Dynamika par Coopera w układach fermionów z oddziaływaniem zależnym od czasu.

Transkrypt

1 UNIWERSYTET MARII CURIE-SKŁODOWSKIEJ W LUBLINIE WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I INFORMATYKI Jaromir Krzyszczak Dynamika par Coopera w układach fermionów z oddziaływaniem zależnym od czasu. Praca magisterska wykonana w Zakładzie Teorii Fazy Skondensowanej. Promotor: prof. dr hab. Karol Wysokiński. Opiekun: dr hab. Tadeusz Domański. Lublin 2006

2

3 MARIA CURIE-SKŁODOWSKA UNIVERSITY IN LUBLIN FACULTY OF MATHEMATICS, PHYSICS AND COMPUTER SCIENCE Jaromir Krzyszczak The Cooper pair dynamics in the fermion systems with a time-dependent interaction. Diploma thesis prepared in Cendensed Matter Theory Department under supervision of prof. dr hab. Karol Wysokiński and dr hab. Tadeusz Domański Lublin 2006

4

5 Panu prof. dr hab. Karolowi Wysokińskiemu oraz Panu dr hab. Tadeuszowi Domańskiemu serdecznie dziękuję za cenne uwagi, okazaną mi pomoc oraz życzliwość w trakcie pisania niniejszej pracy.

6

7 Spis treści Wprowadzenie 9 1. Wstęp Odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa Właściwości stanu nadprzewodzącego Nowe fakty i odkrycia Mikroskopowa teoria BCS Zjawisko powstawania par fermionowych Transformacja Bogoliubova-Valatina Wielkości charakterystyczne dla stanu BCS Metoda Andersona Opis metody Przypadek temperatury T = Przypadek temperatury T Równanie ruchu dla pseudospinów Równanie ruchu Rozwiązanie szczególne Rozwiązanie ogólne Równoważność opisu pseudospinowego i równań Bogoliubova-de Gennes a Równania Bogoliubova-de Gennes a Parametr porządku Rozwiązanie równań Bogoliubova-de Gennes a Równania Bogoliubova-de Gennes a jako równanie typu Blocha Podsumowanie i wnioski 75 Dodatek A 77 Dodatek B 81 7

8 Spis rysunków 85 8

9 Wprowadzenie W poniższej pracy przedstawiona jest metoda analizy zagadnienia dynamiki par Coopera w układach fermionów z oddziaływaniem zależnym od czasu. Motywacją do wybrania właśnie takiego tematu były dwie prace, które ukazały się na łamach Physical Review Letters oraz Physical Review A na przeciągu ostatnich dwóch lat - [12] oraz [21]. Celem tej pracy stało się odtworzenie formalizmu oraz wyników zawartych w tych pracach i rozszerzenie ich na przypadek bardziej ogólny. Pierwszy rozdział tej pracy poświęcony jest historycznemu zarysowi najważniejszych odkryć związanych z nadprzewodnictwem, od odkrycia samego zjawiska nadprzewodnictwa, aż do prowadzonych obecnie badań nad spułapkowanymi atomami. Badania te pozwalają kontrolować tak siłę, jak i charakter oddziaływań, co oznacza, że mogą być one uzależnione od czasu na wiele różnych sposobów. Drugi rozdział poświęcony jest fundamentom mikroskopowej teorii nadprzewodnictwa, czyli teorii BCS. W rozdziale tym zamieszczona jest również bardzo prosta metoda rozwiązania zagadnienia BCS, nazywana transformacją Bogoliubova-Valatina, dzięki której otrzymuje się wielkości charakterystyczne dla stanu nadprzewodzącego. W trzecim rozdziale przedstawiony jest formalizm wprowadzony w 1958 roku przez P.W. Andersona. Formalizm ten pozwala na rozwiązanie zagadnienia BCS, jednak jego zaletą i przewagą nad innymi formalizmami jest to, iż odwołuje się on do znanych znacznie wcześniej zagadnień i pozwala w dosyć obrazowy sposób wyjaśnić zjawisko przewodzenia prądu bez oporu. Czwarty rozdział poświęcony jest zagadnieniu dynamiki układu fermionów. W rozdziale tym, przy wykorzystaniu formalizmu wprowadzonego w rozdziale czwartym, pokazana jest metoda otrzymania równania typu Blocha oraz zawarte są dwa rozwiązania tego równania - rozwiązanie multisolitonowe (nazywane przez nas rozwiązaniem szczególnym, z powodu poczynionych w trakcie rozwiązywania założeń) z bardzo prostą zależnością czasową oddziaływań, oraz rozwiązanie bardziej ogólne z kilkoma różnymi profilami oddziaływań zależnych od czasu. W piątym, ostatnim, rozdziale zamieszczone są równania Bogoliubova-de Gennesa, które otrzymać można przy wykorzystaniu wprowadzonej w rozdziale trzecim transformacji, a które pozwalają na badanie dynamiki układu fermionów. W rozdziale tym zamieszczony jest również sposób przekształcenia równań Bogoliubova-de Gennesa do równania typu Blocha, dzięki czemu pokazujemy równoważność obydwu tych formalizmów. 9

10 10

11 Rozdział 1 Wstęp 1.1. Odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa Zjawisko nadprzewodnictwa, odkryte przez Heike a Kamerlingha Onnesa w 1911 roku, to jedno z najbardziej zadziwiających zjawisk w historii odkryć naukowych. Od momentu odkrycia tego zjawiska minęło prawie sto lat, ale wciąż fascynuje ono wiele osób. Stale dokonywane nowe odkrycia związane ze zjawiskiem nadprzewodnictwa wymuszają nieustanny rozwój teorii go opisującej. Gdy Heike Kamerlingh Onnes, urodzony w 1853 roku w Groningen, student Uniwersytetu w Groningen oraz Uniwersytetu w Heidelbergu w Niemczech, kończył pisać swoją pracę doktorską, nie mógł nawet podejrzewać, że to właśnie jemu przypadnie odkrycie tego zjawiska. W okresie tym Onnes poznał profesora Johannesa Diderika van der Waalsa, który zajmował się opracowaniem opisu gazów rzeczywistych. Heike postawił sobie za cel swoich badań ilościowy opis właściwości gazów w bardzo niskich temperaturach. Swoje plany badania gazów w niskich temperaturach mógł zacząć realizować, gdy w 1882 roku został profesorem Uniwersytetu w Lejdzie. To właśnie wtedy Onnes zbudował tam laboratorium kriogeniczne, które później, w 1932 roku, zostało nazwane jego imieniem. W laboratorium tym udało mu się powtórzyć eksperymenty wykonane w 1883 roku przez polskiego chemika Karola Olszewskiego oraz fizyka Zygmunta Wróblewskiego, którym udało się skroplić tlen oraz azot. Ponieważ Heike Kamerlingh Onnes do swoich badań potrzebował znacznie większych ilości tych cieczy, skupił swoją uwagę na zbudowaniu dużo wydajniejszej aparatury, której konstrukcję oparł na mechanizmie zwanym później procesem kaskadowym. Proces ten polega na wykorzystaniu kilku gazów o coraz niższej temperaturze skraplania do ochładzania kolejnego gazu. W aparaturze Onnesa każdy gaz był najpierw sprężany, następnie oziębiany do temperatury skraplania i rozprężany, a powstająca podczas parowania cieczy para oziębiała następny w szeregu sprężony gaz. Aparaturę tę udało mu się uruchomić w 1892 roku. Heike cały proces rozpoczął od chlorku metylowego, który kondensuje w temperaturze 21 C pod ciśnieniem 5 atm, a następnie skroplił etylen (-87 C w 3 atm), tlen (-145 C w 17 atm) i w końcu powietrze (-193 C w 1 atm). By jednak udało się skroplić wodór, Onnes musiał osiągnąć znacznie niższą temperaturę, a to wymagało od niego zbudowania znacznie precyzyjniejszej aparatury. Jednak w wyścigu w kierunku skro- 11

12 plenia wodoru Heike Kamerlingh Onnes wyprzedzony został przez szkockiego fizyka, Jamesa Dewara, badającego zjawiska zachodzące w niskich temperaturach. Jamesowi Dewarowi sztuka skroplenia wodoru udała się przy wykorzystaniu efektu termodynamicznego, zwanego zjawiskiem Joule a-thomsona, w 1898 roku. Zjawisko, które znalazło zastosowanie, a wręcz nawet stało się zasadniczą częścią całego cyklu procesu kaskadowego, polega na zmianie temperatury gazu rozprężającego się przez zawór, zwykle temperatura ta się zmniejsza. Dzięki niemu Dewarowi udało się oziębić wodór do temperatury -253 C, czyli 20 K. Urządzenie skonstruowane przez Jamesa Dewara wytwarzało jednak niewielkie ilości ciekłego wodoru, natomiast zamierzeniem Onnesa było badanie właściwości gazów w niskich temperaturach, potrzebował więc ciekłego wodoru w znacznie większych ilościach. Dopiero w 1906 roku udało mu się, wraz z innymi naukowcami, skonstruować aparaturę wykorzystującą zjawisko Joule a-thomsona, która umożliwiałaby wytwarzanie wystarczających ilości ciekłego wodoru i to właśnie wtedy, po raz pierwszy w Lejdzie, skroplił ten gaz. Urządzenia Onnesa, w którym gazowy wodór był najpierw sprężany, następnie przepływał przez obszar chłodzony ciekłym azotem i rozprężał się, co sprawiało, że ochładzał się na tyle, by skropleniu uległa jego część, produkowało około 4 litrów ciekłego wodoru na godzinę, ale po udoskonaleniach udało się zwiększyć tę ilość do 13 litrów na godzinę. W tym czasie, gdy James Dewar i Heike Kamerlingh Onnes usiłowali skroplić wodór, na Ziemi został odkryty hel. Okrycie to jest zasługą Williama Ramsaya, który w 1895 roku potraktował kleweit (rudę uranową) kwasem mineralnym i otrzymał hel. Wyjątkowo niska temperatura skraplania helu jest zasługą niezwykle słabo oddziałujących ze sobą atomów tego pierwiastka. Heike postawił za cel swojej pracy skroplenie helu, co zresztą sam napisał: Postanowiłem natychmiast, że moim celem będzie pokonanie tego ostatniego etapu. Jednak wielką trudnością okazało się zdobycie odpowiedniej ilości, dopiero co odkrytego, gazowego helu. Onnes, z prośbą o pomoc, zwrócił się do swojego brata, który był dyrektorem Biura Wywiadu Handlowego w Amsterdamie, i dzięki temu udało mu się kupić dużą ilość piasku monacytowego z Karoliny Północnej, który to piasek zawiera hel. Heike, z jednego transportu, uzyskał około 300l gazowego helu. Aby go skroplić, potrzebował jednak bardzo wydajnej aparatury, która wytwarzałaby odpowiednią ilość ciekłego wodoru. Wcześniejsze doświadczenia, które Onnes nabył próbując skroplić wodór, pozwoliły skonstruować skraplarkę helową, opartą na procesie kaskadowym, w którym jako czynniki chłodzące zastosowane zostały ciekłe powietrze i ciekły wodór oraz na zjawisku Joule a-thomsona, już w 1908 roku. 10 lipca 1908 roku mała grupa naukowców pracujących na uniwersytecie w Lejdzie zebrała się, by obserwować przebieg eksperymentu. Przez cały dzień przez układ przepływał gazowy hel, temperatura wynosiła 4.2 K i nie chciała zejść poniżej tego poziomu, a jednak nie widać było cieczy. Późnym wieczorem Fransiscus Schreinemakers, profesor chemii, który obserwował ten eksperyment zupełnym przypadkiem, wysunął przypuszczenie, że temperatura przestała się zmniejszać ponieważ ciekły hel już powstał, ale jest on po prostu trudny do zaobserwowania. Heike Kamerlingh Onnes później wiele razy wspominał tą chwilę, kiedy oświetlił zainstalowane naczynie na gromadzący 12

13 się w aparaturze ciekły hel i ujrzał powierzchnię cieczy. Onnesowi udało się osiągnąć jeszcze niższą temperaturę (około 1.7 K) poprzez zmniejszenie ciśnienia, co było wtedy wynikiem niewiarygodnie bliskim zera bezwzględnego. Największym problemem Onnesa w tym czasie było wykorzystanie otrzymanego ciekłego helu do zaplanowanych badań. Heike poświęcił więc kolejne lata na udoskonalenie aparatury, tak aby nadawała się ona do tego celu, i dopiero w 1911 roku udało mu się stworzyć kriostat, który utrzymywał ciekły hel w stałej temperaturze, a w którym można było przeprowadzać badania właściwości różnych substancji w bardzo niskich temperaturach. W czasie, gdy Heike zajmował się skraplaniem kolejnych gazów, wielu naukowców dyskutowało na temat zależności temperaturowej oporu w temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu. Lord Kelvin uważał, że poprawiający się w coraz niższych temperaturach przepływ elektronów (co zaobserwowane i udokumentowane zostało przez wspomnianych już wcześniej polskich naukowców - Zygmunta Wróblewskiego i Karola Olszewskiego), może ustać z powodu zamrożenia elektronów. Oznaczałoby to, że w temperaturze zera bezwzględnego opór byłby nieskończony. Inni fizycy - w tym także Onnes i wspomniany wcześniej Dewar - przypuszczali, że opór będzie dalej malał i zniknie dopiero w temperaturze zera bezwzględnego. Temperatury osiągane przez Heike Kamerlingha Onnesa w jego eksperymentach były więc doskonałą okazją do zweryfikowania tych hipotez, jednak wynik zaskoczył wszystkich, gdyż z uwagi na ówczesny stan wiedzy o mikroświecie, był zupełnie nie do przewidzenia. Heike zdecydował się użyć do badań rtęci, gdyż chciał zapobiec sytuacji, w której niedoskonałość struktury metalu w stanie stałym mogłaby zaburzać przepływ prądu i przez to utrudniać interpretację wyników. Onnes, by przygotować do badań jak najczystszą próbkę, wielokrotnie destylował rtęć w temperaturze pokojowej, a następnie umieścił ją w szklanej kapilarze w kształcie litery U. Do końców tej kapilary przymocowane zostały elektrody, które umożliwiały przepływ prądu i jednocześnie badanie oporu. W trakcie oziębiania, gdy rtęć zestaliła się i utworzyła metalowy drut, Onnes wraz ze swoimi współpracownikami byli świadkami zmniejszania się oporu. Jednak w temperaturze skraplania się helu wynik pomiaru oporu był bardzo zdumiewający - opór wydawał się całkowicie znikać. Doświadczenie to przeprowadzali Heike Kamerlingh Onnes i Gerrit Flim, którzy doglądali pracę aparatury kriogenicznej oziębiającej rtęć, oraz Gilles Holst i Cornelius Dorsman, którzy przebywali w oddalonym o 50m pokoju i odczytywali wskazania galwanometru. Gdy kilkakrotnie ponawiane doświadczenie wciąż dawało ten sam wynik, badacze zaczęli przypuszczać, iż przyczyną jest jakieś zwarcie. Rurka w kształcie litery U została więc zastąpiona rurką w kształcie litery W z pięcioma elektrodami - na obu końcach i w kolankach - co dawało możliwość pomiaru oporu na różnych częściach próbki. Ponownie pomiary dały opór równy zeru, a na żadnym z badanych odcinków nie udało się odszukać zwarcia. Eksperyment był powtarzany wielokrotnie, aż któregoś razu jeden z asystentów, mający obowiązek kontrolowania wskazań manometru podłączonego do aparatury, zasnął. Ciśnienie par helu w kriostacie musiało być trochę niższe niż atmosferyczne, dzięki czemu sączące się przez nieszczelności do wnętrza powietrze zamarzało i uszczelniało aparaturę. Ponieważ nikt nie kontrolował wskazań 13

14 Rysunek 1: Wykres zrobiony przez Heike Kamerlingha Onnesa - opór badanej próbki rtęci jako funkcja temperatury. manometru, ciśnienie zaczęło powoli rosnąć, a wraz z nim i temperatura. Gdy przekroczyła 4.2 K, Holst stwierdził gwałtowny skok wskazań galwanometru, który sygnalizował pojawienie się oporu. Fakt ten potwierdził przekonanie Onnesa, że w temperaturze około 4.2 K opór rtęci naprawdę znikał. Stan, w którym opór metalu jest równy zero, nazwał stanem nadprzewodzącym, a swoje odkrycie opublikował pod koniec 1911 roku w pracy pod tytułem O nagłej zmianie szybkości znikania oporu rtęci. Kolejne doświadczenia, z cyną oraz ołowiem, pokazały, że nie tylko rtęć w odpowiednio niskiej temperaturze przechodzi w stan nadprzewodzący. Heike Kamerlingh Onnes, który od razu zaczął myśleć nad zastosowaniem nowo odkrytego zjawiska, mocno się jednak rozczarował, gdy odkrył, że słabe pola magnetyczne potrafią zniszczyć nadprzewodnictwo. Oznaczało to, że pomimo braku oporu, przez przewodnik mógł płynąć bardzo niewielki prąd. Dopiero w ostatnich latach odkryto i rozpoczęto produkcję materiałów nadprzewodzących prądu o dużych natężeniach w silnych polach magnetycznych, co pozwala obecnie myśleć o zastosowaniu nadprzewodnictwa nie tylko w medycynie (urządzenie do obrazowania metodą rezonansu magnetycznego), ale także do konstrukcji nadprzewodzących linii energetycznych, czy pojawiających się do tej pory jedynie w książkach science-fiction lewitujących pociągów Właściwości stanu nadprzewodzącego Odkryte przez Heike Kamerlingha Onnesa zjawisko nadprzewodnictwa pozostawało dla naukowców zagadką przez prawie pół wieku. W tym czasie próbą teoretycznego opisu tego zja- 14

15 wiska zajmowało się wielu wybitnych fizyków, między innymi Richard Feynman, Werner Heisenberg, Niels Bohr czy sam Albert Einstein, jednak żadnemu z nich nie udało się wyjaśnić, dlaczego niektóre materiały przewodzą w niskich temperaturach prąd bez oporu. Dopiero kolejne odkrycia związane z nadprzewodnikami pozwoliły na sformułowanie opisu teoretycznego zjawiska nadprzewodnictwa. Jednym z nich było odkrycie w 1933 roku przez Walthera Meissnera i Roberta Ochsenfelda zjawiska, nazwanego potem efektem Meissnera. Efekt ten polega na całkowitym wypychaniu pola magnetycznego z wnętrza nadprzewodnika w momencie przejścia przez punkt zwany temperaturą krytyczną. Zewnętrzne pole magnetyczne wnika jedynie do cienkiej warstwy przy powierzchni nadprzewodnika. Zjawisko to sugeruje, że elektrony w nadprzewodniku wytwarzają wewnętrzne pole magnetyczne, które neutralizuje zewnętrzne pole magnetyczne. Rysunek 2: Efekt Meissnera dla nadprzewodzącej kuli. Między nadprzewodnikiem a idealnym przewodnikiem o zerowym oporze istnieje więc znacząca różnica - w temperaturze powyżej temperatury krytycznej w obydwu materiałach linie indukcji magnetycznej B przechodzą przez te materiały, jednak przy obniżeniu temperatury poniżej temperatury krytycznej linie indukcji magnetycznej zostaną wypchnięte jedynie z nadprzewodnika. Efekt ten stał się kryterium określającym, czy dany materiał o zerowym oporze elektrycznym można nazywać nadprzewodnikiem. Podstawowymi cechami nadprzewodników są więc zerowy opór oraz idealny diamagnetyzm. Umieszczenie nadprzewodnika w silnym polu magnetycznym powoduje przejście do stanu normalnego. Istnieje więc wartość krytycznego pola magnetycznego H C, poniżej której dany materiał jest nadprzewodnikiem. Wartości H C dla nadprzewodników I rodzaju są tak małe, że nie mają one praktycznego zastosowania w życiu codziennym. Dopiero znacznie później zaobserwowano materiały zachowujące się nieco odmiennie. W 1957 roku Aleksiej Abrikosow wprowadził pojęcie nadprzewodników II rodzaju. W nadprzewodnikach takich opór elektryczny zanika stopniowo w przedziale temperatur T C1 < T < T C2. Jednocześnie nadprzewodniki takie posiadają dwie wartości krytycznego pola magnetycznego H C1 i H C2. Po przyłożeniu zewnętrznego pola 15

16 z zakresu H C1 < H < H C2 materiały te wykazują zerowy opór, jednak indukcja magnetyczna wewnątrz takiego nadprzewodnika jest różna od zera. Oznacza to, że efekt Meissnera jest niepełny - strumień magnetyczny wnika do wnętrza nadprzewodnika w postaci wirów tworzących tzw. sieć Abrikosowa o strukturze heksagonalnej. Wartość H C2 jest zwykle znacznie większa od wartości H C1, dzięki czemu materiały te znajdują szerokie zastosowanie praktyczne, między innymi w magnesach nadprzewodnikowych. Kolejnymi badaniami, które miały znaczny udział w sformułowaniu teoretycznego opisu nadprzewodnictwa były badania poświęcone entropii i ciepłu właściwemu. Entropia stanu nadprzewodzącego jest znacznie mniejsza, niż entropia stanu normalnego, co można zbadać, gdyż poniżej T C każdy materiał może zostać przeprowadzony ze stanu nadprzewodzącego do stanu normalnego poprzez przyłożenie zewnętrznego pola magnetycznego silniejszego niż wartość krytycznego pola magnetycznego danego materiału. Ponieważ entropia jest miarą nieporządku w układzie, oznacza to, że stan nadprzewodzący jest stanem bardziej uporządkowanym. Także zależności temperaturowe ciepła właściwego materiału w stanie normalnym i stanie nadprzewodzącym poniżej temperatury krytycznej T C różnią się od siebie. Rysunek 3: Wykres ciepła właściwego galu w stanie normalnym i nadprzewodzącym. Na ciepło właściwe składa się część elektronowa, sieciowa i, w niskich temperaturach, jądrowa kwadrupolowa. Składowa elektronowa w stanie normalnym zależy liniowo od tempera- 16

17 tury, natomiast w stanie nadprzewodzącym - wykładniczo od 1 T. Zmiana charakteru zależności elektronowego ciepła właściwego sugeruje, iż ogromny udział w nadprzewodnictwie mają elektrony. Jednocześnie wykładniczy charakter zależności wskazuje na to, że przy wzroście temperatury elektrony wzbudzane są przez przerwę energetyczną (przerwa ta ma zupełnie inny charakter niż przerwa energetyczna w izolatorach). Przerwa energetyczna jest charakterystyczną cechą stanu nadprzewodzącego. Natomiast nieciągłość ciepła właściwego w temperaturze przejścia T C świadczy o tym, że przejście ze stanu normalnego do stanu nadprzewodzącego jest przejściem fazowym II rodzaju, w którym to przejściu nie ma ciepła przemiany. Ponadto, gdy temperatura dąży do temperatury krytycznej T C, przerwa energetyczna maleje do zera w sposób ciągły. Innym odkryciem, które miało fundamentalne znaczenie dla powstania teorii nadprzewodnictwa, było odkrycie w 1950 roku tak zwanego efektu izotopowego. Efekt ten polega na tym, że temperatura krytyczna T C pierwiastków nadprzewodzących zależy od masy izotopowej jonów sieci. Oznacza to, że temperatura krytyczna zmienia się w sposób płynny, gdy do materiału z danego pierwiastka dodajemy różne izotopy tego samego pierwiastka. Wzorem, który dobrze opisuje obserwowane doświadczalnie zależności, jest wzór M α T C = constans, gdzie α jest współczynnikiem otrzymanym z dopasowania do danych doświadczalnych. Opisywana przez ten wzór zależność temperatury krytycznej od masy izotopowej M sugeruje, iż związek między nadprzewodnictwem a drganiami sieci krystalicznej, czyli oddziaływaniami elektron-fonon, jest bardzo silny. Odkrycia te, oraz wnioski za nimi idące, pozwoliły na stworzenie w 1957 roku przez Johna Bardeena, Leona Coopera i Roberta Schrieffera kwantowej teorii nadprzewodnictwa, za którą otrzymali oni w 1972 roku nagrodę Nobla Nowe fakty i odkrycia Teoria BCS, która opiera się na założeniu, że za powstawanie par elektronowych odpowiadają sprzężenia elektronów z drganiami sieci - fononami, wyjaśnia i opisuje wiele właściwości nadprzewodników. Jednak ciągłe badania nad kolejnymi związkami, które podejrzewane były o nadprzewodnictwo w niskich temperaturach, doprowadziły do zaskakujących odkryć - nie we wszystkich nadprzewodnikach za powstawanie par elektronowych muszą odpowiadać fonony. W 1979 roku Frank Steglich, badając związek CeCu 2 Si 2, stwierdził, że rolę bozonów pośredniczących w tym związku pełnią magnony, czyli kwazicząstki opisujące elementarne wzbudzenia magnetyczne (spinowe). Wzbudzenia te, w wyniku wzajemnych oddziaływań między spinami, mogą propagować się w krysztale jako fale, nazywane falami spinowymi. Wniosek Steglicha, płynący z przesłanek doświadczalnych - proporcjonalności oporu powyżej temperatury krytycznej T C do T 2, co sugerowało, że dominującym oddziaływaniem w tym związku jest rozpraszanie kulombowskie elektronów między sobą, oraz tego, że energia Fermiego jest mniejsza od energii 17

18 ω D drgań sieci krystalicznej, wzbudził wiele kontrowersji i nie został łatwo zaakceptowany, jednak odkrycie pierwszego nadprzewodnika niefononowego stało się podstawą do stworzenia nowych koncepcji odnośnie bozonów pośredniczących w tworzeniu par w nadprzewodnikach. Odkrycie to, nazwane później nadprzewodnictwem cieżkofermionowym, polega na silnej korelacji zachowania elektronów z pasma przewodnictwa. W wyniku wzajemnych oddziaływań kulombowskich elektronów, ich masa efektywna wzrasta wielokrotnie w stosunku do masy elektronu swobodnego. Wzrost masy elektronu ma bardzo duży wpływ na ruch elektronów. Obecnie uważa się, że za nadprzewodnictwo mogą odpowiadać bardzo różne bozony pośredniczące, między innymi fonony, magnony, ekscytony, anyony czy polarony. W 1986 roku Georg Bednorz i Alex Muller, zatrudnieni w laboratorium IBM w Zurychu, badali szczególny rodzaj materiałów - ceramiczne związki tlenków o strukturze perowskitu. Odkryli wtedy nadprzewodnik o rekordowo wysokiej, jak na tamte czasy, temperaturze krytycznej, która przekraczała maksymalną temperaturę krytyczną dopuszczaną przez teorię BCS. Ich odkrycie, które stało się inspiracją dla innych naukowców, zapoczątkowało rewolucję nadprzewodnikową - niedługo później odkryto wiele związków o bardzo wysokich temperaturach krytycznych. Ten rodzaj nadprzewodnictwa, który cechuje się wysokimi temperaturami i polami krytycznymi, nazwany został nadprzewodnictwem wysokotemperaturowym. Mechanizm odpowiadający za nadprzewodnictwo w materiałach będących nadprzewodnikami wysokotemperaturowymi do tej pory nie jest całkowicie zrozumiały, choć wiele wskazuje na to, że jest on związany z warstwową budową struktury krystalicznej. Nie wiadomo natomiast, czy za nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe może odpowiadać sprzężenie elektron-fonon, tworzące pary Coopera w nadprzewodnikach klasycznych. Warto w tym miejscu wspomnieć o odkryciach nadprzewodnictwa w następujących materiałach: BaP b 0.75 Bi 0.25 O 3 o T C = 12K, La 1.85 Ba 0.15 CuO 4 o T C = 36K, Y Ba 2 Cu 3 O 7 o T C = 90K czy T l 2 Ba 2 Ca 2 Cu 3 O 10 o T C = 120K. Obecnie najwyższą temperaturą krytyczną T C = 138K posiada odkryty w 1995 roku związek o wzorze (Hg 0.8 T l0.2 ) Ba 2 Ca 2 Cu 3 O Wszystkie te związki wykazują silną anizotropię wielu właściwości. W 1995 roku Ericowi Cornellowi oraz Carlowi Wiemanowi, po raz pierwszy w historii, udało się zaobserwować kondensację Bosego-Einsteina w gazie. Eksperyment ten polegał na ochłodzeniu 2000 spułapkowanych atomów rubidu do temperatury rzędu ułamka kelwina, dzięki czemu atomy na około 10 sekund straciły swoje indywidualne właściwości i zaczęły zachowywać się jak jeden superatom. Od tamtego czasu prowadzone są intensywne badania nad tym stanem skupienia, jednak dopiero w 2003 roku Deborah Jin udało się otrzymać kondensat złożony z atomów typu fermionowego. Otrzymanie takiego kondensatu było znacznie trudniejsze z powodu zakazu Pauliego, obowiązującego ten rodzaj cząstek - dwa fermiony nie mogą obsadzać jednego stanu kwantowego. Zamiast tego zapełniają najbardziej korzystne energetycznie stany, tworząc tak zwane morze Fermiego. Eksperyment przeprowadzony przez Deborah Jin polegał na ochłodzeniu atomów potasu do temperatury K i przyłożeniu zewnętrznego pola magnetycznego. Dzięki temu udało się zmusić atomy typu fermionowego do utworzenia 18

19 par - molekuł o charakterze bozonowym, które uległy kondensacji. Obecnie do badania tego mechanizmu kondensacji wykorzystuje się atomy potasu 40 K lub litu 6 Li. Najnowsze badania nad spułapkowanymi atomami typu fermionowego pozwalają naukowcom na kontrolowanie oddziaływań między atomami. Dzieje się tak dzięki wykorzystaniu tak zwanych magnetycznych rezonansów Feshbacha. Przy pewnych wartościach pola magnetycznego, relatywnie mała zmiana wartości tego pola, może spowodować dużą zmianę siły, a a nawet zmianę charakteru oddziaływań. Dzięki temu, przed naukowcami otworzyły się całkowicie nowe możliwości badań nad zachowaniem fermionów - charakter oddziaływań między atomami może zostać gwałtownie zmieniony na przykład z odpychającego na przyciągające. Ponieważ jego wartość można zmieniać w ciągły sposób, to pozwala to badać procesy zależne od czasu. Rysunek 4: Ilustracja przykładowego rezonansu Feshbacha. Oddziaływanie między dwoma atomami może być opisane za pomocą długości rozpraszania a, przedstawionej na Rysunku 4 w zależności od przyłożonego pola magnetycznego w pobliżu rezonansu Feshbacha B 0. Po tak zwanej stronie BEC (B < B 0 ), dla której a > a 0, oddziaływania między atomami są odpychające. W trakcie zderzeń między atomami, mogą one utworzyć na 19

20 krótką chwilę molekułę. Jeżeli moment magnetyczny tak utworzonej molekuły różni się od momentu magnetycznego niezwiązanych atomów, można spowodować, zmieniając wartość pola magnetycznego, iż stan związany jest bardziej korzystny energetycznie niż stan niezwiązany. Molekuła utworzona z dwóch fermionów ma charakter bozonowy, dzięki czemu mogą one ulec kondensacji Bosego-Einsteina (BEC). Po stronie BCS (B > B 0 ), dla której długość rozpraszania a < a 0, oddziaływania między atomami są przyciągające. Atomy mogą jednak nadal tworzyć parę, która jest luźno związana, a której rozmiary porównywalne są do średnich odległości między cząstkami. Kondensat Bosego-Einsteina takich kruchych par nazywany jest stanem BCS, od nazwisk Bardeena, Coopera i Schrieffera, ponieważ dokładnie taka sytuacja występuje w nadprzewodnikach. Rezonanse Feshbacha dają więc nie tylko możliwość manipulowania wartością oddziaływań między fermionami w czasie, ale również są doskonałym medium testowania, przeprowadzanych do tej pory jedynie teoretycznie, rozważań na temat zagadnienia ciągłego przejścia od nadprzewodnictwa BCS luźno związanych par do nadciekłości BEC par lokalnych. 20

21 Rozdział 2 Mikroskopowa teoria BCS W 1957 roku John Bardeen, Leon Cooper i Robert Schrieffer podali podstawy mikroskopowej teorii wyjaśniającej zjawisko nadprzewodnictwa, oraz przewidującej kolejne efekty związane z nadprzewodnikami, za którą to teorię otrzymali w 1972 roku nagrodę Nobla. Pomimo, że w oryginalnej pracy bozonami pośredniczącymi w przekazywaniu oddziaływania odpowiedzialnego za powstawanie par były fonony, to uwzględnienie różnych mechanizmów parowania cząstek pozwala rozszerzyć zakres stosowalności teorii BCS na znacznie szerszy obszar, niż nadprzewodniki klasyczne - od skondensowanej fazy 3 He, poprzez nadprzewodzące pierwiastki i związki chemiczne, aż do tlenkowych nadprzewodników wysokotemperaturowych Zjawisko powstawania par fermionowych Podstawowym założeniem teorii BCS jest dopuszczenie możliwości łączenia się w pary nośników ładunku w przewodniku. Inspiracją do takiego założenia był wynik teoretyczny otrzymany przez Herberta Fröhlicha w 1950 roku. Fröhlich, tuż po odkryciu efektu izotopowego, zaczął zastanawiać się, dlaczego temperatura krytyczna zależy od masy izotopowej jonów sieci. Stwierdził wtedy, że kwant drgania sieci, fonon, musi odgrywać kluczową rolę w mechanizmie prowadzącym do nadprzewodnictwa. Rozważając sytuację, w której jeden z elektronów emituje kwant drgania sieci krystalicznej, który następnie jest absorbowany przez inny elektron, doszedł do wniosku, że istnieją pewne warunki, dla których to oddziaływanie między elektronami może być przyciągające! Dzieje się tak dla elektronów posiadających energię bardzo bliską energii Fermiego. Jednak wynik teoretyczny Fröhlicha, pomimo że obiecujący i dający wyjaśnienie efektu izotopowego, nie pozwalał wytłumaczyć, w jaki sposób oddziaływanie przyciągające może odgrywać rolę w nadprzewodnikach, skoro oddziaływanie kulombowskie między elektronami jest znacznie silniejsze. Nad problemem tym zaczął zastanawiać się Johna Bardeen, który doszedł do wniosku, że odpowiedź tkwi w ośrodku - jeżeli uwzględnimy wpływ ekranowania oddziaływań elektron-elektron oraz elektron-jon, to właśnie obecność jonów sieci krystalicznej sprawia, iż oddziaływania między elektronami mogą być przyciągające. Leon Cooper pokazał, że przyciąganie to może, w niskich temperaturach, spowodować niestabilność powierzchni Fermiego stanu 21

22 normalnego ze względu na tworzenie par elektronów o przeciwnym pędzie i spinie. Oznacza to, że w niskich temperaturach ciecz zbudowana z elektronów przewodnictwa, które powiązane są ze sobą w pary - kwazicząstki o charakterze bozonowym, ulega kondensacji Bosego-Einsteina i przechodzi w stan nadciekły. Kondensacja Bose-Einsteina par elektronowych i ich przejście do stanu nadciekłego obserwowane jest jako zanik oporu elektrycznego. W tym momencie teoria wyjaśniająca zjawisko nadprzewodnictwa była praktycznie gotowa, i powstała, gdy Robert Schrieffer zastosował podejście wykorzystywane wcześniej dla polaronów do zagadnienia oddziałujących par elektronowych - par Coopera. Z teorii BCS wynika wiele właściwości stanu nadprzewodzącego - między innymi tłumaczy ona dlaczego w nadprzewodnikach powstaje przerwa energetyczna. Dzieje się tak dlatego, iż elektron, poruszając się w ośrodku, oddziałuje z siecią krystaliczną powodując jej deformację. Ponieważ elektron porusza się znacznie szybciej niż jony sieci krystalicznej powracają do stanu równowagi, to w miejscu deformacji powstaje lokalne zagęszczenie ładunku dodatniego, przez które przyciągany jest drugi elektron. Oddziaływanie przyciągające między elektronami realizowane jest więc za pomocą deformacji sieci krystalicznej - fononu. W wyniku takiego oddziaływania powstaje stan związany - para Coopera. Aby rozdzielić parę Coopera na dwa niezależne elektrony potrzebna jest skończona wartość energii. Oznacza to, że w układzie istnieje przerwa energetyczna dla wzbudzeń jednoelektronowych Transformacja Bogoliubova-Valatina Od momentu opublikowania teorii BCS minęło już prawie pół wieku. Na przełomie tego czasu opracowano wiele sposobów rozwiązania zagadnienia BCS, ale jedną z najbardziej znanych i prawdopodobnie najprostszą metodą, pozostaje wprowadzenie transformacji kanonicznej, która diagonalizuje elementy macierzowe hamiltonianu. Transformacja ta nazwana jest transformacją Bogoliubova-Valatina [2]. W tym rozdziale pokażemy w jaki sposób zdefiniować taką transformację i jak za jej pomocą otrzymać równania teorii BCS. Rozważać będziemy układ cząsteczek typu fermionowego, który opisywany jest hamiltonianem Ĥ BCS = ĤKIN + ĤP OT = ξ k ĉ k,σĉk,σ V k,k (q) ĉ ĉ k +q,σ k,σ ĉ k q,σĉk,σ. (1) k,σ=, k,k,q,σ,σ W teorii opisującej zagadnienie wielu ciał wygodnie jest mierzyć energię względem poziomu Fermiego, dlatego do hamiltonianu wprowadziliśmy energię ξ k = e k µ. Ponieważ powyższy hamiltonian nie jest rozwiązywalny w sposób ścisły, dlatego w naszych dalszych rozważaniach zmuszeni jesteśmy do ograniczenia rozwiązania i wykonania przybliżeń. Pierwsze przybliżenie polegać będzie na pozostawieniu w członie oddziaływania tylko tej części, dla której oddziaływanie między fermionami jest przyciągające i prowadzi do powstawania par. Dzieje się tak w przypadku, w którym całkowity pęd pary jest równy k + k = 0, a fermiony tworzące parę mają przeciwne spiny. Dla wygody przyjmiemy również, że elementy macierzowe oddziaływania są 22

23 sobie równe (V k,k (q) = V ). Możemy więc przepisać hamiltonian (1) jako Ĥ BCS = k,σ=, ξ k ĉ k,σĉk,σ V k,k ĉ k, ĉ k, ĉ k, ĉ k,. (2) Hamiltonian ten jest nazywany zredukowanym hamiltonianem BCS. Stanem podstawowym dla tego hamiltonianu jest stan Φ 0 = k ( ) u k + v k ĉ k, ĉ k, Φ vac, (3) gdzie Φ vac jest stanem próżni a u k i v k są współczynnikami liczbowymi. Ideą transformacji Bogoliubova-Valatina jest wprowadzenie nowych operatorów ˆγ k,σ i ˆγ k,σ, za pomocą których wyrazimy stare operatory ĉ k,σ i ĉ k,σ, a następnie sprawdzenie, jakie warunki muszą spełniać te operatory, by diagonalizowały hamiltonian. Nowe operatory ˆγ k,σ i ˆγ k,σ wprowadzimy w następujący sposób [3] ˆγ k, u kĉ k, v kĉ k,, (4) Sprzężenie hermitowskie wprowadzonych równań da nam ˆγ k, u k ĉ k, + v k ĉ k,. (5) ( ˆγ k, ) = ˆγk, = u kĉ k, v kĉ k,, (6) (ˆγ k, ) = ˆγ k, = u kĉ k, + v kĉ k,. (7) W tym miejscu, dla wygody, zakładamy, że współczynniki u k i v k są wielkościami rzeczywistymi (czyli u k = u k i v k = vk, chociaż w ogólności tak być nie musi). Dzięki temu otrzymamy, że ˆγ k, = u k ĉ k, v k ĉ k,, (8) ˆγ k, = u kĉ k, + v kĉ k,. (9) Operatory ˆγ i ˆγ nazywane są operatorami Bogoliubova-Valatin a. Jak sugeruje notacja, operatory ˆγ k, oraz ˆγ k, kreują kwazicząstki w stanie odpowiednio k i k, natomiast operatory ˆγ k, oraz ˆγ k, annihilują kwazicząstki będące w tych stanach. Ponieważ wprowadzona transformacja ma być transformacją kanoniczną, to od wprowadzonych operatorów będziemy wymagali, by były one operatorami fermionowymi (tak jak operatory ĉ). Z zasad antykomutacyjnych dla tych operatorów } {ˆγ k,σ, ˆγ k,σ = 0, (10) } {ˆγ k,σ, ˆγ k,σ = 0, (11) } {ˆγ k,σ, ˆγ k,σ = δ k,k δ σ,σ, (12) 23

24 wynika własność na współczynniki u k i v k u 2 k + v 2 k = 1. (13) Zbudujmy teraz transformację odwrotną do transformacji Bogoliubova-Valatin a. Zrobimy to dodając i odejmując stronami równania (4) i (5) oraz równania (8) i (9), a następnie korzystając z równania (13). W wyniku tej operacji otrzymamy ĉ k, = u kˆγ k, + v kˆγ k,, (14) ĉ k, = u kˆγ k, v kˆγ k,, (15) ĉ k, = u kˆγ k, v kˆγ k,, (16) ĉ k, = u kˆγ k, + v kˆγ k,. (17) Transformacje Bogoliubova-Valatin a i transformacje do nich odwrotne możemy zapisać w postaci macierzowej ˆγ k, ˆγ k, ĉ k, ĉ k, = u k v k v k ĉ k, u k ĉ k,, (18) = u k v k ˆγ k,. (19) v k u k ˆγ k, Pomimo ograniczenia członu oddziaływania tylko do części związanej z przyciąganiem fermionów, hamiltonian nadal nie jest rozwiązywalny w sposób ścisły. Dokonamy więc jeszcze jednego przybliżenia, zwanego przybliżeniem średniego pola  ˆB  ˆB +  ˆB  ˆB. (20) Część potencjalna zredukowanego hamiltonianu BCS (2) wyrazi się jako Ĥ P OT = V k,k ĉ k, ĉ k, ĉ k, ĉ k, V ] [ ĉ k, ĉ k, ĉ k, ĉ k, + ĉ k, ĉ k, ĉ k, ĉ k,. (21) k,k Wprowadźmy teraz następujący parametr = V k ĉ k, ĉ k,. (22) Sprzężenie hermitowskie tego parametru daje = V k ĉ k, ĉ k,. (23) Równania (22) i (23) przekształci część potencjalną hamiltonianu BSC (21) do postaci Ĥ P OT = k ĉ k, ĉ k, k ĉ k, ĉ k,. (24) 24

25 W tym miejscu założymy, że parametr jest wielkością rzeczywistą, co daje Ĥ P OT = k [ ] ĉ k, ĉ k, + ĉ k, ĉ k,. (25) Następnym krokiem będzie podstawienie nowych operatorów ˆγ za stare operatory ĉ, wykorzystując w tym celu wprowadzoną transformację kanoniczną i jednocześnie przyjmując, że u k = u k, v k = v k oraz ξ k = ξ k. Podstawienie to sprawi, że równanie (25) przyjmie postać Ĥ P OT = k = k k [ ] ĉ k, ĉ k, + ĉ k, ĉ k, = ( ) ( ) u kˆγ k, v kˆγ k, u kˆγ k, + v kˆγ k, + ) ) (u kˆγ k, + v kˆγ k, (u kˆγ k, v kˆγ k, = = ) 2u k v k (ˆγ k, ˆγ k, ˆγ k, ˆγ k, + k ( ) ) u 2 k vk (ˆγ 2 k, ˆγ k, + ˆγ k, ˆγ k, = k = 2 ) u k v k (ˆγ k, ˆγ k, 1 + ˆγ k, ˆγ k, + k ( ) (ˆγ ( ) ) u 2 k vk 2 k, ˆγ k, + ˆγ k, ˆγ k, = k = 2 k k u k v k + 2 ( u 2 k vk 2 k,σ=, u k v kˆγ k,σˆγ k,σ + ) (ˆγ k, ˆγ k, + ( ˆγ k, ˆγ k, ) ). (26) Część kinetyczna zredukowanego hamiltonianu BCS (2), po postawieniu nowych operatorów, może zostać przekształcona do postaci Ĥ KIN = ξ k ĉ k,σĉk,σ = ( ) ) ξ k u kˆγ k, + v kˆγ k, (u kˆγ k, + v kˆγ k, + k,σ=, k + ( ) ) ξ k u kˆγ k, v kˆγ k, (u kˆγ k, v kˆγ k, = k = ξ k u 2 kˆγ k,σˆγ k,σ + ξ k vkˆγ 2 k,σˆγ k,σ + + k k,σ=, = 2 k + 2 k k,σ=, ξ k u k v k ( ˆγ k, ˆγ k, + (ˆγ + k, ˆγ k, ξ k v 2 k + k,σ=, ξ k (u 2 k v 2 k ) ) + k ) ˆγ k,σˆγ k,σ + ( ) ) ξ k u k v k ˆγ k, ˆγ k, (ˆγ + k, ˆγ k, = ( ) ) ξ k u k v k ˆγ k, ˆγ k, (ˆγ + k, ˆγ k,. (27) Cały hamiltonian, po wykonaniu przybliżenia średniego pola i w formalizmie nowych operato- 25

26 rów ˆγ możemy zapisać jako Ĥ BCS = 2 ) (ξ k vk 2 u k v k + ( ) ) (ξ k u 2 k vk u k v k ˆγ k,σˆγ k,σ + k k,σ=, + [ ( )] (ˆγ ( ) ) 2ξ k u k v k u 2 k vk 2 k, ˆγ k, + ˆγ k, ˆγ k,. (28) k Ponieważ ze wszystkich możliwych transformacji poszukujemy transformacji diagonalizującej elementy macierzowe otrzymanego hamiltonianu, będziemy musieli narzucić na otrzymany hamiltonian warunek na zerowanie się elementów niediagonalnych. Oznacza to, że wprowadzając nowe, kwazicząstkowe operatory, założymy, że kwazicząstki poruszają się w potencjale uśrednionym, nie oddziałując między sobą (są swobodne). Spełnione więc musi być następujące równanie ( ) 2ξ k u k v k u 2 k vk 2 = 0. (29) Z warunków na zachowanie charakteru fermionowego cząstek i na diagonalizację hamiltonianu otrzymujemy układ równań u 2 k + v2 k = 1, u 2 k v2 k = 2 ξ k u k v k, który to układ równań będziemy starali się rozwiązać. Możemy to zrobić przekształcając drugie równanie układu (30) do postaci 2u k v k = ξ k (u 2 k v 2 k (30) ), (31) a następnie podnosząc obydwie strony otrzymanego równania do kwadratu i dzieląc przez ( u 2 k vk 2 ) 2, co daje 2 ξ 2 k = 4u2 k v2 k ( u 2 k v 2 k) 2. (32) Wielkość 2u 2 k v2 k możemy rozpisać jako ( ) ( ) ( ) 2u 2 kvk 2 = u 2 kvk 2 + u 2 kvk 2 = u 2 k 1 u 2 k + 1 vk 2 vk 2 = 1 u 4 k + vk 4 = ( 2 = 1 u 2 k vk) 2 2u 2 k vk, 2 (33) co pozwoli nam zapisać 4u 2 k v2 k występujące w liczniku równania (32) jako ( 2 4u 2 kvk 2 = 1 u 2 k vk) 2. Dzięki temu zabiegowi otrzymujemy, że 2 ξ 2 k = 1 ( u 2 k v 2 k) 2 1, (34) 26

27 Przenosząc jedynkę na drugą stronę równania i zapisując lewą stronę w postaci jednego ułamka, następnie zamieniając miejscami liczniki ułamków z mianownikami i pierwiastkując obydwie strony otrzymamy równość u 2 k v 2 k = ξ k 2 + ξ 2 k. (35) Z otrzymanego równania oraz z pierwszego równania układu równań (30) otrzymamy rozwiązanie na współczynniki u 2 k i v2 k u 2 k = 1 ξ k ξk 2 2, (36) vk 2 = 1 ξ k ξk 2 2. Teraz, porównując stronami równania na u 2 k v2 k, możemy napisać, że ξ k 2 + ξ 2 k = 2 ξ k u kv k, (37) dzięki czemu otrzymamy informację o tym, ile wynosi 2u k v k 2u k v k = ξ k. (38) 2 + ξk 2 ξ k Możemy teraz wrócić do hamiltonianu (28) i wykorzystać powyższe rozważania, podstawiając otrzymane wielkości. Dzięki temu hamiltonian przyjmie następującą postać Ĥ BCS = 2v k (ξ k v k u k ) + ( ) ) (ξ k u 2 k vk u k v k ˆγ k,σˆγ k,σ (39) k k,σ=, 2.3. Wielkości charakterystyczne dla stanu BCS Dzięki wprowadzonej w tym rozdziale transformacji kanonicznej Bogoliubova-Valatina możemy policzyć pewne, charakterystyczne dla stanu nadprzewodzącego, wielkości. Oznaczmy człon stojący przy operatorach ˆγ k,σˆγ k,σ przez E k i policzmy, ile on wyniesie E k = ξ k (u 2 k v 2 k ) + 2 u k v k = ± 2 + ξk ξk 2 = ± 2 k + ξ2 k. (40) W rozwiązaniu tym wybieramy wynik ze znakiem dodatnim. Powodem takiego wyboru jest to, iż energia E k jest energią wzbudzenia jednej kwazicząstki i musi być do układu dostarczona. W poprzedniej części tego rozdziału zdefiniowaliśmy parametr porządku (22) jako = V k ĉ k, ĉ k,. Aby policzyć, musimy zastanowić się ile wyniesie ĉ k, ĉ k,. Wstawmy w miejsce operatorów ĉ nowe operatory ˆγ, co da ( ) ) ĉ k, ĉ k, = u kˆγ k, v kˆγ k, (v kˆγ k, + u kˆγ k, = ) = u k v k (ˆγ k, ˆγ k, ˆγ k, ˆγ k, + u 2 kˆγ k, ˆγ k, vkˆγ 2 k, ˆγ k,. (41) 27

28 Korzystając z własności antykomutacyjnych, możemy napisać, że ) ĉ k, ĉ k, = u k v k (1 ˆγ k, ˆγ k, ˆγ k, ˆγ k, + u 2 kˆγ k, ˆγ k, vkˆγ 2 k, ˆγ k,. (42) Policzmy teraz średnią ĉ k, ĉ k, w sensie statystycznym, pamiętając, że nowe operatory ˆγ są operatorami fermionowymi. Oznacza to, że ˆγ k, ˆγ k, = 1 e βe k +1, gdzie β = 1 k B T. Średnia ta da nam następujący wynik ) ĉ k, ĉ k, = u k v k (1 ˆγ k, ˆγ k, ˆγ k, ˆγ k, + u 2 k ˆγ k, ˆγ k, vk ˆγ 2 k, ˆγ k, = = u k v k (1 1 e βe k + 1 ) 1 e βe = u k k v k (1 2f F D ), (43) + 1 Korzystając z równań (38) i (40) możemy napisać, że u k v k = 2E k. Wstawmy tą wielkość do równania na średnią ĉ k, ĉ k, = 2E k (1 2f F D ) = e βek 1 2E k e βe, (44) k + 1 co po wstawieniu w miejsce średniej do równania na parametr porządku = V k ĉ k, ĉ k, da wynik = V k 2E k e βek 1 e βe k + 1 = V k ( ) Ek tanh. (45) 2E k 2k B T Otrzymaliśmy więc równanie na parametr porządku. Równanie to posiada dwa rozwiązania - trywialne = 0 oraz nietrywialne 0. Rozwiążmy to równanie w przypadku nietrywialnym dla T = 0 [5]. Równanie na parametr porządku przyjmie wtedy postać = V k. (46) ξk 2 Podzielmy obydwie strony równania (46) przez i zastąpmy sumowanie całkowaniem 1 = V 1 2 ρ (ξ) dξ, (47) 2 + ξ2 gdzie ρ (ξ) oznacza gęstość stanów. Ograniczymy całkowanie do przedziału energii < ω D ; ω D >, gdzie ω D jest energią rzędu energii Debye a. Dla tego przedziału gęstość stanów ρ (ξ) można uznać w przybliżeniu za stałą ρ (ξ) ρ (e F ) = ρ F. (48) Wstawiając równanie (48) do równania (47) otrzymamy następującą postać całki 1 = V ρ F 2 ωd dξ. (49) 2 + ξ2 ω D 1 Funkcja podcałkowa jest funkcją symetryczną, więc możemy napisać 1 = V ρ F 2 2 ωd 0 ( ) 1 ξ 2 + ξ dξ = V ρ 2 F sinh 1 ω D. (50) 0 28

29 Dzieląc obydwie strony przez V ρ F i licząc funkcję odwrotną ( ) ω D 1 = sinh, (51) V ρ F a następnie przekształcając otrzymane równanie do postaci = ω D sinh ( 1 V ρ F ), (52) otrzymaliśmy wzór na wartość parametru porządku. Dla V ρ F 1 możemy wykonać jeszcze następujące przybliżenie: 2ω D e 1 V ρ F. (53) Możemy jeszcze policzyć, ile wynosi liczba cząstek N. W tym celu policzymy ĉ k, ĉk, = ĉ k, ĉk,. Wstawmy w miejsce starych operatorów ĉ nowe operatory ˆγ, co da ( ) ) ĉ k, ĉk, = v kˆγ k, + u kˆγ k, (v kˆγ k, + u kˆγ k, = ) = vkˆγ 2 k, ˆγ k, + u kv k (ˆγ k, ˆγ k, + ˆγ k, ˆγ k, + u 2 kˆγ k, ˆγ k,. (54) Policzmy teraz średnią otrzymanego wyrażenia na ĉ k, ĉk, w sensie statystycznym ( ) ĉ k, ĉk, = vk ˆγ 2 k, ˆγ k, + u kv k ˆγ k, ˆγ k, + ˆγ k, ˆγ k, + u 2 k ˆγ k, ˆγ k, = ( ) = u 2 k vk 2 f F D + vk 2 = 1 ( ) 2 + ξ k 2 e βe k ξk 2 2e βe = k + 2 ξ k = ξk 2 Powyższe wyrażenie na średnią ĉ k, ĉk, możemy zapisać jako Liczba cząstek N jest więc równa N = n k,σ = k,σ k = k e βe k 1 e βe 1. (55) k + 1 ĉ k, ĉk, = 1 2 ξ k ξk 2 1 ξ k 2 + ξ 2 k ( n k, + n k, ) = k ( ) Ek tanh. (56) 2k B T ( ) ĉ k, ĉk, + ĉ k, ĉk, = ( ) Ek tanh. (57) 2k B T Dzięki wprowadzonej w tym rozdziale metodzie transformacji kanonicznej Bogoliubova-Valatina udało się nam pokazać niektóre z właściwości zredukowanego hamiltonianu BCS. Otrzymaliśmy również postaci parametrów teorii BCS. Metoda transformacji kanonicznej jest więc bardzo przydatną, i co najważniejsze - bardzo prostą metodą rozważania właściwości stanu BCS. 29

30 30

31 Rozdział 3 Metoda Andersona 3.1. Opis metody Innym sposobem rozwiązania zagadnienia BCS jest metoda zaproponowana przez P.W. Andersona w 1958 roku [1]. Polega ona na wprowadzeniu operatorów analogicznych do operatorów spinowych i jest jednym z najbardziej obrazowych sposobów opisu właściwości hamiltonianu BCS. W tej części mojej pracy pokażę, w jaki sposób definiowane są pseudospiny i jak za pomocą tego formalizmu można odtworzyć równania teorii BCS. Rozważymy stan podstawowy gazu fermionowego w obecności oddziaływań przyciągających, który jest opisany hamiltonianem Ĥ BCS = ĤKIN + ĤP OT = ξ k ĉ k,σĉk,σ V k,k ĉ k +q, ĉk, ĉ k q, ĉk,. (1) k,k k,σ=, Energia ξ k jest mierzona względem poziomu Fermiego ξ k = e k µ. Dalsze rozważania ograniczymy do przypadku, w którym całkowity pęd pary jest równy k + k = 0. Dla wygody przyjmiemy również, że elementy macierzowe oddziaływania są sobie równe V k,k = V. Możemy więc przepisać hamiltonian BCS jako Ĥ BCS = ξ k ĉ k,σĉk,σ V ĉ k, ĉ k, ĉ k, ĉ k,. (2) k,k k,σ=, Hamiltonian ten jest nazywany zredukowanym hamiltonianem BCS i działa w podprzestrzeni par tylko na stanach s (, ). Stanem podstawowym dla tego hamiltonianu jest stan Φ 0 = k ( ) u k + v k ĉ k, ĉ k, Φ vac, (3) gdzie Φ vac jest stanem próżni a u k i v k są współczynnikami liczbowymi. Wprowadźmy teraz operatory pseudospinu, które można powiązać w następujący sposób z operatorami par Coopera ˆσ + k = ĉ k, ĉ k, (4) ˆσ k = ĉ k, ĉ k,, (5) 31

32 a które jednocześnie, z definicji [10], są równe ˆσ k + 1 x (ˆσ 2 k + iˆσ k) y (6) ˆσ k 1 2 x (ˆσ k iˆσ y ) k. (7) Operatory typu spinowego spełniają następujące warunki komutacyjne [ ] ˆσ k +, ˆσ k = ˆσ k z (8) [ ] 1 2 ˆσz k, ˆσ k + = ˆσ k + (9) [ ˆσ k, 1 ] 2 ˆσz k = ˆσ k, (10) natomiast operatory ˆσ x k, ˆσy k i ˆσz k spełniają następujące warunki komutacyjne x [ˆσ k, ˆσ y ] k = 2iˆσ z k (11) [ˆσ y k, ˆσz k] = 2iˆσ x k (12) [ˆσ z k, ˆσ x k] = 2iˆσ y k, (13) oraz antykomutacyjne {ˆσ x k, ˆσ y k} = {ˆσ y k, ˆσz k} = {ˆσ z k, ˆσ x k} = 0. (14) Z własności komutacyjnych (11), (12) i (13) oraz antykomutacyjnych (14) dla operatorów ˆσ x k, ˆσy k i ˆσ z k wynikają zależności ˆσ x k ˆσ y k = iˆσz k (15) ˆσ y k ˆσz k = iˆσ x k (16) ˆσ z kˆσ x k = iˆσ y k. (17) Możemy policzyć, ile wynosi ˆσ k z [ ] ] ˆσ k z = ˆσ k +, ˆσ k = [ĉ k, ĉ k,, ĉ k, ĉ k, = ĉ k, ĉk, + ĉ k, ĉ k, 1. (18) Równania (4), (5) i (18) pozwalają przepisać hamiltonian (2) w języku oddziałujących pseudospinów Ĥ = k ξ kˆσ z k V k,k ˆσ + k ˆσ k + k ξ k. (19) Część k ξ k otrzymanego hamiltonianu jest wielkością stałą, więc nie wpływa na rozważane przeze mnie efekty, a jedynie przesuwa widmo energetyczne. Sumę tą mogę pominąć w dalszych rozważaniach Ĥ = k ξ kˆσ z k V k,k ˆσ + k ˆσ k. (20) 32

33 Wstawmy teraz za ˆσ + k i ˆσ k zależności (6) i (7), co daje Ĥ = k = k ξ kˆσ k z V 1 x (ˆσ 4 k + iˆσ y ) x k (ˆσ k iˆσ y ) k = k,k ξ kˆσ z k 1 4 V k,k (ˆσ x k ˆσ x k + ˆσ y k ˆσ y k). (21) Hamiltonian (21) jest tożsamy z hamiltonianem (2). Ponieważ nie jest on rozwiązywalny w sposób ścisły, zastosujemy więc przybliżenie średniego pola  ˆB  ˆB +  ˆB  ˆB. (22) W dalszych rozważaniach pomijamy również stały człon  ˆB pochodzący z przybliżenia średniego pola, ponieważ nie będzie on wpływał na rozważane przeze mnie efekty. Przybliżenie to jest dobre, ponieważ liczba pseudospinów zaangażowanych w tworzenie wirtualnego pola magnetycznego jest ogromna, a poszczególne pseudospiny oddziałują między sobą tak samo. Dzięki temu otrzymane wirtualne pole magnetyczne będziemy mogli traktować tak samo, jak klasyczny wektor pola magnetycznego Ĥ = k ξ kˆσ z k 1 4 V k,k ( ˆσ x k ˆσ x k + ˆσ x k ˆσx k + ˆσ y k ˆσ y k + ˆσy k ˆσ y k ) = = k ξ kˆσ z k 1 2 V k,k ( ˆσ x k ˆσ x k + ˆσ y k ˆσ y k). (23) Wprowadźmy teraz definicję wirtualnego pola magnetycznego b k, z którym oddziaływać będzie pseudospin ˆ σ k bk = ξ k z V k ( ˆσ x k x + ˆσ y k y ). (24) Wektory x, y i z są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami X, Y i Z. Hamiltonian (23) przyjmie więc następującą postać Ĥ = k b z kˆσ z k k b x k ˆσ x k k b y kˆσy k, (25) którą można zapisać w postaci następującego iloczynu skalarnego Ĥ = k ( b x k, b y k, ) bz k x (ˆσ k, ˆσ y k, ) ˆσz k, (26) lub krócej, jako Ĥ = k bk ˆ σ k. (27) Parametr porządku w reprezentacji pseudospinowej może być opisany równaniem V k ĉ k, ĉ k, = V k ˆσ + k, (28) możemy więc rozpisać go w następujący sposób + i = 1 2 V k ˆσ x k + i 2 V k ˆσ y k. (29) 33

34 Dzięki temu wektor wirtualnego pola magnetycznego będzie miał postać bk = (,, ξ k ). (30) Dla wygody wprowadzamy teraz układ współrzędnych w taki sposób, że ˆσ y k = 0. Oznacza to, że spiny leżą w płaszczyżnie XZ. Wtedy = = 1 2 V ˆσ k x. (31) k Wprowadzenie operatorów pseudospinowych i wykonanie przybliżenia średniego pola, w którym otrzymujemy wirtualne pole magnetyczne, pozwala zastosować metody opracowane na potrzeby teorii ferromagnetyzmu Przypadek temperatury T = 0 Stanem podstawowym opisywanego przeze mnie układu będzie stan, w którym wszystkie spiny układać się będą zgodnie z wirtualnym polem magnetycznym b k = ) (, 0, ξ k, które k na nie oddziałuje: Rysunek 5: Metoda rozwiązania hamiltonianu BCS w reprezentacji pseudospinowej. 34

35 Jednocześnie, dla T= 0, spełniony jest następujący warunek normalizacyjny, wynikający bezpośrednio z teorii ferromagnetyzmu Weissa [6] ˆ σ k = 1. (32) W oparciu o ilustrację przedstawioną na Rysunku 1, wprowadzamy następującą parametryzację ˆσ k x = sin θ k ˆ σ k, (33) ˆσ k z = cos θ k ˆ σ k. (34) W takiej parametryzacji parametr porządku jest równy = 1 2 V sin θ k ˆ σ k. (35) k Jednocześnie, w oparciu o ilustrację z Rysunku 1, możemy napisać tan θ k = sin θ k cos θ k = ˆσx k ˆσ z k = bx k b z k = ξ k. (36) Równanie (36) można rozwiązać, podnosząc obydwie strony do kwadratu i korzystając z tego, że sin 2 θ k + cos 2 θ k = 1 tan 2 θ k = 1 cos2 θ k cos 2 θ k = 2 ξk 2, (37) 1 cos 2 = 2 θ k ξk 2 + 1, (38) cos 2 θ k = ξ 2 k 2 + ξk 2. (39) Z równania sin 2 θ k + cos 2 θ k = 1 oraz równania (39) wynika sin 2 θ k = ξk 2. (40) Porównując otrzymane wyniki z równością (36) i wykorzystując zależności (32), (33) i (34), możemy napisać, że ˆσ x k = sin θ k = ˆσ z k = cos θ k =, (41) 2 + ξk 2 ξ k. (42) 2 + ξk 2 Równania (41) i (42) możemy wykreślić w programie Gnuplot dla przykładowej wartości parametru porządku. 35