Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Transkrypt

1 SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości znaków - cyfr, z których się składa) jedynkowy dwójkowy (binarny) ósemkowy (oktagonalny) dziesiętny (decymalny arabski) szesnastkowy (heksagonalny) system rzymski System jedynkowy: Ilość cyfr 1 - {1} Podstawa - cyfra 1 Np. 111(1), 11111(1), 1(1), itd. Uwaga! W nawiasie, w indeksie dolnym oznaczamy system w jakim zapisana jest liczba System dwójkowy (binarny): Ilość cyfr 2 {0,1} Podstawa - 2 Np. 0(2), 1(2), 100(2), 101(2), 111(2), (2), itd. System ósemkowy (oktagonalny): Ilość cyfr 8 {0,1,2,3,4,5,6,7} Podstawa - 8 Np. 0(8), 1(8), 1207(8), 365(8), (8), itd. System dziesiętny (decymalny): Ilość cyfr 10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Podstawa - 10 Np. 1407(10), 345(10), 10027(10), 0(10), 1(10), itd. System szesnastkowy (heksagonalny): Ilość cyfr-znaków 16 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Uwaga!!! Litery w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 (umownie przez znak = rozumiemy tu := przypisanie) Podstawa - 16 Np. 0(16), 1(16), A20(16), BCD(16), 100EF(16), itd. System rzymski: Ilość cyfr znaków 7 {I, V, X, L, C, D, M} Uwaga!!! Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000 Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 1 z 14 mgr Zofia Czech

2 Poszczególne litery zapisujemy w ciągu i wartości liczbowe poszczególnych liter: dodajemy, gdy są jednakowe (np. XX=10+10=20) odejmujemy wartości mniejsze stojące przed większymi (np. XC=100-10=90) dodajemy wartości mniejsze stojące za większymi (np. CX=100+10=110) Obserwacja: niejednoznaczność zapisu, tzn. jedna i ta sama liczba może być zapisana na różne sposoby (np.: DMXX= =520 i DXX= =520), problem przy zapisie większych liczb (np =MMMMMMMMMM) rozwiązano stosując dodatkowe oznaczenia: o kreska nad liczbą rzymską oznacza mnożnik liczby M, czyli *1000 (np. ) o kreski po obu stronach liczby oznaczają mnożnik C, czyli *100 (np. ). II. ZAMIANA LICZB Z INNYCH SYSTEMÓW NA 10 Wypisujemy nad poszczególnymi cyframi danej liczby kolejne potęgi podstawy systemu w jakim są te liczby podane. Zaczynamy od potęgi zerowej, z prawej do lewej strony. Sumujemy iloczyny cyfry i odpowiadającej jej potęgi. PRZYKŁADY: Zad. 1. Z 1 na 10 1(1)=1(10) (1) = =1*1 2 +1*1 1 +1*1 0 =1+1+1=3(10) 11111(1)=5(10) Wniosek: w systemie jedynkowym na każdej pozycji cyfra 1 ma wartość 1. Zad. 2. Z 2 na (2)= 0 =0*2 0 =0(10) 2 0 1(2)= 1 =1*2 0 =1(10) (2) = =1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 =4+0+0=4(10) (2) = =1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =4+0+1=5(10) (2) = =1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =4+2+1=7(10) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 2 z 14 mgr Zofia Czech

3 (2)= =1*2 6 +0*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = = =65(10) Zad. 3. Z 8 na (8)= 0 =0*8 0 =0(10) 8 0 1(8)= 1 =1*8 0 =1(10) (8)= =1*8 3 +2*8 2 +0*8 1 +7*8 0 = =647(10) (8)= =3*8 2 +6*8 1 +5*8 0 = =245(10) (8)= =1*8 5 +0*8 4 +0*8 3 +0*8 2 +0*8 1 +7*8 0 = = = =32775(10) Zad. 4. Z 16 na (16)= 0 =0*16 0 =0(10) (16)= 1 =1*16 0 =1(10) A20(16) A 2 0 =A* * *16 0 =10* = =2592(10) BCD(16)= B C D =B*16 2 +C*16 1 +D*16 0 =11*256+12*16+13*1= = =3021(10) EF(16)= E F =1* * *16 2 +E*16 1 +F*16 0 = = *16+15*1= = =65775(10) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 3 z 14 mgr Zofia Czech

4 III. ZAMIANA LICZB Z SYSTEMU 10 NA KAŻDY INNY A. Dzielimy daną liczbę przez podstawę systemy na który zamieniamy (jak na system 2 to dzielimy przez 2, jak na 8 to przez 8,a jak na 16 to przez 16, itd.). Zapisujemy część całkowitą i resztę z tego dzielenia. Następnie dzielimy otrzymaną całość i znowu zapisujemy część całkowitą i resztę. Dzielimy tak aż do momentu, gdy zostanie nam całość równa 0! Odczytujemy reszty w odwrotnej kolejności ( od dołu do góry ). Uwaga!!!! Reszty jakie możemy otrzymać przy dzieleniu liczby przez: dwa - są dwie możliwe reszty {0, 1} trzy - {0, 1, 2} pięć {0, 1, 2, 3, 4} osiem {0, 1,,7} szesnaście {0, 1,, 9, A, B, C, D, E, F} itd. PRZYKŁADY: Zad (10)= (2) liczba całość reszta 41 : : : : : : Notujemy z dołu do góry! 41(10)=101001(2) Spr (2)= =1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = = =41(10) Zad (10)= (8) liczba całość reszta 167 : : : (10)=247(8) zapis Spr (8)= =2*8 2 +4*8 1 +7*8 0 = =167(10) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 4 z 14 mgr Zofia Czech

5 Zad (10)= (16) liczba całość reszta 3738 : A 233 : : E 3738(10)=E9A(16) zapis Spr E9A(16)= E 9 A =E* *16 1 +A*16 0 =14*256+9*16+10*1= = =3738(10) B. Drugi sposób zamiany liczby z systemu 10 na 8 i 16 (analogicznie na wyższe systemy będące potęgami dwójki tzn. 32 =2 5, 64 =2 6, 128 =2 7 itd.). Zamieniamy najpierw z systemu 10 na 2, a potem z 2 na wyższy (czyli np. 8, 16, 32, itd.). W tym celu otrzymany ciąg 0 i 1 dzielimy od końca (tj. od prawej do lewej) na odpowiednią ilość bitów (zobacz uwaga poniżej) uzupełniając brakujące 0. Dla poszczególnych fragmentów odczytujemy odpowiadające im w danym systemie cyfry (tabelki poniżej). Uwaga!!! Każdą liczbę z systemu 16 można zapisać na 4 bitach, bo 16=2 4. Czyli za pomocą czterech 0 lub 1 tabelka obok. Odpowiednikami cyfr z systemu 8 w systemie 2 są 3- bitowe ciągi (bo 8=2 3 ) tabelka poniżej. Obserwacja! Liczba w systemie: Liczba w systemie: A B C D E F 1111 Analogicznie ciągi: 2-bitowe przedstawiają cyfry z systemu 4 (bo 4=2 2 ), 5-bitowe z systemu 32 (bo 32=2 5 ), 6-bitowe z systemu 64 (bo 64=2 6 ), Itd. Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 5 z 14 mgr Zofia Czech

6 PRZYKŁADY: Zad (10)= (8) I sposób: liczba całość reszta 2022 : : : : zapis spr (8)= =3*8 3 +7*8 2 +4*8 1 +6*8 0 = =3*512+7*64+4*8+6*1= = = =2022(10) 2022(10)=3746(8) II sposób liczba całość reszta 2022 : : : : : : : : : : : zapis 2022(10)= (2) Otrzymany ciąg bitów dzielimy od końca po 3 bity, a brakujące z przodu uzupełniamy 0 Możemy zamieniać poszczególne części (3 bitowe ciągi) z systemu 2 na 10 lub odczytać je z tabelki. 2022(10)=3746(8) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 6 z 14 mgr Zofia Czech

7 Zad (10)= (16) I sposób: liczba całość reszta : F 1226 : A 76 : C 4 : zapis spr CAF(16)= 4 C A F =4*16 3 +C*16 2 +A*16 1 +F*16 0 = =4* *256+10*16+15*1= = = =19631(10) 19631(10)=4CAF(16) II sposób: liczba całość reszta : : : : : : : : : : : : : : : zapis 19631(10)= (2) C A F Otrzymany ciąg bitów dzielimy od końca po 4 bity, a brakujące z przodu uzupełniamy 0 Możemy zamieniać poszczególne części (4 bitowe ciągi) z systemu 2 na 10 lub odczytać je z tabelki (10)=4CAF(16) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 7 z 14 mgr Zofia Czech

8 IV. ZAMIANA LICZB Z SYSTEMU 16 I 8 NA 2 Zamiana jest bardzo prosta wystarczy pamiętać, że każdej cyfrze w systemie 8 odpowiada 3-bitowy ciąg, a cyfrze (symbolowi) w systemie 16 4-bitowy ciąg. I tak każdą z cyfr danego systemu zamieniamy na odpowiadający jej ciąg (zobacz tabelki). Korzystamy tu z tabelki lub (co jest o wiele bardziej pracochłonne ) zamieniamy najpierw z danego systemu na system 10 (zobacz punkt II) a następnie na 2 (zobacz punkt III). PRZYKŁADY: Zad. 1. AD4(16)= (2) 16 A D bitowe ciągi!!! AD4(16)= (2) Zad (8)= (2) bitowe ciągi!!! Uwaga!!! Początkowych zer nie piszemy! 1370(8)= (2)= (2) Uwaga! Możliwość dokonywania przeliczeń pomiędzy poszczególnymi systemami liczbowymi daje kalkulator naukowy (Windows Programy- Akcesoria Kalkulator menu Widok Naukowy). Dostępne opcje : Hex system szesnastkowy (heksadecymalny) 16 Dec - - dziesiętny (decymalny) 10 Oct - - ósemkowy (oktagonalny) 8 Bin dwójkowy (binarny) 2. Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 8 z 14 mgr Zofia Czech

9 V. (*) ZAMIANA UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH NA SYSTEM 2 Mnożymy dany ułamek przez dwa i zapisujemy całość. Za każdym razem mnożymy tylko części (całość przyjmujemy równą 0). Im dłuższe przeliczenia tym dokładniejszy wynik końcowy. Wynik odczytujemy z całości z góry do dołu. Np. 0,36(10)= (2) liczba całość 0,36 * 2 0,72 0 0,72 * 2 1,44 1 0,44 * 2 0,88 0 0,88 * 2 1,76 1 0,76 * 2 1,52 1 0,52 * 2 1,04 1 0,04 * 2 0,08 0 0,08 * 2 0,16 0 0,16 * 2 0,32 0 0,32 * 2 0,64 0 0,64 * 2 1,28 1 0,28 * 2 Notujemy z góry do dołu! 0,36(10)=0, (2) Spr , (2)= = = Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 9 z 14 mgr Zofia Czech

10 VI. (*) PODSTAWOWE OPERACJE ARYTMETYCZNE W SYSTEMIE DWÓJKOWYM. dodawanie w systemie dwójkowym mnożenie w systemie dwójkowym Zad. 1. (+) PRZYKŁADY 236(10) +125(10) = (2) (2)= (2) Spr. 236 (10) (10) 361 (10) (2) (2) (2) 236(10) + 125(10)=361(10) (2) (2)= (2) (2)= =1*2 8 +0*2 7 +1*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = Zad. 2. (-) 236(10) - 125(10) = (2) (2)= (2) = =361(10) 236 (10) (10) 111 (10) Spr (2) (2) (2) 236(10) - 125(10)=111(10) (2) (2)= (2) (2)= =1*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 = = =111(10) Zad. 3. ( ) 25(10) 13(10) =11001(2) 1101(2)= (2) Spr. 25 (10) 13 (10) 75 (10) (10) (2) 1101 (2) (2) (2)2) )(2)(2) )(2)(2)( (2) 25(10) 13(10) =325(10) 11001(2) 1101(2)= (2) (2)= =1*2 8 +0*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = = =325(10) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 10 z 14 mgr Zofia Czech

11 VII. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA. 1. Dokonaj konwersji (zamiany) poniższych liczb z systemu dziesiętnego na binarny. a). 16(10)= (2) h). 127(10)= (2) b). 120(10)= (2) i). 188(10)= (2) c). 2011(10)= (2) j). 31(10)= (2) d). 156(10)= (2) k). 531(10)= (2) e). 234(10)= (2) l). 2423(10)= (2) f). 256(10)= (2) m). 5123(10)= (2) g). 255(10)= (2) n). 333(10)= (2) 2. Dokonaj konwersji z systemu dziesiętnego na ósemkowy. a). 16(10)= (8) j). b). 120(10)= (8) c). 2011(10)= (8) l). d). 156(10)= (8) e). 234(10)= (8) f). 256(10)= (8) g). 255(10)= (8) h). 127(10)= (8) i). 188(10)= (8) 31(10)= (8) k). 531(10)= (8) 2423(10)= (8) m). 5123(10)= (8) n). 333(10)= (8) o). 83(10)= (8) p). 73(10)= (8) q). 4096(10)= (8) 3. Dokonaj konwersji z systemu dziesiętnego na szesnastkowy. a). 23(10)= (16) h). 4095(10)= (16) b). 123(10)= (16) i). 4096(10)= (16) c). 223(10)= (16) j). 1261(10)= (16) d). 243(10)= (16) k) (10)= (16) e). 569(10)= (16) l). 3123(10)= (16) f). 2748(10)= (16) m). 5123(10)= (16) g). 256(10)= (16) n). 81(10)= (16) 4. Dokonaj konwersji z systemu dwójkowego na dziesiątkowy. a). 10(2)= (10) h) (2)= (10) b). 1001(2)= (10) i) (2)= (10) c) (2)= (10) j) (2)= (10) d) (2)= (10) k) (2)= (10) e) (2)= (10) l) (2)= (10) f) (2)= (10) m) (2)= (10) g) (2)= (10) n) (2)= (10) 5. Dokonaj konwersji z systemu ósemkowego na dziesiątkowy. a). 10(8)= (10) b). 107(8)= (10) c). 200(8)= (10) i). j). d). 2011(8)= (10) e). 562(8)= (10) l). f). 777(8)= (10) m). 170(8)= (10) g). 222(8)= (10) n). 555(8)= (10) h). 1001(8)= (10) 3333(8)= (10) 2000(8)= (10) k). 1027(8)= (10) 5017(8)= (10) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 11 z 14 mgr Zofia Czech

12 6. Dokonaj konwersji z systemu szesnastkowego na dziesiątkowy. a). B1(16)= (10) h). F00(16)= (10) b). 1A3(16)= (10) i). A0(16)= (10) c). AD0(16)= (10) j). B09(16)= (10) d). 125(16)= (10) k). BC2(16)= (10) e). ABC(16)= (10) l). 3A8(16)= (10) f). DE(16)= (10) m). 100F(16)= (10) g). EF(16)= (10) n). 65A(16)= (10) 7. Dokonaj konwersji z systemu ósemkowego na dwójkowy. a). 10(8)= (2) h) (8)= (2) b). 7(8)= (2) i). 107(8)= (2) c). 123(8)= (2) j). 21(8)= (2) d). 111(8)= (2) k). 13(8)= (2) e). 2222(8)= (2) l). 17(8)= (2) f). 765(8)= (2) m). 54(8)= (2) g). 456(8)= (2) n). 62(8)= (2) 8. Dokonaj konwersji z systemu szesnastkowego na dwójkowy. a). B1(16)= (2) h) (16)= (2) b). 1A3(16)= (2) i). ABCDE(16)= (2) c). ABC(16)= (2) j). 100A(16)= (2) d). DE(16)= (2) k). 106(16)= (2) e). FF1(16)= (2) l). A01(16)= (2) f). 10(16)= (2) m). B00(16)= (2) g). AAA1(16)= (2) n). D9F(16)= (2) 9. Dokonaj konwersji z systemu dwójkowego na ósemkowy. a) (2)= (8) h) (2)= (8) b) (2)= (8) i) (2)= (8) c) (2)= (8) j) (2)= (8) d) (2)= (8) k) (2)= (8) e) (2)= (8) l) (2)= (8) f) (2)= (8) m) (2)= (8) g) (2)= (8) n) (2)= (8) 10. Dokonaj konwersji z systemu dwójkowego na szesnastkowy. a) (2)= (16) h) (2)= (16) b) (2)= (16) i) (2)= (16) c) (2)= (16) j) (2)= (16) d) (2)= (16) k) (2)= (16) e) (2)= (16) l) (2)= (16) f) (2)= (16) m) (2)= (16) g) (2)= (16) n) (2)= (16) 11. (*) Wykonaj działania baz przeliczania na system dziesiątkowy. a) (2)+10001(2)= (2) b) (2)+1(2)= (2) c) (2) (2)= (2) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 12 z 14 mgr Zofia Czech

13 d) (2) (2)= (2) e) (2) (2)= (2) f) (2) (2)= (2) g). 101(2)-11(2)= (2) h). 1000(2)-1(2)= (2) i) ) (2)= (2) j) (2) (2)= (2) k) (2) (2)= (2) l) (2)-1001(2)= (2) m). 1001(2) 10(2)= (2) n) (2) 101(2)= (2) o) (2) 1011(2)= (2) p) (2) (2)= (2) q) (2) (2)= (2) r) (2) 1111(2)= (2) 12. (*) Zapisz ułamki w systemie dwójkowym. a). 0,23(10)= (2) b). 0,132(10)= (2) c). 0,25(10)= (2) d). 0,5(10)= (2) e). 0,2(10)= (2) VIII. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ. Ad. 1. a) (2), b) (2), c) (2), d) (2), e) (2), f) (2), g) (2), h) (2), i) (2), j) (2), k) (2), l) (2), m) (2), n) (2) Ad. 2. a). 20 (8), b). 170 (8), c) (8), d). 234 (8), e). 352 (8), f). 400 (8), g). 377 (8), h). 177 (8), i). 274 (8), j). 37 (8), k) (8), l) (8), m) (8), n). 515 (8), o). 123 (8), p). 111 (8), q) (8) Ad. 3. a). 17 (16), b). 7B (16), c). DF (16), d). F3 (16), e). 239 (16), f). ABC (16), g). 100 (16), h). FFF (16), i) (16), j). 4ED (16), k). 5CD1 (16), l). C33 (16), m) (16), n). 51 (16) Ad. 4. a). 2 (10), b). 9 (10), c). 53 (10), d). 42 (10), e). 64 (10), f). 255 (10), g). 214 (10), h). 187 (10), i). 22 (10), j). 223 (10), k). 495 (10), l) (10), m). 292 (10), n). 129 (10) Ad. 5. a). 8 (10), b). 71 (10), c). 128 (10), d) (10), e). 370 (10), f). 511 (10), g). 146 (10), h). 513 (10), i) (10), j) (10), k). 535 (10), l) (10), m). 120 (10), n). 365 (10) Ad. 6. a). 177 (10), b). 419 (10), c) (10), d). 293 (10), e) (10), f). 222 (10), g). 239 (10), h) (10), i). 160 (10), j) (10), k) (10), l). 936 (10), m) (10), n) (10) Ad. 7. a) (2), b). 111 (2), c) (2), d) (2), e) (2), f) (2), g) (2), h) (2), i) (2), j) (2), k) (2), l) (2), m) (2), n) (2) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 13 z 14 mgr Zofia Czech

14 Ad. 8. a) (2), b) (2), c) (2), d) (2), e) (2), f) (2), g) (2), h) (2), i) (2), j) (2), k) (2), l) (2), m) (2), n) (2) Ad. 9. a) (8), b). 200 (8), c). 125 (8), d). 231 (8), e). 421 (8), f) (8), g) (8), h). 167 (8), i) (8), j). 41 (8), k). 76 (8), l) (8), m) (8), n). 241 (8) Ad. 10. a). D7 (16), b). EE (16), c). 2A (16), d). 40 (16), e). FF (16), f). 3FF (16), g) (16), h) (16), i). 3C1 (16), j). 999 (16), k). 333 (16), l). E38 (16), m). 9A (16), n). F0E32 (16) Ad. 11. (*) a) (2), b) (2), c) (2), d) (2), e) (2), f) (2), g). 10 (2), h). 111 (2), i) (2), j) (2), k) (2), l) (2), m) (2), n) (2), o) (2), p) (2), q) (2), r) (2) Ad. 12. (*) a). 0, (2), b). 0, (2), c).0,01 (2), d).0,1 (2), e). 0, (2) Gimnazjum w Tęgoborzy Strona 14 z 14 mgr Zofia Czech