej zawarciu (gdy wycena jest dokonywana np. na potrzeby sprawozdania finansowego). Po prostu cena rynkowa opcji to jednocześnie wartość pozycji długiej posiadacza opcji. Zanim przejdziemy do omówienia modeli wyceny opcji, konieczne jest przedstawienie pewnych pojęć i zalezności dotyczących wartości opcji, które są wykorzystywane w modelach wyceny opcji. Są to następujące kwestie: opcja in-the~money, out-of-the-money, at-the-money, wartość wewnętrzna i wartość czasowa opcji, czynniki wpływające na wartość opcji, granice wartości opcji, parytet put-calu współczynniki greckie. 265

5 Opcja in-the-m oney, out-of-the-m oney, at-the-money Niezaiezme od rodzaju opcji (cali lub put, europejska lub amerykańska) można wyróżnić trzy sytuacje w zaiezności od relacji miedzy ceną instrumentu podstawowego a cena wykonania opcji. Zwyczajowo dla tych trzech sytuacji stosowane sa specjalistyczne zwroty w języku angielskim: opcja jest m-the-money, krótko: opcja ITM; opcja jest out-of-the-money, krótko: opcja OTM; opcja jest at-the-money, krótko: opcja ATM. Opcja jest m-the-money, gdy wykonanie jej jest opłacalne, tzn. gdy: w przypadku opcji cali: wartość instrumentu podstawowego jest wyzsza niz cena wykonania; w przypadku opcji put. wartość instrumentu podstawowego jest niższa niż cena wykonania. Opcja jest out-of-the-money, gdy wykonanie jej me jest opiacalne, tzn. gdy: w przypadku opcji cali. wartość instrumentu podstawowego jest niższa niż cena wykonania; w przypadku opcji put. wartość instrumentu podstawowego jest wyzsza niż cena wykonania. Opcja jest at-the-money, gdy wartość instrumentu podstawowego jest równa cenie wykonania (dotyczy to opcji cali i opcji put). Rysunki 7.1 i 7.2 przedstawiają interpretację graficzną tych trzech pojęć. Na obu rysunkach przedstawiony jest wykres przychodu z opcji w zaiezności od ceny instrumentu podstawowego. Jak widać, opcja jest ITM, gdy przychód ten jest dodatni, w pozostaiych przypadkach opcja jest OTM lub ATM Wartość wewnętrzna Swartość czasowa opcji Wartość opcji, czyli inaczej premia, może być (poza pewnymi wyjątkami) przedstawiona jako suma dwóch składników, w następujący sposób: 266 wartość opcji = wartość wewnętrzna opcji + wartość czasowa opcji.

6 Wartość wewnętrzna (intrinsic value) może być interpretowana jako suma, którą mozna by otrzymać, gdyby opcja byia w danym momencie wykonana. Wartość wew nętrzna jest dodatnia w przypadku opcji ITM. Wtedy wartość wewnętrzna określona jest iako: w przypadku opcji cali: cena instrumentu podstawowego minus cena wykonania; w przypadku opcji put: cena wykonania minus cena instrumentu podstawowego. Z kolei w przypadku opcji OTM oraz ATM wartość wewnętrzna wynosi 0. Wartość czasowa {time value) jest to różnica między wartością opcji a wartością w ew n ętrzn ą. Jeśli wartość wewnętrzna jest równa 0, to jedyną składową wartości opcji iest wartość czasowa. Interpretacja wartości czasowej jest następująca: jest to w artość nadziei uczestników rynku, ze opcja o zerowej wartości wewnętrznej (OTM tut) ATM) stanie się opcją ITM. Zauważmy, ze: przed dniem wygaśnięcia: opcja ITM ma wartość wewnętrzną i wartość czasową; «opcje OTM i ATM mają tylko wartość czasową; w dniu wygaśnięcia: opcja ITM ma tylko wartość wewnętrzną; opcje OTM i ATM me mają ani wartości wewnętrznej, ani wartości czasowej; opcje te wygasają niewykonane. Należy dodać, ze przedstawione pojęcia odnoszą się przede wszystkim do opcji amerykańskich, a także do europejskich opcji cali wystawionych na instrumenty podstawowe, które me przynoszą dochodów w okresie do wygaśnięcia opcji. W przypadku europejskich opcji put powyzsze interpretacje me mogą być zastosowane, gdyz zdarza się, ze wartość takiej opcji jest niższa niż jej wartość wewnętrzna. Traktują o tym rozwazama w dalszej części Czynniki wpływające na wartość opcji Na wartość opcji wpiywa kilka czynników. Jak zobaczymy, wszystkie one są uwzględnione w modelach wyceny opcji, które są omówione w dalszej części. Obecnie przedstawimy te czynniki, przy czym odnoszą się one do następujących rodzajów opcji: opcji na akcje, opcji na indeksy akcji i opcji walutowych. Czynniki te są następujące: a cena wykonania, o cena instrumentu podstawowego, długość okresu do terminu wygaśnięcia, zmienność cen instrumentu podstawowego, stopa procentowa (dana jako stopa wolna od ryzyka), stopa dywidendy (w przypadku opcji na akcje opcji na indeksy akcji) lub stopa procentowa w kraju obcej waluty (w przypadku opcji walutowych). Obecnie przedstawimy wpiyw każdego z tych czynników na wartość opcji, przy czym wpiyw ten jest analizowany przy zaiozemu, ze pozostaie czynniki wpływające na wartość opcji nie zmienią się. 267

7 Jeśli chodzi o wpiyw ceny wykonania, to: 9 spośród dwóch opcji cali różniących sie tylko cena wykonania, wyzszą wartość ma opcja o niższej cenie wykonania (opcja cali to prawo kupna instrumentu podstawowego po ustalonej cenie, wiec im ta cena jest niższa, tym wyzsza wartość tego prawą)- a spośród dwóch opcji put różniących się tylko cena wykonania, wyższa wartość ma opcja o wyzszej cenie wykonania (opcjapu t to prawo sprzedazy instrumentu podstawowego po ustalonej cenie, więc im ta cena jest wyzsza, tym wyzsza wartość tego prawa). Cena instrumentu podstawowego to główny czynnik mający wpiyw na wartość opcji, ale rówmez na wartość innych instrumentów pochodnych, co wynika wprost z definicji instrumentu pochodnego. Im wyzsza cena instrumentu podstawowego, tym; wyzsza wartość opcji cali; niższa wartość opcji put. Prawidłowości te wynikają z jednej strony z wykresów wypiaty i dochodu dla opcji, z drugiej zaś strony z faktu, ze wyższa wartość instrumentu podstawowego oznacza wyzsza wartość prawa kupna po ustalonej cenie (opcja cali) oraz niższą wartość prawa sprzedazy po ustalonej cenie (opcja put). Długość okresu do terminu wygaśnięcia wpływa dodatnio na wartość amerykańskiej opcji (call i put). Im bowiem dłuższy okres do terminu wygaśnięcia, tym większą szansa, ze opcja (call i put) stanie się opcją ITM. Po prostu, dłuzszy okres do terminu wygaśnięcia oznacza większą wartość czasową opcji. W przypadku opcji europejskiej od tej zalezności mogą sie czasem zdarzyć wyjątki. Zmienność cen instrumentu podstawowego (volatility) jest to bardzo ważny czynnik. Jest ona mierzona za pomocą odchylenia standardowego stopy zwrotu, pr2y czym najczęściej stosowana jest koncepcja logarytmiczne] stopy zwrotu, czyli logarytmu naturalnego ilorazu ceny z danego okresu j ceny z okresu poprzedniego. Jest to przy tym jedyny czynnik, w przypadku którego określenie wartości przez analityka dokonującego wyceny opcji nie jest zadaniem iatwym. Zależność jest tu następująca: im wyzsza zmienność ceny instrumentu podstawowego, tym wyzsza wartość opcji (call i put). Jest tak dlatego, ze jeśli występuje duża zmienność ceny instrumentu podstawowego, to jest możliwość pojawienia się bardzo wysokiej i bardzo niskiej ceny instrumentu podstawowego. Bardzo wysoka cena instrumentu podstawowego oznacza, ze opcja cali staje sie ITM, czyli zwiększa się jej wartość. Bardzo niska cena instrumentu podstawowego oznacza, ze opcja put staje się ITM, czyli zwiększa się jej wartość. Stopa procentowa (określona tutaj jako stopa wolna od ryzyka) wpiywa na wartość opcji (przy innych czynnikach mezmiemających się) następująco. Wzrost stopy procentowej oznacza spadek wartości obecnej (bieżącej) ceny wykonania opcji. W konsekwencji oznacza to wzrost wartości opcji cali i spadek wartości opcji put. Jeśli instrument podstawowy, na który wystawiona jest opcja, przynosi dochody w terminie przed wygaśnięciem opcji, to stopa określająca te dochody wpiywa na wartość opcji. Chodzi tutaj o: o stopę dywidendy - w przypadku opcji na akcje i opcji na indeksy; *» stopę w kraju obcej waluty, określoną jako stopa procentowa wolna od ryzyka w tym kraju - w przypadku opcji walutowych. 268

8 Jeśli stopy te rosną, to spada wartość opcji cali i rośnie wartość opcji put. Podsumowanie kierunku wpiywu poszczególnych czynników na wartość opcji przedstawia tabela 7.1. W tej tabeli wskazany jest kierunek wpływu, gdy wartość danego C2ynnika rośnie (w przypadku ceny wykonania oznacza to me wzrost ceny wykonania, lecz po prostu wyższa cene wykonania). Tabela 7.1. Wpiyw czynników na wartość opcii Czynnik Opcia cali - wpływ Opcja put - wpływ Cena instrumentu podstawowego dodatni uiemny Cena wykonania uiemny dodatni Długość do terminu wygaśnięcia dodatni dodatni Zmienność dodatni dodatni Stopa procentowa dodatni uiemny Stopa dywidendy, stopa zagraniczna uiemny dodatni Nale2y jeszcze raz podkreślić, ze wpiyw każdego czynnika jest analizowany przy założeniu jednoczesnego braku wpiywu mnych czynników. 7,2.4. Granice wartości opcji Obecnie podamy kilka nierówności, które powinna speiniać wartość opcji. Nierówności te pozwalają na oszacowanie dolnej i górnej granicy wartości opcji. Przyjmijmy na początku, ze rozpatrujemy opcje europejskie wystawione na akcję, która nie daje dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji. W przypadku opcji cali i opcji put zaleznosci są następujące: c ^ 0, (7.1) C (7.2) c ^ S - P V ( X ), (7.3) P ** o, (7.4) p ^ P V { X \ (7.5) p ^ P V ( X ) - S, (7.6) gdzie: c - wartość europejskiej opcji calh p - wartość europejskiej opcji put; S - wartość akcji; X - cena wykonania; P V - oznaczenie wartości obecnej, z zastosowaniem stopy wolnej od ryzyka. Nierówności (7.1) i (7.4), oznaczające meujemność wartości opcji, me wymagają komentarza. Nierówność (7.2) oznacza, ze opcja cali, będąca prawem kupna instrumentu podstawowego, me może być drozsza niż sam instrument podstawowy (każdy kupi wtedy instrument podstawowy zamiast kupować prawo kupna tego instrumentu). Nierówność (7.5) porównuje przeliczony na moment obecny nakład z efektem. Nakładem jest cena opcji put, efektem zaś wartość obecna ceny wykonania. Z nierówności wynika, ze nakład me może być większy niż efekt. 269

9 Bardziej szczegółowego Komentarza wymagają dwie pozostaie nierówności. Na wstępie rozwazmy nierówność (7.3). Dla jej wyjaśnienia przeanalizujemy dwie możliwe strategie inwestycyjne, w których długość okresu inwestowania jest równa d łu gości okresu do terminu wygaśnięcia opcji: Strategia 1. Zakup akcji. Strategia 2. Zakup opcji cali na tę akcję plus inwestycja wolna od ryzyka, której wartość końcowa równa jest cenie wykonania opcji. Wartości końcowe obu strategii są następujące: Strategia 1. Cena akcji w momencie wygaśnięcia - oznaczmy ją S* Strategia 2. Suma wartości strategii składowych, przy czym wartość inwestycji woinej od ryzyka wynosi X, a wartość opcji zalezy od tego, czy jest ona wykonana. W efekcie otrzymujemy: jeśli opcja wygasa niewykonana (S* = sj), to wartość końcowa wynosi 0 + X = X\ jeśli opcja jest wykonana (5* > X ), to wartość końcowa wynosi (5* - X ) + X = S*: Jak zatem widać, jeśli opcja jest wykonana, to obie strategie dają ten sam wynik. W odwrotnej sytuacji wynik strategii 2 jest wyzszy (lub równy). Oznacza to, że dzisiejsza wartość (nakład) w strategii 2 musi być me mniejsza niż w strategii 1. W efekcie otrzymujemy: C + P V(X ) s* S. Nierówność ta po przekształceniu daje wzór (7.3). Teraz rozpatrzmy nierówność (7.6). Dla jej wyjaśnienia przeanalizujemy dwie możliwe strategie inwestycyjne, w których długość okresu inwestowania jest równa długości okresu do terminu wygaśnięcia opcji: Strategia 1. Zakup akcji. Strategia 2. Wystawienie opcji put na tę akcję plus inwestycja wolna od ryzyka, której wartość końcowa równa jest cenie wykonania opcji. Wartości końcowe obu strategii są następujące: Strategia 1. Cena akcji w momencie wygaśnięcia - oznaczmy ją S Strategia 2. Suma wartości strategii składowych, przy czym wartość inwestycji : wolnej od ryzyka w ynosić, a wartość opcji (tutaj wzięta ze znakiem ujemnym, gdyz : opcja jest wystawiana) zaiezy od tego, czy jest ona wykonana. W efekcie otrzymujemy: jeśli opcja wygasa niewykonana (S* X ), to wartość końcowa wynosi 0 + X = X\ jeśli opcja jest wykonana (5* < to wartość końcowa wynosi - (X - S*) + X ~ S* Jak zatem widać, jeśli opcja jest wykonana, to obie strategie dają ten sam wynik. W odwrotnej sytuacji wynik strategii 2 jest niższy (lub równy). Oznacza to, ze dzisiejsza wartość (nakład) w strategii 2 musi być nie większa niż w strategii 1. W efekcie : otrzymujemy: -p + P V (X ) ^ S. Nierówność ta po przekształceniu daje wzór (7.6). Przedstawione zaiezności, dane wzorami (7.1)-(7.6) dotyczą opcji europejskiej) wystawionych na akcję, która me daje dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji. Część z tych zaiezności pozostaje aktualna, gdy rozwazymy opcje amerykańskie.

10 potyczy to zalezności dla opcji cali, danych wzorami (7.1)-(7.3), oraz zalezności danej ;VZorem (7.4). Zmieniają się natomiast dwie zalezności dla opcjiput, które przyjmują postać: P ^ X, (7.7) P :*X -S, (7.8) gdzie: P - wartość amerykańskiej opcji put. Zalezności dane w postaci nierówności w odniesieniu do europejskiej opcji cali i amerykańskiej opcji cali są takie same (wzory (7.1)-(7.3)). Wynika to z ogólnej prawidłowości, która wskazuje, ze w przypadku amerykańskiej opcji cali wystawionej na akcję, która me daje dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji, me jest opłacalne wykonanie tej opcji przed terminem wygaśnięcia. Ogólny argument uzasadniający to stwierdzenie jest następujący: zapłacenie ceny wykonania wcześniej pozbawia inwestora dochodu (przy stopie wolnej od ryzyka), który mógłby być uzyskany w okresie do terminu wygaśnięcia opcji. Wynika z tego również, ze wartości europejskiej i amerykańskiej opcji cali wystawionej na akcję, która me daje dywidendy, są równe. Właściwość ta dotyczy również opcji wystawionych na mny instrument podstawowy, który me przynosi - dochodów w okresie do wygaśnięcia opcji. Z kolei w przypadku amerykańskiej opcji put wystawionej na akcję, która me daje dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji, jest opiacalne wykonanie tej opcji przed terminem wygaśnięcia. Ogólny argument uzasadniający to stwierdzenie jest następujący: otrzymanie ceny wykonania wcześniej daje możliwość dodatkowego dochodu inwestora (przy stopie wolnej od ryzyka), który nie mógłby być uzyskany, gdyby opcja me zostaia wykonana. Wynika z tego, ze opcja amerykańska put jest więcej warta niż opcja europejska put. Ponieważ w przypadku opcji amerykańskiej put jej wartość może być równa wartości wewnętrznej, a opcja europejska put jest warta mniej niż opcja amerykańska put (gdyz opiaca się wcześniejsze wykonanie i opcji amerykańskiej), wynika z tego, ze wartość europejskiej opcji put może być niższa niż jej wartość wewnętrzna. Oznacza to, ze przedstawiona wcześniej interpretacja wartości czasowej jako części składowej wartości opcji me jest w tym przypadku zasadna. Na zakończenie dodajmy jeszcze, ze w przypadku opcji na potrzeby wyznaczania wartości bieżącej (obecnej) najczęściej przyjmuje się koncepcję kapitalizacji ciągiej. Przedstawione zalezności dla opcji europejskich na akcję medającą dywidendy zmieniają się, gdy opcja wystawiona jest na akcję, która przyniesie dywidendę w okresie do terminu wygaśnięcia opcji. Zmieniają się wtedy nierówności (7.3) (7.6), przyjmując postać: c Ss 5 - PV(D) - PV(X), (7.9) p & PV(X) - S + PV(D), (7.10) gdzie: PV(D) - wartość obecna dywidend wypłaconych w okresie do terminu wygaśnięcia opcji. 271 I:

11 Przykład. Cena akcji wynosi 50 zi. Rozpatrywane sg dwie opcje, cali i pm z terminem wygaśnięcia pół roku i ceną wykonania 48 zi. Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Wiadomo, ze zostaną wypiacone dwie dywidendy (na 1 akcję): pierwsza za miesiąc, w wysokości 1,2 zi, druga za 4 miesiące, w wysokości 1,5 zi. Najpierw wyznaczymy wartość obecna dywidend. Wynosi ona: PV(D) = l,2e~ '0Ml/11) + l,5e~0 08'i4/1^ = 2,65. Z kolei po podstawieniu do wzorów (7.9) i (7.10) otrzymujemy: c s* 50-2,65-48e- 0S Ü'5 = 1,23, p ^ 48e 0 08' ,65 = -1,23. Jak widać, w tym przykładzie druga nierówność (dla opcji put) nie wnosi nowej informacji, gdyz z oczywistych powodów wartość opcji przede wszystkim musi być meujemna, a zatem rówmez większa od wartości ujemnej. Na zakończenie przedstawimy jeszcze ogólniejsza postać wzorów (7.9)-(7.10). Dotyczy ona sytuacji, gdy mamy dowolny instrument podstawowy, który może przynosić dochody w okresie do wygaśnięcia opcji. Wtedy wzory będące uogólnieniami wzorów (7.3) i (7.6) oraz wzorów (7.9) i (7.10) sa następujące: c 3* Se(b~r)T- X c - rt, p > X e-rt- S é b~ryf. (7.11) (7.12) gdzie: T - czas do wygaśnięcia opcji (wyrażony w latach); r - stopa wolna od ryzyka; b - tzw. stopa cost-of-carry (cost-of-carry ratę). Nie wchodząc na razie w szczegóły dotyczące interpretacji stopy cost-of-carry, przedstawimy tylko jej szczególne przypadki, pozwalające na uzyskanie różnych szczegółowych wariantów wzorów (7.11) i (7.12). Sa to następujące przypadki: o b - r - opcja na akcję medająca dywidendy, b-r-q - opcja na akcję przynosząca dywidendę lub na mdeks giełdowy (ej oznacza stopę dywidendy), o b = r - ;/-o p q a walutowa (rf oznacza stopę wolna od ryzyka w kraju obcej waluty), b = 0 - opcja na kontrakt futures. Nierówności dane wzorami (7.1)-(7.3) zilustrowane sa na rysunku 7.3. Rysunek 7.3. Granice wartości dla opcii cali 0 D ' A PV{X) 272

12 Rysunek ten przedstawia zalezność wartości opcji cali od ceny instrumentu podstawowego (dla ustalenia uwagi instrumentem podstawowym jest akcja). Rozważany jest pewien okres przed terminem wygaśnięcia. Na rysunku zaznaczone są trzy linie, które określają zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć opcja. W szczególności: lima przechodząca przez punkty 0 oraz A odzwierciedla warunek (7.1) - pod uwagę bierze sie tylko punkty poiozone powyżej lub na linii; lima przechodząca przez punkty 0 oraz B odzwierciedla warunek (7.2) - pod uwagę bierze sie tylko punkty poiozone na prawo lub na linii; lima przechodząca przez punkty A oraz C odzwierciedla warunek (7.3) - pod uwagę bierze sie tylko punkty poiozone na lewo lub na linii. Wynika z tego, ze zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć ta opcja cali, iest określony poprzez figurę zawartą miedzy punktami 0, A, B i C, przy czym ta figura jest nieograniczona od góry (od strony odcinka BC). Zauważmy, ze w miarę zbliżania sie opcji do terminu wygaśnięcia obszar możliwych wartości będzie sie zmiemai. Ściślej, ponieważ wzrasta wartość obecna ceny wykonania (az do osiągnięcia ceny wykonania - w dmu będącym terminem wygaśnięcia), zatem linia przechodząca przez punkty A i C będzie przesuwać się (równolegle) w prawo. Na rysunku zaznaczona jest również krzywa, która ilustruje zalezność wartości opcji od ceny akcji. Krzywa ta (w danym dniu) mieści sie w nieograniczonej figurze zawartej miedzy punktami 0, A, B i C. Jest to oczywiście krzywa rosnąca (wzrost ceny akcji oznacza wzrost wartości opcji kupna). Odległości miedzy punktami lezącymi na tej krzywej a punktami lezącymi na iamanej przechodzącej przez punkty 0, A i C odzwierciedlają wartości czasowe opcji. Są to np. odlegiości miedzy punktami D i D' oraz E i E'. Z kolei nierówności przedstawione wzorami (7.4), (7.7) i (7.8), dotyczące amerykańskiej opcji jout, przedstawione są na rysunku 7.4. Rysunek 7.4. Granice wartości dia amerykańskie) opcji put Rysunek ten przedstawia zalezność wartości amerykańskiej opcji put od ceny instrumentu podstawowego (dla ustalenia uwagi instrumentem podstawowym jest akcja). Opcja znajduje sie przed terminem wygaśnięcia. Na rysunku zaznaczone są trzy linie, które określają zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć opcja. W szczególności: linia przechodząca przez punkty 0 oraz A odzwierciedla warunek (7.4) - pod uwagę bierze sie tylko punkty poiozone powyżej lub na linii; 273

13 linia przechodzącą przez punkty B oraz C odzwierciedla warunek (7.7) - p0(j uwagę bierze się tylko punkty położone poniżej lub na linii; linia przechodząca przez punkty A oraz B odzwierciedla warunek (7.8) - p0(j uwagę bierze się tylko punkty poiozone na prawo lub na linii. Wynika z tego, ze zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć ta opcja sprzedazy, jest określony poprzez figurę zawartą miedzy punktami A, B i C, przy czym ta figura jest nieograniczona z prawej strony (od strony odcinka AC). Na rysunku zaznaczona jest również krzywa, która ilustruje zalezność wartości opcji od ceny akcji. Krzywa ta (w danym dniu) mieści się w nieograniczonej figurze zawartej między punktami A, B i C. Jest to oczywiście krzywa malejąca (wzrost ceny akcji oznacza spadek wartości opcji kupna). Odlegiości między punktami lezącymi na tej krzywej a punktami lezącymi na iamanej przechodzącej przez punkty.4 B i C odzwierciedlają wartości czasowe opcji. Z kolei nierówności przedstawione wzorami (7.4)-(7.6), dotyczące europejskiej opcji put, przedstawione są na rysunku 7.5. ; Rysunek 7.5. Granice wartości dla europejskiej opcji put Jak widać, rysunek ten różni się od poprzedniego tym, ze wartość opcji może> być niższa od wartości wewnetrznej Parytet put-call Parytet ten, czasem nazywany parytetem sprzedaz-kupno, jest to zalezność, jaka zachodzi między wartością opcji cali i opcji put. Obie rozwazane opcje są europejskie, są wystawione na ten sam instrument podstawowy, mają tę samą cenę wykonania i ten sarii termin wygaśnięcia. Ponownie rozpatrzymy dwie strategie inwestycyjne, o długości okresu-': inwestowania równej długości do terminu wygaśnięcia opcji, przy czym instrumentem" podstawowym jest akcja spótki medająca dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji: Strategia 1. Zakup opcji cali plus inwestycja wolna od ryzyka, której końcowa równa jest cenie wykonania opcji. Strategia 2. Zakup opcji p ut plus zakup akcji. % Wartości końcowe w obu strategiach zalezą od tego, czy opcje są wykon Możliwe są dwie sytuacje: 1. Cena akcji w momencie wygaśnięcia opcji jest niższa niż cena wykonania (cz 5* <X ); wówczas wykonywana jest opcja put, a opcja cali wygasa niewykonana. W artość końcowa inwestycji wynosi:

14 .-S! I strategia 1: O + X = X; strategia 2: (X - S*) + S* = X. 2. Cena akcji w momencie wygaśnięcia opcji jest wyzsza lub równa cenie wykonania (czyli S* ss X); wówczas wykonywana jest opcja cali, a opcja put wygasa niewykonana. Wartość końcowa inwestycji wynosi: strategia 1: (S* ~ X ) + X = S * : strategia 2 :0 + S*= S * Jak zatem widać, w każdej z dwócń sytuacji wartość końcowa obu strategii jest równa. Oznacza to, że wartość obecna (nakład) w obu strategiach jest równy, czyli: c+ P V (X )= p + S. (7.13) Wzór (7.13) może być zastosowany do określenia wartości opcji put, gdy znana jest wartość opcji cali, i na odwrót, pod warunkiem znajomości wartości instrumentu podstaw ow ego i charakterystyk opcji. Przy określaniu wartości bieżącej ceny wykonania, która występuje we wzorze (7.13), najczęściej przyjmuje się koncepcję kapita- 0. lizacji cią g icj. Przykład. Cena akcji wynosi 50 zi. Dane sa dwie opcje wystawione na tę akcję: opcja cali i opcja put. Cena wykonania obu opcji wynosi 48 zi, a termin wygaśnięcia 3 miesiące. Cena opcji cali wynosi 3,5 zi. Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%. Na podstawie wzoru (7.13) otrzymujemy wartość opcji put\ p = c + PV(X) - S = 3,5 + 48e 0 1'0,25 50 = 0,31. IjUfe Wzór (7,13) może być również zastosowany w innym celu, mianowicie do iden- lif. tyfikacji możliwej strategii arbitrażowej. Strategia ta obejmuje wszystkie możliwe 'pv,cztery instrumenty, któiych wartości występują we wzorze (7.13). Instrumentami tymi są: opcja cali, opcja put, akcja oraz instrument wolny od ryzyka, który w terminie wygaśnięcia opcji daje przepiyw pieniężny równy cenie wykonania opcji. Przeprowadzenie strategii arbitrażowej jest możliwe, gdy parytet put-call nie jest v spełniony, czyli w miejsce równości we wzorze (7.13) występuje nierówność. Przy K ^ Jeśli lewa strona we wzorze (7.13) jest większa niż prawa strona, to strategia arbitrażowa jest następująca: wystawić opcję cali, zająć pozycję krótka w instrumencie Wolnym od ryzyka, kupić opcję put i kupić akcję; jeśli lewa strona we wzorze (7.13) jest mniejsza niż prawa strona, to strategia arbitrażowa jest następująca: kupić opcję cali, zajać pozycję długą w instrumencie i : Wolnym od ryzyka, wystawić opcję put i sprzedać (np. krótko) akcję. ^aic widać, idea tych strategii wykorzystuje fakt występowania nierówności we f^ ^ o rz e (7.13), co wskazuje na konieczność zajęcia długiej pozycji tam, gdzie wartość jest niższa, i jednocześnie krótkiej pozycji tam, gdzie wartość jest wyzsza. Przykład. Cena akcji wynosi 50 zi. Dane są dwie opcje wystawione na tę akcję: ^ >r\ )c,a CQtt i opcja put. Cena wykonania obu opcji wynosi 48 zi, a termin wygaśnięcia 97^

15 3 miesiące. Cena opcji cali wynosi 4,5 zi, opcji put zaś 0,5 zi. Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%. Po podstawieniu do wzoru (7.13) otrzymujemy nierówność: 4,5 + 48e_0 125 > 0, Różnica między lewa i prawa strona wynosi 0,81 zi. Sugeruje to przeprowadzenie strategii arbitrażowej, która poiega na: wystawieniu opcji cali, zajęciu pozycji krótkiei w instrumencie wolnym od ryzyka, kupieniu opcji put i kupieniu akcji. W ten sposób generowany jest dochód netto (wynoszący 0,81 zł) w momencie początkowym strategii, Strategia ta jest wolna od lyzyka, gdyż jej wartość końcowa - po trzech miesiącach - me zalezy od ceny akcji. DJa zilustrowania tego faktu rozważymy dwa scenariusze kształtowania się ceny akcji po trzech miesiącach: Scenariusz 1. Cena akcji wynosi 52 zi. W tym wypadku wykonywana jest opcja cali, wygasa zaś opcja put. Wartość końcowa strategii wynosi: 52 zi (cena akcji) + 0 zi (wartość opcji put) ~ 48 zi (wartość inwestycji wolnej od ryzyka) - 4 zi (wartość opcji cali), czyli 0 zi. Scenariusz 2. Cena akcji wynosi 44 zi. W tym wypadku wykonywana jest opcja put, wygasa zaś opcja cali. Wartość końcowa strategii wynosi: 44 zi (cena akcji) + 4 zł (wartość opcji put) - 48 zi (wartość inwestycji wolnej od ryzyka) - 0 zi (wartość opcji cali), czyli 0 zł. W obu scenariuszach wartość końcowa strategii jest taka sama. Podobny efekt otrzymuje się przy zaiozemu dowolnej ceny akcji po trzech miesiącach. Jest to strategia wolna od ryzyka, której wartość końcowa wynosi 0 zi, a na początku generuje ona dochód netto równy 0,81 zi. Jest to zatem strategia arbitrażowa. Należy jeszcze dodać, ze powyżej opisana strategia arbitrażowa przynosi efekt, gdy koszty transakcji z ma związane są niższe niż dochód arbitrażowy. Przedstawiony parytet put-call, w postaci wyrażonej wzorem (7.13), dotyczy opcji wystawionych na akcję medającą dywidendy do wygaśnięcia opcji. Teraz podamy ogólny wzór dla przypadku, gdy opcje są wystawione na dowolny instrument podstawowy. Jedynym warunkiem jest to, ze opcje są europejskie, mają ten sam termin wygaśnięcia i tę samą cenę wykonania. Wtedy parytet put-call dany jest następującym wzorem: c +Xz~rT = p + Se(b~r)T, (7.14) gdzie: b - tzw, stopa cost-of-cany (cost-of~carry rate), przy czym szczególne przypadki to: b - r - opcja na akcję medającą dywidendy; b-r-ą - opcja na akcję dająca dywidendę lub na indeks giełdowy (ą oznacza stopę dywidendy); b ~r-rf - opcja walutowa (rf oznacza stopę wolną od ryzyka w kraju obcej waluty); b = 0 - opcja na kontrakt futures. 276

16 W spółczynniki greckie Współczynniki greckie (Greek coefficients, greeks) odgrywają dużą role w analizie opcji- Ich nazwa wynika z tego, że sa one oznaczane głównie literami greckimi. Sa to w sp ó łczynnik i wrażliwości, przy czym zazwyczaj chodzi o wrażliwość wartości (ceny) opcji względem czynnika, który wpływa na te cene. Formalnie każdy z tych współczynników jest określony jako pochodna (m atematyczna) wartości opcji względem konkretnego czynnika. Wynika z tego ogólna interpretacja greckiego współczynnika, mianowicie wskazuje on, jak zmieni się wartość opcji, gdy wartość rozpatrywanego czynnika zmieni się o jednostkę, a wartości pozostałych czynników me zmienią się. Wynika z tego, ze współczynniki greckie można traktować jako miary ryzyka opcji. Przy stosowaniu współczynników greckich należy pamiętać o dwóch ważnych kwestiach związanych z interpretacją czynnika: * rozwazać można jedynie wpiyw niewielkich zmian czynnika (z uwagi na to, ze formalnie współczynnik grecki jest pochodną w sensie matematycznym); przy rozpatrywaniu wpiywu danego czynnika abstrahuje się od wpływu innych czynników, które przeciez w praktyce tez mogą się zmienić. Przedstawimy tutaj kilka greckich współczynników. Określają one wpiyw większości wcześniej przedstawionych czynników. Jedynym czynnikiem, który nie jest tu rozpatrywany, jest cena wykonania. Wynika to z faktu, ze cena wykonania (w standardowych opcjach) me ma charakteru dynamicznego. Trudno jest zatem mówić o wpływie zmiany ceny wykonania na wartość opcji. Definicje greckich współczynników przedstawione są w odniesieniu do opcji cali (opcji kupna), jednak taicie same definicje występują w odniesieniu do opcji put (opcji sprzedazy). Najważniejszym współczynnikiem greckim jest współczynnik delta. Określa on wrażliwość wartości opcji na zmiany ceny instrumentu podstawowego. Dany jest następującym wzorem: gdzie: d - symbol pochodnej. Współczynnik delta określa, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, gdy cena instrumentu podstawowego wzrośnie o jednostkę. Najważniejsze właściwości współczynnika delta są następujące: w przypadku opcji cali współczynnik delta zawiera sie w przedziale [0, 1]; w przypadku opcji put współczynnik delta zawiera się w przedziale [-1, 0]; im bardziej opcja jest OTM, tym współczynnik delta jest bliższy 0 (dodatni lub ujemny); «im bardziej opcja jest ITM, tym współczynnik delta jest bliższy 1 (opcja cali) lub - 1 (opcja put); «współczynnik delta określony w odniesieniu do instrumentu podstawowego wynosi 1.

17 Współczynnik delta może być określony również w odniesieniu do portfela opcji. Stosowany jest tu następujący wzór: <5P = *.-<5/, (7.16) ' = I gdzie: n - liczba rodzajów opcji w portfelu; x; - liczba opcji i-tego rodzaju w portfelu. Jak wynika ze wzoru (7.16), współczynnik delta portfela jest to ważona suma współczynników delta składowych portfela, przy czym wagami są liczby odpowiednich składowych w portfelu. Przykład. Dana jest akcja pewnej spółki oraz opcja cali na tę akcję. Współczynnik delta tej opcji wynosi 0,25. Utworzony jest portfel zawierający 50 sztuk akcji kupionych (czyli długa pozycja) oraz 200 sztuk opcji cali wystawionych (czyli krótka pozycja). W portfelu na każdą kupioną opcję przypadają 4 wystawione opcje. Zauważmy, ze 4 jest to odwrotność współczynnika delta. Współczynnik delta portfela wynosi zgodnie ze wzorem (7.16), przy czym znaki odzwierciedlają długie i krótkie pozycje: dp = ,25 = 0. Ponieważ współczynnik delta portfela wynosi 0, oznacza to, ze rozwazany portfel jest w danym momencie niewrażliwy na zmiany cen akcji spółki, czyli jest to portfel wolny od ryzyka cen akcji. Przedstawiona strategia otrzymywania portfela wolnego od ryzyka cen instrumentu podstawowego jest nazywana strategią delta-hedgingu lub strategią delta-neutralną. Sam portfel utworzony w ten sposób nazywa się portfelem delta-neutralnym. Z przedstawionego przykładu można wyciągnąć ogólniejszy wniosek, mianowicie: w celu skonstruowania strategii delta-hedgmgu dla portfela zawierającego akcje i opcje cali należy na każdą zakupioną akcję wystawić liczbę opcji cali równą odwrotności współczynnika delta. Należy jednak zwrócić uwagę, ze portfel delta-neutralny jest wolny od ryzyka w danym momencie. Z uwagi na to, ze współczynnik delta może się zmieniać, skonstruowany portfel może przestać być delta-neutralny po upiywie pewnego czasu. Ilustruje to przykład, będący kontynuacją poprzedniego przykładu. Przykład. Dana jest akcja pewnej spółki oraz opcja cali na tę akcję. Współczynnik delta tej opcji wynosi 0,25. Utworzony jest portfel zawierający 50 sztuk akcji kupionych (czyli długa pozycja) oraz 200 sztuk opcji cali wystawionych (czyli krótka pozycja). Jest to (jak wskazywaliśmy) portfel delta-neutralny. Jednak po upiywie pewnego czasu współczynnik delta opcji rośnie i wynosi 0,5. Współczynnik delta portfela wynosi teraz: <5p = ,5 = Oznacza to, ze w przypadku wzrostu (spadku) ceny akcji o jednostkę wartość portfela spadnie (wzrośnie) o ok. 50 jednostek. Portfel ten me jest juz wolny od ryzyka. 278

18 Z przedstawionego przykładu wynika, ze współczynnik delta może się zmieniać w miare zmian cen instrumentu podstawowego. Tempo tych zmian informuje o tym, na ile utworzony portfel delta-neutralny może (w przybliżeniu) takim portfelem pozostać. Inform uje o tym kolejny współczynnik grecki, który teraz przedstawimy. Jest to współczynnik gamma. Określa on wrażliwość współczynnika delta na zmiany ceny instrumentu podstawowego, jest zatem pochodna współczynnika delta względem ceny instrum entu podstawowego, czyli po prostu drugą pochodną wartości opcji względem ceny instrumentu podstawowego - zgodnie z następującym wzorem: dd d2c Y~dS~ ds2 ' (7'17) Współczynnik gamma określa, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość współczynnika delta opcji, gdy cena instrumentu podstawowego wzrośnie o jednostkę- Najważniejsze właściwości współczynnika gamma sa następujące: współczynnik gamma przyjmuje wartości meujemne; najwyzsze wartości współczynnik gamma przyjmuje dla opcji ATM znajdujących się blisko terminu wygaśnięcia; współczynnik gamma określony w odniesieniu do instrumentu podstawowego wynosi 0; współczynnik gamma dla portfela opcji jest to ważona suma współczynników gamma składowych portfela, przy czym wagami sa liczby odpowiednich składowych w portfelu (taka sama właściwość jak dla współczynnika delta) - w ten sposób otrzymamy wzór analogiczny do wzoru (7.16). Ostatnia właściwość sugeruje strategię tworzenia portfela złozonego z opcji i instrumentu podstawowego, tak aby jednocześnie współczynnik delta tego portfela oraz współczynnik gamma tego portfela byiy równe 0. Taka strategia nosi nazwę delta-gamma hedgingu, portfel zaś nazwę delta-gamma neutralnego. Jest to portfel w danym momencie niewrażliwy na zmiany ceny instrumentu podstawowego, ale dodatkowo o właściwości pozostania niewrażliwym. Trzecim współczynnikiem greckim, który przedstawimy, jest współczynnik vega. Wyjątkowo współczynnik ten nie jest nazywany literą grecka (lecz siowem łacińskim), ale w przeszłości był nazywany współczynnikiem kappa do dziś czasem jest tak oznaczany. Określa on wrażliwość wartości opcji na zmiany zmienności instrumentu podstawowego, zgodnie ze wzorem: 3c veg a = K =, (7.18) óo gdzie: o - odchylenie standardowe (logarytmicznej) stopy zwrotu. Współczynnik vega określa, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, gdy zmienność instrumentu podstawowego wzrośnie o jednostkę. Najwazmejsze właściwości współczynnika vega są następujące: współczynnik vega przyjmuje wartości meujemne; wartość vega maleje w miare zbliżania się do terminu wygaśnięcia opcji; 279

19 » współczynnik vega w odniesieniu do instrumentu podstawowego wynosi 0; współczynnik vega dla portfela opcji jest to ważona suma współczynników vega składowych portfela, przy czym wagami sa liczby odpowiednich składowych w portfelu (taka sama wiaściwość jak dla współczynników delta i gamma) - w ten sposób otrzymamy wzór analogiczny do wzoru (7.16). Ostatnia wiaściwość sugeruje strategię tworzenia portfela ziozonego z opcji i instrumentu podstawowego, tali aby jednocześnie współczynniki delta, gamma i vega tego portfela były równe 0. Taka strategia nosi nazwę delta-gamma-vega hedgingu. portfel zaś nazwę delta-gamma-vega neutralnego. Jest to portfel w danym momencie niewrażliwy na zmiany ceny instrumentu podstawowego i zmiany zmienności instrumentu podstawowego oraz dodatkowo o właściwości pozostania niewrażliwym na zmiany ceny instrumentu podstawowego. Przykład. Dana jest akcja pewnej spółki oraz 3 rodzaje opcji: opcja cali na akcję z 3-miesiecznym terminem wygaśnięcia, oznaczona przez A, opcja cali na te akcję z kilkudniowym terminem wygaśnięcia, oznaczona przez B, a opcja put na te akcję z miesięcznym terminem wygaśnięcia, oznaczona przez C. Współczynniki greckie tych opcji wynoszą: współczynnik delta - opcja A: 0,2, opcja B: 0,8, opcja C. -0,5; współczynnik gamma - opcja A: 5, opcja B: 8, opcja C. 6; współczynnik vega - opcja A: 10, opcja B: 2, opcja C. 4. Inwestor zakupił 100 alccji spółki. W związku z tym pojawia się pytanie o liczbę poszczególnych opcji, które oprócz tych akcji powinny się znaleźć w portfelu, tak aby byl to portfel delta-gamma-vega neutralny. Oznacza to, ze współczynniki delta, gamma i vega tego portfela powinny być równe 0. Po podstawieniu do trzech równań, w których wykorzystany jest wzór (7.16) oraz analogiczne wzory dla współczynników gamma i vega, otrzymujemy: 100 -f 0,2 ^ + 0,8x b 0,5xc = 0, 0 + 0,5x^ + 8% + 6xc 0, xw+ 2x b -+ 4xc = 0. Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy: xa = -28,17; xb = -56,34; xc = 98,59. Oznacza to, ze w celu otrzymania portfela delta-gamma-vega neutralnego należy oprócz zakupu 100 akcji dodatkowo wystawić ok. 28 opcji A, wystawić ok. 56 opcji B oraz kupić ok. 99 opcji C. Czwarty współczynnik grecki, który przedstawimy, jest to współczynnik theta. Określa on wrażliwość wartości opcji na zmianę długości okresu do term inu wygaśnięcia, według następującego wzoru: dt (7.19) 280

20 Współczynnik theta określa, o ile zmieni się wartość opcji, gdy czas zmniejszy się jednostkę, a pozostaie czynniki wpływające na wartość opcji me zmienią się. Współczynnik ten przyjmuje wartości ujemne, co odzwierciedla fakt, ze w miarę upływu czasu spada wartość czasowa opcji. Podstawowe właściwości współczynnika theta sa następujące: przyjmuje on wartość ujemna dla obu rodzajów opcji; zazwyczaj w przypadku opcji ITM łub OTM współczynnik ten zbliża się do zera w miarę zbliżania się do terminu wygaśnięcia. Piątym >ostatnim spośród podstawowych współczynników greckich jest współczynnik rho. Określa on wrażliwość wartości opcji na zmiany stopy procentowej (jest to stopa wolna od ryzyka). Współczynnik ten dany jest następującym wzorem: 3c (7.20) Wartość współczynnika rho określa, o ile zmieni się wartość opcji, gdy stopa procentowa wzrośnie o jednostkę (z reguły o 1 pkt proc.). Jeśli mamy do czynienia z opcją walutową, to wyróżnia się dwa współczynniki rho, czasem oznaczane jako rhol i rho2. Są to miary wrażliwości wartości opcji na zmiany krajowej stopy procentowej (wolnej od ryzyka) i zmiany zagranicznej stopy procentowej (wolnej od ryzyka). Praktycy stosują jeszcze inne współczynniki; np. współczynnik lambda określa, o ile procent zmieni się wartość opcji, gdy cena instrumentu podstawowego zmieni się o 1%. Jest to po prostu miernik elastyczności Wycena opcji - model dwumianowy Po przedstawieniu zagadnień wprowadzających do wyceny opcji można juz przejść do omówienia podstawowych modeli wyceny opcji. Jako pierwszy przedstawimy model dwumianowy. Autorami tego modelu sa John Cox, Stephen Ross i Mark Rubinstein, a oficjalnie został on opublikowany w 1979 r. Ma on jedną podstawową zaletę, którą jest prostota i łatwość przekazania ogólnej idei klasycznych modeli wyceny opcji. Należy jednak zaznaczyć, ze model dwumianowy jest w pewnym sensie modelem aproksymującym model Blacka-Scholesa-Mertona (opisany w następnym punkcie rozdziału), a zatem w praktyce jest stosowany nieco rzadziej (przynajmniej w odniesieniu do niektórych opcji). Model dwumianowy wyceny opcji wykorzystuje przedstawiona wcześniej zasadę wyceny arbitrażowej. Ma u podstaw założenie, ze zmiany ceny instrumentu podstawowego kształtują się zgodnie z rozkładem dwumianowym, która to idea jest zilustrowana na rysunku 7.6 w postaci tzw. drzewa dwumianowego. Na rysunku tym przedstawione sa zmiany ceny instrumentu podstawowego w modelu dwumianowym czterookresowym. Model ten ma u podstaw założenie skokowych zmian cen instrumentu podstawowego w kolejnych okresach. Dla ustalenia uwagi na rysunku tym instrumentem podstawowym jest akcja. W obecnym okresie cena ta 281

21 uuuits S Rysunek 7.6. Drzewo dwumianowe czterookresowe wynosi S, a w każdym z kolejnych okresów może wzrosnąć lub spaść. Na przykład w pierwszym okresie cena może wzrosnąć do poziomu us lub spaść do poziomu ds. Oczywiście zasadne jest przyjęcie założenia, ze: d < 1 < er < u, gdzie: r - stopa wolna od ryzyka, wyrażona w skali okresu do wygaśnięcia opcji. Zaiozenie to oznacza, ze wzrost ceny akcji w stosunku do ceny poprzedniej powinien być większy, niż wynika to ze stopy wolnej od ryzyka (gdyz akcja jest obarczona ryzykiem). Na rysunku widać, ze po upiywie czterech okresów otrzymujemy pięć różnych możliwych wartości akcji, przy czym istnieją różne możiiwe ścieżki dojścia do danego poziomu w ostatnim okresie. Na przykład wartość oznaczona jako uuuds może być otrzymana w wyniku trzech wzrostów >jednego spadku ceny w kolejnych okresach, a więc na cztery sposoby, gdyz spadek ceny musi nastąpić w jednym z czterech kolejnych okresów, a w pozostałych muszą być wzrosty. Dla przedstawienia idei samego modelu dwumianowego wyceny opcji pod uwagę weźmiemy modei jednookresowy i rozpatrzymy go w odniesieniu do europejskiej opcji cali na akcję, która me daje dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji. Zakładamy, ze termin wygaśnięcia opcji jest zgodny z okresem drzewa dwumianowego. Zilustrowane jest to na rysunku 7.7, przy czym w każdym węźle drzewa dwumianowego zaznaczona jest cena akcji oraz (pod nią w nawiasie) wartość opcji. us Rysunek 7.7. Zmiarw ceny akcji i ceny opcfi w modelu dwumianowym lednookresowym 282