Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia
|
|
- Aniela Niemiec
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Piotr Chołda, Andrzej Kamisiński Katedra Telekomunikacji Akademii Górniczo-Hutniczej
2 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie do ćwiczeń 2 Powtórka różnych zagadnień z matematyki stosowanej 3 Wstęp do teorii informacji: informacja, niepewność, entropia, obliczanie entropii Katedra Telekomunikacji AGH 2/41
3 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie do ćwiczeń 2 Powtórka różnych zagadnień z matematyki stosowanej 3 Wstęp do teorii informacji: informacja, niepewność, entropia, obliczanie entropii Katedra Telekomunikacji AGH 3/41
4 Prowadzący Dr hab inż Piotr Chołda D-5, parter, pokój 015 ( ) Mgr inż Andrzej Kamisiński D-5, parter, pokój 012 Wtorki, ( )40 34 Spotkania w ramach konsultacji: prosimy o wcześniejszy kontakt drogą elektroniczną Katedra Telekomunikacji AGH 4/41
5 Literatura do ćwiczeń Polecamy dwie pozycje w języku polskim: Jan Chojcan, Jerzy Rutkowski Zbiór zadań z teorii informacji i kodowania Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 1994 Radosław Biernacki, Bohdan Butkiewicz, Jerzy Szabatin, Bożena Świdzińska Zbiór zadań z teorii sygnałów i teorii informacji Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa, Poland, 2007 Katedra Telekomunikacji AGH 5/41
6 Dobre podręczniki Zawierają również zadania z rozwiązaniami Dominic Welsh Codes and Cryptography Clarendon Press, Oxford, UK, 1988 Thomas M Cover and Joy A Thomas Elements of Information Theory John Wiley & Sons, Inc, New York, NY, 1991 Steven Roman Coding and Information Theory Graduate Texts in Mathematics Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1992 Gareth A Jones and J Mary Jones Information and Coding Theory Springer-Verlag London Ltd, London, UK, 2000 Todd K Moon Error Correction Coding John Wiley & Sons, Inc, Hoboken, NJ, 2005 Stefan M Moser and Po-Ning Chen A Student s Guide to Coding and Information Theory Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2012 Katedra Telekomunikacji AGH 6/41
7 Zasady zaliczenia Zaliczenie w normalnym trybie Trzy kolokwia: dwa zadania ( lub punktów), czas trwania: 90 minut, nieobecność: 0 punktów (nie przewidujemy poprawek pojedynczych kolokwiów ani terminów dodatkowych, z wyłączeniem dwóch kolokwiów zaliczeniowych poprawkowych), zakaz używania urządzeń elektronicznych oraz materiałów pomocniczych, kolokwium dla całego roku na raz w godzinach wieczornych? Aktywność podczas zajęć: dodatkowe pojedyncze punkty; nie przyznajemy punktów ujemnych Do tablicy tylko chętni (póki są ) Katedra Telekomunikacji AGH 7/41
8 Zasady zaliczenia Zaliczenie w normalnym trybie, cd Trzy spotkania zakładające rozwiązywanie zadań przy użyciu komputera (3 8 punktów) Wśród zadań domowych znajdują się zadania z gwiazdką (trudniejsze ćwiczenia teoretyczne albo np napisanie programu w Matlabie) pierwsza osoba, która wyśle do prowadzącego zajęcia poprawne rozwiązanie takiego zadania, otrzyma dodatkowe punkty Ocena końcowa jest wyliczana według Regulaminu Studiów, 131 (100% = 100 punktów) Regulamin, 113: obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa, więc na każdych zajęciach zostanie wystawiona lista obecności (obecność = podpisana osobiście lista) Katedra Telekomunikacji AGH 8/41
9 Zasady zaliczenia Kolokwia zaliczeniowe Pierwsze kolokwium zaliczeniowe: dla osób, które w ciągu semestru uzyskały co najmniej 35 pkt Drugie kolokwium zaliczeniowe: dla osób, które w ciągu semestru uzyskały co najmniej 16 pkt Kolokwia zaliczeniowe możliwe tylko dwa wyniki: ndst (uzyskanie za kol <50% punktów) albo dst (uzyskanie za kol 50% punktów) Katedra Telekomunikacji AGH 9/41
10 Zadania na ćwiczeniach Zadania są udostępniane na stronie WWW Sugestia odnośnie sposobu pracy z zadaniami: przeczytać odpowiedni wykład i postarać się zrozumieć jego treść (np zaglądając do podręczników, korzystając z konsultacji itp); przejrzeć wszystkie zadania przed ćwiczeniami; rozwiązać przynajmniej po jednym zadaniu z każdej grupy; w czasie ćwiczeń zgłosić te zadania, które wyglądają na trudne do samodzielnego rozwiązania (w miarę możliwości spróbujemy je rozwiązać); po ćwiczeniach rozwiązać wszystkie pozostałe zadania (w razie problemów warto ponownie zgłosić się na konsultacje) Katedra Telekomunikacji AGH 10/41
11 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie do ćwiczeń 2 Powtórka różnych zagadnień z matematyki stosowanej 3 Wstęp do teorii informacji: informacja, niepewność, entropia, obliczanie entropii Katedra Telekomunikacji AGH 11/41
12 Materiał do powtórzenia Indukcja matematyczna Sposób dowodzenia niektórych twierdzeń zachodzących dla liczb naturalnych Musimy dowieść, że twierdzenie zachodzi dla pewnych liczb naturalnych, poczynając od pewnej wybranej liczby n 0 : T (n), n N, n n 0 T (n 0 ) [T (n) T (n + 1)] T (n N, n n 0 ) Katedra Telekomunikacji AGH 12/41
13 Materiał do powtórzenia Logika Zaprzeczanie zdań Negacja koniunkcji: (p q) ( p q) Negacja implikacji: (p q) (p q) Katedra Telekomunikacji AGH 13/41
14 Materiał do powtórzenia Kombinatoryka Silnia n! = 1 2 n Permutacja Liczba permutacji n różnych obiektów to: n! Katedra Telekomunikacji AGH 14/41
15 Materiał do powtórzenia Kombinatoryka Symbol Newtona ) = n! ( n k k!(n k)! : ( n ) ( n = 1, n ) ( 0 = 1, n ) ( 1 = n, n ( k) = n Wzory rekurencyjne: ( ) ( n+1 k = n ( k) + n n k) ) ( = n n 1 k k 1) ( k 1), n k Dwumian Newtona: (x + y) n = n ( n k=0 k) x k y n k (1 + x) n = n ( n k=0 k) x k 2 n = (1 + 1) n = n ( n k=0 k) k elementów można wybrać bez powtórzeń ze zbioru n elementów na ( n k) sposobów Katedra Telekomunikacji AGH 15/41
16 Materiał do powtórzenia Analiza Logarytm log a b = c a c = b Właściwości logarytmów: iloczyn: log a (bc) = log a b + log a c, iloraz: log a ( b c ) = loga b log a c, potęgowanie: log a (b c ) = c log a b, zamiana podstawy: log a b = log c b log c a Katedra Telekomunikacji AGH 16/41
17 Materiał do powtórzenia Analiza Ciąg arytmetyczny a n = a 1 + (n 1)d, suma: a a n = n a 1+a n 2 Ciąg geometryczny a n = a 1 r n 1, suma: a a n = {a 1 1 r n 1 r r 1 na 1 r = 1 Katedra Telekomunikacji AGH 17/41
18 Materiał do powtórzenia Analiza Suma szeregu geometrycznego zbieżnego (dla r < 1) n=1 ar n 1 = a + ar + = a 1 r Różniczkowanie szeregu Gdy mamy zbieżność i pochodne istnieją: n=0 d f (n,x) d x Analogicznie dla całkowania = d n=0 f (n,x) d x Katedra Telekomunikacji AGH 18/41
19 Materiał do powtórzenia Analiza Pochodna d d x Logarytm: (log a x) = 1 x ln a Iloczyn funkcji: (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) Iloraz funkcji: ( f (x) g(x) ) = f (x)g(x) f (x)g (x) g 2 (x) Funkcja złożona: (f (g(x))) = f (g(x))g (x) Katedra Telekomunikacji AGH 19/41
20 Kilka użytecznych konwencji Umówmy się na następujące oznaczenia: log 2 x = lg x; log 10 x = log x; log e x = ln x Gdy wiadomo (lub nie jest istotne), jaki przedział przebiega zmienna indeksująca i, często dla wygody zapisujemy: i ( i ) zamiast np N Ale gdy przebieg zmiennej indeksującej i=0 jest nietypowy lub szczególnie ważny z punktu widzenia K 5 danego problemu, zapisujemy dokładniej, np i=n+2 Katedra Telekomunikacji AGH 20/41
21 Materiał do powtórzenia Rachunek prawdopodobieństwa A, B zdarzenia wzajemnie rozłączne Pr{A B} = 0 Pr{A B} = Pr{A} + Pr{B} Pr{A B} = Pr{A} Katedra Telekomunikacji AGH 21/41
22 Materiał do powtórzenia Rachunek prawdopodobieństwa X, Y zm los niezależne Pr{x i y j } = Pr{x i, y j } = Pr{y j, x i } = Pr{x i } Pr{y j } Prawdopodobieństwo warunkowe Pr{x i y j } = Pr{x i,y j } Pr{y j } ; Pr{x i, y j } = Pr{y j } Pr{x i y j } = Pr{x i } Pr{y j x i }; Pr{x i y j } = 1; i twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym: Pr{x i } = Pr{x i y j } Pr{y j } = Pr{x i, y j } j j Katedra Telekomunikacji AGH 22/41
23 Materiał do powtórzenia Rachunek prawdopodobieństwa Wartość średnia/oczekiwana dyskretnej zmiennej losowej X przyjmuje jako realizacje wartości x i każdą z prawdopodobieństwem Pr{x i }; i Pr{x i} = 1: E[X ] = i x i Pr{x i } Wartość średnia sumy dyskretnych zmiennych losowych: E[X + Y ] = E[X ] + E[Y ] Rozkład dwumianowy/bernoulliego Prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach, gdy p to prawdopodobieństwo sukcesu dla pojedynczego zdarzenia: Katedra Telekomunikacji AGH 23/41 Pr{X = k} = ( n k) p k (1 p) n k, E[X ] = np
24 Materiał do powtórzenia Algebra Przestrzenie liniowe Kombinacja liniowa wektorów (V jest przestrzenią liniową nad ciałem skalarów K): k 1 v k n v n, k i K, v i V Przestrzeń liniowa: V jest przestrzenią liniową nad zbiorem skalarów K ki K,v i V k 1 v k n v n V Wektory v 1,, v n V, v i 0 są liniowo zależne: jeśli ki K,k i 0 k 1 v k n v n = 0 Katedra Telekomunikacji AGH 24/41
25 Materiał do powtórzenia Algebra Arytmetyka mod-2 (alternatywa wykluczająca) Katedra Telekomunikacji AGH 25/41
26 Materiał do powtórzenia Algebra Macierze a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A n p = [a ik ] n p = a n1 a n2 a np a 11 a 21 a n1 Transpozycja: A T a 12 a 22 a n2 = [a ik ] p n = a 1p a 2p a np Macierz jednostkowa macierz diagonalna z samymi 1 na przekątnej: I n = I n n = 1 n = Katedra Telekomunikacji AGH 26/41
27 Materiał do powtórzenia Algebra Mnożenie macierzy Uwaga na wymiary: A n p B p q = C n q a11 a12 a1p a21 a22 a2p an1 an2 anp A : n rzędów p kolumn b11 b12 b1q b21 b22 b2q bp1 bp2 bpq B : p rzędów q kolumn c11 c12 c1q c21 c22 c2q cn1 cn2 cnq a21 b12 a22 b22 a2p bp C = A B : n rzędów q kolumn Katedra Telekomunikacji AGH 27/41
28 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie do ćwiczeń 2 Powtórka różnych zagadnień z matematyki stosowanej 3 Wstęp do teorii informacji: informacja, niepewność, entropia, obliczanie entropii Katedra Telekomunikacji AGH 28/41
29 Miara informacji Zawartość informacyjna pojedynczej wiadomości Jeśli pewna wiadomość x i może wystąpić z prawdopodobieństwem Pr{x i } = p, to jej zawartość informacyjna wynosi: I (x i ) = I (p) = lg 1 p = lg p Na przykład: I ( 1 10) 3,32; I ( 1 2) = 1; I ( 9 10) 0,15 Katedra Telekomunikacji AGH 29/41
30 Miara informacji cd Entropia zmiennej losowej Zmienna losowa X o dyskretnym rozkładzie prawdopodobieństwa (stosujemy różne konwencje oznaczeniowe, np Pr{X = x i } = Pr{x i } = p (x i ) = p i ), i p i = 1, charakteryzuje się entropią (zmiennej losowej), którą można rozumieć jako wartość średnią zawartości informacyjnej: H(X ) = H(p 1, p 2, ) = p i lg p i [ bitów /wiadomość] i Źródło informacji utożsamiamy z rozkładem zmiennej losowej Katedra Telekomunikacji AGH 30/41
31 Właściowości entropii Niech będzie dany dyskretny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, której zbiór realizacji ma liczność N (możemy ten rozkład utożsamić z rozkładem prawdopodobieństwa generowania wiadomości przez jakieś źródło wiadomości) Granica dla zerowych prawdopodobieństw lim p 0 p lg p = 0 Ograniczenie górne i dolne 0 H(X ) lg N Równomierny rozkład prawdopodobieństwa dla rozkładu Pr{X = x i } = 1 N, 1 i N, entropia osiąga maksimum po wszystkich rozkładach N-elementowych: H max (X ) = H ( 1 N, 1 N,, 1 ) N = lg N Katedra Telekomunikacji AGH 31/41
32 Przykład użycia w systemach IT Poszukiwanie zaszyfrowanego lub spakowanego złośliwego oprogramowania Analiza entropii plików dostarcza interesujących informacji z punktu widzenia bezpieczeństwa systemów IT, na przykład: Zaszyfrowane lub spakowane złośliwe oprogramowanie utrudnia jego automatyczne wykrywanie (hakerzy wykorzystują ten fakt) Dotyczy to 80-90% przypadków Normalne postępowanie: wykrywa się ręcznie podejrzane oprogramowanie, które jest spakowane lub zaszyfrowane, a potem dopiero poddaje je odpowiedniej obróbce systemu bezpieczeństwa Katedra Telekomunikacji AGH 32/41
33 Przykład użycia w systemach IT Poszukiwanie zaszyfrowanego lub spakowanego złośliwego oprogramowania cd Silne algorytmy szyfrujące, np Triple DES, generują mniej przewidywalne sekwencje zwiększają entropię W celu wykrywania podejrzanych plików bada się entropię sekwencji binarnych Metoda: analiza częstości pojawiania się bajtów (00h do FF h) występujących w równej długości blokach, następnie użycie wzorów na obliczanie entropii Generalnie wyższe wartości entropii są skorelowane z zaszyfrowaną lub spakowaną treścią Wszystkich możliwych ciągów jest 16 16=2 8, czyli entropia maksymalna takiego tekstu (przy najlepszym rozproszeniu) to 8 Katedra Telekomunikacji AGH 33/41
34 Przykład użycia w systemach IT Poszukiwanie zaszyfrowanego lub spakowanego złośliwego oprogramowania cd W ten sposób można rozróżniać wstępnie zwykłe pliki wykonywalne od zaszyfrowanych/spakowanych Przykładowe dane otrzymane z próbki uczącej: Zbiór danych Średnia entropia Zwykły tekst 4,347 Pliki wykonywalne 5,099 Plik spakowany 6,801 Plik zaszyfrowany 7,175 Źródło: Robert Lyda and James Hamrock Using Entropy Analysis to Find Encrypted and Packed Malware IEEE Security & Privacy, 5(2):40 45, March/April 2007 Katedra Telekomunikacji AGH 34/41
35 Rozszerzenie źródła k-krotne rozszerzenie źródła Niech będzie dane dyskretne źródło X, generujące N wiadomości x 1, x 2,, x N Weźmy sekwencje o długości k złożone z wiadomości generowanych przez X : s i = x i(1) x i(2) x i(k) Źródło generujące wiadomości s i nazywamy k-krotnym rozszerzeniem źródła Jeśli X k jest k-krotnym rozszerzeniem bezpamięciowego źródła X, wtedy: H ( X k) = k H(X ) Katedra Telekomunikacji AGH 35/41
36 Właściowości entropii cd Entropia binarnego źródła wiadomości 1 H(p, 1 p) = p lg p (1 p) lg(1 p) p Katedra Telekomunikacji AGH 36/41
37 Entropia dla wielu zmiennych losowych Entropia łączna Entropia łączna Dla dwóch dowolnych zmiennych losowych X, Y o łącznym rozkładzie prawdopodobieństwa (różnie przez nas oznaczanym, np Pr {X = x i, Y = y j } = Pr {x i y j } = Pr {x i, y j } = p(i, j) = p ij ), i j p(i, j) = 1, następująco definiujemy entropię łączną: H(X, Y ) = p(i, j) lg p(i, j) i j Katedra Telekomunikacji AGH 37/41
38 Entropia dla wielu zmiennych losowych Entropia warunkowa Entropia warunkowa Dla połączonych doświadczeń (zmiennych losowych) X i Y entropia warunkowa H(Y X ) jest definiowana jako wartość średnia entropii Y pod warunkiem znanej realizacji zmiennej X : H(Y X ) = E X [H(Y X = x)] = Pr{x i } Pr{y j x i } lg Pr{y j x i } = i j = Pr{x i, y j } lg Pr{y j x i } i j Entropia warunkowa służy do oceny ilościowej naszej niepewności odnośnie wartości Y przy znanym wyniku X Katedra Telekomunikacji AGH 38/41
39 Informacja wzajemna (transinformacja) x 1 y 1 x i x M X Kanał informacyjny [Pr{y j x i }] Y y j y L Informacja wzajemna Informację wzajemną (transinformację) definiujemy następująco: I (X ; Y ) = Pr{x Pr{x i, y j } lg i,y j } Pr{x i } Pr{y j } i j Piszemy średnik I (X ;Y ), a nie przecinek (czasem stosowany zapis I (X,Y ) oznacza po prostu entropię łączną!) We wzorze definicyjnym nie ma minusa! Katedra Telekomunikacji AGH 39/41
40 Informacja wzajemna cd Właściwości Poniższe właściowości pokazują związek tak zdefiniowanej transinformacji z różnego typu entropiami liczonymi dla zmiennych losowych opisujących wejście i wyjście kanału transmisji danych: H(X, Y ) H(X ) H(Y ) H(X Y ) I (X ; Y ) H(X Y ) Katedra Telekomunikacji AGH 40/41
41 Użyteczne wzory na kolokwium Pewne użyteczne zależności będą w poniższej formie zapisane na kartce z kolokwium (więc nie trzeba się ich uczyć na pamięć, ale trzeba je rozumieć!): H(X, Y ) = H(X ) + H(Y X ) I (X ; Y ) = H(X ) H(X Y ) = H(Y ) H(Y X ) = H(X ) + H(Y ) H(X, Y ) X, Y niezależne: H(X, Y ) = H(X ) + H(Y ) Katedra Telekomunikacji AGH 41/41
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Piotr Chołda, Andrzej Kamisiński Katedra Telekomunikacji Akademii Górniczo-Hutniczej Terminy kolokwiów zaliczeniowych Kolokwium KZ1: 27.01.2017, piątek, 9:00-11:30,
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Piotr Chołda, Andrzej Kamisiński Katedra Telekomunikacji Akademii Górniczo-Hutniczej Kod źródłowy Kodem źródłowym nazywamy funkcję różnowartościową, która elementom
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Matematyka I i II - opis przedmiotu
Matematyka I i II - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Matematyka I i II Kod przedmiotu Matematyka 02WBUD_pNadGenB11OM Wydział Kierunek Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
2. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji społecznych (jeśli obowiązują):
OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne 1) Nazwa modułu : MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI 2) Kod modułu : 08-KODL-MPK 3) Rodzaj modułu : OBOWIĄZKOWY 4) Kierunek studiów: KOGNITYWISTYKA
WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim PODSTAWY TEORII INFORMACJI Nazwa w języku angielskim Introduction to Information Theory Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Karta (sylabus) przedmiotu
WM Karta (sylabus) przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia I stopnia o profilu: A P Przedmiot: Wybrane z Kod ECTS Status przedmiotu: obowiązkowy MBM S 0 5 58-4_0 Język wykładowy: polski, angielski
KARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Wstęp do analizy i algebry Nazwa w języku angielskim Introduction to analysis and algebra Kierunek studiów
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia
12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
KARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20182019 4. Forma
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE
PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Analiza sygnałów Nazwa w języku angielskim Signal analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka stosowana
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Granica kompresji Kodowanie Shannona Kodowanie Huffmana Kodowanie ciągów Kodowanie arytmetyczne. Kody. Marek Śmieja. Teoria informacji 1 / 35
Kody Marek Śmieja Teoria informacji 1 / 35 Entropia Entropia określa minimalną statystyczną długość kodowania (przyjmijmy dla prostoty że alfabet kodowy A = {0, 1}). Definicja Niech X = {x 1,..., x n }
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy w ramach treści kierunkowych, moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Metody komputerowe statystyki Computer Methods in Statistics. Matematyka. Poziom kwalifikacji: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 3L
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Metody komputerowe statystyki Computer Methods in Statistics Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład,
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Matematyka Dyskretna Nazwa w języku angielskim : Discrete Mathematics Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 2016/2017
Algebra liniowa Zadanie 1 Czy jeśli wektory x, y i z, należące do binarnej przestrzeni wektorowej nad ciałem Galois GF (2), są liniowo niezależne, to można to samo orzec o następujących trzech wektorach:
KARTA PRZEDMIOTU. 10. WYMAGANIA WSTĘPNE: wiadomości i umiejętności z zakresu matematyki ze szkoły średniej
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Matematyka 2. KIERUNEK: Mechanika i budowa maszyn 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 4 6. LICZBA GODZIN: 30 WY + 30
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015
teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015 1 wczoraj Wprowadzenie matematyczne. Entropia i informacja. Kodowanie. Kod ASCII. Stopa kodu. Kody bezprefiksowe.
WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Opis przedmiotu: Probabilistyka I
Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca
WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: ANALIZA DANYCH ANKIETOWYCH Nazwa w języku angielskim: Categorical Data Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA I STATYSTYKA Specjalność
Z-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics. Przedmiot podstawowy Wybieralny polski Semestr III
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU
dr Jerzy Pusz, st. wykładowca, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.SIK303 Nazwa przedmiotu Probabilistyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne
KARTA KURSU. Probability theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Ireneusz Krech Zespół dydaktyczny Dr Ireneusz Krech Dr Robert Pluta Opis kursu (cele
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 3.10.2017 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s.?? strona z materiałami
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Równania różniczkowe (RRO020) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: II/4 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 4 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30
Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A.
Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
0,KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A.
KARTA KURSU. (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 4
KARTA KURSU (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Nazwa Statystyka 1 Nazwa w j. ang. Statistics 1 Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, wykłady) Dr Paweł Walawender (ćwiczenia)
Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Matematyka Dyskretna Discrete Mathematics. Informatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Matematyka Dyskretna Discrete Mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 2 2 Kod modułu 04-A-MAT2-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. Informacje ogólne I. 1 Nazwa modułu kształcenia Analiza i przetwarzanie sygnałów 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł (należy wskazać nazwę zgodnie ze Statutem PSW Instytut,
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: MATEMATYKA DYSKRETNA Discrete mathematics Forma studiów: Stacjonarne Poziom kwalifikacji: Kod przedmiotu: A_06 Rok: I obowiązkowy w ramach treści
Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy Sylabus modułu: Matematyka A (0310-CH-S1-001)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy Sylabus modułu: Matematyka A (001) 1. Informacje ogólne koordynator modułu rok akademicki 2013/2014 semestr forma studiów
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 4
Załącznik nr 4 do Zarządzenia Nr.. KARTA KURSU Nazwa Analiza matematyczna 3 Nazwa w j. ang. Mathematical Analysis 3 Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Prof. M. C. Zdun Zespół dydaktyczny dr Z. Powązka,
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 11.03.2016 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Wykłady z poprzednich lat (dr inż. H. Zbroszczyk): http://www.if.pw.edu.pl/~gos/student
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Obliczenia symboliczne Symbolic computations Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Informatyka Rodzaj zajęć: wykład,
Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne
Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu
Karta (sylabus) przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN
WM Karta (sylabus) przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia o profilu: ogólnoakademicki A P Przedmiot: Wytrzymałość Kod przedmiotu Status przedmiotu: obowiązkowy MBM S 0 6 6-_0 Język
Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy Przykłady: Programy wykorzystywane
KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7.
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Zajęcia fakultatywne z matematyki (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE
PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Architektura
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Probabilistyka I Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej
Kod przedmiotu TR.NIK304 Nazwa przedmiotu Probabilistyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Niestacjonarne
Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Matematyka dyskretna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP
LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab
LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI Wprowadzenie do środowiska Matlab 1. Podstawowe informacje Przedstawione poniżej informacje maja wprowadzić i zapoznać ze środowiskiem
Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26
Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Informatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny) podstawowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grządziel Wykład 1; 1 października 2013 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Inżynieria biomedyczna Linear algebra and analytical geometry forma studiów: studia stacjonarne Kod przedmiotu: IB_mp_ Rodzaj przedmiotu:
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Mechanika Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu: IM 1 S 0 2 24-0_1 Rok: I Semestr: 2 Forma studiów:
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Zał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30
WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: PROBABILISTYKA NIEPRZEMIENNA Nazwa w języku angielskim: NONCOMMUTATIVE PROBABILITY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym
Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym KLASA I 105h Liczby (30h) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 2. Wzory skróconego mnoŝenia 3. Nierówności pierwszego stopnia 4. Przedziały liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Paweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Matematyka Mathematics. Inżynieria bezpieczeństwa I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Matematyka Mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Poziom kształcenia
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K